4. 372.7
And.
Geometría: conceptos y construcciones
elementales
Federación Internacional Fe y Alegría,
2006
32 p.; 21,5 x 19 cm.
ISBN: 980-6418-86-7
Matemáticas, Geometría
2

5. “Para aprender permanentemente y
ser capaz de investigar las situacio-
nes y problemas, el educador debe
asumirse como investigador en su
acción y desde su acción. Esta tarea
implica un cambio profundo para el
educador que debe asumirse tam-
bién como educando y aprendiz,
que construye propuestas novedo-
sas, duda y aprende de ellas.”
Documento del XXVII Congreso
Internacional
Cochabamba (Bolivia)
3

6. EQUIPO EDITORIAL
Beatriz Borjas y Carlos Guédez
Dimensión: Desarrollo del pensamiento
matemático
Cuaderno N° 12
Geometría: Conceptos y
construcciones
Autor: Martín Andonegui Zabala
Este libro se ha elaborado con el
propósito de apoyar la práctica
educativa de los cientos de educadores
de Fe y Alegría. Su publicación se
realizó en el marco del Programa
Internacional de Formación de
Educadores Populares desarrollado por
la Federación Internacional Fe y Alegría
desde el año 2001.
Diseño y Diagramación: Moira Olivar
Ilustraciones: Corina Álvarez
Concepto gráfico: Juan Bravo
Corrección de textos: Carlos Guédez
y Martín Andonegui
Edita y distribuye: Federación
Internacional de Fe y Alegría. Esquina
de Luneta. Edif. Centro Valores, piso 7
Altagracia, Caracas 1010-A, Venezuela.
Teléfonos: (58) (212)5631776 / 5632048
/ 5647423.
Fax: (58) (212) 5645096
www.feyalegria.org
© Federación Internacional Fe y
Alegría
Depósito legal: lf 603 2006 510 3664
Caracas, abril 2006
Publicación realizada con el apoyo de:
Centro Magis - Instituto internacional
para la educación superior en
América Latina y el Caribe (IESALC) -
Corporación Andina de Fomento (CAF)
4

7. introducción
A modo de introducción...,
nuestro recordatorio
L a sugerencia que proponíamos en
el Cuaderno No 1 y que siempre
presidirá los demás Cuadernos: Vamos a
nuestro trabajo docente. De esta forma, in-
tegrar nuestra práctica docente en nuestro
estudio.
estudiar matemática, pero no lo vamos a
hacer como si fuéramos simplemente unos • Como complemento a lo anterior, cons-
alumnos que posteriormente van a ser eva- truir el conocer de cada tópico matemático
luados, y ya. No. Nosotros somos docentes pensando en cómo lo podemos llevar al
–docentes de matemática en su momento- aula. Para ello, tomar conciencia del pro-
y este rasgo debe caracterizar la forma de ceso que seguimos para su construcción,
construir nuestro pensamiento matemático. paso a paso, así como de los elementos
¿Qué significa esto? –cognitivos, actitudinales, emocionales...-
que se presenten en dicho proceso. Porque
• La presencia constante de la meta última a partir de esta experiencia reflexiva como
de nuestro estudio: alcanzar unos niveles estudiantes, podremos entender y evaluar
de conocimiento tecnológico y reflexivo, lo mejor el desempeño de nuestros alumnos
cual debe abrir ese estudio hacia la búsque- –a su nivel- ante los mismos temas.
da de aplicaciones de lo aprendido, hacia
el análisis de los sistemas que dan forma • En definitiva, entender que la matemática
a nuestra vida y utilizan ese conocimiento es la base de su didáctica: la forma en que
matemático, y hacia criterios sociales y éti- se construye el conocimiento matemático
cos para juzgarlos. es una fuente imprescindible a la hora de
planificar y desarrollar su enseñanza.
• Construir el conocer de cada tópico ma-
temático pensando en cómo lo enseñamos Y ahora, vamos al tema de este Cuaderno,
en el aula, además de reflexionar acerca de la geometría.
cómo nuestro conocer limita y condiciona
5

8. 1. ¿Qué es la Geometría? Para acercarnos a lo que es la geome- eventos
tría, vamos a remontarnos unas cuantas • La forma de los objetos y de sus
I ndudablemente, tenemos que empe-
zar por hacernos esa pregunta. De
entrada, todos tenemos cierta idea de las
preguntas más atrás: ¿Dónde encontramos
esos objetos “geométricos”? ¿Quién y des-
de cuándo les puso esos nombres con los
representaciones
• El cambio presente en los fenó-
menos y en las cosas
cosas de las que trata la geometría: del que ahora se presentan? En particular, ¿qué
espacio y del plano; de puntos, rectas, significa la palabra “geometría”? ¿Por qué y Y en este panorama, ¿por dónde apare-
segmentos, ángulos; de figuras tales como para qué se estudia? cen los objetos geométricos que mencioná-
los triángulos, los cuadrados, las circun- bamos antes? Fundamentalmente, a partir
ferencias..., con todos sus elementos; de Estas interrogantes nos regresan a la que de la percepción de la dimensión y de la
cuerpos tales como la esfera, el cono, las nos formulamos en el Cuaderno 2 (El siste- forma de los objetos y de sus representa-
pirámides...; de relaciones tales como el ma numérico decimal): ¿Por qué la mate- ciones (Senechal, 1998). La naturaleza es
paralelismo y la perpendicularidad de rec- mática? Recordamos lo que allí escribíamos la primera surtidora de tales objetos. No
tas y segmentos, la simetría y la semejanza (pp. 6 s.): debe costarnos mucho percibirlo, ni darnos
de figuras; de la medida de la longitud de cuenta de las regularidades que se presen-
un segmento, de la amplitud de un ángulo, ¿Y de dónde salió la matemática? tan en muchos seres y elementos naturales,
del área de un polígono, del volumen de ¿Qué elementos, qué “cosas” del entor- regularidades que sugieren determinadas
un sólido; etc. Por lo que se ve, un amplio no y del convivir diario pudieron aglu- formas en una, dos o tres dimensiones, así
campo de entornos, de objetos, relaciones tinarse para constituir esta disciplina como ciertas propiedades y relaciones, ta-
y propiedades. Todos ellos –y otros más- se singular y universal, en la que hoy día les como semejanzas, paralelismos y per-
estudian en esta área de la matemática que podemos descubrir campos particulares, pendicularidades, simetrías, etc.
denominamos geometría. tales como la aritmética, la geometría, el
álgebra, el análisis, la probabilidad y la Por ejemplo, es fácil percibir que hay
Pudiéramos, pues, limitarnos a decir estadística, y otras más sutiles? objetos “redondos”: ciertos frutos y semi-
que la geometría es la rama de la matemá- llas, algunas piedras, etc. Esos objetos, que
tica que estudia todos esos objetos, con Lynn A. Steen (1998) viene a respon- pueden estar hechos de distintas sustancias
sus elementos constitutivos, relaciones y der a la pregunta anterior, justamente en y tener distintos tamaños, pesos, olores y
propiedades. Pero, ¿es eso todo lo que se términos referidos a la experiencia de las colores comparten, sin embargo, una “regu-
puede decir de lo que es la geometría? Más personas ante la naturaleza y la propia laridad”: la de ser redondos. Pues bien, esa
aún, ¿es eso lo primero que se puede decir convivencia humana. ¿Cuáles son, pues, regularidad, abierta a cualquier sustancia,
acerca de lo que es? las “cosas” que se aglutinaron para con- tamaño, peso, olor y color, puede destacar-
formar, con el paso del tiempo y con el se en sí misma y convertirse en objeto de
esfuerzo perceptivo y reflexivo humano, atención, de modo que pueda ser recono-
las matemáticas? He aquí su respuesta: cida en cualquier objeto nuevo que tenga
• Las dimensiones de los objetos y forma redonda (posteriormente, alguien lla-
de sus representaciones mará esfera a esa forma redonda...). Lo mis-
• La cantidad presente en las co- mo sucede con otras formas: cilindros (los
sas, en los fenómenos y en sus propieda- troncos de los árboles, los tallos de bambú,
des la parte central de ciertos huesos...), conos
• La incertidumbre de algunos (algunos volcanes, ciertos árboles, los api-
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9. lamientos de tierra que construyen las hor- propios de nuestra cultura que representan tenían antes de las inundaciones. Este era
migas...), etc. objetos geométricos en una, dos o tres di- un problema de formas y medidas, es decir,
mensiones, así como relaciones geométri- geométrico.
De igual forma puede hablarse de cier- cas, tales como paralelismo, perpendicula-
tas relaciones entre líneas: paralelismo (en- ridad, semejanza de figuras, simetrías, etc. Pero, ¿cuál era el trasfondo de todo
tre los troncos rectos de árboles cercanos, esto? El pago de los impuestos que los pro-
entre las dos orillas de un río...), perpendi- Michel Serres, en su libro “Los oríge- pietarios de las tierras debían efectuar, pago
cularidad (entre el tronco de un árbol o el nes de la geometría” (1996), habla de los proporcional al tamaño de sus campos.
tallo de una planta y el suelo...). O de rela- orígenes naturalistas y culturalistas de la Aquí entran en juego el poder, las leyes, el
ciones dentro de una misma figura, como geometría. Para referirse a los primeros, Derecho. Este sería el origen culturalista de
la simetría (en algunas hojas, flores y frutos; se ubica en las crecidas periódicas del río la geometría.
en la forma externa de los peces, pájaros, Nilo en Egipto, que inundaban las tierras
mariposas...). O de relaciones entre cuerpos de labranza, reduciendo sus dimensiones. De este modo y según Serres, la geome-
o figuras, como la semejanza (entre obje- Con el descenso de las aguas se presenta- tría no reproduce la tierra ni el cielo, sino
tos grandes y pequeños de la misma espe- ba el problema de restituir a los propieta- que pone en comunicación la naturaleza y
cie...). rios sus campos, en las dimensiones que la cultura.
Pero la naturaleza no es la única fuente
de estos objetos geométricos. También lo es
la cultura de todos los pueblos. Las formas
geométricas están presentes en muchos de
2. ¿Cómo son los objetos geométricos?
los artefactos que se presentan en todas las
culturas, desde sus comienzos y a lo largo
de su evolución histórica hasta nuestros
días: Artefactos como los edificios, vivien-
P ero la percepción de esas regularidades llamadas formas o
relaciones geométricas, así como su manipulación y repre-
sentación, no constituyen, sin más, la geometría. El filósofo Edmund
das, vehículos de transporte, puentes y vías Husserl, en su obra “El origen de la geometría” (Husserl, 2000), de-
de comunicación; o como los utensilios do- nomina como “mundo pregeométrico” este mundo de cosas corpó-
mésticos, los utilizados para la caza y pes- reas (bien sean objetos naturales o artefactos culturales), dotadas de
ca, y para los diversos oficios productivos; formas espaciales que se manifiestan mediante cualidades materiales
o como la ropa y tantos otros... Sin olvidar tales como el tamaño, color, peso, dureza, etc.
el inmenso y deslumbrante mundo del arte,
en el que las formas y relaciones geométri- A partir de ellas debe comenzar un proceso de “abstracción”. Por ejemplo, de un ob-
cas tienen una presencia inmemorial en la jeto plano (o que se ve plano) y de forma redonda (una rueda, una flor, la sección de un
arquitectura, en la escultura, en la elabora- tronco cortado, la cara de la luna...) se puede pasar a la idea de línea plana “redonda”.
ción de instrumentos musicales, en la pin- Pero el tránsito no termina aquí. Aún hay un paso más, que es llegar a la idea de circun-
tura sobre piedra, arcilla, madera, telas, etc. ferencia, desligada de los objetos de los que proviene: la circunferencia es un objeto
En todo este universo cultural aparecen for- “ideal”, una línea formada por todos los puntos que equidistan de uno dado (el centro de
mas geométricas, así como relaciones entre la circunferencia); o bien, es la línea que mantiene una curvatura constante (para entender
ellas: paralelismo, simetría, semejanza... esto último, si se “tuerce” el volante de un carro y se le deja con ese giro fijo, el carro, al
Mencione algunos objetos naturales o moverse, traza una circunferencia, ya que constantemente está dando “la misma curva”).
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10. De esta forma, Husserl establece que idea, un concepto (una “idealidad”, en gulo podemos construir –sin necesidad
los auténticos objetos geométricos son las términos de Husserl), como la de circunfe- de buscarlas entre los objetos naturales o
idealidades geométricas, modelos de los rencia: línea formada por todos los puntos entre los artefactos culturales- las ideas de
objetos de los que surgen. Y que la Geome- que equidistan de uno dado (el centro de los diversos tipos de triángulos que se pue-
tría es la disciplina que estudia estas ideali- la circunferencia), o bien, línea que mantie- den considerar, si se toma como criterio de
dades, esos modelos ideales. ne una curvatura constante en su recorrido. diferenciación las relaciones entre las lon-
Cualquier circunferencia trazada sobre la gitudes de sus lados. Podemos pensar en
Probablemente vamos percibiendo que arena, la pizarra o un papel, es una repre- que los tres lados tengan la misma longitud
la abstracción es una de las características sentación de esa idea; en otras palabras, (triángulo equilátero), que sólo dos de ellos
de la matemática como ciencia. El número esa circunferencia trazada es como la ima- la tengan (triángulo isósceles), o que los tres
–objeto de estudio de la aritmética, sobre la gen sensible, visible, del “lugar” que ocupa- tengan longitudes diferentes (triángulo esca-
cual han versado los diez cuadernos ante- ría una circunferencia ideal, y nos remite a leno). No hay más casos posibles. Recalca-
riores- es producto de un proceso de abs- esa idea. mos que esta diferenciación puede hacerse
tracción. Así, el número 5 tuvo su primer a nivel mental, sin necesidad de buscar ta-
sentido en una situación concreta, al contar En Matemática, pues, trabajamos con les triángulos en objetos de la realidad.
cinco objetos, por ejemplo, cinco árboles, las representaciones de los objetos mate-
o cinco dedos. La “pérdida” de los denomi- máticos: 5, una circunferencia trazada... De hecho, este proceso de abstracción
nadores (árboles, dedos) permitió extender Pero esto no significa “menospreciar” a ta- e idealización no es nuevo. Para ubicar su
(abstraer) la idea de “cinco” como medida les representaciones, como si tuvieran una origen en la historia, basta observar los
común de la cantidad de elemen- categoría inferior a la de las ideas. De he- nombres que utilizamos para designar los
tos de todos los conjuntos que cho, toda idea o concepto necesita de ellas, objetos geométricos. Algunos de ellos se
poseyeran, justamente, cinco se descubre en ellas, no tiene sentido sin derivan directamente del latín (triángulo =
elementos. El símbolo que uti- ellas. En otras palabras, las ideas sólo pue- tres ángulos; equilátero = lados iguales...),
lizamos, 5, remite siempre den manifestarse, comunicarse y estudiarse pero las raíces primigenias se encuentran en
a esa medida común: de- a través de sus representaciones. la lengua griega (geometría = geo [tierra] +
cimos que “representa” metron [medida] = medida de la tierra; po-
la idea, el concepto de Y tampoco significa menospreciar el lígono = polus [mucho] + gonia [ángulo]
“cinco”. El símbolo, mundo de la realidad, natural o cultural, en = muchos ángulos; isósceles = iso [igual]
como tal, ya es una la que están los objetos, pues aquí está la + skelos [pierna] = piernas iguales [no nos
abstracción. fuente primigenia de esa aventura humana sorprendamos por esta última expresión:
que conocemos como la construcción del si una persona se yergue sobre sus piernas
Algo similar conocimiento matemático. abiertas y si éstas son iguales, la forma que
ocurre con presenta el conjunto de ambas piernas con
los objetos Ubicados en el terreno de las idealidades el suelo es, precisamente, la de un triángulo
geomé- geométricas, podemos elaborar ciencia, en “piernas iguales”, es decir, isósceles]; esca-
tricos. el sentido de construir nuevas idealidades, leno = skalenos = oblicuo...).
Hay basándonos en las anteriores. Entramos en
una un proceso permanente de formación pro- Los griegos son los primeros que “su-
gresiva de idealidades geométricas. ben” los objetos geométricos al nivel de la
Así, por ejemplo, sobre la idea de trián- idealidad, abstracción que les permite desa-
8

11. rrollar los conocimientos geométricos hasta
cotas nunca alcanzadas antes, precisamente
por haberse “liberado” de depender de los
3. ¿Por qué y para qué estudiar geometría?
objetos de la realidad. Nada tiene de extra-
ño que el libro de los Elementos, escrito por
Euclides hacia el año 300 a. C. y que recoge
una buena parte de estos conocimientos, se
convierta en el texto más leído, hasta el si-
M iguel de Guzmán nos recuerda que el objetivo principal de este estudio debe ser
el de desarrollar el pensamiento geométrico, entendido éste como algo “básico
y profundo, que es el cultivo de aquellas porciones de la matemática que provienen de y
glo XX, después de la Biblia. tratan de estimular la capacidad del hombre de explorar racionalmente el espacio físico
en que vive, la figura, la forma básica” (Guzmán, 1988, p. 135).
Así, pues, en los griegos encontramos
la intención de “construir” la geometría en Explorar racionalmente significa ir más allá de la mera visualización o manipulación.
el sentido de ir formando progresivas idea- Además de ver, la actividad geométrica nos tiene que llevar a definir, deducir, resolver
lidades geométricas, apoyándose en las problemas y aplicar los conocimientos sobre los objetos geométricos, sus propiedades y
anteriores por la vía de la deducción. Pero relaciones entre ellos (Pérez Gómez, 2002).
no basta con esa preocupación originaria,
sentida hace más de veinte siglos. Porque a Ahora bien, ¿qué se consigue con esta exploración y este estudio racional de los ob-
esa intención inicial hay que agregarle, in- jetos geométricos? ¿Qué ofrece de especial la geometría, dentro de la matemática? En
eludiblemente, la de garantizar su auténtica primer lugar, sumergirse en el estudio de la geometría ayuda al desarrollo de la intuición
transmisión cultural a lo largo de los tiem- espacial, a la construcción del pensamiento espacial. Al respecto, recordemos que el
pos (Husserl, 2000). Es decir, tenemos que hemisferio derecho de nuestro cerebro, centro de la creatividad y de la intuición, procesa
garantizar que los colectivos culturales y las la información basándose en imágenes espaciales y visuales, y se comunica a su vez por
personas sepan “construir” la geometría, medio de acciones e imágenes. El estudio de la geometría propicia el desarrollo de estas
dotar de sentido a sus objetos, propiedades potencialidades, muchas veces relegadas frente a las de carácter exclusivamente lógico-
y relaciones. Esto nos lleva a hablar del es- abstracto.
tudio de la geometría.
Por otro lado y como nos lo recuerda Miguel de Guzmán, la geometría es “la fuente
más importante que por muchos siglos ha tenido la matemática de verdaderos problemas
y resultados interesantes, abordables con un número pequeño de herramientas fácilmen-
te asimilables” (Guzmán, 1988, p. 135). A esto hay que agregar cierto aire de juego que
con frecuencia presentan las tareas geométricas.
En resumen, podemos decir que el estudio de la geometría, además de desa-
rrollar la intuición espacial, trata de integrar la visualización con la conceptua-
lización; la manipulación y experimentación con la deducción; y todo ello,
con la resolución de problemas y la aplicación de
los conocimientos geométricos.
9

12. logramo. Y lo distinguen, por ejemplo, del
4. El avance en el aprendizaje de la geometría rombo, otra clase de paralelogramo cuya
propiedad característica es que los cuatro
lados son de igual longitud.
H ace algunas décadas y basados en sus investigaciones acerca del aprendizaje y
de la enseñanza de la geometría, los esposos Pierre y Dina van Hiele presentaron
un modelo de cómo se avanza, por etapas, en el desarrollo del razonamiento geométrico.
Saber clasificar los paralelogramos es
saber precisar las características que son
He aquí, resumidos, los rasgos fundamentales de los niveles progresivos de tal desarrollo comunes a todos ellos (cuadriláteros o po-
(van Hiele, 1986): lígonos de cuatro lados, que poseen dos
pares de lados paralelos) y, simultánea-
• Nivel 1 (Reconocimiento): Las personas reconocen las figuras geométricas sólo por mente, las que son peculiares de cada tipo
su forma, por su apariencia física, globalmente. No reconocen sus partes, ni sus propie- de paralelogramo. Por eso, por ejemplo,
dades. Sin embargo, pueden reproducir una copia de algunas figuras en particular. se descubre que el cuadrado es, simultá-
neamente, un rectángulo (sus lados forman
Por ejemplo, se encuentran en este nivel los individuos que saben reconocer la forma cuatro ángulos rectos) y un rombo (los cua-
rectangular al ver una hoja de un cuaderno, el tablero de una mesa, una ventana, etc., tro lados son de igual longitud). Y que, por
pero sin percatarse de las partes (lados, ángulos, diagonales...) del rectángulo, o de sus consiguiente, el cuadrado puede definirse
propiedades. como “un rectángulo que tiene sus cuatro
lados iguales”, o como “un rombo que tie-
• Nivel 2 (Análisis): Ahora las personas pueden reconocer que las figuras tienen par- ne sus ángulos rectos”.
tes o elementos, incluso las figuras pueden ser reconocidas por sus partes, aunque no se
identifican las relaciones existentes entre ellas. Las propiedades de las figuras se estable- • Nivel 4 (Deducción formal): Llegados
cen experimentalmente. a este nivel, las personas están en capaci-
dad de desarrollar demostraciones, es de-
Siguiendo con el ejemplo anterior, en este nivel los individuos ya perciben (contando cir, de formar una secuencia deductiva de
y midiendo segmentos y ángulos) que un rectángulo posee 4 lados paralelos dos a dos, argumentaciones para ir obteniendo nue-
4 ángulos rectos, y dos diagonales iguales, pero no son capaces de percibir por qué esos vos resultados a partir de los anteriores.
elementos y propiedades están relacionados entre sí. Por ejemplo, no establecen un vín-
culo entre el hecho de que las dos diagonales sean iguales, con el hecho de que los lados En el texto del Cuaderno construiremos
opuestos sean paralelos y de que los lados contiguos sean perpendiculares. algunas demostraciones sencillas.
• Nivel 3 (Clasificación): En este nivel, las figuras se determinan por sus propiedades. ¿Por qué presentamos esta secuencia de
Los objetos geométricos pueden ser definidos –incluso de más de una manera- a partir de niveles [por razones prácticas hemos omi-
las propiedades que relacionan a sus elementos. Esto permite diferenciar unos objetos de tido el quinto nivel 5 (rigor)] de desarrollo
otros a partir de sus semejanzas y diferencias, es decir, clasificarlos. del razonamiento geométrico? Porque, en
primer lugar, debemos estar conscientes de
Si continuamos con el ejemplo del rectángulo, ahora los individuos captan que el que la actividad geométrica no se reduce al
rectángulo es un paralelogramo (cuadrilátero o polígono de cuatro lados, que posee dos primer nivel (reconocer figuras), o a los dos
pares de lados paralelos), que se particulariza por el hecho de que sus lados forman primeros (reconocer figuras y los elementos
cuatro ángulos rectos. De esta forma, definen el rectángulo como una clase de parale- que las componen), sino que tenemos que
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13. “comprender” las figuras (entender sus propiedades y cómo las figuras se determinan y Ahora bien, si observamos, por ejemplo,
definen a partir de éstas, como se indica en el nivel 3) y, además, ser capaces de razonar una de esas cajas, percibimos que su con-
a partir de estas definiciones y propiedades, con el fin de llegar a nuevos conocimientos torno superficial exterior está formado por
geométricos (saber construir algunas deducciones, como se apunta en el nivel 4), así zonas o caras que calificamos como planas.
como a saber aplicarlos y resolver problemas. La misma impresión recibimos cuando ob-
Es decir, de alguna manera, la presencia de estos niveles marca el camino y la meta servamos la parte superior de una mesa, o
de lo que podemos y debemos ir alcanzando en nuestro aprendizaje geométrico, no sólo un piso bien pulido: si están en perfecta
en este curso, sino en nuestra formación permanente como docentes. Y, por esta misma posición horizontal, cualquier objeto que
razón, nos pueden ayudar a evaluar el progreso de nuestro aprendizaje en el campo de se desplace sobre una de esas zonas, en
la geometría. cualquier dirección, no experimenta altiba-
jos en su recorrido, siempre se mantiene a
la misma altura.
5. Nuestra propuesta para el aprendizaje de
La idea presente en estos ejemplos es
la geometría la de plano que, como concepto geométri-
E n éste y en los cuatro Cuadernos que siguen, vamos a transitar por el campo de
la geometría. Hablaremos primero de los conceptos y construcciones elementales
(Cuaderno No 12); y luego, de los polígonos (No 13 y No 14), de la circunferencia y el
co, se considera sin espesor e ilimitado en
todas sus direcciones. Si tenemos algunas
figuras cerradas representadas en un plano
círculo (No 15), y de los cuerpos geométricos (No 16). y pudiéramos meterlas ajustadamente en
Nuestro proceso de presentación y trabajo va a intentar seguir un recorrido de avance sendos rectángulos, de manera que cada
en los niveles propuestos por van Hiele, niveles que acaban de describirse. Habrá, pues, figura tocara por dentro los cuatro lados del
actividades de reconocimiento de los objetos geométricos y de sus componentes, activi- rectángulo en que está metida, sin sobresa-
dades que surgirán a partir de la construcción de tales objetos. También, actividades de lir, nos daríamos cuenta de que sólo podría-
definición de los objetos a partir de las propiedades de sus elementos y de las relaciones mos obtener, de tales figuras, dos medidas
entre ellos. Finalmente y en lo posible, plantearemos actividades de deducción de nuevos de longitud diferentes: su largura y su an-
conocimientos geométricos a partir de los ya aprendidos. chura (o altura). Es decir, todo plano tiene
dos dimensiones, al igual que las figuras
cerradas que podamos representar en él.
6. Conceptos geométricos elementales: Evidentemente, no hay “cosas” en nues-
Espacio, plano, línea y punto tro entorno real que sean planos en el senti-
do geométrico estricto, pues todas las cosas
E n nuestro derredor encontramos objetos naturales o elaborados por personas; por
ejemplo, una roca, una pelota de fútbol, una casa. Si pudiéramos meterlos ajustada-
mente en sendas cajas, de manera que cada objeto citado tocara por dentro todas las caras
reales tienen tres dimensiones. Pero sí po-
demos encontrar imágenes o representacio-
nes de un plano: la parte superior de una
de la caja en que está metida, sin deformarlas, nos daríamos cuenta de que podríamos mesa, un piso o una pared bien pulidos,
obtener, de tales objetos, tres medidas de longitud diferentes: su largura, su anchura (pro- una hoja de papel bien tensa, la superficie
fundidad) y su altura. Es decir, los objetos que ocupan un lugar en el espacio físico tienen de una laguna en la que no se observa nin-
tres dimensiones. También tiene tres dimensiones el espacio geométrico, representado gún movimiento, etc.
por el espacio físico.
11

14. Por otro lado, sobre los objetos y par- podemos referirnos a la huella que sobre un segmento, porción de recta que une los dos
ticularmente sobre los planos, podemos papel puede dejarse con el toque de la pun- puntos. Con segmentos situados en rectas
trazar líneas valiéndonos de punzones, ta de un lápiz, o a la perforación que puede diferentes, y concatenados por sus extre-
lápices, tizas, etc. Algunas de estas líneas hacerse con la punta de una aguja, o a los mos, se construyen líneas quebradas o po-
pueden ser “derechitas”, rectas; otras pue- vértices de una caja... ligonales. Cuando estas líneas quebradas se
den ser “torcidas”, curvadas; otras pueden “cierran” sin haberse cruzado entre ellas, se
presentar trazos rectos combinados con En resumen, podemos establecer el forman polígonos.
algunos curvados, etc. La idea presente en siguiente cuadro que relaciona los ám-
estos ejemplos es la de línea que, como bitos en los que pueden encontrarse los También podemos hablar de líneas
concepto geométrico, se considera sin es- objetos geométricos, con el número de curvas (y de segmentos curvos), que son
pesor. Si consideramos diversas líneas y las dimensiones correspondientes: aquellas que van variando su dirección en
“enderezamos”, nos daríamos cuenta de cada punto. Entre algunas de las más cono-
Ámbito de los No. de dimensio-
que sólo podríamos obtener una medida de objetos geomé- nes cidas podemos mencionar la circunferen-
ellas: su largura o longitud. Es decir, toda tricos cia (el borde de una figura plana redonda)
línea tiene una dimensión. o la catenaria, que es la línea formada por
Espacio 3 una cadena (eliminando su espesor) cuan-
También aquí es evidente que no hay Plano 2 do cuelga libremente de sus dos extremos.
“cosas” en nuestro entorno real que sean lí- Como se ve, también las líneas curvas pue-
neas en el sentido geométrico estricto, pues Línea 1 den ser “cerradas” o pueden dejar libres sus
todas las cosas reales tienen, como se ha Punto 0 extremos. Finalmente, hablamos de líneas
dicho, tres dimensiones. Pero sí podemos mixtas para referirnos a las que “mezclan”
encontrar imágenes, representaciones de lí- Volvamos ahora a los diferentes tipos unas partes rectas con otras curvas.
neas: los bordes de los objetos (por ejemplo, de línea que se pueden trazar sobre un pla-
si volvemos a las cajas mencionadas ante- no. En primer lugar, la línea recta. Como Antes de seguir adelante tengamos
riormente, descubrimos que poseen aristas, objeto geométrico, la línea recta es la que presente que:
que son las partes en que se “topan” dos mantiene la misma dirección en todos sus
caras contiguas, es decir, las líneas en que puntos y se considera ilimitada por ambos • Dos puntos bastan para determinar
terminan y coinciden ambas caras), o los extremos. La línea recta puede recorrerse una recta
bordes de las figuras dibujadas en un plano, en dos sentidos opuestos (no es correcto
o un trozo extendido de hilo de coser... hablar de dos direcciones opuestas...). Se • Tres puntos no alineados bastan
considera que una recta está formada por para determinar un plano
Antes de abordar los diferentes tipos infinitos puntos.
de líneas, debemos mencionar otro obje- • Un plano queda perfectamente
to geométrico básico. Es el que se obtiene También podemos hablar de la semi- determinado mediante dos rectas que se
como corte o intersección de dos líneas: el rrecta, porción de recta que tiene como cortan en un punto
punto. Como objeto geométrico, el punto origen un punto y se extiende ilimitada-
no tiene dimensión alguna. Toda línea se mente en un sentido. Como puede verse, Todos estos objetos geométricos bá-
considera formada por puntos y, por esa todo punto sobre una recta determina dos sicos tienen su representación:
razón, la línea no tiene “espesor”. Como semirrectas en ella. Finalmente, si fijamos
imágenes o representaciones de un punto dos puntos sobre una recta, tendremos un
12

15. h) ¿En cuántos semiespacios divide
Objeto geométrico Representación
un plano al espacio?
Punto Con una letra mayúscula A. i) ¿En cuántos semiplanos divide una
recta al plano que la contiene?
Con sendas puntas de flecha en los extremos. Se marcan dos j) Si marcamos dos puntos en una
puntos sobre la recta; o con una letra minúscula recta, ¿cuántas semirrectas diferentes
Recta B quedan determinadas? ¿Y si marcamos
A r tres puntos diferentes?
k) ¿Cuántas rectas contiene un pla-
Con una punta de flecha en el extremo “abierto” no?
Se marca el punto origen y otro punto; o con una letra minús- l) ¿Cuántos puntos contiene un pla-
cula no?
Semirrecta
N m) ¿Cuántos planos contiene el es-
M s pacio?
n) Si estamos en el espacio, ¿cuántos
Se marcan los dos puntos extremos planos pueden contener a una misma
Segmento recta?
P Q ñ) Y si tres rectas pasan por un mismo
punto, ¿se determina un solo plano que
1. Indique, señalando sus puntos extremos, cuántos segmentos aparecen dibujados contiene al punto y a las tres rectas?
en la siguiente figura: o) Si marcamos dos puntos en una
A B C recta, ¿cuántos segmentos diferentes
quedan determinados? ¿Y si marcamos
D E F tres puntos diferentes? ¿Y si son cuatro?
Veamos las respuestas:
a) Infinitos puntos en ambos casos
G H I b) Tiene infinitos puntos, cualquiera
que sea su tamaño
He aquí algunas preguntas que ya podemos responder. Trate de visualizar cada c) Infinitas rectas. Conforman los que
situación antes de dar una respuesta. se llama un “haz de rectas”
a) ¿Cuántos puntos tiene una recta? ¿Y una semirrecta? d) Que en realidad no se trata de dos
b) ¿Cuántos puntos tiene un segmento? ¿Depende de su tamaño? rectas, sino de una sola recta; ambas co-
c) ¿Cuántas rectas pueden pasar por un punto de un plano? inciden no sólo en esos tres puntos, sino
d) ¿Qué pasa si dos rectas tienen tres puntos en común? en todos sus puntos
e) ¿Cuántas rectas diferentes se pueden determinar con tres puntos no alineados de e) Tres rectas
un plano, es decir, si no hay ninguna recta que contiene a los tres puntos? f) Seis rectas
f) ¿Y si se trata de cuatro puntos con las mismas condiciones, es decir, que no hay g) Diez rectas
ninguna terna de puntos contenidos en una misma recta? h) En dos semiespacios
g) ¿Y si ahora se trata de cinco puntos con las mismas condiciones?
13

16. i) En dos semiplanos
j) Cuatro: de cada punto salen dos, una en cada sentido. Seis, por la misma razón
k) Infinitas rectas
l) Infinitos puntos
m) Infinitos planos
n) Infinitos planos. Puede ayudarnos la imagen de un libro suspendido en el aire al
agarrarlo por una de sus hojas: el libro se abre y todas las hojas (imagen de los planos)
coinciden en el canto del libro (imagen de la recta común). Se habla entonces de un
“haz de planos”.
ñ) En general, no. Pensemos en una habitación, en el punto en que se unen el piso
y dos paredes contiguas. Las tres “rectas” que se forman entre esos tres planos (hay que
imaginarlas ilimitadas...) pasan por el mismo punto y, sin embargo, se necesita más de
un plano para contener el punto y las tres rectas.
o) Un solo segmento. Tres segmentos. Seis segmentos.
Fig. 1: Herramientas geométricas
7. Construir y medir objetos geométricos:
herramientas 8. Actividades referidas
a segmentos
I ndudablemente, podemos imaginar-
nos los objetos geométricos. Pero tam-
bién podemos “construirlos” o representar-
Herramientas
geométricas Funciones básicas
8.1. Construir el segmento que une dos
los con el fin, por ejemplo, de estudiarlos Trazar segmentos puntos dados
mejor. En particular, podemos representar Regla y Medir la longitud de Se coloca la regla de forma que su
en un plano los objetos y figuras de hasta escuadra segmentos (aproxima- borde “toque” simultáneamente a los dos
dos dimensiones (y de alguna manera los damente) puntos y se traza la porción de línea recta
de tres dimensiones, dibujándolos como si correspondiente.
fueran “transparentes”...). Y una vez dibuja- Conservar distancias
dos, también podemos medir sus elementos Compás Al girar sobre un ex- 8.2. Medir la distancia existente entre
o componentes: longitud (de segmentos), tremo fijo, trazar arcos dos puntos P y Q, o la longitud del seg-
amplitud (de ángulos), superficie (de figuras de circunferencias mento PQ: Se coloca la regla de forma que
planas cerradas). su borde toque simultáneamente a los dos
Transportador o Construir ángulos puntos, o que coincida con el segmento ya
Para facilitarnos esta tarea de representar arco graduado Medir la amplitud de dado. Se coloca el 0 de la regla en uno de
y medir contamos con ciertas herramientas un ángulo (aproxima- los puntos o en uno de los extremos del
que hemos de aprender a manejar adecua- damente) segmento, y se lee (con la mayor precisión
damente. He aquí las fundamentales: posible) el número correspondiente al otro
punto o al otro extremo del segmento. Si
14

17. no se parte del 0 de la regla, hay que restar de ser la misma en que se halla el segmento el primero de los segmentos dados. A partir
del número leído al final, el número inicial. original), a partir de un punto y en el senti- del punto extremo Q del primer segmen-
Observe que la distancia entre los puntos P do que se indique. to, se traslada el segundo segmento. Y así,
y Q es la misma que entre los puntos Q y progresivamente, hasta trasladar todos los
P; y que la longitud del segmento PQ es la 8.4. Verificar la relación existente en- segmentos. El segmento que va desde P
misma que la del segmento QP. tre las longitudes de dos segmentos hasta el extremo libre del último segmen-
Dado uno de los dos segmentos, se tras- to trasladado es el segmento suma de los
8.3. Construir un segmento de longi- lada el otro sobre la recta en que se halla segmentos dados. Observe que el orden en
tud dada, a partir de un punto P sobre una el primero, de modo que se superpongan y que se trasladan los segmentos no afecta al
recta dada y en el sentido que se indique coincidan sendos extremos. La observación resultado final.
Determinar sobre los números de la re- de los extremos libres determina si los seg-
gla (preferiblemente desde el 0), la longitud mentos son iguales o cuál de ellos es mayor t
dada. Si es posible, abarcarla con el com- o menor. r s
pás. Colocar sobre el punto P el extremo
puntiagudo del compás y, con el otro ex- La anterior es una forma de realizar la
tremo orientado hacia el sentido deseado, actividad sin recurrir a las medidas de los r s t
marcar el punto Q sobre la recta: PQ es el segmentos. Lógicamente, también se pue-
segmento solicitado. Si la longitud dada no den medir ambas longitudes y comparar P
Q H L
se abarca con el compás, se procede con la las cantidades correspondientes. De esta Fig. 3: Segmento suma de otros dados
misma regla. manera se puede tener una cuantificación
de la comparación de la longitud de ambos 8.7. Construir un segmento que sea la
La actividad anterior también se puede segmentos. diferencia de dos segmentos dados
entender como trasladar un segmento, es Con ayuda del compás se traslada uno
decir, colocarlo sobre una recta dada (pue- 8.5. Dibujar puntos equidistantes (a de los segmentos sobre el otro, de modo
una distancia dada) sobre un segmento, a que se superpongan y coincidan sendos
partir de un punto dado P extremos. Con el compás se abarca el seg-
Marcada la distancia sobre la regla, mento constituido ahora por los dos extre-
abarcarla con el compás. Ubicarse en el mos no coincidentes de ambos segmentos.
punto P y, en el sentido deseado, marcar Este nuevo segmento puede trasladarse al
el punto siguiente Q. Luego, sobre Q, repe- lugar que se desee. (ver figura 4)
tir la acción. Y así progresivamente con los
nuevos puntos el número de veces que se 8.8. Verificar si un segmento es la
requiera. Si no se puede abarcar la longitud suma (o la diferencia) de otros segmentos
dada con el compás, se procede de manera dados
análoga con la misma regla. Para determinar si un segmento AB es la
suma de varios segmentos dados, primero
8.6. Construir un segmento que sea la se construye el segmento suma CD de estos
suma de otros dados últimos (actividad 8.6.) y luego se verifica la
Se traza una recta y sobre ella se deter- relación existente entre los segmentos AB y
Fig. 2: Construir un segmento de longitud dada mina un punto P. Se traslada, a partir de P, CD (actividad 8.4.).
15

18. Análogamente, para determinar si un Vamos a detenernos ahora en el estudio
segmento AB es la diferencia de dos seg- de los ángulos planos (de los ángulos sóli-
mentos dados, primero se construye el seg- dos hablaremos en el Cuaderno n° 16).
mento diferencia CD (actividad 8.7.) y luego
se verifica la relación existente entre los seg- Hay varias formas de considerar un án-
mentos AB y CD (actividad 8.4.). También gulo (Vasco, 1999). Desde una perspectiva
puede construirse el segmento suma de AB dinámica, podemos entenderlo como un
y el menor de los dos segmentos dados y giro que hace una semirrecta que mantie-
verificar si el nuevo segmento es igual al ne fijo su punto de origen. Como este mo-
mayor de los dos dados. vimiento puede ser más o menos amplio,
hablamos de amplitud del giro. Incluso,
Fig. 4: Segmento diferencia de dos segmentos esta amplitud puede ser mayor que una
dados vuelta completa.
En este caso interesa saber en qué “sen-
tido” se mueve la semirrecta; es decir, la
9. Actividades referidas a ángulos orientación del giro. Si tomamos como
referencia un reloj, suele decirse que un
H e aquí un par de situaciones muy frecuentes en nuestra vida diaria: una puerta que
se abre y un reloj de agujas funcionando. Vamos a destacar en ambas una figura
matemática muy interesante.
giro en el sentido de las agujas de un re-
loj se considera como negativo, mientras
que un giro en el sentido contrario al de las
agujas de un reloj se considera como po-
En la primera de ellas vemos que la puerta se va separando de la pared en que se en- sitivo. ¿La razón de esta asignación? Pues
cuentra, de una manera particular. Desde el punto de vista matemático, podemos pensar en sencillamente, que se supone la semirrecta
el plano de la hoja de la puerta que se separa del plano de la pared, mientras ambos planos “durmiendo” en una recta horizontal y ex-
comparten el eje donde se hallan las bisagras. La figura idealizada que aparece es la de dos tendiéndose hacia la derecha de su punto
porciones de planos que comparten o se cortan en un segmento; o en términos más genera- de origen (como la aguja horaria de un reloj
les, dos planos que comparten o se cortan en una recta. El objeto matemático formado por a las 3 en punto); así, su movimiento natu-
todos esos elementos se denomina ángulo sólido (a pesar de que más bien se presenta como ral cuando se despierta y se “levanta” sin
“vacío”, como “hueco”...) o ángulo en el espacio. mover su punto de origen, es hacia arriba,
justo en sentido contrario al de las agujas
Si ahora observamos las dos agujas de un reloj, vemos que también ellas se acercan o de un reloj...
alejan una de la otra. Desde el punto de vista matemático, podemos pensar en el segmento
de una de las agujas que se mueve con respecto al segmento de la otra aguja, mientras ambos Todavía desde una perspectiva dinámi-
comparten su extremo en el centro del reloj. La figura idealizada que aparece es la de dos ca, puede considerarse un ángulo como un
segmentos que comparten uno de sus extremos; o en términos más generales, dos semirrec- movimiento de barrido que hace una se-
tas que parten del mismo punto. El objeto matemático formado por todos esos elementos se mirrecta que mantiene fijo su punto ori-
denomina ángulo plano. Otra situación en la que aparece un ángulo plano es la que forman, gen. Es una idea muy similar a la de giro,
sobre el plano del piso, la línea inferior de la puerta que se abre y la de la pared en que se halla sólo que ahora la semirrecta, al moverse, va
la puerta. O cuando abrimos las dos patas de un compás, en el plano formado por ellas. marcando su huella en el plano. Las ideas
16

19. de amplitud y de orientación ca con un pequeño arco de lado a lado: ).
del barrido se mantienen. La otra región se denomina externa. Ahora bien, medir significa comparar
con una unidad de la misma especie, lo que
Desde una pers- Los ángulos se representan con tres le- nos obliga a determinar cuál es la unidad de
pectiva estática, tras seguidas, precedidas de un pequeño medida de los ángulos. Hay varias. Puede
un ángulo puede símbolo “<”; las letras representan, en este ser:
ser considerado orden, un punto de un lado, el vértice, y una vuelta completa,
como la región un punto del segundo lado; por ejemplo, el un cuadrante (la cuarta parte de una
del plano limi- ángulo <POQ. También suelen representar- vuelta),
tada por dos se- se con alguna letra del alfabeto griego; por un sextante (la sexta parte de una
mirrectas con un ejemplo, < α. O, incluso, con cualquier otra vuelta),
origen común. Es letra o dígito. un octante (la mitad de un cuadran-
decir, como si fuera te),
el resultado del barrido En resumen, las ideas básicas para defi- un grado sexagesimal (la amplitud
del que se hablaba antes. También desde nir un ángulo son variadas: un giro, un ba- de un ángulo obtenido como resulta-
la misma perspectiva, un ángulo puede ser rrido, una región del plano, la unión de dos do de dividir una vuelta en 360 partes
considerado como la unión de dos semi- semirrectas... Nos encontramos, pues, con iguales),
rrectas con un origen común. En ambos la diversidad en la “definición” de lo que es un grado centesimal (la amplitud de
casos se mantiene el concepto de amplitud un ángulo. Claro que todas estas definicio- un ángulo obtenido como resultado de
angular, pero no suele tomarse en cuenta nes están relacionadas unas con otras, pero dividir una vuelta en 400 partes igua-
la orientación del giro, a no ser que se diga cada una de ellas hace énfasis en un aspec- les).
explícitamente cuál de las dos semirrectas to particular.
se considera como “primera” con respecto Hay otras unidades, como el radián,
a la otra. Y este énfasis puede tener su repercu- cuya explicación omitimos por ahora. Ha-
sión a la hora de entender qué significa me- bitualmente, se utiliza el grado sexagesimal,
Al hablar de ángulos, conviene advertir dir un ángulo. Porque podemos caer en el herencia de la cultura babilónica. La medi-
que todo lo que se ha dicho en términos error de pensar en medir la longitud de sus da de un ángulo se indica con el número de
de semirrectas puede extenderse también a lados, o el área de la región interna, como grados (se entiende que son sexagesimales,
segmentos. Para incluir ambos casos posi- lo pueden sugerir las visiones estáticas del si no se indica otra cosa), acompañados del
bles, se habla de los lados de un ángulo. ángulo. Pero no es así: Medir un ángulo símbolo ⁰; por ejemplo, 90⁰. Cada grado se
Por su parte, el punto de origen de la se- significa medir su amplitud; es decir, desde divide en 60 minutos (60’) y cada minuto
mirrecta que gira, o el punto común de las una perspectiva dinámica, la amplitud del en 60 segundos (60”).
dos semirrectas que se unen, se denomina giro dado.
vértice del ángulo. 2. ¿Cuántos grados sexagesimales tiene
Por consiguiente, afirmar que un ángu- un giro de una vuelta completa?
Nótese, además, que cuando se trazan lo es mayor que otro, no significa que los 3. ¿Cuántos grados tiene un ángulo lla-
dos semirrectas con un origen común, se lados del primero son más largos que los no, es decir, el ángulo formado por un giro
determinan dos regiones en el plano. La del segundo, o que la región interna del de una media vuelta?
que corresponde al giro dado, se denomina primero es aparentemente mayor que la del 4. ¿Cuántos grados tiene un ángulo rec-
región interna del ángulo, y a veces se mar- segundo, sino que su amplitud es mayor. to, es decir, el ángulo formado por un giro
17

20. de un cuadrante? 10. ¿Qué ángulo se obtiene al unir los • el arco (semicircunferencia) graduado
5. ¿Cuántos grados tiene el ángulo for- ángulos complementario y suplementario desde 0° hasta 180°; o desde 0 a 360° si
mado por un giro de un octante? de un ángulo de 45°? el transportador abarca la circunferencia
6. Un ángulo agudo es aquel cuya me- 11. ¿Qué ángulo se obtiene al restar los completa
dida es menor que la de un ángulo recto. ángulos suplementario y complementario
¿Entre qué valores se halla la medida de un de cualquier ángulo agudo? Para medir un ángulo menor que un
ángulo agudo? 12. Dado un ángulo de 30°, ¿cuánto ángulo llano con el transportador graduado
7. Un ángulo obtuso es aquel cuya me- mide el ángulo suplementario de su com- de 0 a 180°, lo colocamos sobre el ángulo,
dida es mayor que la de un ángulo recto. plementario? ¿Y si el ángulo mide 45°? ¿Y de manera que:
¿Cuántos grados tiene un ángulo obtuso? si mide 80°?
8. ¿Qué efecto produce un giro de 13. A partir de los resultados del ejer- • el trazo recto del aparato coincida
450°? cicio anterior, ¿qué relación existe entre el con un lado del ángulo, y el punto medio
9. ¿Y un giro de 1.000°? ángulo inicial y el que se obtiene al final, en de ese trazo recto coincida con el vértice
los tres casos? ¿Se puede generalizar este del ángulo
¿Por qué esos nombres dados a los resultado a cualquier ángulo agudo? • el otro lado del ángulo quede hacia
ángulos? Podemos “ver” lo de ángulo lla- 14. Si un ángulo α y un ángulo β son la parte del transportador que tiene el arco
no y recto. Para justificar lo de “agudo” congruentes, cada uno, con un ángulo δ, graduado
y “obtuso”, pensemos en una punta de ¿qué relación existe entre los ángulos α y
flecha. Si el perfil de la punta presen- β? Aplicado el transportador de la manera
ta un ángulo menor de 90°, puede ser 15. ¿Qué relación existe entre dos ángu- indicada, se observa sobre el arco gradua-
considerada una buena punta, “aguda”, los que tienen el mismo suplemento (mismo do el número que corresponde al punto en
apta para penetrar en el blanco. Pero si ángulo suplementario)? ¿Y si tienen el mis- que el otro lado (o su prolongación, si el
es mayor de 90°, es una punta práctica- mo complemento? lado resulta pequeño para el modelo de
mente ineficiente, que no penetra en el 16. ¿Qué relación existe entre un án- transportador) corta al arco. A partir de
blanco por ser poco aguda, demasiado gulo obtuso y uno agudo, si el suplemento ese número hay que deducir la medida del
aplastada, chata, roma, “obtusa”... del primero es igual al complemento del ángulo (no siempre el número leído da la
segundo? medida, ya que a veces los aparatos tienen
Entre los ángulos también se establecen su forma particular de llevar la secuencia de
ciertas relaciones en función de sus medi- Vamos ahora con algunas actividades los grados...).
das. Por ejemplo, de dos ángulos que tienen referidas a la construcción y medida de án-
igual medida se dice que son congruentes. gulos.
Por otro lado, dos ángulos se llaman com-
plementarios cuando la suma de sus me- 9.1. Medir un ángulo
didas es 90°; por ejemplo, dos ángulos de Para medir la amplitud de un ángulo
30° y 60°, respectivamente; o los ángulos utilizamos el transportador. Los hay de di-
de 24° 15’ 36” y 65° 44’ 24” (verifíquelo). Y versos tipos, pero los elementos claves del
se llaman suplementarios cuando la suma transportador son:
de sus medidas es 180°; por ejemplo, dos
ángulos de 30° y 150°, respectivamente; o • el segmento o trazo recto, cuyo punto
dos ángulos de 139° 49’ 53” y 40° 10’ 07”. medio debe estar claramente marcado Fig. 5: Medida de un ángulo menor que un
ángulo llano
18

21. Si el ángulo a medir es mayor que un nuevo vértice en un punto A sobre la rec- 9.5. Girar un ángulo en torno
ángulo llano, puede medirse la amplitud de ta que contiene a uno de los lados. Con la a su vértice
la región externa de ese ángulo (que será ayuda del transportador se construye un Para ello se necesita saber cuál es la
menor que 180), y luego restar de 360º el nuevo ángulo de la misma medida. amplitud del giro que se quiere aplicar a
resultado de la medida anterior (¿por qué?). todo el ángulo. Si designamos con g a esta
Si el transportador abarca la circunferencia Pero también es posible efectuar la ac- amplitud, hay que construir un ángulo de
completa, el proceso es similar y aplicable tividad sólo con el compás. Para ello, ha- amplitud g sobre cada uno de los dos lados
a cualquier tipo de ángulo. ciendo centro con el compás en el vérti- del ángulo original (y con la misma orien-
ce O del ángulo original, se traza un arco tación). Los dos nuevos lados constituyen
9.2. Construir un ángulo de lado a lado; llamemos M y N a los dos el nuevo ángulo girado, congruente con el
de medida dada puntos extremos de ese arco. Con la mis- inicial.
Sobre una recta se marca un punto A, ma abertura del compás, haciendo ahora
que será el vértice del ángulo. Se aplica el centro en A, se traza un arco abierto, de En la figura 7 se presenta el giro de 90º,
transportador de manera que el trazo rec- mayor amplitud que el anterior y que parta en sentido positivo, del < QOP. Obsérvese
to del aparato coincida con esa recta, y el desde la recta; llamemos R a este punto de que el lado OP gira 90º hasta OR (medida
punto medio de ese trazo coincida con A. la recta del cual arranca el arco (OM = AR). < POR = 90º) y que el lado OQ gira 90º
Si la medida dada es menor que 180º y el Volviendo al ángulo original, se toma con el hasta OS (medida < QOS = 90º). Después
transportador tiene un arco graduado hasta compás la distancia MN. Y manteniendo la del giro de 90º en torno a su vértice O obte-
180º, se marca un punto B en la parte ex- misma abertura, se hace centro en el punto nemos el <SOR, congruente con el < QOP
terior del arco graduado, de tal forma que R y se corta el arco abierto trazado ante- inicial.
la medida desde el origen coincida con la riormente, lo que determinará un punto S.
R
medida dada. Después se traza el otro lado Al unir A con S se tiene el segundo lado del S
del ángulo, haciéndolo pasar por A y B. nuevo ángulo.
Si la medida dada es mayor que 180º
y el transportador tiene un arco graduado Q
hasta 180º, se dibuja un ángulo llano con su
vértice y, sobre el ángulo, se construye un
ángulo de medida igual a la diferencia de P
O
la medida dada menos 180º, y se procede
como antes. Después se marca con un arco Fig. 7: Giro de un ángulo en torno a su vértice
la región interna del ángulo pedido, para
evitar confusiones. 9.6. Trasladar un ángulo a otra región
del plano
9.3. Construir un ángulo recto Si se da el nuevo vértice y una de las se-
Es un caso particular del anterior, para mirrectas, el problema consiste en construir
una medida de 90º. aquí un ángulo de la misma medida. Pue-
9.4. Trasladar un ángulo, corriendo el den servir de orientación los procedimien-
vértice sobre uno de sus lados Fig.6: Traslación de un ángulo sobre la misma tos señalados en 9.4. (uso del transportador
Se mide el ángulo dado. Se ubica el recta o del compás).
19

22. 9.7. Verificar la relación existente entre tación con la que β se anexó a α. El ángu- Se construye el ángulo unión (o diferen-
las medidas de dos ángulos lo “total”, formado por las dos semirrectas cia) de los dos ángulos (actividades 9.8. ó
Se puede trasladar uno de los ángulos más externas, es el ángulo pedido. Observe 9.9.). Y se verifica la relación entre el án-
“sobre” el otro, es decir, de tal forma que que el orden en que vaya “agregando” los gulo dado y el que se acaba de construir
coincidan los vértices, uno de los lados, y ángulos no afecta al resultado final. (actividad 9.7.).
la orientación de ambos ángulos. La ob-
servación determina si son iguales o cuál 9.11. Estimar la medida de un ángulo
de ellos es mayor o menor. Lógicamente, Para esto no se necesitan herramientas,
también se pueden medir ambos ángulos y pero sí una vista “educada”... Resulta muy
comparar las cantidades correspondientes. práctico acostumbrarse a las medidas de
De esta manera se puede tener una cuanti- ciertos ángulos (30º, 45º, 60º, 90º, 120º,
ficación de la comparación de la amplitud 135º, 150º...) con el fin de tenerlas como re-
de ambos ángulos. En la figura 8 se observa ferentes a la hora de estimar cuánto puede
que el < POQ es mayor que el < MHL. medir un ángulo en particular (dibujado o
de la vida real), o a la hora de dibujar un
M
P L ángulo de medida dada.
H
O
Q 10. Actividades
P
referidas a rectas y
M Fig. 9: Construcción de un ángulo unión de
varios ángulos segmentos
9.9. Construir un ángulo que sea la perpendiculares
O=H Q=L
diferencia de dos ángulos dados
Fig. 8: Comparación entre las medidas
de dos ángulos
Sean, por ejemplo, los ángulos α, β. Su-
pongamos que α es mayor que β. En el lugar
que se indique, se construye el ángulo α.
D os rectas o dos segmentos son per-
pendiculares (del latín: per [prefijo
intensivo] + pendere [colgar]) cuando al
9.8. Construir un ángulo que sea la Sobre uno de sus lados y compartiendo el intersectarse forman un ángulo recto (en
unión de varios ángulos dados vértice y ese lado, se traslada el ángulo β realidad, las rectas forman entonces cuatro
Sean, por ejemplo, los ángulos α, β, δ. hacia la región interna de α. El ángulo que ángulos rectos...). La perpendicularidad es
En el lugar que se indique, se construye el “quede” entre las dos semirrectas no coin- una relación perceptible con mucha fre-
ángulo α. Sobre uno de sus lados y com- cidentes de los dos ángulos, es el ángulo cuencia en la naturaleza y en muchísimos
partiendo el vértice y ese lado, se traslada pedido. Por ejemplo, en la figura 8, el < artefactos elaborados por los hombres. Es
el ángulo β hacia la región externa de α. POM es la diferencia de los ángulos < POQ muy importante no sólo detectar si dos seg-
Y ahora, sobre el lado que el ángulo β no y < MHL. mentos son perpendiculares (basta verificar
compartió con α, pero haciendo coincidir si el ángulo que forman es recto), sino tam-
el vértice, se traslada el ángulo δ hacia la 9.10. Verificar si un ángulo es la unión bién saber construir un segmento (una rec-
región externa de β, con la misma orien- (o la diferencia) de dos ángulos ta) que sea perpendicular a otro(a) dado(a).
20

23. 17. ¿Cómo se construye la mediatriz de
una recta, o la de una semirrecta?
10.2. Hallar el punto medio de un
segmento
El punto medio de un segmento forma
parte también de la mediatriz del mismo.
Por consiguiente, para hallarlo se sigue el
mismo procedimiento que para construir la
mediatriz. Sólo que, en lugar de trazar la
recta MN, basta con marcar el punto P en
que esta recta corta al segmento AB.
10.3. Descubrir la relación existente
entre los puntos de la mediatriz de un
segmento y los puntos extremos de
éste
Partiendo de la construcción de la actividad 10.1., el punto M es un punto de la media-
triz. Como hemos visto, se obtiene al cortarse los dos arcos trazados desde los extremos A
En este contexto hay una situación muy y B del segmento. Es muy importante observar que todos los puntos de un arco están a la
peculiar: construir una perpendicular a un misma distancia del punto desde el cual se traza el arco (el centro del arco). Ahora bien,
segmento, justamente en el punto medio de como ambos arcos se han trazado con la misma abertura del compás, el punto M está a
éste. La recta perpendicular a un segmento la misma distancia de A y de B. Por consiguiente, todos los puntos de la mediatriz de un
en su punto medio se denomina mediatriz segmento equidistan de los extremos del segmento. En la figura 11, ML es la mediatriz de
del segmento. AB. Por consiguiente, MA = MB y LA = LB. Pero no necesariamente MA = LA.
10.1. Construir la mediatriz de un M Esta relación es tan importante que pue-
segmento de definirse la mediatriz de un segmento
Dado un segmento AB, tomamos un A B como la recta cuyos puntos equidistan de
compás y lo abrimos con una amplitud que los extremos del segmento. Más todavía, si
sea algo mayor que la mitad del segmento. dos puntos de una recta equidistan de los
Haciendo centro en A, trazamos un arco extremos de un segmento (las distancias
con esa abertura, por “encima” y por “de- desde un punto no tienen por qué ser igua-
bajo” del segmento. Repetimos la acción les a las distancias desde el otro), esa recta
haciendo centro en B. Los dos arcos por es la mediatriz del segmento.
encima del segmento se cortan en un punto
M e, igualmente, los dos arcos por debajo L 10.4. Verificar si un punto pertenece a
del segmento lo hacen en un punto N. Al la mediatriz de un segmento
trazar la recta que pasa por M y N, hemos Fig. 11: Los puntos de la mediatriz de un No hay por qué construir la mediatriz:
construido la mediatriz del segmento AB. segmento equidistan de sus extremos bastará con verificar si la distancia del pun-
21

24. to a los extremos del segmento es la misma. 10.6. Construir la perpendicular a Pues bien, esta distancia viene dada por
Esto puede hacerse con la regla o con el una recta que pase por un punto de la la longitud del segmento que parte de P
compás. misma y es perpendicular a la recta m. Ahora se
Ahora, sea P un punto de una recta m. ve claro el camino para hallar la distancia
10.5. Construir la perpendicular a Con el compás hacemos centro en P y tra- solicitada: se traza la perpendicular desde
una recta desde un punto exterior a la zamos un arco que corte a la recta m en dos P (actividad 10.5.) y se mide el segmento
misma puntos, A y B, a cada lado de P. Ahora cons- correspondiente hasta el pie de esa perpen-
Sea P un punto exterior a una recta m. truimos la mediatriz de este segmento AB. dicular.
Con el compás hacemos centro en P y tra-
zamos un arco que corte a la recta m en
dos puntos, A y B. Por pertenecer al mismo
arco, A y B equidistan de P; por consiguien- 11. Actividades referi-
te, P pertenece a la mediatriz del segmento
que acabamos de construir, AB. Ahora bien,
das a rectas y segmen-
si sólo conocemos un punto de la mediatriz, tos paralelos
no podemos trazar ésta. Esto nos obliga a
hallar el punto medio M del segmento AB
(actividad 10.2.). Esta mediatriz es la per-
pendicular a la recta m desde el punto P. El
D os rectas o dos segmentos se con-
sideran paralelos (para [al lado] +
allelon = [unos de otros]) cuando señalan
punto M de encuentro de la perpendicular y o mantienen la misma dirección. Otra for-
la recta original se denomina pie de la per- ma de caracterizar a dos rectas paralelas
pendicular. es afirmar que nunca se encuentran, que
nunca se cortan en un punto (en el caso
de segmentos, serán paralelos si las rectas
Fig. 13: Perpendicular a una recta desde un sobre las que descansan son paralelas). Dos
punto de la misma rectas que se cortan se denominan secan-
tes; por ejemplo, dos rectas perpendicula-
10.7. Calcular la distancia entre res son secantes.
un punto y una recta
Evidentemente, suponemos que el pun- Jaimito piensa que dos rectas parale-
to P es exterior a la recta m (si el punto las, por muy separadas que estén, siem-
está sobre la misma recta, la distancia es pre se encuentran en un punto si éste es
0). La distancia de P a la recta no es sino suficientemente “gordo”. En la geome-
la longitud de un segmento que vaya desde tría de Jaimito, este resultado se conoce
P hasta otro punto de la recta. En seguida como “teorema del punto gordo”...
percibimos que hay infinidad de segmentos
que se pueden trazar desde P hasta la recta. El paralelismo es otra relación también
La clave está, pues, en decidir cuál de estos perceptible con frecuencia en la naturaleza
Fig. 12: Perpendicular a una recta desde un segmentos sirve para determinar la distan- y en muchísimos artefactos elaborados por
punto exterior a la misma cia del punto a la recta. los hombres. Es muy importante no sólo
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25. detectar si dos rectas son paralelas, sino 11.3. Construir una paralela a una rec-
también saber construir una recta que sea ta dada, que pase por un punto exterior
paralela a otra dada. a la recta 12. Construcciones
Sea m la recta y P el punto exterior. Se
11.1. Determinar si dos rectas son calcula la distancia existente entre P y m (ac- alternativas con regla y
paralelas
Se toman dos puntos de una de las rec-
tividad 10.7.) y se conserva con el compás.
Ahora se marca un punto A sobre m (que
escuadra
tas y se mide la distancia desde cada uno
de ellos hasta la otra recta (actividad 10.7.).
Si la distancia es la misma, las rectas son
no sea el pie de la perpendicular de P a m).
Se construye una perpendicular a m por A
(actividad 10.6.) y, sobre esta perpendicular
P ara realizar las activida-
des anteriores nos hemos
referido a la utilización del com-
paralelas. y haciendo centro en A, se marca con el pás, de la regla y del transporta-
compás un punto Q en el mismo semiplano dor. Sin embargo, algunas de las
11.2. Construir rectas paralelas de P y a la distancia requerida. La recta que construcciones señaladas pueden
a una dada pasa por P y Q es la paralela solicitada. ser llevadas a cabo mediante el
Dada una recta m, se marcan dos pun- uso combinado de la regla y de
tos, A y B. Se trazan sendas rectas perpen- la escuadra (o de dos escuadras).
diculares a m por A y B (actividad 10.6.). Aunque en algunos casos el pro-
Se abre el compás con la amplitud corres- cedimiento parece más sencillo,
pondiente a la distancia a la que se desea siempre se pierde algo de pre-
construir la recta paralela. Sobre las dos cisión. He aquí algunos de esos
rectas perpendiculares y haciendo centro, procedimientos:
respectivamente, en A y en B, se marcan
sendos puntos M y N, respectivamente, en 12.1. Construir un ángulo
el mismo semiplano y a la distancia deter- recto (actividad 9.3.)
minada por la abertura del compás. La rec-
ta que pasa por M y N es la paralela a m Basta con trazar a lápiz sen-
solicitada. dos segmentos pegados a los
bordes de los dos catetos (lados
que forman el ángulo recto) de la
Fig.15: Construcción de una paralela a una escuadra, desde el vértice del án-
recta dada, por un punto exterior a la recta gulo recto.
11.4. Calcular la distancia entre dos 12.2. Hallar el punto medio de un
rectas paralelas segmento (actividad 10.2.)
Se selecciona un punto A de una de las
rectas y se calcula la distancia de A hasta la Simplemente, se mide el segmento
otra recta (actividad 10.7.). completo con la regla, se obtiene la mitad
de esta medida y se marca el punto medio
M a esa distancia de cualquiera de los ex-
Fig. 14: Construcción de una recta paralela tremos.
a una dada
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26. 12.3. Construir la mediatriz de un seg-
mento (actividad 10.1.)
Se coloca el borde de la regla sobre el
segmento dado. El borde de uno de los ca-
tetos se desliza pegado a la regla, hasta que
el vértice del ángulo recto coincida con M,
el punto medio del segmento. Apoyando el
lápiz sobre el borde del otro cateto, se traza
la recta correspondiente.
Fig. 17: Construcción de una perpendicular a Fig. 18: Construcción de rectas paralelas a
una recta desde un punto exterior a la misma, una dada, utilizando regla y escuadra
utilizando regla y escuadra
12.5. Construir la perpendicular a una 12.8. Construir una paralela a una rec-
recta que pase por un punto de la mis- ta dada, que pase por un punto exterior
ma (actividad 10.6.) a la recta (actividad 11.3.)
El caso es similar a la actividad 12.3. Es también un caso particular de la ac-
tividad 12.6.
12.6. Construir rectas paralelas a una
dada (actividad 11.2.) 12.9. Trasladar un ángulo, corriendo el
Dada una recta r, se coloca la regla de vértice sobre uno de sus lados (activi-
Fig. 16: Construcción de la mediatriz de un tal manera que al deslizar pegado a ella el dad 9.4.)
segmento utilizando la escuadra borde de uno de los catetos de la escuadra, Es un caso similar al 12.6. Si r es la rec-
el borde del otro cateto coincida con la rec- ta sobre la que se va a desplazar el vértice
12.4. Construir la perpendicular a una ta r. Hecho este ajuste, basta con deslizar hasta un punto A, se coloca la regla de tal
recta desde un punto exterior a la mis- la escuadra sobre la regla e ir trazando las manera que al deslizar pegado a ella el bor-
ma (actividad 10.5.) paralelas que se deseen. de de uno de los catetos de la escuadra, el
Sea P el punto exterior a la recta. Se co- borde del otro cateto coincida con el lado
loca el borde de la regla sobre el segmento 12.7. Determinar si dos rectas son pa- del ángulo que no descansa sobre la recta
dado. El borde de uno de los catetos se des- ralelas (actividad 11.1.) r. Hecho este ajuste, basta con deslizar la
liza pegado a la regla, hasta que P quede en Es un caso particular de la actividad escuadra sobre la regla y trazar la paralela a
el borde del otro cateto. Entonces, apoyan- 12.6. este último lado, que pase por A.
do el lápiz sobre el borde del otro cateto, se
traza la recta correspondiente.
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