Quantenphysik

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Quantenphysik

  1. 1. Hallo Ich bin der Carl und werde euch heute irgendwas uber ¨ Quantenphysik erz¨hlen. a
  2. 2. ¨Ubersicht ¨ Ubersicht Einleitung Klassische Mechanik Teilchen Wellen Welle-Teilchen-Dualismus Mathematische Grundlagen Hilbert-R¨ume a Operatoren Postulate der Quantenmechanik Der harmonische Oszillator
  3. 3. Klassische Mechanik - Teilchen
  4. 4. Zeitentwicklung In der klassischen Mechanik werden in der Regel Massepunkte (aka Teilchen) betrachtet.
  5. 5. Zeitentwicklung In der klassischen Mechanik werden in der Regel Massepunkte (aka Teilchen) betrachtet. Sind Anfangsposition q i und Anfangsimpuls {pi } aller N Teilchen bekannt, ist dadurch die zeitliche Entwicklung des “Systems” gegeben.
  6. 6. Hamiltonfunktion Die Zeitentwicklung l¨sst sich zum Beispiel durch die a Hamilton-Funktion H bestimmen. H pi , q i , t = T + V N pi2 = + V qi , t 2m i=1
  7. 7. Bewegungsgleichungen Die Geschwindigkeit des i-ten Teilchens ist dann gegeben durch ∂H qi = ˙ ∂pi Die Impuls¨nderung ist a ∂H pi = − ˙ ∂q i
  8. 8. Zusammenfassung In der klassischen Mechanik sind Teilchen Massepunkte und haben zu jedem Zeitpunkt einen eindeutigen Ort und einen eindeutigen Impuls.
  9. 9. Klassische Mechanik - Wellen
  10. 10. 4π νAν = j c
  11. 11. Welle-Teilchen-Dualismus
  12. 12. Quantenmechanik - Mathematische Grundlagen
  13. 13. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durcheinen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben.
  14. 14. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durcheinen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben.Alle m¨glichen Zust¨nde des Teilchens sind Vektoren in diesem o aRaum.
  15. 15. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durcheinen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben.Alle m¨glichen Zust¨nde des Teilchens sind Vektoren in diesem o aRaum.Dieser “Zustandsraum” ist ein komplexer Hilbert-Raum.
  16. 16. Hilbert-R¨ume a
  17. 17. Hilbert-R¨ume sind (vollst¨ndige) Vektorr¨ume mit einem a a aSkalarprodukt
  18. 18. Hilbert-R¨ume sind (vollst¨ndige) Vektorr¨ume mit einem a a aSkalarproduktAlso zum Beispiel der R2 : a1 b1 a, b = · = a1 b1 + a2 b2 a2 b2
  19. 19. Einschub: Komplexe Zahlen
  20. 20. i 2 = −1 z = a + ib z 2 = (a + i b)2 = a2 − b 2 + i 2ab z∗ = a − i bz z ∗ = a2 + b 2 = |z|2 z∗ ≡ z
  21. 21. Das Skalarprodukt
  22. 22. Das Skalarprodukt Das Skalarprodukt eines komplexen Vektorraums V ist eine Abbildung zweier Vektoren des Vektoraums in die komplexen Zahlen: a, b ∈ C ∀a, b ∈ V
  23. 23. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a
  24. 24. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2
  25. 25. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2 c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0
  26. 26. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2 c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0 Aus a) und b) folgt: a1 + λ a2 , b = a1 , b + λ a2 , b
  27. 27. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2 c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0 Aus a) und b) folgt: a1 + λ a2 , b = a1 , b + λ a2 , b Außerdem folgt, dass sich uber das Skalarprodukt der Betrag der ¨ Vektoren (mathematisch: eine Norm) definieren l¨sst: a |a| = a, a
  28. 28. Ket-Vektoren In der Physik wird zur Darstellung der Zustandsvektoren im Hilbertraum meist die “Bra-Ket”-Notation verwendet.
  29. 29. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u
  30. 30. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor!
  31. 31. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor! |Ich auch!
  32. 32. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor! |Ich auch! |Ich beschreibe einen Zustand!
  33. 33. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor! |Ich auch! |Ich beschreibe einen Zustand! |Ich bin ein Basis-Vektor!
  34. 34. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u
  35. 35. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H
  36. 36. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H b) A (|a + |b ) = A |a + A |b ∀ |a , |b ∈ H
  37. 37. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H b) A (|a + |b ) = A |a + A |b ∀ |a , |b ∈ H Zus¨tzlich betrachtet man in der Physik normalerweise Operatoren, a die in den Hilbertraum abbilden: A |a = |A a , |A a ∈ H ∀ |a ∈ H
  38. 38. Eigenvektoren Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren: a A |Vektor = λ |Vektor
  39. 39. Eigenvektoren Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren: a A |Vektor = λ |Vektor Den Wert λ bezeichnet man als Eigenwert.
  40. 40. Eigenvektoren Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren: a A |Vektor = λ |Vektor Den Wert λ bezeichnet man als Eigenwert. Gibt es mehrere linear unabh¨ngige Eigenvektoren mit gleichem a Eigenwert, spricht man von Entartung.
  41. 41. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich?
  42. 42. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H
  43. 43. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun a|b
  44. 44. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun a|b Dabei kann man den linken Teil als lineare Abbildung auffassen, die auf den rechten Teil wirkt a| (|b )
  45. 45. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun a|b Dabei kann man den linken Teil als lineare Abbildung auffassen, die auf den rechten Teil wirkt a| (|b ) Diesen linken Teil bezeichnet man als ”BraVektor, es ist also ein Vektor aus dem Raum der linearen Abbildungen von H. (Also dem Dualraum von H. Die Hilberr¨ume, die in der Physik anwendung finden, sind isometrisch isomorph zu a ihren Dualr¨umen.) a
  46. 46. Adjungierte Operatoren Als adjungierten Operator A† zu einem Operator A bezeichnet man einen Operator, f¨r den gilt: u A |φ = |ψ ⇔ φ| A† = ψ| (Der Operator A ”wirkt”nach rechts, A† aber nach links.) Daraus folgt: φ| A |ψ = ψ| A† |φ
  47. 47. Operatoren als Ket-Bras Ein Objekt, das ”Ket-Bra”geschrieben wird, ist ein Operator. Beispiel: |1 2| |1 = 2|1 |1 |1 2| |2 = 2|2 |1 Dieser Operator hat also den Eigenvektor |1 zum Eigenwert 2|1 .
  48. 48. LUFTHOLPAUSE
  49. 49. Nun: Ein einfaches Beispiel: C2 1 |1 ≡ 0 0 |2 ≡ 1
  50. 50. Nun: Ein einfaches Beispiel: C2 1 |1 ≡ 0 0 |2 ≡ 1Daraus folgt f¨r die Bra-Vektoren: u 1| ≡ 1 0 2| ≡ 0 1 1 1 1 0 1|1 = 1 0 =1 |1 1| = 1 0 = 0 0 0 0 Matrixprodukt Dyadisches Produkt
  51. 51. Analog ist der Operator i |1 2| + 2i |2 1| = 1 0 0 i i 0 1 + 2i 1 0 = =A 0 1 2i 0 2| A |1 = 2| 2i |2 1| A |2 = 1| i |1 ⇒ 2| 2i |2 = 1| A† |2 ⇒ 1| i |1 = 2| A† |1 0 2i ⇒ A† = − = (A∗ )T i 0
  52. 52. Postulate der Quantenmechanik
  53. 53. 1. Postulat Zu einer festen Zeit t wird der Zustand eines Systems durch einen Ket-Vektor |ψ ∈ H beschrieben.
  54. 54. 2. Postulat Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der o in H wirkt.
  55. 55. 2. Postulat Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der o in H wirkt. Ein hermitescher Operator ist ein Operator, der gleich seinem adjungierten Operator ist. Insbesonder haben hermitesche Operatoren reelle Eigenwerte.
  56. 56. 2. Postulat Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der o in H wirkt. Ein hermitescher Operator ist ein Operator, der gleich seinem adjungierten Operator ist. Insbesonder haben hermitesche Operatoren reelle Eigenwerte. A wird als Observable bezeichnet.
  57. 57. 3. Postulat Die einzig m¨glichen Messwerte einer Messung von A ist einer der o Eigenwerte von A.
  58. 58. 4. Postulat A sei Obervable mit A |n = an |n , n ∈ N Sind {|n } die normierten Eigenvektoren von A, so bilden sie eine Orthonormalbasis von H. ∞ |n n| = 1 n=1 Befindet sich das System im Zustand |ψ , so ist die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert an zu messen, gerade P(an ) = | n|ψ |2 f¨r ψ|ψ = 1 u n|ψ wird als Wahrscheinlichkeitsamplitude bezeichnet und ist gerade der Vorfaktor in der Zerlegung von |ψ nach {|n }: ∞ |ψ = n|ψ |n n=1
  59. 59. 5. Postulat Wenn eine Messung von A f¨r ein System den Wert an ergibt, so u befindet sich das System unmittelbar nach der Messung im Zustand |n .
  60. 60. 6. Postulat Die zeitliche Entwicklung des Zustandes |ψ ist gegeben durch die Schr¨dinger-Gleichung: o d i |ψ(t) = H |ψ(t) dt Dabei ist H (der ”Hamilton-Operator”) die Observable der totalen Energie des Systems.
  61. 61. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A.
  62. 62. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B (|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz o {|n, m } von Eigenvektoren besitzen.
  63. 63. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B (|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz o {|n, m } von Eigenvektoren besitzen. Dann sind die Observablen vertauschbar: AB |n, m = Abm |n, m = an bm |n, m = Ban |n, m = BA |n, m
  64. 64. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B (|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz o {|n, m } von Eigenvektoren besitzen. Dann sind die Observablen vertauschbar: AB |n, m = Abm |n, m = an bm |n, m = Ban |n, m = BA |n, m Man sagt auch sie “kommutieren”. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Objekt “Kommutator” verschwindet: [A, B] ≡ AB − BA
  65. 65. Der harmonische Oszillator
  66. 66. Der harmonische Oszillator Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist gegeben durch: p2 1 H= + mω 2 x 2 2m 2 x: Ortoperator p: Impulsoperator [x, p] = i
  67. 67. Der harmonische Oszillator Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist gegeben durch: p2 1 H= + mω 2 x 2 2m 2 x: Ortoperator p: Impulsoperator [x, p] = i Durch Definition der Operatoren 1 mω P= p X = x mω 1 1 a = √ (X + i P) a† = √ (X − i P) 2 2 l¨sst sich der Hamilton-Operator umschreiben zu a ω 2 ω † H= P + X2 = a a + aa† 2 2
  68. 68. Der harmonische Oszillator [a, a† ] = 1, also 1 1 H = ω a† a + = ω N+ 2 2
  69. 69. Der harmonische Oszillator [a, a† ] = 1, also 1 1 H = ω a† a + = ω N+ 2 2 ¨ Die Eigenzust¨nde {|n } des Anzahl-Operators”N sind algebraisch a bestimmbar. N |n = n |n n ∈ N0 Die Energie-Eigenwerte des Systems sind nun
  70. 70. Der harmonische Oszillator [a, a† ] = 1, also 1 1 H = ω a† a + = ω N+ 2 2 ¨ Die Eigenzust¨nde {|n } des Anzahl-Operators”N sind algebraisch a bestimmbar. N |n = n |n n ∈ N0 Die Energie-Eigenwerte des Systems sind nun 1 H |n = ω n + |n 2

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