Beweisaufgaben

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The German presentation, given at the 11th Koblenz eLearning Days June 10 2013, explores possibilities to automatically check proofs and arguments in eAssessments using standard Learning Management Systems. It reports experience from an eAssessment in Mathematics using the open source LMS Ilias.

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Beweisaufgaben

  1. 1. Beweis- undArgumentationsaufgaben ineKlausurenIngo Dahn und Engelbert NiehausUniversität Koblenz-Landau
  2. 2. HinweisDie Präsentation wurde am 11.6.2013 bei den 11. KoblenzereLearning-Tagen vorgestellt.Der 2. Autor konnte an der Präsentation leider nicht teilnehmen – dieVerantwortung für alle Fehler liegt beim 1. Autor.Die Möglichkeiten von Theorembeweisern zur Kontrolle von Beweisensind bekannt. Sie wurden hier nicht berücksichtigt, da ihre BedienungSpezialkenntnisse erfordert die in Klausuren nicht vorausgesetztwerden können.
  3. 3. Was kommt?• Was sind Beweis/Argumentationsaufgaben?– Wo sind sie wichtig? Warum?• Die eKlausur Funktionalanalysis in Landau• Welche Probleme sind zu lösen?• Wie kann man Beweise in eKlausuren besserunterstützen?
  4. 4. Beweisaufgaben?• Begründen Sie…, Beweisen Sie…• Nicht: Lösen Sie…, Vereinfachen Sie…• In der Mathematik/Mathematik-Lehrerausbildung wichtig, in derSchule kaum geübt• Nicht so wichtig in der angewandten Mathematik• Wichtig in nicht-mathematischen Fächern• These: Beweisaufgaben kann man nicht automatischkorrigieren
  5. 5. Beweisaufgaben…• … erziehen zu exaktem Denken• … erziehen zu strukturiertem Denken• … erziehen zu (selbst)kritischem Denken• … sind aufwendig zu korrigieren• … sind prototypisch für Argumentationen inanderen Fächern
  6. 6. Die Mathe-eKlausur in Landau• Anforderung:– Beweisaufgaben (Funktionalanalysis)– Mit ILIAS-EA– Automatisch korrigiert– 24 Teilnehmer• Lösung in Aktion
  7. 7. 10.06.13Klausurergebnis 4 Aufgaben von einfach (A1) zu schwer (A4) A1, A2, A3 elektronisch – A4 Papier & Bleistift Alle Aufgabenteile wurden zu 90% auf Papier bearbeitet(Fragmentliste auf Aufgabenblatt) Bei Papier&Bleistift-Aufgabe erhält der e-Klausurteilnehmer keinGerüst aus Fragmenten.Aufgabe A1 A2 A3 A4%-Mittelwert 98,41% 95,00% 40,91% 29,09%
  8. 8. Meinungen der Teilnehmer
  9. 9. 10.06.13Hilfen & Komplexität Anzahl der notwendigen Beweisfragmente:Bei den Aufgaben wurde angegeben, wie vieleBeweisfragmente für den Beweis notwendigsind (Angaben könnten entfallen). Anzahl der intelligente Falschanwortensowohl für das Vorwärtsarbeiten als auch fürdas Rückwärtsarbeiten erhöhen.
  10. 10. 10.06.13Arbeitsrichtungen Interpolationsbeweise:Vorwärts- & Rückwärtsarbeiten(Stein, Problemlösen)Start ZielintelligenteAlternativenfür die Beweis-fragmente
  11. 11. Methode: Lückentext
  12. 12. Methode: Zuordnungsaufgabe
  13. 13. Beweise haben viele Varianten• Zeigen Sie, dass B aus A folgt.– Wir setzen A voraus, dann gilt offenbar B– A, dann C, dann D, dann C, dann D, dann BDie Zahl der praktisch vorkommenden korrektenVarianten ist begrenzt, aber möglicherweise sehr großKonsequenz: Varianten können nicht alle aufgezähltwerdenVarianten die nicht als korrekt erkannt werden könnendennoch korrekt sein
  14. 14. Begrenzung der Variationen• Formulierung der Aufgabenstellung• Beschränkung der möglichen Eingaben• Feste Vorgabe von Teilen die variiert werdenkönnten• Mehrere korrekte Lösungen vorsehen• Je mehr vorgegeben wird, desto einfacher wirddie Aufgabe!
  15. 15. 10.06.13Automatische Bewertung der e-Klausur Bewertungen erwarten in der aktuellen Form ein bestimmtesBeweisfragment an genau einer Stelle im Beweis.Fragment 2Fragment 3Fragment 4Fragment 5Fragment 6Fragment 1 Fragment 3Fragment 4Fragment 5Fragment 6Fragment 1Fragment 7vergessenFragment 2Fragment 3Fragment 4Fragment 5Fragment 6Fragment 1Fragment 7Fragment 2
  16. 16. Einfacher Beweis• (1)• (2) wegen (1)• (3) wegen (2)• (4) wegen (3)• …• (Behauptung)Jede Aussage hängt von der vorherigen abEindeutige Lösung
  17. 17. Tiefer Beweis• (1)• (2) wegen (1)• (3) wegen (2)• (4) wegen (1,3)• …• (Behauptung)Jede Aussage hängt von der vorherigen undmöglicherweise weiteren Aussagen abEindeutige Lösung
  18. 18. Hybridklausur• Arbeit mit Formeln auf Papier/mit Word• Übertragen der Ergebnisse in die eKlausur• Beweiscode in Textlücke wenn nur wenigeLösungen möglich sindBeispiel
  19. 19. Verzweigter Beweis(B) (H)(G) wegen (B) (C) wegen (H)(A) wegen (G) (D) wegen (C)(I) wegen (A) (J) wegen (D)(F) wegen (I) und (J)(E) wegen (F)…(Behauptung)(I),(J)  (F)Mehrere Lösungen – mischbarBGAIHCDJFE; HCDJBGAIFE
  20. 20. Zu viele Lösungen?a) Lösungen nicht aufzählen, sondernbeschreiben:Voraussetzungen ((I),(J)) müssen vor Folgerung (F)kommen.Test mit externem Programm möglichProgramm kann Fehler erkennen
  21. 21. Zu viele Lösungen?b) Abhängigkeiten erkennenA-GBC-HD-CE-FF-I,JG-BHI-AJ-D
  22. 22. Ein Eingabewerkzeug
  23. 23. Differenzierte Bewertung?• Richtige Begründungen geben Punkte– Auch wenn nicht der ganze Beweis richtig ist– Punkte := Richtige – Falsche + 0,5*Unvollständige• Einzelschritte (die der Lernende eingibt!)bewerten ODER• Komplexere Auswertungen unterstützen
  24. 24. Implementierung in IMathAS• Text einer Aufgabe kann vorherige Antworteinbeziehen• Verarbeitung der Antwort und Berechnung derPunktezahl können programmiert werden
  25. 25. Fazit• Anspruchsvolle Beweisaufgaben mitautomatischer Korrektur sind möglich• Es ist mitunter schwierig, alle richtigenLösungen vorauszusehen• Werkzeuge zur Unterstützung von Eingabe undAuswertung sind möglich• Papier ist als Hilfsmittel wichtig

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