1) O documento descreve a evolução histórica das ideias sobre a estrutura do universo na astronomia antiga, desde as primeiras observações até o sistema heliocêntrico de Copérnico. 2) Foram propostos vários modelos como o geocêntrico de Ptolomeu, o híbrido de Heráclides e o heliocêntrico de Aristarco para explicar os movimentos celestes. 3) A introdução dos algarismos indo-arábicos e o uso do telescópio por Galileu foram fundamentais para

1. Estruturando e medindo o Mundo na Antigüidade R. Boczko IAG-USP 16 01 11

2. Mundo na Antigüidade Estrelas (~6000) Lua S l Marte Mercúrio Júpiter Vênus Saturno

3. História da Astronomia ~1453 Queda de Constantinopla Idade Média Revolução Francesa 1789 Idade Moderna Idade Contemporânea Queda do Império do Ocidente ~476 Idade Antiga Descrição cinemática do céu (estudo dos movimentos e ciclos) Comportamento dinâmico dos astros (gravitação) Astrofísica (aplicação dos conceitos de física no estudo dos astros) Astronomia Moderna Astronomia Antiga ~500 a.C. Astronomia clássica ~1400 Astronomia Renascentista ~1650 Newton Mecânica Clássica Galileu Uso do telescópio

4. Astronomia Antiga Equador

5. Alguns Astrônomos Famosos Ulugh Beg Catálogos estelares Ptolomeu Sistema Geocêntrico Hiparcos Distância Terra-Lua Eratóstenes Raio da terra Aristarco Processo p/ obter a distância até o Sol Aristóteles Geocentrismo filosófico Heráclides Sistema híbrido Pitágoras Terra esférica Kepler Raios orbitais Órbitas elípticas Galileu Uso do telescópio Tycho Brahe Excelente observador Copérnico Sistema Heliocêntrico Filolau Heliocentrismo religioso Tales Previsão de eclipse solar Platão Estrelas fixas na esfera e planetas errantes Eudoxo Geocentrismo Newton Mecânica Clássica 200 400 1000 800 600 400 200 1200 1400 1600 0 1800 2000 600

6. Evolução das idéias sobre a Estrutura do Mundo

7. Heliocentrismo religioso ou filosófico Sol

8. Akenaton ( Egípcio, séc. XIV a.C. ) Heliocentrismo por convicção religiosa ! Sol Mundo

9. Heliocentrismo ( Filolau, Grego 480 a.C.- ? ) Ter Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat Lua gira em torno do Sol! O Sol era um fogo sagrado !

10. Aristarco (séc. III a.C.) Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat A partir de tentativas de medir a distância da Terra-Sol em unidades de distância Terra-Lua: Sol tem que ser muito maior qua a Lua e a Terra Sol no centro do Mundo Ter

11. Idéias sobre a forma da Terra

12. Tales ( Grego, séc. VI a.C. ) A Terra é um disco chato num Universo infinito de água Como ele vivia na Grécia, que é formada por muitas ilhas, a ideia de comparar o Mundo com uma ilha não deve ter sido muito difícil. Terra

13. Latitude astronômica  Norte Leste Oeste Polo Norte PN N Horizonte 

14. Altura do PN em diferentes posições na Terra suposta plana Horizonte PN Observador na posição 1 h 1 S h 2 = h 1 =  Estrela Polar suposta no infinito Sentido do deslocamento do observador N h 2 Observador na posição 2 PN

15. Uma explicação para a variação observada na altura da estrela Polar Horizonte N Polar Observador na posição 1 h 1 S h 2  h 1 Inferência: A estrela Polar estaria muito próxima da Terra e essa seria plana. h 2 Observador na posição 2 Sentido do deslocamento do observador

16. Outra explicação para a variação na altura do PN Horiz. 1 h 1 N PN Horiz. 2 h 2 N PN w Horiz. 2 Horiz. 1 h 2 h 1 N PN PN PN PS

17. Anaximandro ( Grego, séc. VI a.C. ) Eixo de rotação Equador W L PN Eclíptica Universo composto por ápeirion (infinito) w Horiz. 1 h 1 Variação na altura da estrela Polar Estrela Polar Terra Horiz. 2 h 2

19. Carroça descendo a ladeira Rua Plana Visão do Observador: + Carroça completa + Imagem cada vez menor, mas inteira Visão do Observador: + Carroça desaparecendo gradativamente + Desaparece a roda + Desaparece a carroceria + Desaparece o carroceiro + Imagem cada vez menor Rua Em Descida

20. Esfericidade da Terra Terra esférica

21. Tipos de Eclipses Lunares Sol Terra Eclipse Lunar Lua Lua Sol Lua Lua Eclipse Lunar Total Parcial Lua Sombra da Terra Terra esférica

22. Sombra sempre circular da Terra Conclusão: Para a sombra da Terra ser sempre circular, a Terra deve ser esférica. 00 h Sol Terra plana 06 h Sol Terra plana 12 h 18 h 06 h 00 h Sol Terra

23. Primeira foto da Terra mostrando efetivamente sua esfericidade !968 Terra Lua

24. Geocentrismo por convicção Terra

25. Platão (Grego, IV a.C.) Terra Céu As estrelas estão fixas à esfera celeste. Os planetas vagam entre as duas esferas. Platão

26. Sistema Geocêntrico ( Eudoxo de Cnido, grego, séc. IV a .C. ) Esfera das estrelas fixas Ter Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat 27 esferas

27. Aristóteles (Grego, séc. IV a.C. ) Geocentrismo por convicção filosófica! Mundo Terra Esfera das estrelas fixas Ter Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat Água Ar Terra Fogo Éter 55 esferas

28. Sistema Geocêntrico Puro ( Ptolomeu, séc. II ) Esfera das estrelas fixas Ter Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat

29. Geocentrismo, mas ... com ressalvas! Terra

30. Disposições (im)possíveis de planetas com relação ao Sol Esfera das estrelas fixas Ter Vênus nunca se afasta muito do Sol. (do ponto de vista angular) Vên Júp Vên Vên Júp Júp Júp

31. Posição de Mercúrio ou de Vênus em relação ao Sol Observação de Vênus após o pôr-do-sol: Ele nunca se afasta muito do Sol. Lado Oeste Sol Vênus Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 Dia 6 Observação de Vênus antes do nascer do Sol: Ele nunca nasce muito mais cedo do que o Sol. Lado Leste Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 Dia 6 Sol

32. Sistema Híbrido ( Heráclides, séc. IV a .C. ) Esfera das estrelas fixas Lua Vên Mar Júp Sat Mer Ter

33. Problemas no geocentrismo Terra

34. Teoria versus Observação ? Calculei ! Estará lá ! Errooou ! Estou aquiiii !

35. Sistema de Epiciclos ( Apolônio, séc. III a .C. ) Planeta Gira com MCU em torno de E Deferente E: Ponto fictício que tem MCU em torno da Terra Ter E Epiciclo

36. Sistema Complexo de Epiciclos Ter Planeta E Deferente Epiciclo Epiciclo Epiciclo Cada epiciclo pode ser o deferente de outro epiciclo

37. Geocentrismo forçado! Terra ( Ptolomeu, séc. II ) Almagesto

38. Geocentrismo com epiciclos Lua Mer Mar Vên Júp Sat Céu Ter ( Ptolomeu, séc. II )

39. Dificuldades de cálculo

40. Dificuldade matemática no Egito

41. Dificuldade matemática na Babilônia Sistema sexagesimal O zero era representado por um espaço entre os algarismos.

42. Algarismos Romanos 1 I 5 V 10 X 50 L 100 C 500 D 1.000 M 1.000.000 M

43. Evolução dos algarismos indu-arábicos Indu: I d.C. Indu: IX d.C. Indu: XI d.C. Indu-arábico Oriental: XI d.C. Indu-arábico Ocidental: XI d.C. Indu-arábico Ocidental: XV d.C. Indu-arábico Ocidental: XVI d.C.

44. Intgrodução dos algarismos indu-arábicos na Europa 1090-1150: Adelardo de Bath Erudito inglês Estudou árabe Traduziu Euclides para o latim Traduziu Al-Khwarizmi Usou os algarismos indu-arábicos 1170-1230: Leonardo Fibonacci Matemático italiano Estudou matemática com árabes Estudou Al-Khwarizmi Escreveu 'O livro do ábaco' Explicou o uso dos algarismo indu-arábicos Fibonacci

45. Um dos motivos da Idade das Trevas Considerado o mais sábio dos santos e o mais santo dos sábios , elaborou a SUMMA TEOLOGICA , que é a a síntese do cristianismo adotando o mundo geocêntrico de Aristóteles . Este seu maior mérito enfim perdurou e prevaleceu como a verdadeira ciência e sabedoria da Igreja Católica até muito além dos tempos de Galileu... Assim foram 400 anos que caracterizaram a Idade Média como: A Idade das Trevas Idade Média São Tomás de Aquino 1225 a 1274

46. Astrônomos árabes Felizmente existiram os ... ... livres das algemas cristãs!

47. Milênio perdido no ocidente Galileu Uso do telescópio Newton Mecânica Clássica Observatório de Istambul (Turquia) ? Ulugh Beg Catálogos estelares Ptolomeu Sistema Geocêntrico Hiparcos Distância Terra-Lua Eratóstenes Raio da terra Aristarco Processo p/ obter a distância até o Sol Aristóteles Geocentrismo filosófico Heráclides Sistema híbrido Pitágoras Terra esférica Kepler Raios orbitais Órbitas elípticas Tycho Brahe Excelente observador Copérnico Sistema Heliocêntrico Filolau Heliocentrismo religioso Tales Previsão de eclipse solar Platão Estrelas fixas na esfera e planetas errantes Eudoxo Geocentrismo 200 400 1000 800 600 400 200 1200 1400 1600 0 1800 2000 600

48. Deslocamento do saber Espanha Portugal França Itália Iugoslávia Alb. Grécia Turquia Síria Egito Líbia Iraque Jordânia Arábia Líbano Israel Bulgária Tunísia Argélia Marrocos Mar Mediterrâneo Mar Vermelho Irã

50. Astronomia Chinesa

51. Descrição chinesa do Céu ~940 d.C.

52. Mapa celeste chinês

53. Esfera celeste chinesa metálica

54. Astronomia chinesa Schall Globo celeste chinês

55. Astronomia chinesa Determinação do solstício Explicação de um eclipse solar

56. Astronomia renascentista

57. Sistema de Tycho Brahe (séc. XVI) Esfera das estrelas fixas Ter Lua Mer Vên Mar Sat Júp

58. Observatórios de Tycho Brahe Stellaburg Uraniburg

59. Quadrante

61. Tycho Brahe observando a supernova de 1572

62. Visão moderna demais ... para a época!

64. Heliocentrismo por conveniência Sol Copérnico

65. Sistema Heliocêntrico ( Copérnico, séc. XVI ) Esfera das estrelas fixas Ter Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat Copérnico ( séc. XVI )

66. Como explicar o movimento aparente não “perfeito” ? Oeste Leste “ Laçada”

67. Explicação das ‘laçadas’ Sol Copérnico 4 P 4 T 4 1 P 1 T 1 P 2 T 2 2 T 0 P 0 3 T 3 P 3 5 T 5 P 5 1 2 3 4 5 Laçada 1 2 3 4 5 Movimentos

68. Tubos e Lunetas

69. Demócrito ( V a.C. ) Via Láctea = Conjunto muito grande de estrelas

70. Hevelius e sua "luneta" vazia (sem lente)

71. Galileu e a luneta Galileu mostrando sua luneta às autoridades de Veneza

72. Observações a olho nu e com telescópios 1609 Era pré-telescópio Galileu Era pós-telescópio

73. Via Láctea Galáxia Galileu (1610) descobriu a composição estelar

74. Mas ... será que Galileu foi realmente o primeiro a observar o céu com uma luneta?

75. Quem começou a usar a luneta celeste? Thomas Harriot 1609 jul 26 Desenhos da Lua feitos por Harriot, aparentemente usando luneta Hans Lippershey Carta citando algo que pode ser um telescópio: "Olhando através dessas lentes, que ele clama ter descoberto, todas as coisas a grande distância podem ser vistas como se estivessem perto." 1608 set 25 Sacharias Janssen Tavez tenha inventado a luneta antes de 1600. Mas ... não há documentos comprobatórios! ~1600 ~1352 Hugh de Provence Construção de óculos usando lentes ~1286 Fabricação das primeiras lentes por um monge de um monastério em Piza Galileu 1610 1609 ago 25 Galileu mostrando a luneta

76. Morte do sistema geocêntrico puro! Galileu Aqui jaz o Geocentrismo

77. Fases de Vênus Sistema Copernicano Sistema Ptolomaico Não perceptível a olho nu 3 4 2 1 5 6 Sol 3 4 2 5 6 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 Sol

78. Fases de Vênus Perto da conjunção inferior Perto da conjunção superior Perto da máxima elongação

79. Satélites de Júpiter ( Galileu, séc. XVII ) Os satélites giram em torno de Júpiter , e não da Terra! Noite 1 Júpiter Noite 2 Noite 3 Noite 4 Noite 5

80. Explicando a visão dos satélites de Júpiter Júp Olhando para Júpiter Io Europa Ganimedes Calixto

81. Morte do Sistema Geocêntrico! Geo Helio Bradley Aberração 1728 Prova da translação da Terra Foucault Pêndulo 1852 Prova da rotação da Terra

82. Distâncias no Sistema solar

83. Tamanho da Sombra Sombra em verdadeira grandeza exige que a fonte esteja no infinito. Fonte de luz Sombra Eratóstenes admitiu que o Sol deveria estar muuuito distante, já que as sombras por ele projetadas apareciam em verdadeira grandeza Eratóstenes

84. Raio da Terra Eratóstenes

85. O Sol em Alexandria e em Siena (séc. III a .C.) Egito Siena Alexandria Eratóstenes Sol Eratóstenes Obelisco

86. Raio da Terra ( Eratóstenes, séc. III a .C. ) L Alexandria Siena R 360 0  2  R   L Terra R = 360 0 L / (2   )  = 7,2 0 L  800 km R Real  6378 km R Eratóstenes = R Real + 15% R Real Obelisco   22 / 7 Raios de Sol  Eratóstenes

87. Obtendo o período orbital da Lua

88. Período orbital da Lua Terra t 1 Estrela X Período orbital T = t 2 – t 1 T = 27,32166 dias Método: Reposicionamento da Lua com relação às estrelas Observa-se a Lua no instante t 1 quando ela está na direção de dada estrela. Observa-se a Lua no instante t 2 quando ela volta a estar na direção daquela mesma dada estrela. Terra t 2 Estrela X

89. Períodos Lunares Período orbital da Lua t 2 -t 1 = 27,321660 dias Período sinódico da Lua t 3 -t 1 = 29,530589 dias Sol Lua Cheia Terra t1 Terra t2 Terra t3 Lua Cheia

90. Período orbital da Lua A = período orbital da Terra =tempo para dar uma volta em torno do Sol T = período orbital da Lua =tempo para dar uma volta em torno da Terra S = período sinódico da Lua =tempo entre duas fases iguais consecutivas Terra: A  360 o S  a Lua: S  360 o + a T  360 o T = 27,32166 dias a Lua Cheia a Terra t 2 Lua Cheia Terra t 1

91. Usando um astrolábio

92. Esquema e uso de um astrolábio simples Transferidor Canudinho de refrigerante Borracha Linha Fita colante Fita colante 0 90 90 0 30 30 0

93. Medindo o semidiâmetro angular do Sol e da Lua com o astrolábio Lua L = semi-diâmetro angular da Lua L ~ 16’ (medido) Sol s = semi-diâmetro angular do Sol s ~ 16’ (medido)

94. Semi-diâmetro angular do Sol e da Lua s  16’ L  16’ Os dois astros têm a mesma abertura angular aparente! Coincidência?! Sol Lua Balestilha

95. Distância da Terra à Lua Hiparcos Almagesto

96. Eclipse Lunar Sol Lua

97. Região de umbra e de penumbra num Eclipse Lunar Umbra Penumbra Corte no 'céu' na região em que a Lua cruza a sombra da Terra durante um eclipse lunar Sol Terra Sol

98. Tipos de eclipses lunares Umbra Penumbra Lua Movimento aparente da Lua no céu Penumbral Parcial Penumbral Total Umbral Total Sem eclipse Umbral Parcial

99. Distância da Terra à Lua ( Hiparcos, séc. II a .C. ) s a b c c L L R L 1 L 2 A B C Sol Lua Q d d = Distância Terra-Lua = ? = Valor procurado R = raio da Terra (Eratóetenes) L = semi-diâmetro angular da Lua  16’ (medido) s = semi-diâmetro angular do Sol  16’ (medido) a = semi-diâmetro angular da Terra vista do Sol  8,794” T = período orbital da Lua  27,3 dias t = Duração do eclipse = t final - t inicial t final t inicial Vela t inicial t final Meio dia Meio dia

100. Trigonometria no triângulo retângulo a b c B se n B = Cateto SE parado / Hipotenusa co s B = Cateto CO lado / Hipotenusa

101. Distância da Terra à Lua s a b c c L L R L 1 L 2 A B C Sol Lua Q d No triângulo BCQ: sen b = R / d Logo: d = R / sen b B b R C Q d

102. Geometria plana A B C Soma dos ângulos internos de um triângulo plano A + B + C = 180 o Ângulo raso 180 o A B C

103. Distância da Terra à Lua s a b c c L A B Lua d R C Sol L Para a Lua: T  360 o t  2( c + L ) No triângulo ABC: a + b + x = 180 o Ângulo raso em C: s + x + c = 180 o a + b + x = s + x + c a + b = s + c a  0 b  s + c No triângulo BCQ: sen b = R / d Logo: d = R / sen b t = t 2 - t 1 x L 2 L 1 Q

104. Distância da Terra ao Sol

105. Aristarco (III a.C.) Sol Translação da Terra Sugeria: # Rotação da Terra em torno de seu eixo # Movimento de translação da Terra em torno do Sol Rotação da Terra Não apresentou provas nem evidências!

106. Distância da Terra ao Sol ( Aristarco, séc. III a .C. ) a d D cos a = d / D D = d / cos a Lua Quarto Crescente Terra Sol D Aristarco ~ 8 milhões de km séc. XVII D Wendelin ~ 96 " km 1642 D Cassini ~ 140 " km D Real  150 " km Trajetória da Lua em torno da Terra Vilão da imprecisão: a  89 0 51' 11"  90 0

107. Configurações planetárias particulares

109. Planetas internos e externos Em ordem de distância e em escala de tamanho S o l Plu Mer Vên Mar Ter Júp Sat Ura Net Plu Planetas internos Planetas externos

110. Configurações Planetárias Sol Interior Exterior Oposição Conjunção Quadratura Ocidental Quadratura Oriental Conjunção Superior Conjunção Inferior Máxima Elongação Ocidental Máxima Elongação Oriental Lua Mer Vên Mar Júp Sat Ura Net Ter Sol

111. Tamanho aparente de Marte ao longo de um período sinódico ~ Conjunção ~ Conjunção ~ Oposição ~ Oposição

114. Raio orbital dos planetas do Sistema Solar

116. Rotação de um corpo rígido   Todos os pontos de um corpo rígido giram em torno de um ponto fixo sob um mesmo ângulo A B O A B

117. Planetas Interiores Distância X: sen B = X / D X = D . sen B Períodos S = t 3 - t 1 = Sinódico T = ? = Orbital A = 365,256 (Orb. da Terra) Terra A  360 0 S  a Planeta S  360 0 + a T  360 0 1/T = 1/A + 1/S b b tempo B B = b máximo Ângulo entre o Sol e o planeta T 1 D X B P 1 P 2 P 3 P 4 a a T 1 T 3 P 1 P 3 P 2 D X b T 2

119. Planetas Exteriores T 1 T 3 P 1 P 3 T 2 P 2 a Terra A  360 0 S  360 + a Planeta S  a T  360 0 1/T = 1/A - 1/S Terra Planeta A  360 0 T  360 0 t  b t  c No  ST 2 P 2  = b - c cos  = D / Y Y = D / cos  T 1 P 1 T 2 P 2 Sol b c  D Y t = t 2 - t 1

120. ‘ Lei’ empírica de Titus & Bode Descobridor (?) Johann Titius von Wittenberg (1766) Divulgador: Johann Bode (1747-1826) Bode Titus

121. Lei de Titus-Bode (1766) Astro n D Real (UA) Mercúrio -  0,40 0,39 Vênus 0 0,70 0,72 Terra 1 1,00 1,00 Marte 2 1,60 1,52 Asteróides 3 2,80 2,80 Júpiter 4 5,20 5,20 Saturno 5 10,0 9,54 Urano 6 19,6 19,2 Netuno 7 38,8 30,1 Plutão 8 77,2 39,4 D = 0,4 + 0,3 * 2 n Sol D Planeta Terra D Terra = 1

122. Determinação da velocidade da luz

123. Satélites de Júpiter ( Galileu, séc. XVII ) Os satélites giram em torno de Júpiter , e não da Terra! Noite 1 Júpiter Noite 2 Noite 3 Noite 4 Noite 5

125. Velocidade da Luz segundo Röemer / Huyghens J J T T A partir dos dados de Röemer v = 227.000 km Real c  299.792 km Eclipse parece acontecer atrasado Röemer Dinamarquês 1644 - 1710 Fez as medidas 1676 Huyghens Holandês 1629 - 1695 Interpretou os dados 1690

126. Velocidade da luz, segundo Röemer (Dinamarca, 1675) 1 Júpiter 1 3 3 2 2 Terra Sol r = 150.000.000 km Real c  300.000 km Valores dos  t 0 + 8 m - 8 m Seqüência cronológica das ocultações ~16 min c = d / (  t + +  t - ) d = 2r c Röemer  227.000 km/s

127. Duração do dia solar num planeta qualquer

128. Dia Solar num planeta Estrela distante R (Período de rotação) Sol O (Período orbital do planeta) Rotação D  360 0 + x R  360 0 Translação D  x O  360 0 1/D = 1/R + 1/O D = O • R / (O - R) D (Dia Solar do planeta) x x

129. Mas será que as órbita dos planetas são mesmo circulares?

130. Órbita da Terra segundo Kepler

131. Lei do seno num triângulo qualquer a b c A B C a / sen A = b / sen B = c / sen C

132. Distâncias da Terra ao Sol M 0 =M 1 =M 2 Terra: s = (360 o / T) ( t’- t 0 ) No  STM m = 180 o - s - b d / sen m = D / sen b D = Sol- Marte = constante depois de cada ciclo d = ? = Sol-Terra (constante?) T 0 D SM b = ângulo medido entre o Sol e Marte Sol T = período orbital da Terra t´- t 0 = múltiplo do período orbital de Marte T 1 s 1 m 1 b 1 d 1 T 2 s 2 m 2 b 2 d 2 a b c A B C a / sen A = b / sen B = c / sen C

133. Órbita da Terra em torno do Sol, segundo Kepler M 0 T 0 D SM Sol Diagrama polar Circunferência! M 0 T 0 T 1 s 1 m 1 b 1 d 1 T 2 s 2 m 2 b 2 d 2 D SM Sol T 1 s 1 d 1 T 2 s 2 d 2 Centro

134. Órbita de Marte segundo Kepler

135. Distância do Sol à Marte segundo Kepler Terra a = (360 o / T) ( t’- t ) No  STM m = 180 o - s - b No  STM d / sen m = D / sen b Marte n = ( 360 o / M ) ( t’- t ) D = ? = Sol- Marte d = Sol-Terra = conhecido M 0 T 0 D SM s = a - n Sol b = ângulo medido entre o Sol e Marte M = período orbital de Marte T 1 s 1 m 1 b 1 d 1 D 1 n 1 a 1 M 1 T 2 b 2 s 2 m 2 d 2 D 2 n 2 a 2 M 2 a b c A B C a / sen A = b / sen B = c / sen C

136. Órbita de Marte segundo Kepler T 0 D SM M 0 Sol Elipse D 2 n 2 M 2 D 1 n 1 M 1 M 0 T 0 D SM T 1 s 1 m 1 b 1 d 1 D 1 n 1 a 1 M 1 T 2 b 2 s 2 m 2 d 2 D 2 n 2 a 2 M 2 Sol

137. Leis de Kepler

138. Primeira Lei de Kepler ( 1571 - 1630 ) Um planeta gira em torno do Sol numa órbita elíptica, sendo que o Sol ocupa o foco da elipse. Sol Semieixo maior Semi eixo menor Foco Planeta

139. Segunda Lei de Kepler Foco A A  t  t Um planeta gira em torno do Sol numa órbita elíptica, sendo que o Sol ocupa o foco da elipse.

140. Terceira Lei de Kepler Existe alguma relação entre r e T ? T’ m’ r’ M m T r

141. Obtenção da terceira lei de Kepler r T r 3 = k T 2 r 3 T 2 r 2 T r 3 T r 3 T 3

142. Terceira Lei de Kepler ( r / r’ ) 3 = ( T / T’ ) 2 r 3 = k T 2 O cubo do semieixo maior é proporcional ao quadrado do período orbital T’ m’ r’ M m T r

143. Enunciado atual da Terceira Lei de Kepler ( r / r’ ) 3 = { ( M + m ) / ( M + m’ ) } x ( T / T’ ) 2 T’ m’ r’ M m r T r 3 = [G/(4  2 )] ( M + m ) T 2 Expressão correta: ( r / r’ ) 3 = ( T / T’ ) 2 r 3 = k T 2

144. Mecânica Clássica Newton

145. Fim R. Boczko