Phuong trinh luong giac va ung dung

Download ebook, tài li u, đ thi, xem bài gi ng t i : http://diendan.shpt.info 2012
Nothing is impossible Page - 1 -
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 5
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 8
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác --------------------------- 32
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 33
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 56
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 59
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 59
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 84
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 85
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng ---------------------------------------------------------------- 93
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 97
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 97
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ----------------------------------------------------- 101
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 102
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 104
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương ---------- 106
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 106
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 112
I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------- 116
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 121
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 122
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 125

Page - 2 - you can win if you want
MỤC LỤC
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 5
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác --------------------------- 32
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 33
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 56
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 59
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 59
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 84
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 85
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng ---------------------------------------------------------------- 93
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 97
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 97
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ----------------------------------------------------- 101
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 102
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 104
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương ---------- 106
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 106
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 112
I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------- 116
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 121
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 122
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 125

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
Công thức cơ bản
● 2 2
sin x cos x 1+ = ● tan x.cotx 1= ●
sin x
tan x
cos x
=
●
cos x
cotx
sin x
= ●
os
2
2
1
1 tan x
c x
+ = ● 2
2
1
1 cot x
sin x
+ =
Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
● sin2x 2sin x.cos x= ●
2 2
2 2
cos x sin x
cos2x
2cos x 1 1 2sin x
 −=  − = −
●
os2 1 c 2x
sin x
2
−
= ●
os
os2 1 c 2x
c x
2
+
=
● 3
sin 3x 3sin x 4 sin x= − ● 3
cos 3x 4 cos x 3cos x= −
Công thức cộng cung
● ( )sin a b sina.cosb cosa.sin b± = ± ● ( )osc a b cosa.cosb sina.sin b± =
● ( )
tana tan b
tan a b
1 tana.tan b
+
+ =
−
● ( )
tana tan b
tan a b
1 tana.tan b
−
− =
+
●
π 1 tan x
tan x
4 1 tan x
  + + =   − 
●
π 1 tan x
tan x
4 1 tan x
  − − =   + 
Công thức biến đổi tổng thành tích
●
a b a b
cosa cosb 2cos .cos
2 2
+ −
+ = ●
a b a b
cosa cosb 2sin .sin
2 2
+ −
− = −
●
a b a b
sina sin b 2sin .cos
2 2
+ −
+ = ●
a b a b
sina sin b 2cos .sin
2 2
+ −
− =
●
( )sin a b
tana tan b
cosa.cosb
+
+ = ●
( )sin a b
tana tanb
cosa.cosb
−
− =
Công thức biến đổi tích thành tổng
●
( ) ( )cos a b cos a b
cosa.cosb
2
+ + −
= ●
( ) ( )sin a b sin a b
sina.cosb
2
+ + −
=
●
( ) ( )cos a b cos a b
sina.sin b
2
− − +
=
Một số công thức thông dụng khác
●
π π
sinx cosx 2sin x 2cos x
4 4
      + = + = −        
●
π π
sinx cosx 2sin x 2cos x
4 4
      − = − = +        

● 4 4 21 cos4x
cos x sin x 1 s
3 1
in 2x
2 4
+
+ = − = ● 6 6 23 cos4x
cos x sin x 1 s
5 3
in 2x
4 8
+
+ = − =
Một số lưu ý:
Điều kiện có nghiệm của phương trình
sin x
cos x
 = α
 = α
là: 1 1− ≤ α ≤ .
Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết
phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
 Phương trình chứa tan x , điều kiện: ( )cos x 0 x k k
2
π
≠ ⇔ ≠ + π ∈ » .
 Phương trình chứa cotx , điều kiện: ( )sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈ » .
 Phương trình chứa cả tan x và cotx , điều kiện: ( )x k. k
2
π
≠ ∈ » .
Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để
kiểm tra điều kiện:
 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị
ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.
 Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của
nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận
nghiệm.
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác AM có
số đo là
k2
n
π
α +
0
0 k.360
hay a
n
 +   
với k ,n +
∈ ∈» » thì có n điểm M trên đường tròn
lượng giác cách đều nhau".
Ví dụ 1: Nếu sđ AM k2
3
π
= + π thì có một điểm M tại vị trí
3
π
(ta chọn k 0= ).
Ví dụ 2: Nếu sđ AM k
6
π
= + π thì có 2 điểm M tại vị trí
6
π
và
7
6
π
(ta chọn k 0,k 1= = ).
Ví dụ 3: Nếu sđ
2
AM k.
4 3
π π
= + thì có 3 điểm M tại các vị trí
11
;
4 12
π π
và
19
12
π
, ( )k 0;1;2= .
Ví dụ 4: Nếu sđ
k2
AM k.
4 2 4 4
π π π π
= + = + thì có 4 điểm M tại các vị trí
4
π
,
3
4
π
,
5
4
π
;
7
4
π
(ứng với các vị trí k 0,1,2,3= ).
Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x k
6
π
= − + π và x k
3
π
= + π
Để giải được phương trình lượng giác cũng như các
ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả
những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công
cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên:
"Phương trình lượng giác"

Biểu diễn cung x k
6
π
= − + π trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
6
π
− và
5
6
π
Biểu diễn cung x k
3
π
= + π trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
3
π
và
4
3
π
.
Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và
cung tổng hợp là: x k
3 2
π π
= +
Đối với phương trình
2
2
1 1
cos x cos x
2 2
1 1
sin x sin x
2 2
 
 = = ±
 
⇔ 
 = = ± 
 
ta không nên giải
trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện
rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:
2 2
2
2
1
cos x 2cos x 1 0 cos2x 0
2
1 cos2x 02sin x 1 0
sin x
2

 = − = =  ⇔ ⇔   =− =  = 

. Tương tự đối với phương trình
2
2
sin x 1 sin x 1
cos x 1cos x 1
 = = ± ⇔  = ±= 
ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức
2 2
sin x cos x 1+ = . Lúc đó:
2 2
2 2
sin x 1 cos x 0 cos x 0
sin x 0cos x 1 sin x 0
  = = =  ⇔ ⇔   == =   
Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''
 Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là
một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.
 Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là ( )cos cos−α = α , còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
( ) ( ) ( )sin sin , tan tan , cot tan−α = − α −α = − α −α = − α
 Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là ( )sin sinπ −α = α , còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
( ) ( ) ( )cos cos , tan tan , cot tanπ − α = − α π −α = − α π −α = − α
 Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900
) thì sin góc này bằng cos góc kia và
ngược lại, tức là:
sin cos , cos sin , tan cot , cot tan
2 2 2 2
       π π π π         − α = α −α = α − α = α −α = α                   
 Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này:
Giải phương trình lượng giác: sin u cos v=
Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình
sin u sin v= , vậy còn phương trình sin u cos v= thì sao ?
Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u cos v sin u sin v
2
 π  = ⇔ = −   
π/3
5π/6
4π/3
–π/6
O

( )u v k2 u v k2 , k
2 2
π π
= − + π ∨ = + + π ∈ » .
Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như
2
sin x cos x
3
 π  = −   
thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.
 Một số cung góc hay dùng khác:
( )
( )
sin x k2 sin x
cos x k2 cos x
 + π =

 + π =
và
( )
( )
( )
sin x k2 sin x
k
cos x k2 cos x
 + π + π = −
∈
 + π + π = −
» .
A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Dạng:
u v k2
sin u sin v
u v k2
 = + π= ⇔  = π − + π
Đặc biệt:
sin x 0 x k
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2
 = ⇒ = π π = ⇒ = + π
 π = − ⇒ = − + π
Dạng:
u v k2
cosu cos v
u v k2
 = + π= ⇔  = − + π
Đặc biệt:
cos x 0 x k
2
cos x 1 x k2
cos x 1 x k2
 π = ⇒ = + π = ⇒ = π
 = − ⇒ = π + π
Dạng:
tan u tan v u v k
Ðk : u,v k
2
= ⇔ = + π
π
≠ + π
Đặc biệt:
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
 = ⇔ = π
 π = ± ⇔ = ± + π
Dạng:
cotu cotv u v k
Ðk : u,v k
= ⇔ = + π
≠ π
Đặc biệt:
cotx 0 x k
2
cotx 1 x k
4
 π = ⇔ = + π

 π = ± ⇔ = ± + π
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải phương trình: ( )cos3x 4cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈   
Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( )2cos x 1 2sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗
Bài 3. Giải phương trình: ( )cos3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗
Bài 4. Giải phương trình: ( )sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗
Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( )sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗

Bài 6. Giải phương trình: ( )
1 1 7
4 sin x
sin x 43
sin x
2
 π  + = − ∗   π   −  
Bài 7. Giải phương trình: ( )4 4 7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
   π π   + = + − ∗       
4 4
4sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
   π π   − +      
3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
   π π   − = +       
Bài 10. Giải phương trình: ( )sin 3x sin2x sin x 1
4 4
   π π   − = +       
Bài 11. ( )3
8cos x cos3x 1
3
 π + =   
Bài 12. Giải phương trình: ( )3
2 sin x 2sin x 1
4
 π + =   
sin x 2 sin x 1
4
 π − =   
Bài 14. Giải phương trình: ( )cos x cos2x cos3x cos4x 0+ + + = ∗
Bài 15. Giải phương trình: ( )2 2 2 3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = ∗ .
sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗ .
sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗
Bài 19. Giải phương trình: ( )sin2 25x 9x
cos 3x sin7x 2 2cos
4 2 2
 π  + = + − ∗   
sin x cos 2x cos 3x= + ∗
2sin 2x sin7x 1 sin x+ − = ∗
Bài 22. Giải phương trình: ( )sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗
sin x cos3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗
Bài 24. Giải phương trình: ( )2 3
cos10x 2cos 4x 6cos3x cos x cos x 8cos x cos 3x+ + = + ∗
4sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗
Bài 26. Giải phương trình: ( )( ) ( )2
2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos x 3+ + − + = ∗
Bài 27. Giải phương trình: ( ) ( )6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗

Bài 28. Giải phương trình: ( ) ( )8 8 10 10 5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗
3cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗
Bài 31. Giải phương trình: ( )3 3 2 3 2
cos3x cos x sin 3x sin x
8
−
− = ∗
cos x cos2x cos4x cos8x
16
= ∗
4sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗
cos x cos2x cos3x cos4x cos5x
2
+ + + + = − ∗
sin2x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
+ − −
= ∗
+
1 sin2x cos2x
2 sin x sin2x
1 cot x
+ +
= ∗
+
Bài 37. Giải phương trình: ( ) ( )tan x cotx 2 sin2x cos2x+ = + ∗
tan x tan x tan 3x 2− = ∗
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗
Bài 40. Giải phương trình: ( )2 2 2x x
sin tan x cos 0
2 4 2
 π − − = ∗   
Bài 41. Giải phương trình: ( ) ( )2
sin2x cotx tan2x 4cos x+ = ∗
Bài 42. Giải phương trình: ( ) ( )
2 2
cot x tan x
16 1 cos4x
cos2x
−
= + ∗
2 tan x cot2x 2sin2x
2sin2x
+ = + ∗
Bài 44. Giải phương trình:
( )
( ) ( )
3 sin x tan x
2 1 cos x 0
tan x sin x
+
− + = ∗
−
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 cos x 1 cos x 1
tan x sin x 1 sin x tan x
24 1 sin x
− + +
− = + + ∗
−
Bài 46. Giải phương trình: ( )cos3x tan5x sin7x= ∗
sin2x sin x 2cotx
2sin x sin2x
+ − − = ∗
4 4
sin x cos x 1
tan x cot2x
sin2x 2
+
= + ∗
tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗

x
cotx sin x 1 tan x tan 4
2
  + + = ∗   

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung x,2x,3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một
cung. Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan
niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung x,2x,3x , ta nên đưa về cung
trung gian 2x nếu trong biểu thức có chứa sin2
x (hoặc cos2
x). Còn không chứa sin2
x (hoặc
cos2
x), nên đưa về cung x ".
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )3 2 3 2
4 cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0 4cos x 8cos x 0∗ ⇔ − − − + − = ⇔ − =
( )
( )
( )
( )2
cos x 0 N
4 cos x cos x 2 0 x k , k
cos x 2 L 2
 = π⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ∈ =
» .
0,5 k 3,9 3 5 7
Do x 0;14 ,k 0 k 14 x ; ; ;
k2 2 2 2 2
  − ≤ ≤≈  π π π π π   ∈ ∈ ⇔ ≤ + π ≤ ⇔ ⇒ ∈       ∈   
»
»
.
( ) ( )( )2cos x 1 2sin x cos x 2sin x cos x sin x∗ ⇔ − + = −
( )( ) ( )2cos x 1 2sin x cos x sin x 2cos x 1 0⇔ − + − − =
( ) ( ) ( )( )2cos x 1 2sin x cos x sin x 0 2cos x 1 sin x cos x 0 ⇔ − + − = ⇔ − + = 
( )
x k22cos x 1 0 cos x cos 3 k;l3
sin x cos x 0 tan x 1 x l
4
 π π  = ± + π − =  =  ⇔ ⇔ ⇔ ∈ + = π = − = − + π  
» .
Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một
cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos
( ) 3 2 3 2
4 cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 1 0 2cos x cos x 2cos x 1 0∗ ⇔ − + − − − = ⇔ + − − =
( ) ( ) ( )( )2 2
cos x 2cos x 1 2cos x 1 0 2cos x 1 cos x 1 0⇔ + − + = ⇔ + − =
Bài 1. Giải phương trình: ( )cos3x 4cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈   
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002
Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( )2cos x 1 2sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗
Bài 3. Giải phương trình: ( )cos3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗

Bài 4. Giải phương trình: ( )sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
( ) ( )2
sin x 0 x k
2cos x 1 sin x 0 k;l1 2
cos x x l2
2 3
 = = π 
 ⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈π = − = ± + π  
» .
( ) ( ) 2
sin x cos x 2sin x cos x 2cos x 0∗ ⇔ + + + =
( ) ( )sin x cos x 2cos x sin x cos x 0⇔ + + + =
( )( )sin x cos x 1 2cos x 0⇔ + + =
( )
sin x cos x tan x 1 x k
4 k;l1 2 2cos x cos x cos x l22 3 3
 π = − = −  = − + π   ⇔ ⇔ ⇔ ∈π  π= − =  = ± + π    
» .
Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
( ) ( )2
sin x 1 2cos x 1 2sin x cos x 1 cos x∗ ⇔ + − + = +
( ) ( )2
2sin x cos x 2sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 cos x 0⇔ + = + ⇔ + − + =
( )( ) ( )
21 x k2cos x 3cos x 1 sin2x 1 0 k,l2
sin2x 1 x l
4
 π  = ± + π = − ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= = + π  
» .
Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung
3
x
2
π
− và
7
x
4
π
− giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung
khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công
thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý
tưởng đó qua hai cách giải sau đây
Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: ( )sin a b sina.cosb cosa.sin b± = ±
1 1 7
4 sin x
sin x 43
sin x
2
 π  + = − ∗   π   −  
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008
Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( )sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗

( ) 1 1 7 7
4 sin cos x sin x cos
sin x 3 3 4 4
sin x cos sin cos x
2 2
 π π ∗ ⇔ + = −  π π  
−
( )1 1 2
4. sin x cos x
sin x cos x 2
 
 ⇔ + = − + 
 
Điều kiện: sin x cos x 0 sin2x 0≠ ⇔ ≠ .
( )
sin x cos x
2 2 sin x cos x
sin x cos x
+
⇔ = − +
( ) ( )sin x cos x 2 2 sin x cos x sin x cos x 0⇔ + + + = ( )( )sin x cos x 1 2 sin2x 0⇔ + + =
( )
x k
4tan x 1sin x cos x 0
x l k,l,m2 81 2 sin2x 0 sin2x
52
x m
8
 π = − + π
 = − + =  π ⇔ ⇔ ⇔ = − + π ∈ + = = −  π
= + π

» .
Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''
Ta có:
( )
3
sin x sin 2 x cos x
2 2
7 1
sin x sin 2 x sin x sin x cos x
4 4 4 2
      π π      − = − π − − =                   π π π        − = π − + = − + = − +                   
( ) ( )
1 1 1
4. sin x cos x
sin x cos x 2
 
 ∗ ⇔ + = − +
 

. Giải tương tự như cách giải 1.
Lời bình: Từ tổng hai cung x x
3 6 2
π π π
+ + − = giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:
cot x cot x cot x cot x cot x tan x 1
3 6 3 2 3 3 3
            π π π π π π π                + − = + − + = + + =                                  
.
Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức: 4 4 21
sin x cos x 1 sin 2x
2
+ = − . Nếu
không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan
cos
cot
sin
= , rồi qui đồng thì bài toán
trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện.
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
   π π   + = + − ∗       
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM năm 1999

ĐK:
sin x 0
13
sin x sin x 0 cos 2x 0 cos 2x 0
3 6 2 6 6
sin x 0
6
   π  + ≠           π π π π           ⇔ + − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ − ≠                π         − ≠   
.
( ) ( )2 21 7 1 1 k
1 sin 2x sin 2x 1 cos4x x , k
2 8 4 2 12 2
π π
∗ ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ∈ » .
ĐK:
cos x 0
14
cos x cos x 0 cos2x cos 0 cos2x 0
4 4 2 2
cos x 0
4
   π   − ≠         π π π        ⇔ − + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠            π       + ≠   
.
Ta có: tan x tan x tan x tan x tan x cot x 1
4 4 4 2 4 4 4
            π π π π π π π                − + = − − + = − − =                                  
.
( ) ( )2 4 2 4 4 21 1
1 sin 4x cos 4x 1 1 cos 4x cos 4x 2cos x cos 4x 1 0
2 2
∗ ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − − =
( )
( )
2
2 2
2
2
t 1 N
2t t 1 0 1 cos 4x 1 sin 4x 0 sin 4x 0t L
t cos 4x 0 2
t cos 4x 0
 =  − − =  ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =  = − = ≥    = ≥
( )
( )
( )
sin2x 0 N k
x , k
cos2x 0 L 2
 = π
⇔ ⇔ = ∈
 =
» .
Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công thức cộng theo tan như sau
tan tan x tan tan x
1 tan x 1 tan x4 4tan x .tan x . . 1
4 4 1 tan x 1 tan x
1 tan tan x 1 tan tan x
4 4
π π
− +   π π − +   − + = = =     π π + −   
+ −
.
Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công thức cộng cung theo sin……, hoặc xét tổng
cung của chúng, ……. nhưng đừng vội làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả. Ta hãy xem
4 4
4sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
   π π   − +      
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997
3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
   π π   − = +       
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001

giữa hai cung
3 x
10 2
π
− và
3x
10 2
π
+ có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy:
3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
        π π π π          + = π − + = − = −                         
. Từ đó, ta sẽ
đặt
3 x
t
10 2
π
= − và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất.
Ta có:
3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
        π π π π          + = π − + = − = −                         
.
( ) ( )
3 x 1 3 x
1 sin sin 3 2
10 2 2 10 2
   π π   ⇔ − = −       
.
Đặt
3 x
t
10 2
π
= − . Và ( ) ( ) ( )3 21 1
2 sin t sin3t sin t 3sin t 4sin t sin t 1 sin t 0
2 2
⇔ = ⇔ = − ⇔ − =
( )
3 x 3t k k x k2sin t 0
10 2 5 k,l
cos t 0 3 x 2t l l x l22 10 2 2 5
 π π = π  − = π = − π =    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π = π π π= + π   − = + π = − π    
» .
Ta có:
3
sin 3x sin 3x sin 3x sin 3x sin 3 x
4 4 4 4 4
          π π π π π            − = − − = − π − − = − + = − +                            
Đặt t x x t
4 4
π π
= + ⇒ = − . Lúc đó ( )1 sin 3t sin 2t .sin t
2
 π ⇔ − = −   
3
2 2 2
sin t 0 sin t 0
4sin t 3sin t cos2tsin t 0
4sin t 3 1 2sin t 0 sin t 1
 = = ⇔ − + = ⇔ ⇔ − + − = =  
( )
t k x ksin t 0
4 x m , k,l,m
cos t 0 4 2t l x l2 4
 π = π  = − + π =  π π ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − + ∈π = π= + π  = + π  
» .
8cos x cos3x 1
3
 π + =   
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1999
Bài 10. Giải phương trình: ( )sin 3x sin2x sin x 1
4 4
   π π   − = +       
Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 1999

Ta có: ( )cos3x cos 3x cos 3 x
3
  π = − π + = − +      
.
Phương trình: ( ) ( )3
1 8cos x cos 3 x 2
3 3
    π π    ⇔ + = − +          
.
Đặt t x
3
π
= + . Lúc đó: ( ) 3 3 3
2 8cos t cos3t 8 cos t 4cos t 3cos t⇔ = − ⇔ = − +
( ) ( )3 2
12cos t 3cos t 0 cos3t 4cos t 1 0 cos3t 2cos2t 1 0⇔ − = ⇔ − = ⇔ + =
( )
t k
x k2cos3t 0 6
t l x l k;l;m1
3cos2t
22 x mt m
33
 π  = + π π = + π =  π ⇔ ⇔ = + π ⇔ = π ∈ = −  π π = + π= − + π 
» .
Cách giải 1.
Đặt t x x t
4 4
π π
= + ⇒ = − . Lúc đó: ( ) 3 3
1 sin t 2 sin t sin t sin t cos t
4
 π ⇔ = − ⇔ = −   
( )( ) ( )3 3 2 2
sin t sin t cos t sin t sin t cos t sin t cos t⇔ = − ⇔ = + − •
( )2 2
cos t sin t sin tcos t cos t 0⇔ − + − =
( )
( )
( )
cos t 0 N1
cos t sin2t 1 0 t k x k , k
sin2t 2 L2 2 4
  = π π ⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ∈   =  
» .
Lời bình: Trong ( )• , tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức 2 2
1 sin t cos t= + . Vậy trong giải
phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn
giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép
2 2
1 sin t cos t= + để phương trình trở nên đơn giản hơn ".
Cách giải 2.
( ) ( )
3 3
1 1
1 2 . 2 sin x 2sin x 2 sin x cos x 2sin x
42 2
    π   ⇔ + = ⇔ + =       
( ) ( )( )
3 2
sin x cos x 4sin x sin x cos x sin x cos x 4 sin x⇔ + = ⇔ + + =
( )( )sin x cos x 1 2sin x cos x 4sin x⇔ + + =
2 2
3sin x 2cos x sin x 2sin x cos x cos x 0⇔ − + + + =
( ) ( )2 2
sin x 3 2cos x cos x 2sin x 1 0⇔ − + + + =
2 sin x 2sin x 1
4
 π + =   
Trích đề thi tuyển sinh Phân Viện Báo Chí Truyền Thông năm 1998

( ) ( )2 2
sin x 2sin x 1 cos x 2sin x 1 0⇔ − + + + =
( )( )
( )2
2
0 2sin x 1 0 VN
2sin x 1 cos x sin x 0
cos x sin x 0
 = + >⇔ + − = ⇔  − =
( )tan x 1 x k , k
4
π
⇔ = ⇔ = + π ∈ » .
Cách giải 3.
( ) ( )
3 3
1 1
1 2 . 2 sin x 2sin x 2 sin x cos x 2sin x
42 2
    π   ⇔ + = ⇔ + =       
( ) ( )
3
sin x cos x 4sin x 2⇔ + =
Vì ( )cos x 0 hay sin x 1= = không phải là nghiệm của phương trình ( )2 nên chia hai vế của
phương trình ( )2 cho 3
cos x , ta được: ( ) ( ) ( )
3
2
2 tan x 1 4 tan x. 1 tan x⇔ + = +
Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm: ( )tan x 1 x k , k
4
π
= ⇔ = + π ∈ » .
Cách giải 1.
Đặt t x x t
4 4
π π
= − ⇒ = + . Lúc đó: ( ) ( )3 3
1 sin t 2 sin t 4 sin t sin t cos t⇔ = + ⇔ = +
( )( )3 2 2
sin t sin t cos t sin t cos t⇔ = + +
( )3 3 2 2 3
sin t sin t sin tcos t cos tsin t cos t cos t sin tcos t 1 0⇔ = + + + ⇔ + =
( ) ( )
cos t 0 3
t k x k k , k
sin2t 2 L 2 4 4
 = π π π⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ≡ − + π ∈ = −
» .
Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn đọc tự giải
Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả
sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu
(hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý
( )x 4x 5x+ = và ( )2x 3x 5x+ = . Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản,
chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình
tích số.
Bài 14. Giải phương trình: ( )cos x cos2x cos3x cos4x 0+ + + = ∗
sin x 2 sin x 1
4
 π − =   
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998

( ) ( ) ( ) 5x 3x 5x x
cos x cos4x cos2x cos3x 0 2cos cos 2cos cos 0
2 2 2 2
∗ ⇔ + + + = ⇔ + =
5x 3x x 5x x
2cos cos cos 0 4cos cos x cos 0
2 2 2 2 2
  ⇔ + = ⇔ =   
( )
5x k2
5x k x
cos 0 2 2 5 5
2
cos x 0 x l x l k;l;m
2 2
x x x 2mcos 0 m
2 2 2
 π π π  = + π = +  =  
π π  ⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + π ∈  
  
  π = π + π= = + π    
» .
Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công
thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 3
1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x cos2x cos6x cos4x 0
2 2 2 2
∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =
( )2cos4x cos2x cos4x 0 cos4x 2cos2x 1 0⇔ + = ⇔ + =
( )
kcos4x 0 4x k x
2 8 4 k,l2 2cos2x cos 2x l2 x l3 3 3
 π π π =  = + π = +  ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π π π=  = ± + π = ± + π    
» .
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x 2
2 2 2
∗ ⇔ − + − + − =
( ) ( ) ( )1 1
cos2x cos4x cos6x cos2x cos6x cos4x 1 0
2 2
⇔ − + + = ⇔ + + + =
( )2
2cos4x cos2x 2cos 2x 0 2cos2x cos4x cos2x 0⇔ + = ⇔ + =
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = ∗ .
Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000
sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗ .
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001

( )
x k
2cos x 0
4cos2x cos3x cos x 0 cos2x 0 x l k,l,m
4 2
cos3x 0
x m
6 3
 π = + π
 = 
π π⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈

=  π π = +

» .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1
1 cos2x 1 cos6x 1 cos4x 1 cos8x
2 2 2 2
∗ ⇔ − + − = + + +
( )cos2x cos6x cos4x cos8x 2cos4x cos2x 2cos6x cos2x⇔ − + = + ⇔ − =
( )2cos2x cos6x cos4x 0 4cos2x cos5x cos x 0⇔ + = ⇔ =
( )
cos x 0
m
cos2x 0 x k x l x ; k,l,m
2 4 2 10 5
cos5x 0
 =      π π π π π       ⇔ = ⇔ = + π ∨ = + ∨ = + ∈              
=
» .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1
2 2 2 2
∗ ⇔ − − + = − − +
cos6x cos8x cos10x cos12x 2cos7x cos x 2cos11x cos x⇔ + = + ⇔ =
( ) ( )
x k
2
cos x 0 l
cos x cos7x cos11x 0 x k,l,m
cos7x cos11x 2
m
x
9
 π = + π

 = π⇔ − = ⇔ ⇔ = − ∈ =   π
=

» .
( ) x xcos3x sin7x 1 cos 5x 1 cos9 cos3x sin7x sin5x cos9
2
 π  ∗ ⇔ + = − + − − ⇔ + = −   
cos3x cos9x sin7x sin5x 0 2cos6x cos3x 2cos6x sin x 0⇔ + + − = ⇔ + =
sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗
Bài 19. Giải phương trình: ( )sin2 25x 9x
cos 3x sin7x 2 2cos
4 2 2
 π  + = + − ∗   
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001

( ) ( )
x k
12 6cos6x 0
cos6x cos3x sin x 0 x l k,l,m
cos3x cos x 4
2 m
x
8 2
 π π = +
 =  π  ⇔ + = ⇔ ⇔ = + π ∈π  = +      π π = − +

» .
( ) ( ) ( )1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x
cos2x cos4x 1 cos6x 0
2 2 2
− + +
∗ ⇔ = + ⇔ + + + =
( )2
2cos3x cos x 2cos 3x 0 2cos3x cos x cos3x 0⇔ + = ⇔ + =
( )
k
x
k6 3cos x 0 xl 6 34 cos3x cos2x cos x 0 cos2x 0 x k,l,m
l4 2
xcos3x 0
4 2x m
2
 π π = +  π π=  = +π π ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ ∈ π π = +=  π = + π

» .
Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung ( ) ( ) ( )x , 2x , 7x và nhận xét
7x x
4x
2
+
= , ta có thể định
hướng nhóm ( )sin7x sin x− , ( )2
2sin 2x 1− lại với nhau, để sau khi dùng công thức
tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được
phương trình tích số đơn giản hơn.
( ) ( ) ( )2
sin7x sin x 1 2sin 2x 0 2cos4x sin 3x cos4x 0∗ ⇔ − − − = ⇔ − =
( ) ( )
k2cos4x 0 x
18 3cos 4x 2sin 3x 1 0 k,l1 5 l2sin 3x x2 18 3
 π π =  = + ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ π π=  = +  
» .
( ) ( ) ( )sin x sin 3x sin2x 1 cos2x cos x∗ ⇔ + + = + +
( ) ( )2
2sin2x cos x sin2x 2cos x cos x sin2x 2cos x 1 cos x 2cos x 1 0⇔ + = + ⇔ + − + =
Bài 22. Giải phương trình: ( )sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗
sin x cos 2x cos 3x= + ∗
2sin 2x sin7x 1 sin x+ − = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007

( )( ) ( )( )2cos x 1 sin2x cos x 0 2cos x 1 2sin x cos x cos x 0⇔ + − = ⇔ + − =
( )( ) ( )
x k
2
cos x 0
x l21 6cos x 2sin x 1 2cos x 1 0 sin x k,l,m,n
52
x m21 6cos x
22
x n2
3
 π = + π
 
 =  π  = + π  ⇔ − + = ⇔ = ⇔ ∈  π  = + π = − 
π  = ± + π

» .
( ) ( ) ( )3 3 3 3 3
sin x 4cos x 3cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x∗ ⇔ − + − =
3 3 3 3 3 3 3
4sin x cos x 3sin x3cosx 3cos x sinx 4cos x sin x sin 4x⇔ − + − =
( )2 2 3
3sin x cos x cos x sin x sin 4x⇔ − =
3 33 3
sin2x cos2x sin 4x sin 4x sin 4x
2 4
⇔ = ⇔ =
( )3 k
3sin 4x 4 sin 4x 0 sin12x 0 12x k x , k
12
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈ » .
( ) ( ) ( )3
cos10x 1 cos8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos3x∗ ⇔ + + = + −
( )cos10x cos8x 1 cos x 2cos x cos9x⇔ + + = +
2cos9x cos x 1 cos x 2cos x cos9x⇔ + = +
( )cos x 1 x k2 , k⇔ = ⇔ = π ∈ » .
( ) ( ) ( )2 2 2
sin x 4sin x 3 cos x sin x 3cos x 0∗ ⇔ − − − =
( ) ( )2 2 2
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 0 ⇔ − − − − = 
( )( )2
4sin x 3 sin x cos x 0⇔ − − =
( ) ( )2 1 cos2x 3 sin x cos x 0 ⇔ − − − = 
sin x cos3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗
Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999
cos10x 2cos 4x 6cos3x cos x cos x 8cos x cos 3x+ + = + ∗
4sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗

( )
21 2 2 x kcos2x cos 2x k2 3 k;l2 3 3
sin x cos x tan x 1 x l
4
 π π π  = ± + π = − = = ± + π  ⇔ ⇔ ⇔ ∈  π= = = + π    
» .
( ) ( )( ) ( )2
2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4 1 sin x 3 0∗ ⇔ + + − + − − =
( )( ) ( )( )2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 1 2sin x 1 2sin x 0⇔ + + − + − + =
( )( )2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 1 2sin x 0⇔ + + − + − =
( )( )3 cos4x 1 2sin x 1 0⇔ − + =
( )
k
x4x k2
2cos4x 1
x l2 x l2 k;l;m1
6 6sin2x
2 7 7
x m2 x m2
6 6
 π  = = π  =  π π⇔ ⇔ = − + π ⇔ = − + π ∈ = −   π π = + π = + π  
» .
( ) ( ) ( )6 8 6 8 6 2 6 2
sin x 2sin x cos x 2cos x 0 sin x 1 2sin x cos x 2cos x 1 0∗ ⇔ − + − = ⇔ − − − =
( )6 6 6 6
sin x cos2x cos x cos2x 0 cos2x sin x cos x 0⇔ − = ⇔ − =
( )6 6
k
xcos2x 0 cos2x 0 k4 2 x , k
tan x 1sin x cos x 4 2
x k
4
 π π = += = π π ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈  = ± π=   = ± + π

» .
( ) ( ) ( )10 8 8 10 5
2cos x cos x sin x 2sin x cos2x 0
4
∗ ⇔ − − − + =
( ) ( )8 2 8 2 5
cos x 2cos x 1 sin x 1 2cos x cos2x 0
4
⇔ − − − + =
Bài 26. Giải phương trình: ( )( ) ( )2
2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos x 3+ + − + = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999
4
+ = + + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000

8 8 8 85 5
cos x.cos2x sin x cos2x cos2x 0 cos2x cos x sin x 0
4 4
  ⇔ − + = ⇔ − + =   
( )
( )8 8
8 8
cos2x 0 2x k k2 x , k5 5 4 2cos x sin x 0 sin x cos x 1 VN4 4
 π =  = + π π π⇔ ⇔ ⇔ = + ∈ − + =  = + >  
» .
Cách giải 1
( ) ( ) ( )3 5 5 3
sin x 2sin x 2cos x cos x 0∗ ⇔ − − + =
( ) ( )3 2 3 2 3 3
sin x 1 2sin x cos x 2cos x 1 0 sin x cos2x cos x cos2x 0⇔ − − − = ⇔ − =
( ) ( )3 3
3
cos2x 0 m
cos2x sin x cos x 0 x , m
tan x 1 4 2
 = π π⇔ − = ⇔ ⇔ = + ∈ =
» .
Cách giải 2
( ) ( )( )3 3 2 2 5 5
sin x cos x sin x cos x 2sin x 2cos x 0∗ ⇔ + + − − =
( ) ( )3 2 5 5 3 2
sin x cos x sin x cos x cos sin x 0⇔ − − − =
( ) ( ) ( )3 2 2 3 2 2 3 3
sin x cos x sin x cos x cos x sin x 0 cos2x sin x cos x 0⇔ − − − = ⇔ − =
( )3 3 3
cos2x 0 cos2x 0 m
x , m
sin x cos x 0 tan x 1 4 2
 = = π π ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈ − = =  
» .
( )
2 2
21 cos2x 1 cos2x
3 sin 2x 0
2 2
   + −   ∗ ⇔ − + =       
( ) ( ) ( )2 2 2
3 1 2cos2x cos 2x 4 1 cos 2x 1 2cos2x cos 2x 0⇔ + + − − + − + =
( )2
8 cos 2x 4 cos2x 0 4cos2x 2cos2x 1 0⇔ + = ⇔ + =
( )
kcos2x 0 x k
4 2 4 k,m1
cos2x x m2 3
 π π π =  = + ≡ ± + π ⇔ ⇔ ∈ π= −  = ± + π  
» .
Cách khác
Do cos x 0 hay sin x 1= = không là nghiệm của phương trình ( )∗
3cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Tp.HCM 1998 – 1999 đợt 1
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 1998

Chia hai vế của ( )∗ cho 4
cos x, ta được:
( )
2
2 4
2
t 4t 3 0
3 4 tan x tan x 0
t tan x 0
 − + =
∗ ⇔ − + = ⇔ 
 = ≥
( )
2
2
2
t 1
x ktan x 1tan x 1
4t 3 k,m
tan x 3 tan x 3
x mt tan x
3
 π=   = ± + π= ± =   =⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈   π= = ±  = ± + π  =  
» .
Lời bình: Ta nhận thấy trong phương trình có chứa cos3x lẫn sin 3x , nếu ta sử dụng công thức
nhân ba để khai triễn cũng đi đến kết quả cuối cùng, nhưng nó tương đối phức tạp.
Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất
hiện số
1
2
nhằm tối giản được với số
2 3 2
8
−
phức tạp bên vế phải của phương trình.
( ) ( ) ( )2 2 2 3 2
cos3x cos x cos x sin 3x sin x sin x
8
−
∗ ⇔ − =
( ) ( )2 21 1 2 3 2
cos4x cos2x cos x cos2x cos4x sin x
2 2 8
−
⇔ + − − =
2 2 2 2 2 3 2
cos4x cos x cos2x cos x cos2x sin x cos4x sin x
4
−
⇔ + − + =
( ) ( )2 2 2 2 2 3 2
cos4x cos x sin x cos2x cos x sin x
4
−
⇔ + + − =
( )2 2 3 2 1 2 3 2
cos4x cos 2x cos4x 1 cos4x
4 2 4
− −
⇔ + = ⇔ + + =
( ) ( )2 k
4 cos2x 2 1 cos4x 2 3 2 cos4x x , k
2 16 2
π π
⇔ + + = − ⇔ = − ⇔ = ± + ∈ » .
Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung x,2x,4x,8x khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc
đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức
2 2
cos2x 2cos x 1 1 2sin x= − = − , nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế
phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý
rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của sin ,
bằng cách nhân thêm hai vế của ( )∗ cho sin x . Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm
tra xem sin x 0= có phải là nghiệm hay không trước khi nhân.
Bài 31. Giải phương trình: ( )3 3 2 3 2
cos3x cos x sin 3x sin x
8
−
− = ∗
cos x cos2x cos4x cos8x
16
= ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998

● Nhận thấy: ( )sin x 0 x k hay cos x 1 cos2x cos4x cos8x 1= ⇔ = π = ± ⇔ = = = nên
( ) 1
1
16
∗ ⇔ ± = (vô nghiệm) nên sin x 0 x k= ⇔ = π không là nghiệm của ( )∗
● Nhân cả 2 vế của phương trình ( )∗ cho 16sin x 0≠ , ta được:
( )
16sin x cos x cos2x cos4x cos8x sin x 8sin2x cos2x cos4x cos8x sin x
sin x 0 sin x 0
  = = ∗ ⇔ ⇔ 
 ≠ ≠  
4 sin 4x cos4x cos8x sin x 2sin 8x cos8x sin x sin16x sin x
sin x 0 sin x 0 sin x 0
    = = =  ⇔ ⇔ ⇔  
  ≠ ≠ ≠    
k2
x k2
x15
15l
x l
x17 17
17 17x m
 π = π  =  π π⇔ ⇔ = + π π  = +   ≠ π
với ( )17p 1
k 15n; l ; k,l,m,n,p
2
−
≠ ≠ ∈ » .
( ) ( )3
4sin 3x cos2x 1 2 3sin x 4sin x 4 sin 3x cos2x 1 2sin 3x∗ ⇔ = + − ⇔ = +
( ) ( ) ( )2
2sin 3x 2cos2x 1 1 2sin 3x 4cos x 3 1⇔ − = ⇔ − =
Do ( )cos x 0 x k , k
2
π
= ⇔ = + π ∈ » không là nghiệm phương trình ( ), nên nhân hai vế ( ) cho
cos x 0≠ , ta được: ( ) ( )3
2sin 3x 4 cos x 3cos x cos x 2sin 3x cos3x cos x⇔ − = ⇔ =
( )
l2
x
14 7sin6x cos x cos x cos 6x l,k
m22
x
10 5
 π π = + π  ⇔ = ⇔ = − ⇔ ∈   π π   = +

» .
● Khi ( )x k2 , k= π ∈ » thì ( ) ( )1
5
2
∗ ⇔ = − ⇒ ∗ không có nghiệm ( )x k2 , k= π ∈ » .
● Khi ( ) x
x k2 , k sin 0
2
≠ π ∈ ⇒ ≠» . Nhân hai vế của ( )∗ cho
x
2sin 0
2
≠ , ta được:
( )
x x x x x x
2sin cos x 2sin cos2x 2sin cos3x 2sin cos4x 2sin cos5x sin
2 2 2 2 2 2
∗ ⇔ + + + + = −
3x x 5x 3x 7x 5x 9x 7x 11x 9x x
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⇔ − + − + − + − + − =− .
4sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗
cos x cos2x cos3x cos4x cos5x
2
+ + + + = − ∗

( )
11x 11x 2m
sin 0 m x , m 11, m
2 2 11
π
⇔ = ⇔ = π ⇔ = ≠ ∈ » .
Lời bình: Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hoặc cot, có ẩn ở mẫu hay căn bậc
chẳn,… ta phải đặc điều kiện để phương trình xác định. Đặc biệt đối với những bài toán
có chứa tan (hoặc cot), ta hãy thay thế chúng bằng
sin cos
,
cos sin
     
nhằm mục đích " đơn
giản hóa " và chỉ còn lại hai giá trị lượng giác là sin và cos mà thôi.
Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra xem có nhận nghiệm hay không
 Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện xem có thỏa không. Nếu thỏa thì ghi nhận
nghiệm ấy, nếu không thỏa thì loại.
 Hoặc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường
tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung
của điều kiện.
 Hoặc so với điều kiện trong quá trình giải phương trình.
● Điều kiện:
tan x 3
cos x 0
 ≠ −

 ≠
( ) ( ) ( )sin2x 2cos x sin x 1 0 2cos x sin x 1 sin x 1 0∗ ⇔ + − − = ⇔ + − + =
( )( ) ( )
1 x k2cos x 3sin x 1 2cos x 1 0 k,l2
sin x 1 x l2
2
 π  = ± + π = ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= − = − + π  
» .
● So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là ( )x k2 , k
3
π
= + π ∈ » .
● Điều kiện: sin x 0≠
( ) 2 2
sin x(1 sin2x cos2x) 2 2 sin x cos x 1 sin2x cos2x 2 2 cos x∗ ⇔ + + = ⇔ + + =
( )2
2cos x 2cos x sin x 2 2 cos x 0 2cos x cos x sin x 2 0⇔ + − = ⇔ + − =
( )
cos x 0 x kcos x 0
2 k,l
cos x 1cos x sin x 2
x l24
4
 π=  = + π=    ⇔ ⇔ ⇔ ∈π   π− =+ =     = + π   
» .
sin2x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
+ − −
= ∗
+
1 sin2x cos2x
2 sin x sin2x
1 cot x
+ +
= ∗
+
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011

● So với điều kiện, họ nghiệm phương trình là ( )x k x l2 , k,l
2 4
π π
= + π ∨ = + π ∈ » .
● Điều kiện: ( )
sin x 0
2sin x cos x 0 sin2x 0 2x k x k , k
cos x 0 2
 ≠ π ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ π ⇔ ≠ ∈
 ≠
» .
( ) ( ) ( )
2 2
sin x cos x sin x cos x
2 sin2x cos2x 2 sin2x cos2x
cos x sin x sin x cos x
+
∗ ⇔ + = + ⇔ = +
( ) ( )
1 1
2 sin2x cos2x sin2x cos2x
sin x cos x sin2x
⇔ = + ⇔ = +
( ) 2
sin2x sin2x cos2x 1 sin 2x sin2x cos2x 1 0⇔ + = ⇔ + − =
( )2
sin2x cos2x cos 2x 0 cos2x sin2x cos2x 0⇔ − = ⇔ − =
( )
cos2x 0 x k
42 cos2x sin 2x 0 k,l
sin 2x 04
x l4
8 2
 π=  = + π π    ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ π    π π− =    = +  
» .
● Kết hợp với điều kiện, phương trình có 2 họ nghiệm: ( )x k x l , k,l
4 8 2
π π π
= + π ∨ = + ∈ » .
● Điều kiện: ( )3
cos x 0 k
cos3x 0 x , k
cos3x 4cos x 3cos x 0 6 3
 ≠ π π ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈
 = − ≠
» .
( ) ( )
sin x sin x sin 3x
tan x tan x tan 3x 2 2
cos x cos x cos3x
  ∗ ⇔ + = ⇔ + =   
( ) 2
sin x sin x cos3x cos x sin 3x 2cos x cos3x⇔ + =
( ) 2
sin x sin 2x 2cos x cos3x⇔ − =
2 2
2sin xcosx 2cos xcos3x⇔ − =
( )2
sin x cos x cos3x do cos x 0⇔ − = ≠
( ) ( )
1 1
1 cos2x cos4x cos2x
2 2
⇔ − − = +
( )
l
cos4x 1 x , l
4 2
π π
⇔ = − ⇔ = + ∈ »
● So nghiệm với điều kiện:
Bài 37. Giải phương trình: ( ) ( )tan x cotx 2 sin2x cos2x+ = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp.HCM năm 1998
tan x tan x tan 3x 2+ = ∗

 Cách 1: Khi
l
x
4 2
π π
= + thì
3 l3 2
cos3x cos 0
4 2 2
 π π = + = ± ≠   
(nhận).
 Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung
nào trùng nhau. Do đó:
l
x
4 2
π π
= + là nghiệm
của
phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian).
 Cách 3: Nếu
3 l3
3x k
4 2 2
π π π
= + = + π thì
3 6l 2 4k 2k 3l 0,5+ = + ⇔ − =
(vô lí vì k,l ∈ » ).
Vậy họ nghiệm của phương trình là: ( )
l
x , l
4 2
π π
= + ∈ » .
● Điều kiện:
cos x 0
sin x 0 sin2x 0
sin2x 0
 ≠ ≠ ⇔ ≠
 ≠
.
( ) 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 11 1 1 1 20
1 1 1
3 3cos x sin x sin 2x cos x sin x 4sin x cos x
           ∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =             
( )
2 2
2
2 2 2
4sin x 4 cos x 1 20 5 20 3 1 3
sin 2x 1 cos4x
3 3 4 2 44 sin x cos x sin 2x
+ +
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − =
( )
1 2 k
cos4x cos x , k
2 3 6 2
 π π π ⇔ = − = ⇔ = ± + ∈   
» .
● Thay vào nghiệm vào điều kiện, thỏa. Vậy họ nghiệm của phương trình là
( )
k
x , k
6 2
π π
= ± + ∈ » .
Điều kiện: cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ± .
( ) ( )
( )( )
( )
2
2
2 2
1 sin x 1 cos x1 sin x 1
1 cos x 1 cos x 0 1 cos x 0
2 2 2cos x 1 sin x
  − − π ∗ ⇔ − − − + = ⇔ − + =   −  
π/4
π/6
π/2
3π/4
5π/6
7π/6
5π/4
3π/2
7π/4
11π/6
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗
Bài 40. Giải phương trình: ( )2 2 2x x
sin tan x cos 0
2 4 2
 π − − = ∗   

( ) ( )
2
1 cos x 1 cos x
1 cos x 0 1 cos x 1 0
1 sin x 1 sin x
 − −  ⇔ − + = ⇔ + − =  + + 
( )( )
( )
( )
( )
x k2cos x 1 N
1 cos x cos x sin x 0 k;l
tan x 1 N x l2
4
 = π + π = −  ⇔ + − − = ⇔ ⇔ ∈π = − = − + π  
» .
Điều kiện: 2
cos x 1
sin x 0sin x 0
2cos2x 0 2cos x 1 0 cos x
2
 ≠ ±  ≠≠  ⇔ ⇔  
  ≠ − ≠ ≠ ±    
Ta có:
cos x sin2x cos2x cos x sin2x sin x cos x
cotx tan2x
sin x cos2x sin x cos2x sin x cos2x
+
+ = + = = .
Lúc đó: ( )
2
2 2 2sin2x cos x 2cos x 2
4 cos x 4cos x 0 cos x 4 0
sin x cos2x cos2x cos2x
  ∗ ⇔ = ⇔ − = ⇔ − =   
( )
( )
( )
cos x 0 cos x 0 N x k
2 k;l1 1
2 cos2x N x lcos2x 2 6
 π = = = + π ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π= = = ± + π   
» .
Điều kiện:
sin2x 0
sin 4x 0
cos2x 0
 ≠ ⇔ ≠
 ≠
.
Ta có:
2 2 4 4
2 2
2 2 2 2 2
cos x sin x cos x sin x 4cos2x
cot x tan x
sin x cos x sin x cos x sin 2x
−
− = − = = .
( ) ( ) ( ) ( )( )2
2
4
16 1 cos4x 1 4 1 cos4x sin 2x 1 2 1 cos4x 1 cos4x
sin 2x
∗ ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + −
( )2 2 2 1
1 2 1 cos 4x 1 2sin 4x sin 4x
2
⇔ = − ⇔ = ⇔ = (Nhận do sin 4x 0≠ )
( ) ( )
1 1 k
1 cos8x cos8x 0 x , k
2 2 16 8
π π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ » .
sin2x cotx tan2x 4cos x+ = ∗
Trích đề thi Tuyển Sinh Đại học Mỏ – Địa chất năm 2000
2 2
cot x tan x
16 1 cos4x
cos2x
−
= + ∗
2 tan x cot2x 2sin2x
sin2x
+ = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998 – 1999

Điều kiện:
sin2x 0 sin2x 0
cos x 0 cos2x 1
  ≠ ≠ ⇔ 
 ≠ ≠ ±  
( ) 2 22sin x cos2x 1
2sin2x 4 sin x cos2x 2sin 2x 1
cos x sin2x sin2x
∗ ⇔ + = + ⇔ + = +
( ) ( )2 2 2 2 2 2
4 sin x 1 2sin x 8 cos x sin x 1 2sin x 1 4cos x 0⇔ + − = + ⇔ − =
( )
( )
( )
( )2
sin x 0 L
2sin x 1 2 1 cos2x 0 x k , k1 3cos2x N
2
 = π  ⇔ − + = ⇔ ⇔ = ± + π ∈   = −
» .
ĐK:
( )
sin x 0
sin x 1 cosxsin x
tan x sin x 0 sin x 0 0 cos x 0 sin2x 0
cos x cos x
cos x 1
 ≠− − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
 ≠
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 sin x tan x 3 cos x 1cotx
. 2 1 cos x 0 2 1 cos x 0
tan x sin x cotx 1 cos x
+ +
∗ ⇔ − + = ⇔ − + =
− −
( )
cos x 11 cos x 03
1 cos x 2 0 11 2cos x 01 cos x cos x
2
 = −  + =   ⇔ + − = ⇔ ⇔    + =−  = − 
( )
2
x k2 , k
3
π
⇔ = ± + π ∈ » .
Điều kiện: sin x 1 cos x 0≠ ∧ ≠ .
( )
( )
( )
( )
2
3 2
2 2
2 1 cos x sin x 1 sin x
1 sin x
21 sin x 1 sin x4 1 sin x
+
∗ ⇔ − = + +
− −−
( )( ) ( )( )2 3 2 2
1 cos x 1 sin x 2sin x 1 sin x 1 sin x 2sin x⇔ + + − = + − +
( )( ) ( ) ( )2 2 2
1 cos x 1 sin x 1 sin x cos x 2sin x 1 sin x⇔ + + = + + +
( )
2 2 2
1 sin x 0 sin x 1 L
cos2x 0
1 cos x cos x 2sin x 1 1 2cos2x
 + = = −⇔ ⇔ ⇔ = + = + = − 
( )
( ) ( )
3 sin x tan x
2 1 cos x 0
tan x sin x
+
− + = ∗
−
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Tài Chính – Kế Toán năm 2000
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 cos x 1 cos x 1
tan x sin x 1 sin x tan x
24 1 sin x
− + +
− = + + ∗
−
(Loại do sin x 0≠ )
(Nhận)

k
2x k x
2 4 2
π π π
⇔ = + π ⇔ = + (nhận do cos x 0≠ )
● Điều kiện: cos5x 0≠ .
( )
sin5x
cos3x sin7x sin5x cos3x sin7x cos5x
cos5x
∗ ⇔ = ⇔ =
( ) ( )
1 1
sin 8x sin2x sin12x sin2x sin 8x sin12x
2 2
⇔ + = + ⇔ =
( )
k
x12x 8x k2
2 k;l
12x 8x l2 l
x
20 10
 π = = + π ⇔ ⇔ ∈ = π − + π π π = +

» .
● So với điều kiện:
Với
k
x
2
π
= thì
5k k
cos5x cos cos
2 2
π π
= = loại nếu k lẻ.
Với
l
x
20 10
π π
= + thì
l
cos5x cos 0
4 2
 π π = + ≠   
(nhận).
Điều kiện: sin x 0 cos x 0≠ ∧ ≠ .
( ) 2
sin 2x sin2x sin x cos x 1 2cos2x∗ ⇔ + − − =
2 2 2 2
4cos xsin x 2cosxsin x cosx 1 4cos x 0⇔ + − + − =
( ) ( )2 2 2 2
4cos x 1 cos x 2cos x 1 cos x cos x 1 4 cos x 0⇔ − + − − + − =
( )( )2 3 3 2
4 cos x 2cos x cos x 1 0 cos x 1 4 cos x 2cos x 2cos x 1 0⇔ + + − = ⇔ + − + − =
( )( )( ) ( )2
cos x 1 x k2
cos x 1 2cos x 1 2cos x 1 0 k,l1
cos x x l2
2 3
 = − = π + π 
 ⇔ + − + = ⇔ ⇔ ∈π = = ± + π  
» .
Điều kiện: sin2x 0≠ .
Bài 46. Giải phương trình: ( )cos3x tan5x sin7x= ∗
Trích đề thi Tuyển sinh Cao đẳng Kinh tế Công Nghiệp Tp. HCM năm 2007
1 1
sin2x sin x 2cotx
2sin x sin2x
+ − − = ∗
4 4
sin x cos x 1
tan x cot2x
sin2x 2
+
= + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Bách Khoa năm 2000

Ta có:
( )
( )
2
4 4 2 2 2 2 21
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x 1 sin 2x
2
cos 2x xsin x cos2x sin2x sin x cos x cos2x 1
tan x cot2x
cos x sin2x cos x sin2x cos x sin2x sin2x
 + = + − = −

− + + = + = = =
( )
2
2 2
1
1 sin 2x
1 1 12 1 sin 2x sin 2x 1
sin2x 2sin2x 2 2
−
∗ ⇔ = ⇔ − = ⇔ = (Nhận do sin2x 0≠ )
( )2
cos 2x 0 2x k x k , k
2 4 2
π π π
⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + ∈ » .
Điều kiện:
cos x 0
sin2x 0
sin2x 0
sin 3x 0
sin 3x 0
 ≠  ≠ ≠ ⇔ 
  ≠ ≠
( ) ( )2 2 2 2
cot3x tan x cot 2x 1 tan x cot 2x∗ ⇔ − = −
cot3x . 1
 − + − + ⇔ − = −  + − + − 
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
cot3x 1 cos2x 1 cos4x 1 cos2x 1 cos4x
 ⇔ − + − + − 
= − − − + +
( ) ( )cot3x 2cos4x 2cos2x 2 cos4x cos2x⇔ − = − +
( )
cos3x
4sin3x sin x 4cos3x cos x⇔
sin 3x
− = −
( )
k
xcos3x 0
6 3cos3x sin x cos3x cos x k,l
tan x 1
x l
4
 π π = + = ⇔ = ⇔ ⇔ ∈ = π = + π

» .
Cách khác: ( ) ( )2 2 2 2
cot3x tan x cot 2x 1 tan x cot 2x∗ ⇔ − = −
( )( )
( )( )
2 2 2 2
2 2 2 2
1 tan2x tan x 1 tan2x tan xtan x cot 2x tan 2x tan x 1
cot3x
tan x cot 2x 1 tan x tan 2x tan2x tan x tan2x tan x
+ −− −
⇔ = = =
− − − +
cos3x 0
cot3x cotx cot3x
sin x cos x
 =⇔ = ⇔  =
(Giải tương tự như trên)
x
cotx sin x 1 tan x tan 4
2
  + + = ∗   
tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Dược Hà Nội năm 2001

Điều kiện: ( )
sin x 0
sin2x 0
x k
cos 0 x , kx
2 2cos 0
2cos x 0
 ≠   ≠  π ≠ ⇔ ⇔ ≠ ∈ 
  ≠  ≠
» .
( )
x x x
sin cos x cos sin x sin
cos x sin x cos x2 2 2sin x 1 . 4 sin x 4
sin x cos x x sin x x
cos cos x cos
2 2
      +      ∗ ⇔ + + = ⇔ + =             
x
cos x
2cos x cos x sin x
sin x. 4 4 1 4sin x cos x
sin x x sin x cos x
cos x cos
2
  −  
⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
( )
2x k2 x k1 6 12sin2x k,l
5 52
2x l2 x l
6 12
 π π = + π = + π
 
⇔ = ⇔ ⇔ ∈ 
π π = + π = + π 
 
» .
So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là ( )
5
x k x l ; k,l
12 12
π π
= + π ∨ = + π ∈ » .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. Giải phương trình: 2sin x cos x 2cos x 3 3 sin x− + = .
Câu 2. Giải phương trình: 2 tan x cos x 1 2cos x tan x+ = + .
Câu 3. Giải phương trình: 3 3 2
sin x cos x cos x sin x
8
− = .
cos x cos 2x cos 3x 1+ + = .
sin 2x cos 8x sin 10x
2
 π  − = +   
.
Câu 6. Giải phương trình: 4 6
cos x sin x cos2x+ = .
Câu 7. Giải phương trình:
1 cos4x sin 4x
0
2sin2x 1 cos4x
−
− =
+
.
sin x cos x cos x
2
+
+ = .

( ) 2 x
2 3 cos x 2sin
2 4
1
2cos x 1
 π − − −  
=
−
.
Câu 10. Giải phương trình: sin 4x 3sin2x tan x+ = .
cos10x 2cos 4x 6cos3xcosx cosx 8cosxcos 3x+ + = + .
Câu 12. Giải phương trình: ( )2 2 2
2cos x 2cos 2x 2cos 3x 3 cos4x 2sin2x 1+ + − = + .
5x 7
sin 2x 3cos x 1 2sin x , ;3
2 2 3
     π π      + − − = + ∀ ∈ π               
.
Câu 14. Giải phương trình: ( )2 2
sin 4x cos 6x sin 10,5 10x , 0;
2
 π − = π + ∀ ∈    
.
Câu 15. Giải phương trình: tan2x tan 3x tan5x tan2x tan 3x tan5x− − = .
sin x sin2x sin 3x
3
cos x cos2x cos3x
+ +
=
+ +
.
Câu 17. Giải phương trình: 2 1 cos x
tan x
1 sin x
+
=
−
.
Câu 18. Giải phương trình: 24
cos x cos x
3
= .
1 1
2 2 sin x
4 sin x cos x
 π + = +   
.
2
2 tan x cot2x 3
sin2x
+ = + .
2
3tan 3x cot2x 2tan x
sin 4x
+ = + .
sin x sin 2x sin 3x 2+ + = .
Câu 23. Giải phương trình: ( )25 4x 3sin2 x 8 sin x 0− π + π = .
sin2x
2cos x 0
1 sin2x
+ =
+
.
sin x cot5x
1
cos9x
= .
2
3tan6x 2tan2x cot4x
sin 8x
− = − .
Câu 27. Giải phương trình: 2 1 cos x
tan x
1 sin x
+
=
−
.

cos x cos3x sin x sin 3x
4
+ = .
Câu 29. Giải phương trình: 4 4x x 5
sin cos
3 3 8
      + =       
.
Câu 30. Giải phương trình: ( )2
2sin 3x 1 4sin x 1− = .
cos x 4sin x 3cosx sin x sin x 0− − + = .
Câu 32. Giải phương trình: 4 4x x
sin cos 1 2sin x
2 2
+ = − .
Câu 33. Giải phương trình: sin 3x sin2x sin x
4 4
   π π   − = +        
.
( )2
4
4
2 sin x sin 3x
tan x 1
cos x
−
+ = .
Câu 35. Giải phương trình: 2 x
tan x cos x cos x sin x 1 tan tan x
2
  + − = +   
.
Câu 36. Giải phương trình: 2 2 x 7
sin x cos4x 2sin 2x 4sin x , x 1 3
4 2 2
 π  − = − − ∀ − <   
.
Câu 37. Giải phương trình: sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + .
Câu 38. Giải phương trình: 2 2 2 2
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2+ + + = .
( )
( )
2
cos x cos x 1
2 1 sin x
sin x cos x
−
= +
+
.
Câu 40. Giải phương trình: sin x sin2x sin 3x sin 4x sin5x sin6x 0+ + + + + = .
Câu 41. Giải phương trình: cos x cos3x 2cos5x 0+ + = .
Câu 42. Giải phương trình: 9sin x 6cos x 3sin2x cos2x 8+ − + = .
Câu 43. Giải phương trình: ( )cos x sin x cos x sin x cos x cos2x− = .
Câu 44. Giải phương trình: ( )( ) 2
2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4 cos x 3+ + − + = .
2sin x sinx 2cos x cosx cos2x− = − + .
Câu 46. Giải phương trình: 2 3 4 2 3 4
sinx sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x+ + + = + + + .
Câu 47. Giải phương trình: ( ) ( )2
sin x tan x 1 3sin x cos x sin x 3+ = − + .
Câu 48. Giải phương trình: 2
tan2x cotx 8cos x+ = .
Câu 49. Giải phương trình: ( ) ( )3 cotx cos x 5 tan x sin x 2− − − = .
1 1
2 2 sin x
4 sin x cos x
 π + = +   
.
B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM
LƯỢNG GIÁC

Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện
2
a sin x bsinx c 0+ + = t sin x= 1 t 1− ≤ ≤
2
a cos x bcosx c 0+ + = t cos x= 1 t 1− ≤ ≤
2
a tan x btanx c 0+ + = t tan x= x k , (k )
2
π
≠ + π ∈ »
2
a cot x bcotx c 0+ + = t cotx= ( )x k , k≠ π ∈ »
Nếu đặt
2
t sin x= hoặc t sin x= thì điều kiện là 0 t 1≤ ≤
(tương tự cho cos )
Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ
● ( )
2
2 2
1 sin2x sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x+ = + + = +
● ( )
2
2 2
1 sin2x sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x− = + − = −
●
sin2x
sin x cos x
2
=
● ( )( )3 3
sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x+ = + −
● ( )( )x3 3
sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos− = − +
●
2 2
sin x cos x sin x cos x 2
tan x cotx
cos x sin x sin x cos x sin2x
+
+ = + = =
●
2 2
cos x sin x cos x sin x 2cos2x
cotx tan x 2cotx
sin x cos x sin x cos x sin2x
−
− = − = = =
● 4 4 2 21 1 1 3 1cos4x
sin x cos x 1 sin 2x cos 2x
2 2 2 4
+
+ = − = + =
● ( )( )4 4 2 2 2 2
cos x sin x sin x cos x cos x sin x cos2x− = + − =
● 6 6 4 4 2 2 23 5 3cos4x
sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 sin 2x
4 8
+
+ = + − = − =
● ( )6 6 4 4 2 2
cos x sin x cos2x sin x cos x sin x cos x− = + +
●
x 1
1 tan x tan
2 cos x
+ =
● sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
   π π   ± = ± =        
●
( ) ( )
2 2
cos x cos x 1 sin x 1 sin x
1 sin x cos xcos x 1 sin x cos x 1 sin x
− +
= = =
− − −
(mối liên hệ giữa sinx và cosx)
BÀI TẬP ÁP DỤNG

cos4x 12sin x 1 0+ − = ∗
cos x sin x cos4x 0− + = ∗
cos3x sin 3x
5 sin x 3 cos2x , x 0;2
1 2sin2x
 +  + = + ∗ ∀ ∈ π  + 
Bài 54. Giải phương trình: ( )sin 3x sin5x
3 5
= ∗
Bài 55. Giải phương trình: ( )sin5x
1
5sin x
= ∗
cos 3x cos2x cos x 0 1− =
cos x sin x cos x sin 3x 0
4 4 2
   π π   + + − − − = ∗       
5 7
sin 2x 3cos x 1 2sin x; x ;2
2 2 2
     π π π      + − − = + ∀ ∈ π ∗             
5sin x 2 3 1 sin x tan x− = − ∗
2
sin2x 3 cos2x 5 cos 2x
6
 π + − = − ∗   
( )
( )
6 6
2 cos x sin x sin x cos x
0
2 2sin x
+ −
= ∗
−
( )
( )
1 sin x cos2x sin x
4 1
cos x
1 tan x 2
 π + + +  
= ∗
+
2sin 3x 2cos3x
sin x cos x
− = + ∗
( )
( )
2
cos x 2sin x 3 2 2cos x 1
1
1 sin2x
+ − −
= ∗
+
Bài 65. Giải phương trình: ( )x 3x x 3x 1
cos x cos cos sin x sin sin
2 2 2 2 2
− = ∗
4 4
sin x cos x 1 1
cot2x
5sin2x 2 8sin2x
+
= − ∗
Bài 67. Giải phương trình: ( ) ( )2 2
3cot x 2 2 sin x 2 3 2 cos x+ = + ∗
3cos4x 8 cos x 2cos x 3 0− + + = ∗
Bài 69. Giải phương trình: ( )2cos4x
cotx tan x
sin2x
= + ∗
cotx tan x 4 sin2x
sin2x
− + = ∗
2sin x tan x 2+ = ∗

sin x cos x
8
+ = ∗
sin x cos x cos 2x
16
+ = ∗
Bài 74. Giải phương trình: ( )35x x
sin 5cos x sin
2 2
= ∗
sin2x cotx tan2x 4 cos x+ = ∗
Bài 76. Giải phương trình: ( )2 6x 8x
2cos 1 3cos
5 5
+ = ∗
tan x tan x 1
4
 π − = − ∗   
4 4
4sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
   π π   − +      
Bài 79. Giải phương trình: ( ) ( )4 2
1 2
48 1 cot2x cotx 0
cos x
−
sin x
− + = ∗
4
+ = + + ∗
Bài 81. Giải phương trình: ( )2cos2x 1
cotx 1 sin x sin2x
1 tan x 2
− = + − ∗
+
Bài 82. Giải phương trình: ( )sin2x 2 tan x 3+ = ∗
Bài 83. Giải phương trình: ( )( ) ( )1 tan x 1 sin2x 1 tan x− + = + ∗
cos2x cos x 2 tan x 1 2+ − = ∗
sin2x cosx 3 2 3 cos x 3 3 cos2x 8 3 cosx sinx 3 3+ − − + − =
Bài 86. Giải phương trình: 2
2
1 1
4 sin x 4 sin x 7 0
sin xsin x
      + + + − =       
( )∗
tan x tan x tan 3x 2− = ∗
sin2x sin x 2cot2x
2sin x sin2x
+ − − = ∗
2cos2x 8cos x 7
cos x
− + = ∗
Bài 90. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )4 sin 3x cos2x 5 sin x 1− = − ∗
2
1 1
sin x sin x
sin x sin x
− = − ( )∗
2
1 1
cos x 2 cos x 1
cos xcos x
  + − + =   
( )∗
1
2 tan x cotx 2sin2x
sin2x
+ = + ( )∗

tan x cot x 2 1 tan x cotx 0+ + + + = ( )∗
sin x cos x sin2x
8
+ = − ∗
Bài 96. Giải phương trình: 5 5 2
4sin x cos x 4 cos x sin x sin 4x− = ( )∗
Bài 97. Giải phương trình: ( ) ( )cos 2x cos 2x 4 sin x 2 2 1 sin x
4 4
   π π   + + − + = + − ∗       
Bài 98. Giải phương trình: 2 2 2 2 3
cos x cos 2x cos 3x cos 4x
2
+ + + = ( )∗
6 6
2 2
sin x cos x 1
tan2x
4cos x sin x
+
=
−
( )∗
Bài 100. Giải phương trình: 6 6
sin x cos x sin2x+ = ( )∗
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI
VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC
Lời bình: Trong bài toán toán có chứa hai cung x và 4x nên ta đưa về cùng một cung là 2x bằng
công thức nhân đôi của 2
cos 4x 2cos 2x 1= − và công thức hạ bậc
2 1 cos2x
sin x
2
−
= . Từ đó, đưa ta về phương trình bậc hai theo cos2x .
( ) ( )2 2
2cos 2x 1 6 1 cos2x 1 0 cos 2x 3cos2x 2 0∗ ⇔ − + − − = ⇔ − + =
( )
2
t 1 t 2t 3t 2 0
cos2x 1 x k , k
t cos2x, t 1t cos2x, t 1
  = ∨ =− + = ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = π ∈  = ≤= ≤  
» .
Lời bình: Trong ví dụ này, cũng tồn tại hai cung khác nhau x và4x nên ta đưa về cùng một cung
là 2x , nhưng lần này cần phải kết hợp giữa hằng đẳng thức và công thức nhân đôi:
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2 2 2
cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos2x− = − + = . Còn cos4x ta sẽ
áp dụng công thức nhân đôi như trên để được phương trình bậc hai theo cos2x .
( ) ( )( )2 2 2 2 2
cos x sin x cos x sin x 2cos 2x 1 0∗ ⇔ − + + − =
cos4x 12sin x 1 0+ − = ∗
(Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D năm 2011)
cos x sin x cos4x 0− + = ∗
(Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Xây dựng số 2 năm 2007)

( )2
cos2x 1 x k
22cos 2x cos2x 1 0 k,l1
cos2x x l2 6
 π = −  = + π ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π=  = ± + π  
» .
Lời bình: Trong bài toán này, có chứa đồng thời ba cung x,2x,3x và ta không thể đưa cung x của
sin x về cung2x được (không có công thức lượng giác nào), do đó chỉ còn cách duy
nhất là đưa ba cung này về cùng cung x . Nhận thấy rằng, trong vế trái phương trình có
chứa cos3x sin 3x+ , ta nên phân tích hai thành phần này trước để tránh lập lại và dài
dòng khi giải phương trình. Còn cos2x tất nhiên đưa về cung x bằng công thức nhân
đôi: 2 2 2 2
cos2x cos x sin x 2cos x 1 1 2sin x= − = − = − , nhưng trong ba công thức
đó, ta sẽ áp dụng công thức nào ? Câu trả lời là "dựa vào sự biến đổi của vế trái để chọn
công thức phù hợp".
● Điều kiện:
1
1 2sin2x 0 sin2x
2
+ ≠ ⇔ ≠ − .
Ta có: ( ) ( )3 3
cos 3x sin 3x 4 cos x 3cos x 3sin x 4sin x+ = − + −
( ) ( )3 3
3 cos x sin x 4 cos x sin x= − − + −
( ) ( )3 3
3 cos x sin x 4 cos x sin x= − − + −
( ) ( )2 2
cos x sin x 3 4 cos x cos x sin x sin x = − − + + + 
( )( )cos x sin x 1 2sin2x= − + .
( )
( )( )cos x sin x 1 2sin2x
5 sin x 3 cos2x
1 2sin2x
 − +  ∗ ⇔ + = +  + 
( ) 2
5 sin x cos x sin x 2cos x 1⇔ + − = −
( )
( )2
1
cos x
2cos x 5cos x 1 0 x k2 , k2
3cos x 2 L

 = π
⇔ − − = ⇔ ⇔ = ± + π ∈

=
» .
● Kết hợp với điều kiện, ta được họ nghiệm là ( )x k2 , k
3
π
= ± + π ∈ » do
3 1
sin2x
2 2
= ± ≠ − .
● ( )
x
3Do x 0;2 nên
5
x
3
 π =

∈ π 
π =

cos3x sin 3x
5 sin x 3 cos2x , x 0;2
1 2sin2x
 +  + = + ∗ ∀ ∈ π  + 
(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2002)
sin 3x sin5x
3 5
= ∗
(Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2000)

Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung 3x, 5x x 4x= + , ta có thể đưa chúng về cùng một cung
x theo công thức nhân ba và cộng cung để xuất hiện nhân tử chung (cách giải 1). Hơn
nữa, trong bài xuất hiện số 3 và 5 , ta cũng có thể tách 5 2 3= + và nhóm chúng một
cách khéo léo lại với nhau, áp dụng công thức tổng thành tích (cách giải 2).
● Cách giải 1
( ) ( )5sin 3x 3sin x 4x∗ ⇔ = + ( ) ( )3
5 3sin x 4sin x 3 sin x cos4x cos x sin 4x⇔ − = +
( ) ( )2
5sin x 3 4sin x 3 sin x cos4x 2cos x sin2x cos2x⇔ − = +
( ) ( )2 2
5sin x 3 4sin x 3sin x cos4x 4cos x cos2x⇔ − = +
( ) ( )2 2
sin x 5 3 4sin x 3 cos4x 4cos x cos2x 0 ⇔ − − + = 
( )2
sin x 12cos 2x 4cos2x 8 0⇔ − + + = ( )2
sin x 3cos 2x cos2x 2 0⇔ + − =
sin x 0 x k x k
2
cos2x 1 x l , k,l,m ; cos
3x m2
2 2cos2x x m2
3 2
 
 
= = π   = π     ⇔ = ⇔ = π ⇔ ∈ α =  α     = ± + πα  = = ± + π 
  
» .
● Cách giải 2
( ) 5sin 3x 3sin5x∗ ⇔ = ( )2sin 3x 3 sin5x sin 3x⇔ = −
( )2
2sin x 3 4sin x 6cos4x sin x⇔ − = ( )2
2sin x 3 4sin x 3cos4x 0⇔ − − =
( ) ( )2
sin x 3 2 1 cos2x 3 2cos 2x 1 0 ⇔ − − − − =  ( )2
sin x 3cos 2x cos2x 2 0⇔ + − = .
Giải tương tự như trên.
Điều kiện: sin x 0≠
● Cách giải 1
( ) sin5x sin x 4sin x 2cos3x sin2x 4sin x 4cos3x sin x cos x 4sin x 0∗ ⇔ − = ⇔ = ⇔ − =
( ) ( )4 sin x cos3x cos x 1 0 2sin x cos4x cos2x 1 0⇔ − = ⇔ + − =
( )
( )2
2
sin x 0 L
sin x 2cos 2x cos2x 3 0
2cos 2x cos2x 3 0
 =⇔ + − = ⇔  + − =
( ) ( )2
cos2x 1
1 cos2x 0 2sin x 0 sin x 0 L
cos2x 1,5 L
 =⇔ ⇔ − = ⇔ = ⇔ = = −
Vậy phương trình vô nghiệm.
sin5x
1
5sin x
= ∗
(Trích đề thi tuyển sinh Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1997)

● Cách giải 2
( ) ( )sin 2x 3x 5sin x sin2x cos3x sin 3x cos2x 5sin x∗ ⇔ + = ⇔ + =
( ) ( )( ) ( )
2
3 3 2 2 2 2
2sinxcosx 4cos x 3cosx 3sinx 4sin x cos x sin x 5sinx sin x cos x⇔ − + − − = +
( )5 2 3 3 2 2
12sin x 20cos x sin x 0 sin x 12sin x 20cos x 0⇔ + = ⇔ + =
( )
( )
( )
3
3 2
2
sin x 0 L
sin x 12 8cos x 0
0 12 8cos x 0 L
 =⇔ + = ⇔  < + =
Vậy phương trình vô nghiệm.
SHPT.INFO
( ) ( )
1 cos6x 1 cos2x
1 .cos2x 0 cos6x cos2x 1 0 2
2 2
+ +
⇔ − = ⇔ − =
Cách giải 1
( ) ( )3 4 2
2 4cos 2x 3cos2x cos2x 1 0 4cos 2x 3cos 2x 1 0⇔ − − = ⇔ − − =
( )
( )
2
2
cos 2x 1
k
sin2x 0 2x k x , k1 2cos 2x L
4
 = π
⇔ ⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈
 = −
» .
Cách giải 2
( ) ( ) 21
2 cos8x cos4x 1 0 cos8x cos4x 2 0 2cos 4x cos4x 3 0
2
⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − =
( )
( )
cos4x 1
k
4x k2 x , k3
2cos4x L
2
 = π
⇔ ⇔ = π ⇔ = ∈
 = −
» .
Cách giải 3. Phương trình lượng giác không mẫu mực
( ) ( )
cos6x cos2x 1 k
2 x , k
cos6x cos2x 1 2
 = = π⇔ ⇔ = ∈ = = −
» .
Cách giải 4. Phương trình lượng giác không mẫu mực
( ) ( )
k
2 cos8x cos4x 2 0 cos8x cos4x 1 x , k
2
π
⇔ + − = ⇔ = = ⇔ = ∈ » .
cos 3x cos2x cos x 0 1− =
cos x sin x cos x sin 3x 0
4 4 2
   π π   + + − − − = ∗       
(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005)

( ) 21 1 3
1 sin 2x sin 4x sin2x 0
2 2 2 2
  π ∗ ⇔ − + − + − =     
( )21 1 1
sin 2x cos4x sin2x 0
2 2 2
⇔ − − − + − =
( )2 21 1 1 1
sin 2x 1 2sin 2x sin2x 0
2 2 2 2
⇔ − − − + − =
( ) ( )2
sin2x 1
sin 2x sin2x 2 0 x k , k
sin2x 2 L 4
 = π⇔ + − = ⇔ ⇔ = + π ∈ = −
» .
Lời bình: Từ việc xuất hiện các số
5 7
,
2 2
π π
là những bội số của
2
π
, làm ta liên tưởng đến câu
"cos đối – sin bù – phụ chéo", thật vậy, các bạn để ý cách giải sau:
( ) ( ) ( )sin 2x 2 3cos x 4 1 2sin x
2 2
   π π   ∗ ⇔ − − − π − − − + π = +
   
 
( ) ( )cos 2x 2 3sin x 4 1 2sin x cos2x 3sin x 1 2sin x ⇔ − + π − − + π = + ⇔ + = +  
( )2
x k
sin x 0
x l22sin x sin x 0 k;l;m1 6sin x
52 x m2
6
 = π
 =  π  = + π⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈ =  π = + π
» .
● Với
x k 1
k 2 k 2
k 1 x2 2
k ,x ;2 k k2
  = π  π   < π < π < <   ⇒ ⇔ ⇒ = ⇒ = π  π   ∈ ∈ π   ∈ ∈      
» » »
.
● Với
x l2 1 11
l2 2 l6
2 6 6 12
l ll ,x ;2
2
 π   = + π π π   < + π < π < <  ⇒ ⇔ ⇒   π    ∈ ∈∈ ∈ π       
» »»
Không tồn tại l ∈ » nên loại
nghiệm x l2
6
π
= + π .
● Với
5
x m2 5 1 7
5m2 2 l6 m 0 x2 6 6 12
6m mm ,x ;2
2
 π   = + π π π   π< + π < π − < <  ⇒ ⇔ ⇒ = ⇒ =   π    ∈ ∈∈ ∈ π       
» »»
.
5 7
sin 2x 3cos x 1 2sin x; x ;2
2 2 2
     π π π      + − − = + ∀ ∈ π ∗             

Điều kiện: cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ± .
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
sin x sin x
5sin x 2 3 1 sin x 5sin x 2 3 1 sin x
cos x 1 sin x
∗ ⇔ − = − ⇔ − = −
−
2
2sin x
5sin x 2 3 2sin x 3sin x 2 0
1 sin x
⇔ − = ⇔ + − =
+
( )
( )
( )
1 x k2sin x N 6 k,l2
5sin x 2 L x l2
6
 π  = + π = ⇔ ⇔ ∈ π= − = + π 
» .
( )
2
4 cos2x cos sin2x sin 5 cos 2x
6 6 6
   π π π   ∗ ⇔ + − = −        
2
4 cos 2x cos 2x 5 0
6 6
   π π   ⇔ − − − − =       
( )
( )
cos 2x 1
76
2x k2 x k , k
5 6 12
cos 2x 1 L
6 4
  π − = −    π π ⇔ ⇔ − = π + π ⇔ = + π ∈  π − = >    
» .
● Điều kiện:
2
2 2sin x 0 sin x
2
− ≠ ⇔ ≠ .
( ) ( )6 6 21 1
2 cos x sin x sin x cos x 0 2 1 sin 2x sin2x 0
2 2
  ∗ ⇔ + − = ⇔ − − =   
( ) ( )2
sin2x 1
2sin 2x 2sin2x 4 0 x k , k
sin2x 2 L 4
 = π⇔ − − + = ⇔ ⇔ = + π ∈ = −
»
5sin x 2 3 1 sin x tan x− = − ∗
(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2004)
2
sin2x 3 cos2x 5 cos 2x
6
 π + − = − ∗   
( )
( )
6 6
2 cos x sin x sin x cos x
0
2 2sin x
+ −
= ∗
−

● Thay vào đk:
2
sin k 1
4 2
 π  + π = ± ≠   
nên họ nghiệm phương trình là ( )x k , k
4
π
= + π ∈ » .
● Điều kiện:
1 tan x 0 tan x 1
cos x 0 sin x 1
  + ≠ ≠ − ⇔ 
 ≠ ≠ ±  
( ) ( )2 sin x
2 sin x 1 sin x 1 2sin x cos x 1
4 cos x
   π   ∗ ⇔ + + + − = +        
( )( )2
sin x cos x 2sin x sin x 2 cos x sin x⇔ + − + + = +
( )( )2
sin x cos x 2sin x sin x 1 0⇔ + − + + =
( )
( )
( )
( )2
tan x 1 L
x k2sin x cos x 0
6sin x 1 L k,l
72sin x sin x 1 0
x l21
6sin x N
2

  π= −  = − + π+ =  ⇔ ⇔ = ⇔ ∈  π− + + =   = + π 
= − 

» .
● Điều kiện:
sin x 0
sin2x 0
cos x 0
 ≠ ⇔ ≠
 ≠
( ) ( )
1 1
2 sin 3x cos3x
sin x cos x
∗ ⇔ − = +
( )3 3 sin x cos x
2 3sin x 4sin x 4 cos x 3cos x
sin x cos x
+
⇔ − − + =
( ) ( )3 3 sin x cos x
2 3 sin x cos x 4 sin x cos x
sin x cos x
+ ⇔ + − + = 
( ) ( )( )2 2 sin x cos x
2 3 sin x cos x 4 sin x cos x sin x cos x sin x cos x
sin x cos x
+ ⇔ + − + − + = 
( ) ( )
sin x cos x
2 sin x cos x 3 4 1 sin x cos x 0
sin x cos x
+ ⇔ + − − − = 
( )
( )
1 sin x cos2x sin x
4 1
cos x
1 tan x 2
 π + + +  
= ∗
+
1 1
2sin 3x 2cos3x
sin x cos x
− = + ∗

( )
1 2
sin x cos x 3 4 1 sin2x 0
2 sin2x
   ⇔ + − − − =     
( )( )2
sin x cos x 2sin 2x sin2x 1 0⇔ + − − =
( )2
x ktan x 1
4
sin x cos x 0 1
sin2x x l k,l,m
2sin 2x sin2x 1 2 12
sin2x 1 7
x m
12
 π = ± + π = − 
 + = π ⇔ ⇔ = − ⇔ = − + π ∈ − −   = π
= + π 
» .
● Vậy họ nghiệm cần tìm là ( )
7
x k x l x m k,l,m
4 12 12
π π π
= ± + π ∨ = − + π ∨ = + π ∈ » .
Điều kiện: sin2x 1 x k
4
π
≠ − ⇔ ≠ − + π
( ) 2
2sin x cos x 3 2 cos x 2cos x 1 1 sin2x∗ ⇔ + − − = +
( )
( )
( )
( )
2
cos x 2 L x k2 N
42cos x 3 2 cos x 2 0 2
cos x N x l2 L
2 4
 π=  = + π ⇔ − + = ⇔ ⇔  π= = − + π 
( ) ( ) ( )
1 1 1
cos x cos2x cos x sin x cos2x cos x
2 2 2
∗ ⇔ + + − =
2
cosxcos2x cos x sinxcos2x sinxcosx 1⇔ + + − =
( ) 2
cos2x cos x sin x 1 cos x sin x cos x⇔ + = − +
( ) 2
cos2x cos x sin x sin x sin x cos x⇔ + = +
( ) ( )cos2x cos x sin x sin x sin x cos x 0⇔ + − + =
( )( )sin x cos x cos2x sin x 0⇔ + − =
( )( )2
sin x cos x 1 2sin x sin x 0⇔ + − − =
( )
( )
2
cos x 2sin x 3 2 2cos x 1
1
1 sin2x
+ − −
= ∗
+
x 3x x 3x 1
cos x cos cos sin x sin sin
2 2 2 2 2
− = ∗

Phuong trinh luong giac va ung dung

Phuong trinh luong giac va ung dung

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Andere mochten auch

Andere mochten auch (10)

Ähnlich wie Phuong trinh luong giac va ung dung

Ähnlich wie Phuong trinh luong giac va ung dung (20)

Phuong trinh luong giac va ung dung