Este documento presenta información sobre polígonos y triángulos. Define un polígono como una línea quebrada cerrada formada por segmentos concatenados. Describe los elementos de un polígono como lados, vértices, ángulos y diagonales. Explica cómo clasificar los polígonos según el número de lados, la medida de los ángulos interiores y la congruencia de lados y ángulos. Luego, se enfoca en los triángulos como polígonos de tres lados, describiendo su construcción y clasificación según las relaciones entre los lados

4. 372.7
And.
Polígonos. Triángulos
Federación Internacional Fe y Alegría,
2006
32 p.; 21,5 x 19 cm.
ISBN: 980-6418-89-1
Matemáticas, Geometría
2

5. “El principio pedagógico esencial,
base y condición de todos los de-
más, es el amor a los educandos.
El educando es amado y enseñado
a la vez; y el educando hace crecer
y humaniza, mediante el amor, al
educador. En educación, es imposi-
ble ser efectivos sin ser afectivos.”
Documento del XXXIII Congreso
Internacional
Asunción, Paraguay
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6. EQUIPO EDITORIAL
Beatriz Borjas y Carlos Guédez
Dimensión: Desarrollo del pensamiento
matemático
Cuaderno N° 13
Polígonos. Triángulos
Autor: Martín Andonegui Zabala
Este libro se ha elaborado con el
propósito de apoyar la práctica
educativa de los cientos de educadores
de Fe y Alegría. Su publicación se
realizó en el marco del Programa
Internacional de Formación de
Educadores Populares desarrollado por
la Federación Internacional Fe y Alegría
desde el año 2001.
Diseño y Diagramación: Moira Olivar
Ilustraciones: Corina Álvarez
Concepto gráfico: Juan Bravo
Corrección de textos: Carlos Guédez
y Martín Andonegui
Edita y distribuye: Federación
Internacional de Fe y Alegría. Esquina
de Luneta. Edif. Centro Valores, piso 7
Altagracia, Caracas 1010-A, Venezuela.
Teléfonos: (58) (212)5631776 / 5632048
/ 5647423.
Fax: (58) (212) 5645096
www.feyalegria.org
© Federación Internacional Fe y
Alegría
Depósito legal: lf 60320065104913
Caracas, Noviembre 2006.
Publicación realizada con el apoyo de:
Centro Magis - Instituto Internacional
para la Educación Superior en
América Latina y el Caribe (IESALC) -
Corporación Andina de Fomento (CAF)
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7. introducción
A modo de introducción...,
nuestro recordatorio
L a sugerencia que proponíamos en
el Cuaderno No 1 y que siempre
presidirá los demás Cuadernos: Vamos a
nuestro trabajo docente. De esta forma, in-
tegrar nuestra práctica docente en nuestro
estudio.
estudiar matemática, pero no lo vamos a
hacer como si fuéramos simplemente unos • Como complemento a lo anterior, cons-
alumnos que posteriormente van a ser eva- truir el conocer de cada tópico matemático
luados, y ya. No. Nosotros somos docentes pensando en cómo lo podemos llevar al
–docentes de matemática en su momento- aula. Para ello, tomar conciencia del pro-
y este rasgo debe caracterizar la forma de ceso que seguimos para su construcción,
construir nuestro pensamiento matemático. paso a paso, así como de los elementos
¿Qué significa esto? –cognitivos, actitudinales, emocionales...-
que se presenten en dicho proceso. Porque
• La presencia constante de la meta última a partir de esta experiencia reflexiva como
de nuestro estudio: alcanzar unos niveles estudiantes, podremos entender y evaluar
de conocimiento tecnológico y reflexivo, lo mejor el desempeño de nuestros alumnos
cual debe abrir ese estudio hacia la búsque- –a su nivel- ante los mismos temas.
da de aplicaciones de lo aprendido, hacia
el análisis de los sistemas que dan forma • En definitiva, entender que la matemática
a nuestra vida y utilizan ese conocimiento es la base de su didáctica: la forma en que
matemático, y hacia criterios sociales y éti- se construye el conocimiento matemático
cos para juzgarlos. es una fuente imprescindible a la hora de
planificar y desarrollar su enseñanza.
• Construir el conocer de cada tópico ma-
temático pensando en cómo lo enseñamos Y ahora, vamos al tema de este Cuaderno,
en el aula, además de reflexionar acerca de los polígonos.
cómo nuestro conocer limita y condiciona
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8. 1. ¿Qué es un polígono? Es bueno recordar aquí la etimología de la palabra a partir de sus raíces griegas: polí-
gono = polus [mucho] + gonia [ángulo] = muchos ángulos.
E n el Cuaderno anterior decíamos que
con segmentos situados en rectas di-
ferentes de un mismo plano, y concatena-
En todo polígono podemos destacar los siguientes elementos o partes: lados, ángu-
los y vértices. Los lados son los segmentos de la línea poligonal; los vértices, los puntos
dos por sus extremos, se construyen líneas de concatenación de dichos segmentos; y los ángulos, los formados por dos segmentos
quebradas o poligonales. Estas líneas que- consecutivos, orientados hacia la región interna del polígono. En los polígonos se habla
bradas pueden ser abiertas, si los puntos también de las diagonales (diagonal = dia [a través] + gonia [ángulo] = a través del ángulo),
libres de los segmentos inicial y final de la que son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del polígono. Los polígonos
cadena no coinciden; o cerradas, en caso se representan colocando letras mayúsculas en sus vértices.
contrario. Y cuando en una línea quebrada
cerrada no se han cruzado entre sí los seg- Por otro lado, todo polígono determina dos regiones en el plano: la que queda ence-
mentos que la componen, decimos que se rrada dentro de la línea poligonal, y la que queda en su exterior. La primera se denomina
ha formado un polígono. región poligonal interna. La segunda, se califica como externa.
Observa las siguientes figuras y deter- Y esos son los elementos que podemos medir en un polígono: En primer lugar, la
mina en cada caso si se trata de una línea longitud de sus lados, cuya suma total se denomina perímetro. (peri [alrededor] + metron
poligonal abierta o cerrada y, en este último [medida] = medida del contorno); igualmente, la longitud de las diagonales; también la
caso, de un polígono: amplitud de sus ángulos, así como su suma total; y la magnitud de su región interna, es
decir, el área del polígono.
a) b) c)
Existen diversos criterios para clasificar los polígonos:
a) Según el número de lados. En general, se habla de un polígono de “tantos” lados.
Pero algunos de ellos tienen un nombre particular:
Número de lados Nombre Significado literal
d) e) 3 Triángulo Tres ángulos (latín)
4 Cuadrilátero Cuatro lados (latín)
5 Pentágono Cinco ángulos (griego)
6 Hexágono Seis ángulos (griego)
7 Heptágono Siete ángulos (griego)
Fig. 1: Líneas poligonales
8 Octógono Ocho ángulos (griego)
He aquí las respuestas: a) polígono; b) 10 Decágono Diez ángulos (griego)
línea poligonal abierta; c) línea poligonal
12 Dodecágono Doce ángulos (griego)
cerrada, pero no polígono; d) polígono; e)
línea poligonal abierta. 15 Pentadecágono Cinco+diez ángulos (griego)
6

9. b) Según el valor de los ángulos. Si la He aquí las respuestas: a) Cuadrilátero Observe la tabla siguiente en la que se
medida de cada uno de los ángulos inte- cóncavo irregular; b) Pentágono convexo relacionan el número de lados de un polí-
riores del polígono es menor de 180o, el irregular; c) Triángulo convexo regular; gono convexo y el número de diagonales de
polígono se denomina convexo; en caso d) Hexágono cóncavo irregular; e) Hep- tales polígonos, y responda a las preguntas
contrario, cóncavo. Dicho de otra manera, tágono convexo irregular. Y una pregunta que siguen:
si al tomar dos puntos cualesquiera de la re- adicional:
gión poligonal interna, el segmento que los No de Lados No de diagonales
une queda todo él dentro de esa región po- 1. ¿Puede haber algún polígono cónca-
ligonal, hablamos de un polígono convexo, vo regular? ¿Por qué? 4 2
es decir, sin “entrantes”. Un polígono se ca- 5 5
lifica como cóncavo cuando presenta algún ¿Cuántas diagonales tiene un polígono
entrante, es decir, algún ángulo interior de convexo de n lados? 6 9
medida mayor que 180o. En la fig.1, el dibu- 7 14
jo a) representa un polígono cóncavo. Dibuje un polígono convexo del nú-
mero de lados que usted quiera. Observe 8 20
c) Según la congruencia de sus lados que de cada vértice salen tantas diagonales 9 27
y de sus ángulos. Si todos los lados de un como vértices tiene el polígono, menos 3;
polígono son congruentes entre sí, y tam- es decir, n – 3. Desde todos los vértices se 10 35
bién lo son todos sus ángulos, el polígono podrían dibujar en total n x (n – 3) diagona- 11 44
se denomina regular. E irregular en caso les. Pero al hacerlo así, se habrían dibujado
contrario. todas las diagonales dos veces. Por consi- ... ...
guiente, el producto anterior debe dividirse
Clasifica cada uno de los siguientes po- entre 2, para no contar diagonales repetidas.
lígonos de acuerdo a los tres criterios men- Así, pues, un polígono convexo de n lados a) ¿Cómo aumenta la sucesión del nú-
cionados: nx ( n − 3) mero de diagonales?
tiene 2
diagonales. Verifíquelo para b) En particular, ¿qué ocurre cuando el
a) b) c) varias clases de polígonos. número de lados del polígono es impar?
c) ¿Y cuando el número de lados es
2. Un polígono convexo tiene 54 diago- par?
nales. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
d) e) 2. Triángulos
Un triángulo es un polígono de tres lados. Es el más elemental de todos los polígonos,
lo que hace que tenga ciertas particularidades:
- no existen triángulos cóncavos
- es el único polígono convexo que no tiene diagonales
Fig. 2: Polígonos - es el único polígono en el que se puede hablar, sin equívocos, de lados opuestos a
7

10. ángulos, y viceversa; por eso, el lado BC Establecida esta condición ya podemos describir la forma de construir un triángulo
opuesto al ángulo de vértice en A puede conocidas las medidas de tres segmentos: Con el compás se abarca la longitud de uno
denotarse también como a, y así en los de los segmentos; se ubica este segmento AB en el plano. Desde el vértice A y con una
demás casos abertura del compás equivalente a la medida del segundo segmento, se traza un arco. Se
realiza la misma operación desde el vértice B, con una abertura del compás equivalente a
C la medida del tercer segmento. Desde el punto C en que se cortan los dos arcos se trazan
b a
sendos segmentos CA y CB y el triángulo queda construido. Podemos designarlo: ∆ ABC
A B
c
Fig. 3: Triángulo
2.1. Construcción de un triángulo
Tome tres alambres, palitos, tiras de pa-
pel, o algo similar que sea rectilíneo, de las Fig. 4: Construcción de un triángulo dadas las medidas de sus tres lados
siguientes medidas: a) 8, 5 y 8 cm b) 12, 4
y 6 cm c) 13, 12 y 5 cm d) 16, 8 y 8 cm e) 3. Si le dan las medidas de tres ángulos, por ejemplo, 80o, 60o y 40o, ¿puede construir
15, 9 y 7 cm. Trate de construir con ellos un con ellos un triángulo? ¿Un solo triángulo o más de uno?
triángulo en cada caso. Y antes de continuar
con la lectura, trate de establecer la razón 4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
que impide la construcción de un triángulo
en los casos en los que no se puede.
¿En cuáles de los cinco casos propues-
tos no ha sido posible construir un triángu- Mueva sólo 3 palitos de la figura y consiga 8 triángulos:
lo? Sin duda habrá llegado a la respuesta:
en los b) y d). Si nos ponemos a pensar en
qué se diferencian estos casos de los otros
tres llegaremos a la siguiente conclusión:
en ambos casos, la longitud del segmento 2.2. Clasificación de los triángulos
mayor no es menor que la suma de las lon-
gitudes de los otros dos segmentos. Así, en Disponemos de dos criterios para clasificar los triángulos:
el b): 12 > 4 + 6; y en el d): 16 = 8 + 8. a) Según las relaciones entre los lados. Tenemos tres casos:
Para que tres segmentos puedan cons- Nombre del triángulo Relaciones entre los lados
tituir un triángulo es necesario que la lon- Equilátero Los tres lados congruentes
gitud del segmento mayor sea menor que
la suma de las longitudes de los otros dos Isósceles Dos lados congruentes
segmentos. Escaleno Ningún par de lados congruentes
8

11. 5. Veamos estas dos afirmaciones: En cada una de las casillas de la tabla siguiente, trate de dibujar, si es posible, un trián-
“Todo triángulo isósceles es equilátero” y gulo que responda a la vez a los dos criterios señalados en la cabecera de la columna y a
“Todo triángulo equilátero es isósceles” la izquierda de la fila en la que se encuentra cada casilla:
¿Alguna de ellas es verdadera? ¿O no lo es
ninguna? Un triángulo que acutángulo rectángulo obtusángulo
sea, a la vez:
Construya con regla y compás un triángu-
lo de cada uno de los tres tipos descritos. equilátero
b) Según la naturaleza de los ángulos.
Tenemos también tres casos: isósceles
Nombre del Naturaleza de los
triángulo ángulos escaleno
Los tres ángulos
Acutángulo agudos ¿Le ha quedado alguna casilla en blanco? ¿Cuáles y por qué?
Rectángulo Un ángulo recto 6. ¿Existe algún triángulo que tenga un solo ángulo agudo? ¿Y con dos ángulos agudos?
Obtusángulo Un ángulo obtuso ¿Con más de un ángulo recto? ¿Y con más de un ángulo obtuso?
7. Se colocan 10 monedas iguales siguiendo una formación
de triángulo equilátero, tal como se indica en la figura. ¿Cuál es
En un triángulo rectángulo, los dos la- el número mínimo de monedas que hay que retirar, de tal modo
dos que forman el ángulo recto se deno- que con los centros de las monedas que queden, no pueda cons-
minan catetos (kathetos [descendentes]); y truirse ningún triángulo equilátero, de ningún tamaño? (Gardner,
el lado opuesto al ángulo recto, hipotenusa 1986).
(hipotenusa = hypo [debajo] + teino [ten-
der] = línea que se extiende por debajo de 8. En un triángulo, los lados opuestos a ángulos congruentes, son congruentes a su
los catetos que descienden). vez; y viceversa. Y también, dentro de un mismo triángulo, a ángulos mayores se oponen
lados mayores; y viceversa. ¿Cuántos ángulos congruentes posee un triángulo isósceles?
Si a usted le preguntan cómo se clasifi- ¿Y un triángulo equilátero?
can los triángulos según sus vértices, ríase
y trate de inventar una respuesta que sea lo 9. Un triángulo, cuyos lados tienen medidas enteras, tiene un perímetro de 8 cm. ¿Qué
más ingeniosa posible... Y ahora, en serio, clase de triángulo es?
vamos a plantearnos y resolver un ejercicio
interesante, derivado de considerar simultá- 10. Ana recibe el encargo de construir todos los triángulos de medidas enteras que
neamente ambos criterios de clasificación pueda, tales que su perímetro sea de 9 cm. Patricia recibe el mismo encargo, pero con
para cualquier triángulo. triángulos cuyo perímetro mida 10 cm. ¿Cuál de las dos podrá construir más triángulos?
9

12. Con regla y compás, construya un trián- ¿Qué particularidad presenta el circun- obtenga en cada caso el incentro. ¿Puede
gulo rectángulo cuyos catetos midan 6 y 8 centro? Por pertenecer a la mediatriz m, llegar a una conclusión general acerca de la
cm. Y construya otro, sabiendo que un cate- equidista de A y de B; por pertenecer a la ubicación del incentro, a partir de la consi-
to mide 5 cm y la hipotenusa, 10 cm. mediatriz n, equidista de B y de C; y por deración de los tres tipos de triángulos?
pertenecer a la mediatriz r, equidista de C y
2.3. Elementos notables de un triángulo de A. Es decir, el circuncentro equidista de ¿Qué particularidad presenta el incen-
los tres vértices [En el Cuaderno 15 volve- tro? Por pertenecer a la bisectriz m, equidis-
Hasta ahora hemos hablado de los la- remos a referirnos a ese punto y a la conse- ta de los lados AB y AC; por pertenecer a la
dos, vértices y ángulos de un triángulo, en- cuencia práctica que se deriva bisectriz n, equidista de los lados AB y BC;
tendiendo por estos últimos los ángulos in- para todo triángulo]. y por pertenecer a la bisectriz r, equidista
teriores del triángulo. Vamos a ampliar este de los lados AC y BC. Es decir, el incentro
conjunto de elementos con otros varios, va- equidista de los tres lados [En el Cuaderno
mos a construirlos y a estudiar sus propieda- 15 volveremos a referirnos a ese punto y a
des [Si desea una visualización dinámica de la consecuencia práctica que se deriva para
cada uno de los casos que se van a estudiar, todo triángulo].
puede acudir a la red en la dirección http://
www.walter-fendt.de/m11s/index.html y lle-
gar a las secciones “Rectas y circunferencias
notables de un triángulo” y “Centro de masa
de un triángulo”].
a) Mediatrices de un triángulo. Son las
mediatrices de los tres lados del triángulo.
Su construcción se hace siguiendo las pau-
tas de las actividades 10.1. y 12.3. descritas Fig. 5: Mediatrices de un triángulo y circun-
en el Cuaderno anterior. centro
Fig. 6: Bisectrices de un
Al efectuar esa construcción se descu- b) Bisectrices de un triángulo. Son las triángulo e incentro
bre una de las propiedades fundamentales bisectrices de los tres ángulos del triángu-
de las mediatrices de un triángulo: que se lo. Su construcción se hace siguiendo las c) Medianas de un triángulo. Son los
cortan en un punto, denominado circun- pautas de la actividad 14.1. descrita en el segmentos trazados desde cada vértice al
centro. Cuaderno anterior. punto medio del lado opuesto. Su cons-
trucción se hace siguiendo las pautas de las
Dibuje tres triángulos, uno acután- Al efectuar esa construcción se descu- actividades 10.2., 12.2. y 8.1. descritas en el
gulo, otro rectángulo, y un tercero obtu- bre una de las propiedades fundamentales Cuaderno anterior.
sángulo; obtenga en cada caso el circun- de las bisectrices de un triángulo: que se
centro. ¿Puede llegar a una conclusión cortan en un punto, denominado incentro. Al efectuar esa construcción se descubre
general acerca de la ubicación del cir- una de las propiedades fundamentales de
cuncentro, a partir de la consideración Dibuje tres triángulos, uno acutángulo, las medianas de un triángulo: que se cortan
de los tres tipos de triángulos? otro rectángulo, y un tercero obtusángulo; en un punto, denominado baricentro.
10

13. Dibuje tres triángulos, uno acutángulo, de las actividades 10.5. y 12.4. descritas en el Cuaderno anterior.
otro rectángulo, y un tercero obtusángulo;
obtenga en cada caso el baricentro. ¿Puede Al efectuar esa construcción se descubre una de las propiedades fundamentales de las
llegar a una conclusión general acerca de la alturas de un triángulo: que se cortan en un punto, denominado ortocentro.
ubicación del baricentro, a partir de la con-
sideración de los tres tipos de triángulos? Dibuje tres triángulos, uno acutángulo, otro rectángulo, y un tercero obtusángulo; ob-
tenga en cada caso el ortocentro. ¿Puede llegar a una conclusión general acerca de la
Trace cualquier triángulo en una hoja ubicación del ortocentro, a partir de la consideración de los tres tipos de triángulos?
de cartulina. Recorte el triángulo y trate de
mantenerlo en equilibrio sobre la punta de ¿Qué particularidad presenta el ortocentro?
un dedo, sin que se caiga; es decir, trate de En rigor, ninguna tan destacable como los tres
ubicar el punto de equilibrio del triángulo. puntos singulares recién vistos. Los griegos lo
Obtenga ahora el baricentro de ese triángu- denominaron el centro “recto” del triángulo,
lo y compárelo con el punto de equilibrio. como lo indica la raíz de la palabra (orthos
¿A qué conclusión llega? [derecho, recto]), para recordar la incidencia
de las alturas, que forman un ángulo recto con
Esta es la particularidad que presenta el los lados correspondientes.
baricentro, que coincide con el centro de
gravedad del triángulo, como lo indica la
raíz de la palabra (baros [peso, pesadez]).
Podemos resumir los párrafos anteriores en esta tabla:
Intersección de las Particularidad del
tres Punto singular Ubicado en punto
Depende del tipo Equidista de los
Mediatrices Circuncentro de triángulo vértices
Bisectrices Incentro Región interna del Equidista de los
triángulo lados
Medianas Región interna del Centro de gravedad
Baricentro triángulo
Fig. 7: Medianas de un triángulo y baricentro
Alturas Ortocentro Depende del tipo ---
de triángulo
d) Alturas de un triángulo. Son las per-
pendiculares trazadas desde cada vértice a He aquí algunas preguntas. Trate de llegar por su cuenta a la respuesta.
la recta en que se asienta el lado opuesto.
Estas perpendiculares pueden tener su pie a) ¿En qué tipo de triángulo ocurre que coinciden los cuatro puntos singulares?
sobre el lado o sobre su prolongación. Su b) ¿Qué ocurre con la altura, la mediana, la bisectriz y la mediatriz relativas a la “base”
construcción se hace siguiendo las pautas (el lado no congruente con ninguno de los otros dos) de un triángulo isósceles?
11

14. c) ¿En qué tipos de triángulos se observa que los cuatro puntos singulares se encuen- C
tran en la región interna del triángulo? 4 s
3 5
d) ¿Dónde se ubica el ortocentro de un triángulo rectángulo?
e) ¿Y el de un triángulo obtusángulo?
f) ¿Y dónde se ubica el circuncentro de un triángulo rectángulo?
g) ¿Y el de un triángulo obtusángulo?
h) Considere las medianas de la cartulina triangular que recortó para hallar su punto
1
de equilibrio (centro de gravedad). En cada mediana, mida la distancia que hay desde el
baricentro hacia el vértice, y la que hay desde el baricentro hasta el punto medio del lado A 2
r
opuesto. ¿Qué obtiene en los tres casos? ¿A qué conclusión puede llegar? B
Y he aquí las respuestas: Fig. 10: Suma de las medidas de los ángulos
internos de un triángulo
a) En el triángulo equilátero.
b) Las cuatro se encuentran sobre la misma recta. Vamos a fijarnos en la recta que contie-
c) En los triángulos acutángulos. ne al lado BC. Esta recta es secante a las pa-
d) En el vértice del ángulo recto. ralelas r y s, situación analizada en el Cua-
e) Fuera del triángulo. derno anterior. Por su carácter de ángulos
f) En el punto medio de la hipotenusa. alternos internos, los ángulos <2 y <5 son
g) Fuera del triángulo. congruentes. Análogamente, nos fijamos en
h) En cada mediana, la distancia que hay del baricentro al vértice es el doble de la la recta que contiene al lado AC. Esta recta
distancia que hay del baricentro al punto medio del lado opuesto. también es secante a las paralelas r y s; y
por su carácter de ángulos alternos inter-
e) Ángulos externos de un triángulo. Son los ángulos formados por uno de los lados nos, los ángulos <1 y <4 son congruentes.
de cada ángulo y por la prolongación del otro lado del mismo ángulo. En la figura apa-
recen marcados con los números 1, 2 y 3. Cada ángulo exterior es adyacente al ángulo Ahora bien, si la suma de las medidas
interno correspondiente; observe que este par de ángulos son suplementarios. de los ángulos <4, <3 y <5 es de 180o, tam-
bién lo será la de los ángulos <1, <3 y <2, es
1 1 decir, de los ángulos internos de cualquier
2 3 triángulo [Si desea una visualización diná-
mica de este teorema, puede acudir a la red
2 3 Fig. 9: Ángulos externos de un triángulo
en la dirección http://www.walter-fendt.de/
2.4. La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo m11s/index.html y llegar a la sección “Suma
de los ángulos de un triángulo”].
Este es un resultado fundamental y muy conocido: la suma de los ángulos internos de
cualquier triángulo es de 180o. ¿Cómo se llega a este resultado? Veamos. Consideremos el No resulta difícil construir un recurso
∆ ABC, con sus ángulos internos <1, <2 y <3, así como la recta r sobre la que está ubicado material que ayuda a “visualizar” la ante-
el lado AB. Por el vértice C hacemos pasar una paralela s al lado AB. Observemos que rior propiedad. Elaboramos un ∆ ABC (pre-
sobre la recta s y con vértice en C se forman tres ángulos consecutivos, <4, <3 y <5, cuya feriblemente escaleno) en cartulina o made-
unión forma un ángulo llano; es decir, la suma de las medidas de los tres es de 180o. ra. Consideremos el lado más largo como la
12

15. “base” AB. Marcamos los puntos medios M y N de los lados AC y BC, respectivamente, y cada uno de los dos ángulos congruentes
colocamos una “bisagra” en el lugar del segmento MN. Desde los puntos M y N bajamos medirá 110o : 2 = 55o.
sendas perpendiculares a la base AB, hasta los pies P y Q, respectivamente, y colocamos
sendas bisagras en el lugar de los segmentos MP y NQ. Hay un poste en medio de una plaza.
¿Con qué ángulo deben incidir los rayos del
sol sobre la plaza, para que el poste proyec-
te una sombra que tenga la misma longitud
que el poste?
Haga el dibujo correspondiente. Como
el poste es perpendicular al suelo, se for-
ma un triángulo rectángulo. Los catetos son
O las representaciones del poste y de la línea
de sombra en el suelo, respectivamente.
Si ambos catetos miden lo mismo, se tra-
ta de un triángulo rectángulo isósceles. Por
consiguiente, los ángulos agudos son con-
Ahora, como se indica en la figura y haciendo juego en las tres bisagras, se giran las gruentes y deben medir 45o cada uno. Este
tres “pestañas” triangulares APM, BNQ y CMN hacia el centro, obteniéndose la segunda es el ángulo con el que deben incidir en ese
figura. En ella puede verse que los ángulos <1, <2 y <3 se acoplan para formar un ángulo momento los rayos del sol sobre la plaza.
llano con vértice compartido en O. Es decir, la suma de las medidas de los tres ángulos
internos de cualquier triángulo es de 180o. En todo triángulo, la medida de un án-
gulo exterior es la suma de las medidas de
Esta propiedad es muy fecunda para llegar a otros resultados. El más evidente es que, los dos ángulos internos no adyacentes.
conocidos los valores de dos de los tres ángulos de un triángulo, es muy fácil obtener el
valor del tercero, restando de 180o la suma de las medidas de los dos ángulos conocidos. La razón es muy sencilla: el ángulo in-
En otras palabras, cualquier ángulo es suplementario del ángulo suma de los otros dos. terno es suplementario tanto del ángulo
Veamos otros planteamientos: externo adyacente como del ángulo suma
de los otros dos. Por consiguiente... (con-
¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo equilátero? cluya).
Por ser congruentes, miden lo mismo; por consiguiente su medida es: 180o : 3 = 60o. ¿Cuánto da la suma de las medidas de
Por cierto, si dividimos un triángulo equilátero por la “mitad” (trace la figura) nos encon- los ángulos exteriores de un triángulo?
tramos con dos triángulos rectángulos congruentes, cuyos ángulos miden 30o, 60o y 90o.
Además, las hipotenusas miden el doble del cateto menor. Haga una figura para ayudarse. Llame
<1, <2 y <3 a los ángulos interiores; y <4,
En un triángulo isósceles, el ángulo que no es congruente con ninguno de los otros dos <5 y <6 a los respectivos ángulos exteriores.
ángulos, mide 70o. ¿Cuánto miden los dos ángulos restantes? Observe que <4 = 180o - <1; <5 = 180o -
<2; <6 = 180o - <3. Por consiguiente: <4 +
La suma de los dos ángulos congruentes es de 180o - 70o = 110o. Por consiguiente, <5 + <6 = (180o - <1) + (180o - <2) + (180o
13

16. - <3) = 180o + 180o + 180o - (<1 + <2 + la región poligonal interna queda dividida por consiguiente, sus dos ángulos agudos
<3) = 180o + 180o + 180o - 180o = 180o + en triángulos. Los cinco ángulos internos miden 45o cada uno (¿por qué?). El ángulo
180o = 360o. iniciales, o han quedado intactos, o se han < ADC mide 135o (¿por qué?). El ∆ ADC es
descompuesto en ángulos menores. isósceles (¿por qué?); por consiguiente, sus
Entre los cinco segmentos de la figura, Lo que interesa observar es que se han dos ángulos agudos miden 22,5o cada uno
¿cuál es el mayor? formado 3 triángulos, y que la suma de los (¿por qué?). Finalmente, < CAB = < CAD +
D ángulos internos de estos tres triángulos < DAB = 22,5o + 45o = 67,5o.
59o equivale a la suma de los ángulos internos A
60 o C del polígono dado. Es decir, la suma de los
ángulos internos de un pentágono es de 3 x
180o = 540o.
Ahora bien, si el polígono tiene 6 lados,
63o o se podrán trazar 3 diagonales desde cual- B D C
57
A quier vértice, y se formarán 4 triángulos
B internos, de donde la suma de los ángulos Si los lados de un ángulo α son, uno a
Antes establecimos que, dentro de un internos de un hexágono es de 4 x 180o = uno, perpendiculares a los de un ángulo β,
mismo triángulo, a ángulos mayores se 720o. Ya se ve la regularidad: si el polígo- y si ambos ángulos son agudos, o ambos
oponen lados mayores; y viceversa. En el no tiene n lados, la suma de las medidas obtusos, entonces los dos ángulos son con-
∆ ADB, el ángulo mayor es <A; por con- de sus ángulos internos será de (n – 2) x gruentes [Proposición establecida, sin de-
siguiente, en este triángulo, el segmento 180o. mostración, en el Cuaderno anterior].
mayor es BD. Ahora bien, en el ∆ BCD,
el ángulo mayor es <B, ya que su valor es Las medidas de los ángulos internos de
180o - (59o + 60o) = 61o. Por consiguiente, un triángulo están en razón 2 : 3 : 4. ¿Cuán-
el lado mayor de este triángulo (y de los 5 to mide cada uno?
segmentos) es DC.
Tenemos que repartir los 180o en por-
¿Cuánto vale la suma de las medidas de ciones que queden entre sí en las razones
los ángulos internos de cualquier polígono dadas. Si, por ejemplo, los ángulos midieran
de n lados? 2o, 3o y 4o, su suma sería de 9o. Para llegar
a la suma de 180o debemos multiplicar por
20 (ya que 180o : 9o = 20) la medida de
cada ángulo. Y así llegamos a 40o, 60o y
80o.
En el triángulo rectángulo ABD de la fi- En la figura vemos, en un primer mo-
gura, los catetos AB y BD son congruentes. mento, el ángulo α (< ABC); y después, el
Además, AD es congruente con DC. ¿Cuán- ángulo β (< CMN), cuyos lados MC y MN
Dado un polígono cualquiera, como to mide < CAB? son perpendiculares, respectivamente, a AB
el de la figura, trazamos desde uno de los y BC. Ambos ángulos aparecen ahora inte-
vértices todas las diagonales posibles. Así, Vamos por partes. El ∆ ABD es isósceles; grados en la figura, en la que destacamos
14

17. dos triángulos: ∆ ABC y ∆ CMN. 15. En un ∆ ABC, el ángulo opuesto correspondientes congruentes y tres pares
por el vértice de <B mide 63o; y el ángulo de ángulos correspondientes congruentes.
Ambos triángulos son rectángulos y, exterior de <C mide 92o. ¿Cuánto mide el Acotamos que un par de lados correspon-
además, comparten el ángulo con vértice ángulo <A? dientes significa que un lado es de uno de
en C. Por consiguiente, los dos ángulos los triángulos, y el otro, del segundo trián-
restantes de cada triángulo deben ser con- 16. En el ∆ ABC de la figura, los lados gulo; y análogamente para los ángulos.
gruentes entre sí, ya que poseen el mismo AC y BC son congruentes. El ángulo interno
ángulo suplementario: 90o + <C. Por con- <C mide 50o. El segmento EC es paralelo a En la figura se muestran dos situaciones
siguiente, < β = < α. AB. ¿Cuánto mide el ángulo x? E de congruencia de triángulos; los vértices
que se corresponden en la congruencia se
B indican con una ’ en cada caso.
He aquí otros ejercicios propuestos: C C’
11. ¿Cuánto vale la suma de las medidas
de los ángulos <1, <2 y <3 de la figura? x
A B B’
1 C
2.5. La congruencia de triángulos A A’
3 J’ J
Hasta ahora habíamos comparado
2 segmentos (según su longitud) y ángulos
(según su amplitud). También es posible
comparar figuras planas entre sí. En ge-
12. ¿Cuánto vale la suma de las medi- neral, adoptamos dos criterios para hacer K’ L’ L K
das de los ángulos marcados en la figura? esta comparación: su forma y su tamaño, o Fig. 11: Dos pares de triángulos congruentes
magnitud de su región interior. La siguiente
tabla refleja los posibles resultados de esta De modo que dos triángulos son con-
comparación: gruentes si poseen seis pares de elementos
correspondientes congruentes: tres pares
Figuras Forma Tamaño de lados y tres de ángulos. Y para averi-
13. Las medidas de los ángulos exterio- Congruentes Igual Igual guar si dos triángulos dados lo son, habría
res de un triángulo están en razón 5 : 6 : que hacer esas seis verificaciones. La idea
7. ¿Cuánto miden los ángulos interiores del Semejantes Igual Diferente es economizar un poco esa indagación; es
triángulo? Equivalentes Diferente Igual decir, podemos preguntarnos cuál es el mí-
nimo de condiciones de congruencia que
14. ¿Cuál es el valor de x en la figura? De acuerdo con estos criterios, dos tenemos que exigir para asegurarnos la
triángulos son congruentes si poseen igual congruencia de los dos triángulos.
x forma y tamaño. Desde el punto de vista de
20 sus elementos, la congruencia de dos trián- Ese es todo un trabajo de exploración,
30o gulos significa que hay tres pares de lados que empieza por plantearse el mínimo de
15

18. condiciones posibles (un solo par de elementos correspondientes congruentes; luego, dos menos que 180o; y en el caso 3, la suma de
pares de elementos correspondientes congruentes, etc.) y preguntarse cada vez si esas los dos ángulos debe ser menor que 180o.
condiciones son suficientes para que se pueda afirmar que los dos triángulos son con- Tomando en cuenta estas restricciones, dé
gruentes. El resumen de esa exploración se presenta en la siguiente tabla: valores de segmentos y de ángulos para
cada uno de los tres casos y construya los
Pares de elementos Elementos correspon- ¿Es condición triángulos correspondientes.
congruentes dientes congruentes suficiente?
En algunos casos particulares de trián-
1 par de lados No gulos, las anteriores condiciones pueden
1 1 par de ángulos No reducirse todavía más. Por ejemplo, para
que sean congruentes:
2 pares de lados No
2 pares de ángulos No
2 (equivale a 3 pares) 1. Dos triángulos equiláteros, basta con
1 par de lados + 1 par No que tengan un par de lados correspondien-
de ángulos tes congruentes.
3 pares de lados Sí 2. Dos triángulos isósceles, basta con
2 pares de lados + el que lo sean las “bases” respectivas y los án-
par de ángulos comprendi- Sí gulos opuestos a las mismas.
dos entre ellos
2 pares de lados + un 3. Dos triángulos rectángulos, basta con
par de ángulos (no com- No que lo sean los dos pares de catetos corres-
prendidos entre ellos) pondientes; o un par de catetos correspon-
3 1 par de lados + los 2
Sí dientes y las hipotenusas.
pares de ángulos contiguos
a ellos
1 par de lados + 2 Siempre es útil conocer los criterios
pares de ángulos no conti- No para poder determinar si dos triángulos son
guos a ellos congruentes, más allá de la simple impre-
3 pares de ángulos No
sión visual. Pero, además, determinar la
Ya no hace falta seguir explorando con más pares de elementos correspondientes con- congruencia de dos triángulos es una vía
gruentes. La conclusión es que para que dos triángulos sean congruentes, basta con que para poder establecer la congruencia, en
los dos triángulos presenten alguna de estas tres condiciones mínimas: particular, de algunos elementos corres-
pondientes de cada triángulo.
1. Los tres pares de lados congruentes.
2. Dos pares de lados congruentes y los correspondientes ángulos comprendidos Por ejemplo, si quiero demostrar que
entre ellos. tal lado (o ángulo) de un triángulo es con-
3. Un par de lados congruentes y los dos pares correspondientes de ángulos que gruente con otro de otro triángulo, la vía
tienen como vértices los extremos de esos lados. puede ser indirecta: demuestro que am-
bos triángulos son congruentes, y después
Observe que éstas son también condiciones suficientes para poder construir un trián- deduzco que, en particular, lo son los dos
gulo, con ciertas condiciones. Por ejemplo, en el caso 1, el mayor de los segmentos tiene lados (o ángulos) que me interesan. Vamos
que ser menor que la suma de los otros dos segmentos; en el caso 2, el ángulo debe medir a utilizar esta vía para demostrar algunas
16

19. proposiciones que establecimos en el Cua- b) Todo punto de la bisectriz de un án- lados del ángulo < AOB.
derno anterior. gulo equidista de los lados del ángulo.
2.6. La semejanza de triángulos
a) Validar la construcción de la bisectriz
de un ángulo. Es decir, vamos a demostrar Dos triángulos son semejantes si po-
que la semirrecta construida en la actividad seen igual forma y diferente tamaño. Des-
14.1. del Cuaderno anterior es, efectiva- de el punto de vista de sus elementos, la
mente, la bisectriz del ángulo dado. semejanza de dos triángulos significa que
los tres pares de ángulos correspondientes
son congruentes y que los tres pares de la-
dos correspondientes son proporcionales.
Refiriéndonos a los dos triángulos semejan-
tes de la figura, expresamos (utilizamos el
símbolo ~ para indicar la semejanza de dos
triángulos):
C P
Fig. 13: Un punto de la bisectriz de un ángu-
lo equidista de los lados del ángulo
En la figura, OP es la bisectriz del ángu- A
Fig. 12: Validación de la lo < AOB, donde P es un punto cualquie- B N
construcción de la bisectriz ra de la bisectriz, y A y B los pies de las M
perpendiculares trazadas desde P a los dos Fig. 14: Triángulos semejantes
Recordemos que, por construcción, OM lados del ángulo. Queremos demostrar que
= ON y que OP es la mediatriz del segmen- P equidista de esos dos lados, es decir, que ∆ ABC ~ ∆ MNP equivale a: < A = < M,
to MN. Estamos designando con R el punto AP y BP son iguales. Para ello, considera-
AB BC AC
medio del segmento MN; es decir, RM = mos los triángulos ∆ AOP y ∆ BOP. Los án- < B = < N, < C = < P y = =
MN NP MP
RN. Consideremos los triángulos ∆ ORM y gulos < AOP y < BOP son congruentes, por
∆ ORN; vemos que hay dos pares de lados ser OP la bisectriz de < AOB. Los ángulos Obsérvese que si la razón de propor-
correspondientes congruentes: OM = ON, en A y en B son congruentes, por ser am- cionalidad entre los pares de lados corres-
RM = RN, y que OR es común en ambos bos rectos. Y también lo son los ángulos < pondientes es igual a 1, los dos triángulos
triángulos. Por consiguiente, ambos triángu- OPA y < OPB (¿por qué?). Además, ambos resultan ser congruentes. En realidad, la
los son congruentes por tener los tres pares triángulos comparten el lado OP. Por consi- congruencia de triángulos es un caso parti-
de lados congruentes. De aquí se sigue que guiente, ambos triángulos son congruentes cular de la semejanza de triángulos.
los pares de ángulos correspondientes lo por tener un par de lados congruentes y los
son también; y, en particular, < MOR = < dos pares correspondientes de ángulos que Al igual que en el caso de la congruen-
RON. Conclusión: la semirrecta OP divide tienen como vértices los extremos de esos cia, podemos establecer condiciones míni-
al ángulo < AOB en dos partes congruentes, lados. De aquí se sigue que también lo son mas para asegurar que dos triángulos sean
MOR y RON; es decir, OP es la bisectriz de los lados AP y BP. Es decir, P equidista de A semejantes. Una indagación similar a la
ese ángulo. y de B, lo que significa que equidista de los anterior nos lleva a concluir que basta con
17

20. que los dos triángulos presenten alguna de a) El teorema de Tales las son constantes en cualquier punto. Así,
estas tres condiciones: podemos llegar a la siguiente relación pro-
En la figura hemos trazado tres rectas
1. Dos pares de ángulos correspon- paralelas r, s y t que son cortadas por las porcional: AB = AM = DP
=
DE . Es decir,
dientes congruentes. secantes l y m. Estos cortes determinan los AC AN DQ DF
2. Un par de ángulos correspondientes segmentos AB, BC y AC en l y los segmen- AB DE . Utilizamos ahora una de las
=
congruentes, y proporcionales los dos pa- tos DE, EF y DF en m. El teorema conocido AC DF
res correspondientes de lados que forman como de Tales de Mileto (entre lo siglos VII propiedades de las proporciones para esta-
esos ángulos. y VI a. C.) asegura que en estas circunstan-
3. Los tres pares de lados proporcio- cias, los segmentos determinados sobre las blecer: AB DE . De donde lle-
=
nales. secantes son proporcionales; es decir: AC − AB DF − DE
AB = DE . gamos a: AB = DE . Este resultado puede
En algunos casos particulares de trián- BC EF BC EF
A D r
gulos, las anteriores condiciones pueden extenderse al caso de más rectas paralelas
reducirse todavía más. Por ejemplo, para y secantes.
B M P E s
que sean semejantes:
b) Segmento que une los puntos me-
1. Dos triángulos equiláteros, no dios de dos lados
C N Q F t
hace falta ninguna condición.
2. Dos triángulos isósceles, basta con l m En la figura se nos presenta un triángulo
que sean congruentes los ángulos opuestos cualquiera, ∆ ABC. Sobre los lados AC y AB
a las respectivas “bases”. Fig. 15: Teorema de Tales: AB = DE . hemos marcado sus puntos medios M y N,
3. Dos triángulos rectángulos, basta BC EF respectivamente. Formamos el segmento
con que sean proporcionales los dos pares Para llegar a demostrarlo hemos tra- MN. Vamos a establecer que este segmento
de catetos correspondientes; o un par de zado sendas perpendiculares a r, s y t por MN es paralelo al lado BC y que su longi-
catetos correspondientes y las hipotenusas; los puntos A y D, respectivamente. De esta tud es la mitad de la de BC. C
o que un par de ángulos agudos correspon- forma hemos construido los triángulos rec-
dientes sean congruentes. tángulos ∆ ABM, ∆ ACN, ∆ DEP y ∆ DFQ.
Si comparamos los dos primeros, observa- M
Siempre es útil conocer los criterios mos que los ángulos < ABM y < ACN son
para poder determinar si dos triángulos congruentes por correspondientes; y que el
son semejantes, más allá de la simple im- ángulo de vértice en A es común para am-
presión visual. Pero, además, determinar bos triángulos. Por consiguiente, ∆ ABM ~ A N B
la semejanza de dos triángulos es una vía ∆ ACN. De donde se sigue: AB = AM . Fig. 16: Segmento que une los puntos medios
para poder establecer la congruencia de AC AN de dos lados de un triángulo
sus ángulos correspondientes, o la pro- Mediante unas consideraciones aná-
porcionalidad de los segmentos corres- logas para ∆ DEP y ∆ DFQ, llegamos a: Para ello observamos los dos triángulos
pondientes que forman sus lados. Vamos DE DP ∆ ABC y ∆ ANM. Por ser M y N los pun-
=
a utilizar esta vía para demostrar algunas DF DQ . Ahora bien, AM = DP y AN tos medios de sus lados podemos estable-
proposiciones. = DQ, ya que las distancias entre parale- cer que AM = 1 y que AN = 1 ; es decir:
AC 2 AB 2
18

21. AM AN
= E ficio, respectivamente.
AC AB . Además, el ángulo de vértice A es común y es el ángulo comprendido entre los
dos pares de lados proporcionales. Por consiguiente y de acuerdo a uno de los criterios Como se ve, estamos en
establecidos con anterioridad, llegamos a la semejanza: ∆ ABC ~ ∆ ANM. una situación de seme-
C
janza de triángulos (¿por
Esa semejanza implica la congruencia de los ángulos correspondientes; es decir, < qué?) y de proporciona-
AMN = < ACB y < ANM = < ABC. De este par de congruencias se deriva que MN es A B D lidad de lados. De don-
paralelo a CB, según se estableció en el Cuaderno anterior. Por otro lado, la razón de pro- de se sigue: DE = AD .
porcionalidad entre los pares de lados correspondientes es siempre la misma, de donde se Y despejando, DE = CBxAD . CB AB
deduce que MN = 1 ; es decir, MN mide la mitad de la longitud de CB. AB
CB 2 e) Un pequeño nido de triángulos rec-
c) Cómo dividir un segmento en n partes congruentes tángulos semejantes
Por ejemplo, si queremos dividir un segmento dado AB en 7 partes congruentes, cons- Es el que se forma cuando en un trián-
truimos un segundo segmento de cualquier longitud, y sobre él y a partir de uno de sus gulo rectángulo ∆ ABC trazamos la altura
extremos marcamos 7 puntos equidistantes (ver actividad 8.5. en el Cuaderno anterior), a CH correspondiente a la hipotenusa AB. Si
una distancia arbitraria pero constante, hasta llegar al último punto que denominaremos observamos la figura, aparecen dos triángu-
C. los rectángulos más: ∆ AHC y ∆ CHB. ¿Qué
relación existe entre los tres triángulos rec-
tángulos? C
b a
h
Fig. 17: División de un segmento en n partes m n
Ahora trasladamos este segundo segmento hacia AB, de modo que los puntos iniciales A H B
coincidan en A. Se traza el segmento BC y, a continuación, las paralelas a BC desde cada c
uno de los seis puntos marcados sobre el segmento AC. Los puntos en que estas paralelas Entre ∆ ABC y ∆ AHC observamos que
cortan a AB, junto con B, son los puntos de división del segmento AB en 7 partes con- ambos poseen un ángulo recto y que com-
gruentes. Como se aprecia fácilmente, este procedimiento puede extenderse a cualquier parten <A; por consiguiente, al tener los
otro número de partes congruentes en que quiera dividirse un segmento. tres pares de ángulos congruentes, se sigue:
∆ ABC ~ ∆ AHC. Lo mismo ocurre entre
d) Cómo averiguar la altura de un objeto desconocido... con la ayuda de su sombra ∆ ABC y ∆ CHB: ambos poseen un ángulo
recto y comparten <B. Luego ∆ ABC ~ ∆
Si se desea conocer la altura de un objeto desconocido (un edificio, un monumento, CHB. En resumen, los tres triángulos rec-
un árbol, un poste...) podemos ayudarnos con otro objeto conocido (uno mismo), con tángulos son semejantes. En breve utilizare-
la sombra que produce el sol, y con la semejanza de triángulos. Por ejemplo, si deseo mos este resultado.
saber la altura de un edificio y conozco mi estatura, mido la sombra que proyecto y la a) Trace un segmento cualquiera y ob-
que arroja el edificio desde el pie del mismo. Con estos datos puedo componer una figura tenga otro cuya longitud sea 5/3 de la del
muy sencilla: segmento dado. Utilice regla y compás para
DE representa el edificio, CB es mi representación; y AB y AD, mi sombra y la del edi- ello.
19

22. AC CB AB
b) Destaque en su entorno algún objeto cuya cima sea inaccesible y calcule su altura. ∆ ABC ~ ∆ AHC => = = ; es
AH CH AC
Hemos visto que para demostrar la congruencia de pares de segmentos o de ángulos, decir: b = a = c
una vía muy útil es la de considerar esos elementos como partes de sendos triángulos cuya m h b
congruencia o semejanza resulte posible demostrar. Podemos detallar este proceso así: ∆ ABC ~ ∆ CHB => AC = CB = AB ; es
CH HB CB
Si quiero demostrar Busco demostrar decir b = a = c :
h n a
La congruencia de dos ángulos La congruencia o la semejanza de dos De la primera serie de proporciones
triángulos en los que se hallen los dos án-
gulos
destacamos: b = c de donde, aplicando la
La congruencia de dos segmentos La congruencia de dos triángulos en los m b
que se hallen los dos segmentos propiedad fundamental de una proporción,
La proporcionalidad de dos segmentos La semejanza de dos triángulos en los deducimos b2 = c x m. Análogamente, de la
que se hallen los dos segmentos
segunda serie tomamos a = c y llegamos a
n a
a2 = c x n. Si sumamos miembro a miembro
2.7. Algunas relaciones entre las medidas de lados y segmentos de un triángulo estas dos igualdades llegamos a otra nueva
igualdad: b2 + a2 = c x m + c x n. Pero en
a) El teorema de Pitágoras esta última expresión podemos aplicar la
propiedad distributiva del producto respec-
Este teorema, cuyo enunciado y aplicación práctica ya era conocida en las culturas to a la suma: c x m + c x n = c x (m + n) = c
babilónica y egipcia, y cuya demostración se atribuye a Pitágoras (s. VI a. C.), afirma que x c = c2, ya que m + n = c. De donde:
en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la b2 + a2 = c2.
suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos.
Conocidos los valores de a y b, c se
Podemos verificar la certeza del enuncia-
do construyendo varios triángulos rectángulos, obtiene así: c = a2 + b2
midiendo sus lados y efectuando las operacio-
nes y la comparación indicadas. Pero si que- Conocidos los valores de a (ó b) y c, b ó
remos adquirir un grado de certeza absoluto, a se obtienen, respectivamente, así:
necesitamos apoyarnos en una demostración. 2 2
Para construirla, nos basamos en la misma b= c −a
2 2
;a= c −b
figura que nos muestra el nido de triángulos Si el triángulo rectángulo es, además,
rectángulos al que aludíamos antes:
Como veíamos, los tres triángulos son se- isósceles, la relación se reduce a: c2 = 2 x
mejantes. Estas son las relaciones que se de-
ducen entre los lados: a2; de donde c = 2 xa 2
20

23. bxnxaxm
Para obtener los valores de las raíces = m x n. Es decir, h2 = m x n: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de
cuadradas, utilice la calculadora. axb
la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa, es igual al producto de las
Las ternas de números naturales que ve- longitudes de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
rifican la relación establecida en el teorema
de Pitágoras reciben el nombre de ternas 3. Y si ahora tomamos cualquiera de estas dos proporciones: a = c ó b = c , al
pitagóricas; de ellas hablamos en el Cua- h b h a
derno 6. despejar h se obtiene: h = axb : En un triángulo rectángulo, la longitud de la altura co-
c
b) Otros resultados de interés rrespondiente a la hipotenusa, es igual al producto de las longitudes de los dos catetos,
dividido entre la longitud de la hipotenusa.
De las dos series de proporciones
¿Para qué presentamos toda esta abundancia de relaciones? En primer lugar, para
b a c b a c
= = y = = se deducen otros darnos cuenta de su riqueza, de cómo pueden descubrirse tantas relaciones entre los
m h b h n a
elementos de una figura tan particular como un triángulo rectángulo. Y, en segundo lugar,
resultados de interés: para facilitarnos la obtención del valor de elementos desconocidos a partir de unos pocos
conocidos, por la vía de utilizar las fórmulas o relaciones anteriores.
1. Como acabamos de ver, b2 = c x
m y a2 = c x n. Si hacemos una lectura 17. Halle la medida de un cateto de un triángulo rectángulo, si el otro cateto mide 9
conjunta podemos establecer que en un cm y la hipotenusa, 41 cm.
triángulo rectángulo, el cuadrado de la 18. Halle la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rec-
longitud de un cateto es igual a la lon- tángulo si los catetos miden 6 cm y 8 cm.
gitud de la hipotenusa por la longitud 19. Halle la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo y de la altura corres-
de la proyección de ese cateto sobre pondiente a la hipotenusa, si ésta mide 20 cm y las proyecciones de los catetos sobre ella,
la hipotenusa. Por proyección de un ca- 7,2 cm y 12,8 cm.
teto sobre la hipotenusa entendemos el
segmento que se forma sobre ésta, entre Pero no podemos limitarnos al establecimiento de esas dos conclusiones. También
los pies de las perpendiculares trazadas podemos leer las relaciones “al revés”, es decir, caracterizar a un triángulo rectángulo
desde los extremos de los catetos (m y por esas relaciones de igualdad.
n en cada caso).
Pero más aún, si llamamos:
2. Si tomamos las proporciones
c al lado mayor de un triángulo,
b a b a
= y = , deducimos, respectiva- a y b a los otros dos lados,
h n m h
h a la altura correspondiente al lado c,
mente: h = bxn y h = axm . Al multi- n y m a las proyecciones de los lados a y b sobre c, respectivamente,
a b también podemos caracterizar a cualquier triángulo tomando en cuenta las relacio-
plicar miembro a miembro ambas igual- nes descritas en la siguiente tabla:
bxn
dades obtenemos: h x h = x axm =
a b
21

24. ∆ acutángulo ∆ rectángulo ∆ obtusángulo relaciones posibles. Lo importante es, ade-
más, percibir que podemos caracterizar la
c2 < a2 + b2 c2 = a2 + b2 c2 > a2 + b2 naturaleza de los ángulos de un triángulo
a partir del conocimiento de las medidas
b2 > c x m y a2 > c x n b2 = c x m y a2 = c x n b2 < c x m y a2 < c x n
de sus lados. Estamos a las puertas de un
capítulo de la matemática que se conoce
h2 > m x n h2 = m x n h2 < m x n como trigonometría (trigonon [triángulo]
axb axb axb + metron [medida] = medidas de los ele-
h> h= h< mentos de un triángulo), que no vamos a
c c c franquear ahora.
Construya un triángulo de cada uno de los tres tipos indicados, haga las mediciones Por otro lado, así como antes veíamos
señaladas y verifique las relaciones anteriores en cada caso. que para determinar la congruencia de pa-
res de segmentos y de ángulos resultaba
De acuerdo con los siguientes datos, determine en cada caso la naturaleza del triángu- útil considerarlos como partes de sendos
lo (escríbalo en la última casilla). Si no es posible construir un triángulo que se ajuste a los triángulos congruentes o semejantes, ahora
datos, indique que no existe. también podemos observar que para deter-
minar la longitud de un segmento resulta
Casos a b c h m n ∆ útil considerarlo como una parte de un
/ Datos triángulo rectángulo (que quizá haya que
construir), con el fin de servirnos de todas
a) 7 8 8 las relaciones de igualdad que se dan en él.
Veamos un caso práctico.
b) 3,2 1,8 6,2
Dado el ∆ ABC (rectángulo) de la figura,
c) 12 5 13 en el que CA = 8 cm y AB = 6 cm, hallar la
longitud de la mediana que va desde A al
d) 5,4 10 3 punto medio M del lado BC.
B
e) 4 3 9
f) 7,3 12 4,5 M N
g) 5 6 9 7 2
20. En un triángulo cuyos lados miden 3, 7 y 9 cm, ¿cuál es el valor que no puede C A
exceder la altura correspondiente al lado mayor? Como puede observarse, AM no forma
parte de ningún triángulo rectángulo, ya
Si nos damos cuenta, las relaciones que se verifican en un triángulo rectángulo son que la mediana no es perpendicular a BC.
sólo un caso particular (el de la igualdad entre los términos relacionados) entre todas las Pero si construimos el segmento MN, sien-
22

25. do N el punto medio de AB, la situación Si igualamos las dos expresiones equi- considerar un cuadrado cuyo lado mide 1
cambia: aparece el ∆ AMN. valentes a AB2 llegamos a: AC x AD = 1⁄4 unidad (u) de longitud (puede ser 1 cm, 1
(AC2); y de aquí a: AD = 1⁄4 (AC). Pero si m, etc.). Se dice que este cuadrado unitario
¿Cómo es este triángulo? MN es para- AD es la cuarta parte de la hipotenusa AC, tiene un área de 1 unidad cuadrada (1 u2).
lelo a CA y mide la mitad de CA, porque esto significa que DC representa los 3⁄4 Esta es la unidad para medir las áreas de
une los puntos medios de CB y AB. Por ser de dicha hipotenusa, de donde se deduce cualquier superficie plana y, en particular,
paralelo a CA, es perpendicular a AB. Por que AC es la tercera parte de DC; es decir: de cualquier polígono. Medir el área de un
consiguiente, el ∆ AMN es rectángulo. Ade- AD 1 . polígono consiste en averiguar cuántas ve-
=
más, MN mide 4 cm y NA, 3 cm. AM es DC 3 ces su superficie contiene a un cuadrado
la hipotenusa, cuyo valor se obtiene por la unitario, en las unidades dadas.
relación pitagórica: AM = 4 2 + 3 2 = 25 = 2.8. Perímetro y área de un triángulo
5 cm. Ahora, ¿puede demostrar que ∆ AMB Las figuras cuya área resulta más sencilla
y ∆ AMC son isósceles? ¿Podemos genera- a) El perímetro de un triángulo se de- de medir son los rectángulos (cuadriláteros
lizar este último resultado a cualquier trián- fine como la suma de las medidas de los con los lados opuestos paralelos y ángulos
gulo rectángulo? tres lados. internos rectos). Para calcular, por ejemplo,
el área de un rectángulo cuyos lados miden
Sea un triángulo rectángulo, uno de cu- 21. Halle el perímetro de un triángulo 4 y 3 cm, nos imaginamos la figura “fraccio-
yos ángulos agudos mide 30o. Demostrar rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm. nada” en 12 cuadrados unitarios de 1 cm de
que las proyecciones de los catetos sobre la 22. En un triángulo obtusángulo, los la- lado y 1 cm2 de área:
hipotenusa están en razón 1 : 3. dos menores miden 5 y 10 cm. ¿Puede su
perímetro ser menor que 26 cm?
B
23. En un triángulo acutángulo, los la-
dos menores miden 6 y 7 cm. ¿Puede su
perímetro ser mayor que 23 cm?
24. Obtenga el perímetro externo de
esta figura, formada por 12 triángulos equi-
láteros cuyos lados miden 1 cm, adosados El área del rectángulo es de 12 cm2. E
unos a otros como se muestra. ¿Cuál será inferimos que si las dimensiones de sus la-
A D C el perímetro externo de una figura similar, dos son a y b, su área vendrá dada por A =
En la figura aparece ∆ ABC, que es formada por 48 triángulos equiláteros del a x b. Si ahora consideramos un paralelo-
rectángulo; < ACB mide 30o; y BD es per- mismo tamaño? gramo (cuadrilátero con los lados opuestos
pendicular a AC. Se trata de demostrar que paralelos y ángulos internos no necesaria-
mente rectos) como el de la primera figura,
AD 1
= . Observamos que el ∆ ABC pue- observamos que siempre es posible “pasar”
DC 3 a un rectángulo como el de la segunda fi-
de ser considerado como la “mitad” de un b) El área de un triángulo se define gura, cuya área es la misma que la de la
triángulo equilátero, de donde deducimos como la medida de la superficie de su re- primera.
que AB = ½ (AC). Además, AB2 = AC x AD gión interior. Para llegar a una expresión
(¿por qué?). Pero de la igualdad AB = ½ que relacione esta medida con la de los
(AC) obtenemos también: AB2 = ¼ (AC2). elementos de un triángulo, empezamos por h
b
23

26. El área del paralelogramo viene dada, En algunas oportunidades podemos no un área menor que la de otro triángulo, el
pues, por A = b x h, que describe el pro- conocer la medida de la altura de un trián- perímetro del primero es menor que el del
ducto de su base por su altura. Observe- gulo. Pero, a veces, es posible deducirla a segundo?
mos también que si se traza cualquiera de partir de las medidas de otros lados, utili- 27. De todos los triángulos que tienen
las dos diagonales de un paralelogramo, su zando la relación pitagórica. un perímetro de 30 cm, ¿cuál es el que tie-
región interior queda dividida en dos trián- ne la mayor área? ¿Se puede generalizar ese
gulos congruentes (los tres pares de lados Tenemos dos triángulos isósceles, de resultado para cualquier otro perímetro?
correspondientes son congruentes). medidas 5, 5 y 6 cm, y 5, 5 y 8 cm, respec- 28. De todos los triángulos que tienen
tivamente. ¿Cuál de los dos posee mayor un área dada, ¿cuál es el que tiene siempre
Ahora bien, todo triángulo –sea acu- área? el menor perímetro?
tángulo, rectángulo u obtusángulo- puede
considerarse derivado de la bisección de un Haga las figuras correspondientes. En Un triángulo rectángulo tiene un perí-
paralelogramo en la forma descrita (com- el primer triángulo, la base mide 6 cm. Al metro de 14 cm. Si la hipotenusa mide 6
pruébelo). Por consiguiente, el área de un trazar la altura se forma un triángulo rectán- cm, ¿cuánto mide el área del triángulo?
triángulo viene expresada por la mitad del gulo, cuya hipotenusa mide 5 cm, y el otro
producto de la longitud de un lado, por la cateto, 3 cm (mitad de la base); la altura Si intentamos dibujar el triángulo nos
longitud de la altura correspondiente a ese encontramos con la dificultad de no saber
lado. Abreviadamente, se dice que viene mide: 25 − 9 = 16 = 4 cm. Por consi- la medida de los dos catetos. Si las cono-
expresada por la mitad del producto de la guiente, A = ½ (6 cm x 4 cm) = 12 cm2. ciéramos, el problema estaría resuelto. Sin
longitud de su base por la longitud de su embargo, es bueno observar que, en reali-
altura. Análogamente, en el segundo triángu- dad, no necesitamos conocer las medidas
lo, la base mide 8 cm. Al trazar la altura se exactas de ambos, sino su producto, ya que
Y simbólicamente: A = 1⁄2 (b x h) ó bxh forma un triángulo rectángulo, cuya hipote- A = 1⁄2 (a x b).
2 nusa mide 5 cm, y el otro cateto, 4 cm (mi-
De los datos se deducen dos relaciones:
En un triángulo rectángulo de catetos tad de la base); la altura mide: 25 − 16 = a + b = 8 cm [1]. Y por otro lado, a2 + b2
a y b, de hipotenusa c, y de altura h (co- = 62 = 36 [2]. De [1] deducimos: (a + b)2
rrespondiente a la hipotenusa), el área tam- 9 = 3 cm. Por consiguiente, A = ½ (8 cm = 64. Pero (a + b)2 = a2 + b2 + 2 x a x b
bién puede obtenerse dividiendo por 2 el x 3 cm) = 12 cm2. Ambos triángulos tienen (como vimos en el Cuaderno 6), con lo que
producto de las longitudes de sus catetos. la misma área, a pesar de no tener el mismo llegamos a: a2 + b2 + 2 x a x b = 64. Si
perímetro. utilizamos el resultado [2], la relación ante-
Hay, pues, dos vías para calcular el área: rior nos queda como: 36 + 2 x a x b = 64.
c) Relaciones entre perímetros y áreas Si restamos 36 en ambos miembros de esta
axb y hxc . Al igualar ambas expresiones de triángulos. igualdad, se deduce que 2 x a x b = 28. Y
2 2 que a x b = 14. Y, finalmente, ½ (a x b) = 7.
tenemos: a x b = h x c. De aquí se sigue un 25. ¿Es cierto que si un triángulo tiene El área del triángulo es 7 cm2.
resultado ya conocido: h = axb . Esta es un perímetro mayor que el de otro triángu-
c lo, el área del primero es mayor que la del Existe una fórmula para calcular el área
una segunda vía para demostrar la misma segundo? de un triángulo a partir del conocimiento
relación. 26. ¿Es cierto que si un triángulo tiene de las medidas de sus lados. Esta fórmula se
24

27. atribuye a Herón de Alejandría (matemático e ingeniero griego del s. I d. C.) y establece En la figura aparecen las dos alturas,
que si los lados miden a, b y c unidades, y llamamos s al semiperímetro [s = ½ (a + b + c)], MH y CI. Ambas forman parte, respectiva-
entonces el área viene dada por la expresión (en unidades cuadradas): mente, de los ∆ HNM y ∆ IBC. Estos dos
triángulos rectángulos son semejantes (¿por
MN 1
=
A= sx ( s − a ) x ( s − b ) x ( s − c ) qué?) y como la razón CB 2 , entonces
Así, por ejemplo, si los lados de un triángulo miden 5, 7 y 8 cm, respectivamente, su MH 1 . Es decir, MH = ½ (CI).
=
semiperímetro es: s =½ (5 + 7 + 8) = ½ x 20 = 10 cm; y su área viene dada por la raíz CI 2
cuadrada de 10 x 5 x 3 x 2, es decir: A = 300 cm2. El área de ∆ ANM es ½ (AN x MH). Y el
área de ∆ ABC es ½ (AB x CI). Ahora bien,
AN = ½ (AB) y MH = ½ (CI). De donde, el
d) Área de cualquier polígono área de ∆ ANM es ½ (AN x MH) = ½ x ½
(AB) x ½ (CI) = ⅛ (AB x CI). Ahora calcula-
Para obtener el área de cualquier polígono, una idea útil es la de considerarlo frac- mos la razón entre las áreas de ambos trián-
cionado internamente en triángulos, cuya unión cubra exactamente la región interior del gulos: área de ∆ ANM / área de ∆ ABC = [⅛
polígono. (AB x CI)] / [1⁄2 (AB x CI)] = ⅛ : ½ = ⅛ x 2
= ¼. Pero ¼ = (½) 2. Es decir, la razón entre
Calcular el área del cuadrilátero de D las áreas de los dos triángulos semejantes
la figura, en el que: C es igual al cuadrado de la razón que existe
entre sus lados correspondientes.
AD = 12 cm, AB = 13 cm, BC = 3 cm,
CD = 4 cm; y BC es perpendicular a CD. A B En términos generales podemos decir
que si la razón entre los lados correspon-
Podemos fraccionar la región interior mediante el trazado de la diagonal BD. Como el dientes de dos triángulos semejantes es r,
∆ DBC es rectángulo, la hipotenusa DB mide 5 cm, y su área es A = ½ (a x b) = ½ (3 cm x la razón entre las áreas de ambos triángu-
4 cm) = 6 cm2. Por otro lado, el ∆ DBA también es rectángulo, ya que 122+52=132; su área los es r2 ; y viceversa. Es fácil establecer este
es A = ½ (a x b) = ½ (12 cm x 5 cm) = 30 cm2. El área del cuadrilátero es 6 cm2 + 30 cm2 resultado general siguiendo una vía similar
= 36 cm2. Trate de obtener este resultado aplicando la fórmula de Herón de Alejandría a a la desarrollada en el problema anterior.
ambos triángulos y sumando posteriormente sus áreas respectivas.
29. Tenemos dos triángulos equiláteros
2.9. Semejanza de triángulos: la razón entre las áreas cuyos lados miden, respectivamente, 6 y 8
cm. ¿Cuáles son las razones entre: a) sus
En el ∆ ABC de la figura tenemos como da- lados; b) entre sus medianas; y c) entre sus
tos: AB = 12, BC = 6, AC = 9. M y N son los C áreas?
puntos medios de AC y AB, respectivamente.
Como sabemos, ∆ AMN ~ ∆ ABC y la M 30. Las áreas de dos triángulos seme-
razón de proporcionalidad entre los lados co- jantes son 16 y 36 cm2. ¿Cuál es la razón
rrespondientes es ½. Obtener la razón entre A B entre los perímetros de ambos triángulos?
las áreas de ambos triángulos. H N I
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