O documento apresenta 10 questões de geometria plana retiradas de um livro de problemas. As questões envolvem cálculos e propriedades de triângulos isósceles, losangos, pentágonos regulares e relações métricas entre segmentos e ângulos.

1. Exercícios de Geometria Plana retirados do
Livro - Problemas sem Problema Vol.4
Eduardo Mauro
01- Considere um triângulo isósceles ABC onde AB = AC, como
mostra a figura abaixo. Sabendo que BÂC = 120°. Calcular a
soma das medidas dos ângulos BPI e PIC, sendo ICB = ABP =
10°.
a)
b)
c)
d)
e)
80°
90°
100°
70°
69°
02- Considere um triângulo isósceles ABC onde AB = AC. A
ceviana AS e a altura AH cortam a ceviana BP nos pontos M
e N, respectivamente. Sabendo que AS é perpendicular a BP
e que o ângulo AHM = 14°, calcular a medida do ângulo
MÂB.
a)
b)
c)
d)
e)
87°
122°
67°
76°
58°
03- Em um triângulo isósceles ABC com AB = AC, sejam K e L
pontos sobre os lados AB e AC de modo que BK + LC = KL.
Pelo ponto médio M do segmento KL traça-se uma reta
paralela ao lado AC que intercepta o lado BC no ponto N. A
medida do ângulo KNL é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
04-
45°
60°
90°
100°
120°
Na figura abaixo, determinar o valor do lado AC em função
de “a” e “b”.
a) 3
b) 3  1
2 3
2
3 1
d)
2
2 3
e)
2
06- Os lados de três pentágonos regulares são respectivamente
3cm, 4cm e 12cm. O lado do pentágono equivalente à soma
dos três pentágonos é igual a:
c)
a)
b)
c)
d)
e)
11
12
13
14
15
07- ABCD é um losango cujos lados medem 13cm. E, F e G são
pontos sobre os lados BC, CD e DA, respectivamente, tais
que BE = CF = DG = 8cm. A reta AB intercepta as retas FG e
EG, respectivamente, nos pontos J e K. A medida do
segmento JK é de:
337
cm
24
445
b)
cm
24
227
c)
cm
24
317
d)
cm
24
443
e)
cm
24
a)
08- Um triângulo isósceles tem os lados congruentes medindo
5cm e a base medindo 8cm. A distância entre o seu incentro
e o seu ortocentro é de:
1
a) cm
3
5
b) cm
3
3
c) cm
2
d)4,5cm
e)4 cm
09- Em um triângulo ABC, a bissetriz externa CF forma com a
bissetriz interna BF um ângulo de 10° e a altura AH forma
com a bissetriz interna AS um ângulo de 30°. O maior ângulo
interno do triângulo ABC mede:
05- Em um triângulo de vértices A, B e C, retângulo em A, os
catetos AB e AC medem respectivamente 6 3cm e 6cm ,
traça-se o segmento AM, sendo M pertencente e interno ao
segmento BC. Sabendo-se que o ângulo MÂC = 15°, a razão
entre as áreas dos triângulos AMC e ABC, respectivamente é:
a)
b)
c)
d)
e)
O problema é impossível
110°
120°
130°
140°
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2. 10- Em um triângulo acutângulo, a medida do segmento que
une os pés de duas alturas mede 24cm e M o ponto médio
desse segmento. A medida do lado que não é interceptado
pelo segmento é igual a 26cm e N é o ponto médio desse
lado. Determine a medida de MN.
a)
b)
c)
d)
e)
BAS  76
MAB  BAS  76
LETRA: D
3.
7cm
6cm
25cm
1cm
5cm
RESOLUÇÕES
1.
Chamamos: BK  x e CL  y
logo KL  x  y
Sabe-se que ABC  ACB  a
Tracemos KP / / AC  é fácil observar que o quadrilátero
Tracemos BI. É fácil concluir que P é o ex-incentro do
BAI
triângulo ABI, Logo BPI 
BPI  30.
2
No quadrilátero PBCI (bumerangue), sabe-se que
PIC  30  20  10PIC  60
Como pede-se BPI  PIC , temos:
BPI  PIC  60  30
KLCP é um trapézio e que MN é sua base média e que o
xy
triângulo BKP é isósceles KB  KP  x , então MN 
.
2
Percebe-se que MN vale a metade de KL . Como M é o
ponto médio de KL , MN é uma mediana do triângulo
KNL, logo, se vale a metade do lado, é uma mediana
relativa a uma hipotenusa, então KNL  90 .
LETRA: C
4.
BPI  PIC  90
LETRA: B
2.
Chamemos AC  x e CT  m.
É fácil concluir que os triângulos TOC e ABC são
a m
ax
semelhantes, logo   m 
b x
b
Aplicando Pitágoras no triângulo TOC tem-se:
Consideremos o triângulo ABS, é fácil observar que N é o
seu ortocentro, então QHM  28 ,
logo 28  180  2BAS 2BAS  152
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3. (x  a)²  m²  a²
a² x ²
x ²  2ax  a² 
 a²
b²
b² x ²  2axb²  a² x ²  0(: x)
b² x  a² x  2ab²
x(b²  a²)  2ab²
2ab²
2ab²
x
logo AC 
b²  a ²
b²  a ²
7.
5.
Se AB  6 3 e AC  6, a hipotenusa BC  12, é fácil
observar que o triângulo AMB é isóscele, logo: MB  6 3
Sabe-e também que

S AMC 6 2  3

S ABC
12

S AMC 2  3

S ABC
2
LETRA: C
6.
Podemos afirmar que o triângulo GJA é semelhante ao
triângulo GFD, logo:
5 8
25
 x 
x 5
8
E que o triângulo KAG é semelhante ao triângulo KEB,
5 KA
então, 
8 KB
25
y
5
8

8 y  25  13
8
125
8y  25  5y 
 65
8
125
3y 
 40
8
24 y  125  320
y
Seja l o lado do quarto pentágono e S a sua área. Podemos
afirmar que:
S1 9

S l2
S2 16

S l2
S3 144
 2
S
l
Somando-se membro a membro, tem-se:
S1  S2  S3 169
 2  mas, S1  S2  S3  S
S
l
Logo:
169
 1 l 2  169  l  13
l2
445
24
LETRA: B
8.
LETRA: C
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4. Se os lados medem 5cm, 5cm e 8cm, o triângulo é
obtusângulo 64 > 25 + 25, sabe-se também que AH  3.
Pelo teorema das bissetrizes internas tem-se:
5
4
5

 4 x  15  5x  9 x  15  x 
x 3 x
3
Sabe-se que os triângulos HPB e HCA são semelhantes,
então:
3 y 4
7
 y 
4
3
3
Logo:
Seja ABC o triângulo em questão. Se traçarmos NH será
fácil concluir que é uma mediana relativa à hipotenusa AB
do triângulo ABH, logo NH  13cm, a mesma coisa
acontecendo com o segmento PN , logo o triângulo PNH é
isósceles e MN uma de suas alturas (M é o ponto médio de
PH ).
Aplicando Pitágoras no MNH tem-se MN  5cm
LETRA: E
PI  x  y
5 7
PI  
3 3
12
PI   PI  4
3
LETRA: E
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Mestre Miyagi:
9.
É fácil concluir que o triângulo ABC é obtusângulo em B.

A
sabe-se que o ângulo BAC  20  10  . Como

2


HAB  20, conclui-se que ABC  90  20 (externo do
triângulo ABH)
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ABC  110
LETRA: B
10.
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