Apresentação de Algoritmos Gulosos na disciplina Análise de Algoritmos do mestrado da UFG.

1. Algoritmos Gulosos e Aproximados
Dianne Dias Silva
Inael Rodrigues
Jarderson Cruz

2. O que são algoritmos gulosos?

3. O que são algoritmos gulosos?
Algoritmo guloso, ou ganancioso, é uma técnica de algoritmos para resolver
problemas de otimização, sempre realizando a escolha que parece ser a
melhor no momento; fazendo uma escolha ótima local, na esperança de que
esta escolha leve até a solução ótima global.

4. Características dos Algoritmos
● Utilizados para otimização;
● Um algoritmo guloso é "míope";
● Nunca voltam atrás;
● Algoritmos simples e de fácil
implementação;
● Nem sempre conduz à soluções ótimas
globais;
● Podem efetuar cálculos repetitivos.

5. Elementos do Algoritmo Guloso
● Propriedade de escolha gulosa;
● Subestrutura ótima.

6. Algoritmo Guloso Genérico

7. Problema do Troco

8. Problema do Troco
● Troco de $2.89;
● Moedas = { 100, 25, 10, 5 , 1 };
● Min (Troco): 2 de valor 100, 3 de valor 25, 1
de valor 10 e 4 de valor 1.

9. Algoritmo do Troco

10. Seleção de Atividades

11. Seleção de Atividades
● S = a1, a2, . . . , an um conjunto n atividades
que desejam utilizar um mesmo recurso;
● ai possui um tempo de início (si) e um tempo
de término (fi);
● 0 ≤ si < fi < ∞;
● ai e aj são compatíveis se si ≥ fj ou sj ≥ fi.

12. Seleção de Atividades

13. Seleção de Atividades

14. Seleção de Atividades

15. Seleção de Atividades

16. Seleção de Atividades

17. Seleção de Atividades

18. Seleção de Atividades

19. Seleção de Atividades

20. Algoritmo da Seleção de Atividades

21. Algoritmo da Seleção de Atividades

22. Estratégia Gulosa X Programação
Dinâmica
● Programação Dinâmica: Escolha depende
das soluções para os subproblemas (Top-
down), ou seja, subproblemas menores para
os maiores;
● Estratégia Gulosa: Não depende das
soluções para os subproblemas (Bottom-
up), isto é, a instância de um problema é
reduzida a cada iteração, através da escolha
gulosa.

23. Problema da Mochila
● Problema da mochila 0-1: um ladrão tem
que levar itens inteiros e pode levar um
mesmo item apenas uma vez;
● Problema da mochila fracionária: o ladrão
pode levar frações de cada item;
● Pode se utilizar uma estratégia gulosa para
resolver o problema da mochila fracionária,
mas não para resolver o da mochila 0-1.

24. Problema da Mochila

25. Algoritmos Aproximados
● Um algoritmo de aproximação retorna
soluções aproximadas;
● São algoritmos de tempo polinomial para
vários problemas NP-completos;
● Tais algoritmos possuem relação de
aproximação se para qualquer entrada, que
indica solução obtida está dentro do fator
definido do custo da solução ótima;

26. Relação de Aproximação
● A relação de aproximação p(n) é definida
em termos do custo C* de uma solução
ótima;
● Para qualquer entrada de tamanho n, o
custo C da solução produzida pelo algoritmo
de aproximação está dentro de um fator p(n)
da solução ótima;

27. Relação de Aproximação
● Estas definições se aplicam tanto a
problemas de minimização quanto
maximização;
● Maximização (0<C<C*): a relação C*/C o
fator do custo da solução ótima é maior que
o custo da solução aproximada;
● Minimização (0<C*<C): a relação C/C* o
fator do custo da solução aproximada é
maior que o custo da solução ótima;

28. Relação de Aproximação
● A relação de aproximação nunca é menor
que 1, pois C/C*<1 implica C*/C>1;
● Quando a relação de aproximação é
independente de n, a denotamos de p(n);
● É possível alcançar relações de
aproximação cada vez melhores, mas ao
custo de mais tempo de computação.

29. Esquemas de Aproximação
●O esquema de aproximação é um algoritmo
de aproximação que toma como entrada não
apenas uma instância do problema, mas
também um valor ε;
●Tal que para qualquer ε fixo, o esquema é um
algoritmo de aproximação (1 + ε);

30. Esquemas de Aproximação
● Se o esquema de aproximação é executado
em tempo polinomial para qualquer ε > 0
fixo, o chamamos de esquema de
aproximação de tempo polinomial;
● Se o tempo de execução é polinomial em 1/ε
quanto ao tamanho n da instância da
entrada, o chamamos de esquema de
aproximação de tempo completamente
polinomial.

31. Algoritmos Aproximados
● Cobertura de Vértices: Problema de
Decisão;
● Cobertura de Vértices Mínima: Problema de
Otimização.

32. Cobertura de Vértices
● Se o problema é enunciado como um problema de
decisão, é chamado de o problema da cobertura de
vértices:
○ Instância: Grafo G e um inteiro positivo K.
○ Questão: Tem G uma cobertura de vértices de
tamanho máximo de K?
● O problema da cobertura de vértices é um problema
dos 21 problemas NP-completos de Karp.

33. Cobertura de Vértices
● O problema da cobertura de vértices mínima
é um problema de otimização que consiste
em encontrar a menor cobertura de vértices
em um grafo dado.
○ INSTÂNCIA: Grafo G;
○ SAÍDA: Menor número K de tal forma que G tem
uma cobertura de vértices de tamanho K.
.

34. Cobertura de Vértices
● Definição: Na Teoria dos grafos, uma
cobertura de vértices de um grafo é um
conjunto de vertices tal que cada aresta do
grafo é incidente, a pelo menos, um vértice
do conjunto.

35. Cobertura de Vértices
● A versão de otimização do problema de
cobertura de vértices consiste em encontrar
a cobertura de vértices de um grafo que
requer o menor número de vértices.
○ A chamada cobertura de vértices ótima.

36. Cobertura de Vértices
● Cobertura qualquer:
● Cobertura Mínima:

37. Cobertura de Vértices
● Como seria uma heurística plausível para
obter uma boa cobertura de vértices?
○ Adicione os nós de maior grau a C até que todas as
arestas estejam cobertas.
● Esta heurística não é uma aproximação
○ A sua relação de aproximação cresce a uma taxa
log n, em que n é o número de vértices.

38. Cobertura de Vértices
● Para criarmos um algoritmo de aproximação
neste caso, usaremos uma técnica que
aparentemente é menos sofisticada do que
aquela heurística.
○ Comece com C Vazio;
○ Enquanto houver alguma aresta não coberta,
escolha arbitrariamente uma aresta (u,v), adiciona-a
a um conjunto A, adicione u e v a C e os remova de
G, juntamente com as demais arestas incidentes a
elas.

39. Cobertura de Vértices

40. Cobertura de Vértices
● Quão distante do ótimo a cobertura de
vértices obtida pode ser?
○ A contém arestas de G, das quais, nenhuma
compartilha um mesmo vértice:
■ É um emparelhamento.
○ Limitante: Uma cobertura de vértices ótima,
obviamente contém pelo menos um vértice ligado a
cada uma das arestas A:
■ Senão alguma aresta não seria coberta;
■ Então |C*|>= |A|.

41. Cobertura de Vértices
● A cobertura de vértices C comtém os dois
vértices de cada aresta em A, logo:
|C|=2|A|
● Combinando as duas equações, temos
que:
|C|<=2|C*|

42. Cobertura de Vértices
● Desta forma, este é um algoritmo de
aproximação 2 de cobertura de vértices
○ O tamanho da cobertura de vértice retornada é no
máximo 2 vezes maior do que a cobertura de
vértices ótima.
● Ainda, o algoritmo é polinomial
○ Consiste em remoção e adição de arestas e adição
de elementos em um conjunto.
● Surpreedentemente, este é um dos
melhores algoritmos de aproximação para
cobertura de vértices.

43. Referências Bibliográficas
● CORMEN, T. H., LEISERSON, C, E.,
RIVEST, R. L. e STEIN, C. “Algoritmos:
Teoria e Prática”. 2ª ed. Ed. Campus, 2002.
● ZIVIANI, Nivio. "Projeto de Algoritmos com
Implementações em Pascal e C". 3ª ed. Ed.
Pioneira Thomson Learning, 2010.