200 cau khao sat ham so

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
TRẦN SĨ TÙNG
---- õö & õö ----
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Năm 2012

www.MATHVN.com
ÌD £ 0 ÌD £ 0
ÌD £ 0 ÌD £ 0
2
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Khảo sát hàm số
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số y = f (x) có tập xác định D.
• Hàm số f đồng biến trên D ¤ y¢ ≥ 0,"x Œ D
thuộc D.
và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
• Hàm số f nghịch biến trên D ¤ y¢ £ 0,"x Œ D
thuộc D.
• Nếu y' = ax2
+ bx + c (a ≠ 0) thì:
+ y' ≥ 0,"x Œ R ¤
Ïa > 0
Ó
+ y' £ 0,"x Œ R ¤
Ïa < 0
Ó
• Định lí về dấu của tam thức bậc hai g(x) = ax2
+ bx + c (a ≠ 0) :
+ Nếu D < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
+ Nếu D = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = -
b
)
2a
+ Nếu D> 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
• So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g(x) = ax + bx + c với số 0:
ÏD ≥ 0Ô ÏD ≥ 0Ô
+ x1 £ x2 < 0 ¤ ÌP > 0 + 0 < x1 £ x2 ¤ ÌP > 0 + x1 < 0 < x2 ¤ P < 0
ÔÓS < 0
• g(x) £ m,"x Œ(a;b) ¤ max g(x) £ m ;
(a;b)
ÔÓS > 0
g(x) ≥ m,"x Œ(a;b) ¤ min g(x) ≥ m
(a;b)
B. Một số dạng câu hỏi thƣờng gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng
xác định).
• Hàm số f đồng biến trên D ¤ y¢ ≥ 0,"x Œ D
thuộc D.
• Hàm số f nghịch biến trên D ¤ y¢ £ 0,"x Œ D
thuộc D.
• Nếu y' = ax2
+ bx + c (a ≠ 0) thì:
+ y' ≥ 0,"x Œ R ¤
Ïa > 0
Ó
+ y' £ 0,"x Œ R ¤
Ïa < 0
Ó
2. Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) = ax3
+ bx2
+ cx + d
Ta có: y¢ = f ¢(x) = 3ax2
+ 2bx + c .
đơn điệu trên khoảng (a ;b ) .
a) Hàm số f đồng biến trên (a ;b )
hạn điểm thuộc (a ;b ) .
Trường hợp 1:
¤ y¢ ≥ 0,"x Œ(a ;b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu
• Nếu bất phương trình f ¢(x) ≥ 0 ¤ h(m) ≥ g(x) (*)
thì f đồng biến trên (a ;b ) ¤ h(m) ≥ max g(x)
(a ;b )

www.MATHVN.com
Ì
Ì
Ì
Ì
Ó
Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Trần Sĩ Tùng
• Nếu bất phương trình f ¢(x) ≥ 0 ¤ h(m) £ g(x) (**)
thì f đồng biến trên (a ;b ) ¤ h(m) £ min g(x)
(a ;b )
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢(x) ≥ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x -a .
Khi đó ta có: y¢ = g(t) = 3at2
+ 2(3aa + b)t + 3aa2
+2ba + c .
Ŕ Hàm số f đồng biến trên khoảng (-•;a) ¤ g(t) ≥ 0,"t < 0 ¤
Ïa > 0
⁄D £ 0
Ïa > 0
ÔD > 0ÌS > 0
Ó Ô
ÔÓP ≥ 0
Ïa > 0
Ŕ Hàm số f đồng biến trên khoảng (a;+•) ¤ g(t) ≥ 0,"t > 0 ¤
Ïa > 0
⁄D £ 0
ÔD > 0ÌS < 0
b) Hàm số f nghịch biến trên (a ;b )
hạn điểm thuộc (a ;b ) .
Trường hợp 1:
Ó Ô
ÔÓP ≥ 0
¤ y¢ ≥ 0,"x Œ(a ;b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu
• Nếu bất phương trình f ¢(x) £ 0 ¤ h(m) ≥ g(x) (*)
thì f nghịch biến trên (a ;b ) ¤ h(m) ≥ max g(x)
(a ;b )
• Nếu bất phương trình f ¢(x) ≥ 0 ¤ h(m) £ g(x) (**)
thì f nghịch biến trên (a ;b ) ¤ h(m) £ min g(x)
(a ;b )
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢(x) £ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x -a .
Khi đó ta có: y¢ = g(t) = 3at2
+ 2(3aa + b)t + 3aa2
+2ba + c .
Ŕ Hàm số f nghịch biến trên khoảng (-•;a) ¤ g(t) £ 0,"t < 0 ¤
Ïa < 0
⁄D £ 0
Ïa < 0
ÔD > 0ÌS > 0
Ó Ô
ÔÓP ≥ 0
Ïa < 0
Ŕ Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a;+•) ¤ g(t) £ 0,"t > 0 ¤
Ïa < 0
⁄D £ 0
ÔD > 0ÌS < 0
3. Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) = ax3
+ bx2
+ cx + d
bằng k cho trƣớc.
Ó Ô
ÔÓP ≥
0
đơn điệu trên khoảng có độ dài
Ïa ≠ 0
• f đơn điệu trên khoảng (x1; x2 ) ¤ y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
2 2
¤ Ì
D > 0
(1)
• Biến đổi x1 - x2 = d thành (x1 + x2 ) - 4x1x2 = d (2)
• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
2
4. Tìm điều kiện để hàm số
a) Đồng biến trên (-•;a) .
b) Đồng biến trên (a;+•).
y =
ax + bx + c
dx + e
(2), (a,d ≠ 0)

www.MATHVN.com
c) Đồng biến trên (a;b ) .
2
Tập xác định: D = R
Ï-e¸
, y' =
adx + 2aex + be - dc
=
f (x)
Ì
d
˝ 2 2
Ó ˛ (dx + e) (dx + e)
Trƣờng hợp 1 Trƣờng hợp 2
Nếu: f (x) ≥ 0 ¤ g(x) ≥ h(m) (i) Nếu bpt: f (x) ≥ 0 không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt: t = x -a .
Khi đó bpt: f (x) ≥ 0 trở thành: g(t) ≥ 0 , với:
g(t) = adt2
+ 2a(da + e)t + ada2
+ 2aea + be - dc
a) (2) đồng biến trên khoảng (-•;a)
Ï-e
aÌ d
ÔÓg(x) ≥ h(m),"x < a
Ï-e
≥a¤
Ô
d
Ì
Ôh(m) £ min g(x)
Ó (-•;a ]
Ï-e
Ì d
ÔÓg(t) ≥ 0,"t < 0 (ii)
Ïa > 0
(ii) ¤
Ïa > 0 ⁄
ÔD > 0ÌD £ 0 ÌS > 0
Ó Ô
ÔÓP ≥
0b) (2) đồng biến trên khoảng (a;+•)
Ï-e
aÌ d
ÔÓg(x) ≥ h(m),"x > a
Ï-e
£ a¤
Ô
d
Ì
Ôh(m) £ min g(x)
Ó [a ;+•)
b) (2) đồng biến trên khoảng (a;+•)
Ï-e
Ì d
ÔÓg(t) ≥ 0,"t > 0 (iii)
Ïa > 0
(iii) ¤
Ïa > 0
⁄
ÔD > 0ÌD £ 0 ÌS < 0
Ó Ô
ÔÓP ≥
0c) (2) đồng biến trên khoảng (a;b )
Ï-e
œ(a;b )
¤ Ô
Ì d
ÔÓg(x) ≥ h(m),"x Œ(a;b )
Ï-e
œ(a;b )¤
Ô
d
Ì
Ôh(m) £ min g(x)
Ó [a ;b ]
ax2
+ bx + c
5. Tìm điều kiện để hàm số y = (2), (a,d ≠ 0)
dx + e
a) Nghịch biến trên (-•;a) .
b) Nghịch biến trên (a;+•).
c) Nghịch biến trên (a;b ) .
2
Tập xác định: D = R
Ï-e¸
, y' =
adx + 2aex + be - dc
=
f (x)
Ì
d
˝ 2 2
Ó ˛ (dx + e) (dx + e)
¤
Ô ≥ ¤
Ô ≥a
¤
Ô £ ¤
Ô £ a

www.MATHVN.com
Trƣờng hợp 1 Trƣờng hợp 2
Nếu f (x) £ 0 ¤ g(x) ≥ h(m) (i) Nếu bpt: f (x) ≥ 0 không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt: t = x -a .
Khi đó bpt: f (x) £ 0 trở thành: g(t) £ 0 , với:
g(t) = adt2
+ 2a(da + e)t + ada2
+ 2aea + be - dc
a) (2) nghịch biến trên khoảng (-•;a)
Ï-e
aÌ d
ÔÓg(x) ≥ h(m),"x < a
Ï-e
≥a¤
Ô
d
Ì
Ôh(m) £ min g(x)
Ó (-•;a ]
Ï-e
Ì d
ÔÓg(t) £ 0,"t < 0 (ii)
Ïa < 0
(ii) ¤
Ïa < 0 ⁄
ÔD > 0ÌD £ 0 ÌS > 0
Ó Ô
ÔÓP ≥
0b) (2) nghịch biến trên khoảng (a;+•)
Ï-e
aÌ d
ÔÓg(x) ≥ h(m),"x > a
Ï-e
£ a¤
Ô
d
Ì
Ôh(m) £ min g(x)
Ó [a ;+•)
b) (2) đồng biến trên khoảng (a;+•)
Ï-e
Ì d
ÔÓg(t) £ 0,"t > 0 (iii)
Ïa < 0
(iii) ¤
Ïa < 0
⁄
ÔD > 0ÌD £ 0 ÌS < 0
Ó Ô
ÔÓP ≥
0c) (2) đồng biến trong khoảng (a;b )
Ï-e
œ(a;b )
¤ Ô
Ì d
ÔÓg(x) ≥ h(m),"x Œ(a;b )
Ï-e
œ(a;b )¤
Ô
d
Ì
Ôh(m) £ min g(x)
Ó [a ;b ]
¤
Ô ≥ ¤
Ô ≥a
¤
Ô £ ¤
Ô £ a

www.MATHVN.com
Ì Ì
Î
2 4
Câu 1. Cho hàm số y =
1
(m -1)x3
+ mx2
+(3m - 2)x
3
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
• Tập xác định: D = R. y ¢= (m -1)x2
+ 2mx + 3m - 2 .
(1) đồng biến trên R ¤ y ¢≥ 0, "x ¤ m ≥ 2
Câu 2. Cho hàm số y = x3
+ 3x2
- mx - 4 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-•;0).
• Tập xác định: D = R. y ¢= 3x2
+ 6x - m . y¢ có D¢ = 3(m + 3) .
+ Nếu m £ -3 thì D¢ £ 0 fi y¢ ≥ 0,"x fi hàm số đồng biến trên R fi m £ -3 thoả YCBT.
+ Nếu m > -3 thì D¢ > 0 fi PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2 ) . Khi đó hàm số
đồng biến trên các khoảng (-•;x1),(x2; +•) .
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-•;0) ¤ 0 £ x1 < x2
Vậy: m £ -3.
ÏD¢ > 0
¤
Ô
P ≥ 0
ÔÓS >
0
Ïm > -3
¤
Ô
-m ≥ 0
ÔÓ-2 >
0
(VN)
Câu 3. Cho hàm số y = 2x3
-3(2m +1)x2
+ 6m(m +1)x +1 có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+•)
• Tập xác định: D = R. y' = 6x2
- 6(2m +1)x + 6m(m +1) có D = (2m +1)2
- 4(m2
+ m) =1 > 0
y' = 0 ¤
Èx = m
Íx = m +1
. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-•;m), (m +1;+•)
Do đó: hàm số đồng biến trên (2;+•) ¤ m +1£ 2 ¤ m £ 1
+ (1- 2m)x2
+ (2 - m)x + m + 2 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K = (0;+•) .
• Hàm đồng biến trên (0;+•) ¤ y ¢= 3x2
+ 2(1- 2m)x + (2 - m) ≥ 0 với "x Œ(0;+•)
2
¤ f (x) =
3x
2
+ 2x + 2
≥ m4x +1
với "x Œ(0;+•)
Ta có: f ¢(x) =
6(2x + x -1)
= 0 ¤ 2x2
+ x -1 = 0 ¤ x = -1; x =
1
(4x +1)2 2
Lập BBT của hàm f (x) trên (0;+•), từ đó ta đi đến kết luận: f
Ê 1 ˆ
≥ m ¤
5
≥ m .
Á ˜
Ë ¯
Câu hỏi tương tự:
a) y =
1
(m +1)x3
-(2m -1)x2
+ 3(2m -1)x +1
3
(m ≠ -1), K = (-•;-1). ĐS: m ≥
4
11
b) y =
1
(m +1)x3
-(2m -1)x2
+ 3(2m -1)x +1
3
c) y =
1
(m +1)x3
-(2m -1)x2
+ 3(2m -1)x +1
3
(m ≠ -1), K = (1;+•). ĐS: m ≥ 0
(m ≠ -1), K = (-1;1) . ĐS: m ≥
1
2

www.MATHVN.com
1
(m2
-1)x3
+ (m -1)x2
- 2x +1 (1) (m ≠ ±1) .
3
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (-•;2) .
• Tập xác định: D = R; y¢ = (m2
-1)x2
+2(m -1)x - 2 .
Đặt t = x Ŕ2 ta được: y¢ = g(t) = (m2
-1)t2
+ (4m2
+ 2m - 6)t + 4m2
+ 4m -10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (-•;2) ¤ g(t) £ 0, "t < 0
Ïm2
-1< 0
Ïa < 0 Ô 2
Ïa < 0 ÏÔm2
-1< 0 ÔD > 0 Ô3m - 2m -1> 0
TH1: ÌD £ 0
¤ Ì 2
TH2: ÌS > 0
¤ Ì4m2 + 4m -10 £ 0
Ó ÔÓ3m - 2m -1£ 0 Ô Ô-2m -3ÔÓP ≥ 0 Ô > 0
ÔÓ m +1
Vậy: Với
-1
£ m <1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (-•;2).
3
1
(m2
-1)x3
+ (m -1)x2
- 2x +1 (1) (m ≠ ±1) .
3
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (2;+•) .
• Tập xác định: D = R; y¢ = (m2
-1)x2
+2(m -1)x - 2 .
Đặt t = x Ŕ2 ta được: y¢ = g(t) = (m2
-1)t2
+ (4m2
+ 2m - 6)t + 4m2
+ 4m -10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2;+•) ¤ g(t) £ 0, "t > 0
Ïm2
-1< 0
Ïa < 0 Ô 2
Ïa < 0 ÏÔm2
-1< 0 ÔD > 0 Ô3m - 2m -1> 0
TH1: ÌD £ 0
¤ Ì 2
TH2: ÌS < 0
¤ Ì4m2 + 4m -10 £ 0
Ó ÔÓ3m - 2m -1£ 0 Ô Ô-2m -3ÔÓP ≥ 0 Ô < 0
ÔÓ m +1
Vậy: Với -1< m <1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2;+•)
+ 3x2
+ mx + m (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
• Ta có y' = 3x2
+ 6x + m có D¢ = 9 - 3m .
+ Nếu m ≥ 3 thì y¢ ≥ 0,"x Œ R fi hàm số đồng biến trên R fi m ≥ 3 không thoả mãn.
+ Nếu m < 3 thì y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2 ) . Hàm số nghịch biến trên đoạn
ÈÎx ;x ˘ với độ dài l = x - x . Ta có: x + x = -2; x x =
m
.
1 2 ˚ 1 2 1 2 1 2
3
YCBT ¤ l =1 ¤ x - x =1 ¤ (x + x )2
- 4x x =1 ¤ m =
9
.
1 2 1 2 1 2
4
Câu 8. Cho hàm số y = -2x3
+ 3mx2
-1 (1).
2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (x1; x2 ) với x2 - x1 =1.
• y' = -6x2
+ 6mx , y' = 0 ¤ x = 0 ⁄ x = m .
+ Nếu m = 0 fi y¢ £ 0,"x Œ° fi hàm số nghịch biến trên ° fi m = 0 không thoả YCBT.

www.MATHVN.com
Í(x ;x ) = (m;0) Í0 - m =1
+ Nếu m ≠ 0 , y¢ ≥ 0,"x Œ(0;m) khi m > 0 hoặc y¢ ≥ 0,"x Œ(m;0) khi m < 0 .
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (x1; x2 ) với x2 - x1 =1
¤
È(x1;x2 ) = (0;m)
và x
Î 1 2
2 - x1 =1 ¤
Èm - 0 =1
¤ m = ±1.
Î
- 2mx2
-3m +1 (1), (m là tham số).
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
• Ta có y' = 4x3
- 4mx = 4x(x2
- m)
+ m £ 0 , y ¢≥ 0,"x Œ(0;+•) fi m £ 0 thoả mãn.
+ m > 0 , y ¢= 0 có 3 nghiệm phân biệt: - m, 0, m .
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) ¤ m £ 1
¤ 0 < m £ 1. Vậy mŒ(-•;1˘˚ .
a) Với y = x4
- 2(m -1)x2
+ m - 2 ; y đồng biến trên khoảng (1;3) . ĐS: m £ 2 .
mx + 4
x + m
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-•;1) .
2
• Tập xác định: D = R {–m}. y ¢=
m
-4
.
(x + m)2
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ¤ y ¢< 0 ¤ -2 < m < 2
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-•;1) thì ta phải có -m ≥1 ¤ m £ -1
Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m £ -1.
(1)
(2)
2 2
-3 +
x x m
x -1
(2).
Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (-•;-1) .
2
• Tập xác định: D = R {1}. y' =
2x
-4x + 3- m
=
(x -1)2
f (x)
.
(x -1)2
Ta có: f (x) ≥ 0 ¤ m £ 2x2
- 4x + 3. Đặt g(x) = 2x2
- 4x + 3 fi g'(x) = 4x - 4
Hàm số (2) đồng biến trên (-•;-1) ¤ y' ≥ 0, "x Œ(-•;-1) ¤ m £ min
(-•;-1]
g(x)
Dựa vào BBT của hàm số g(x), "x Œ(-•;-1] ta suy ra m £ 9 .
Vậy m £ 9 thì hàm số (2) đồng biến trên (-•;-1)
2 2
-3 +
x x m
x -1
(2).
Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2;+•).
2
• Tập xác định: D = R {1}. y' =
2x
-4x + 3- m
=
(x -1)2
f (x)
.
(x -1)2
Ta có: f (x) ≥ 0 ¤ m £ 2x2
- 4x + 3. Đặt g(x) = 2x2
- 4x + 3 fi g'(x) = 4x - 4
Hàm số (2) đồng biến trên (2;+•) ¤ y' ≥ 0, "x Œ(2;+•) ¤ m £ min g(x)
[2;+•)

www.MATHVN.com
Dựa vào BBT của hàm số g(x), "x Œ(-•;-1] ta suy ra m £ 3 .
Vậy m £ 3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2;+•).
2x2
-3x + m
Câu 13. Cho hàm số y = (2).
x -1
Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) .
2x2
- 4x + 3- m f (x)
• Tập xác định: D = R {1}. y' = = .
(x -1)2
(x -1)2
Ta có: f (x) ≥ 0 ¤ m £ 2x2
- 4x + 3. Đặt g(x) = 2x2
- 4x + 3 fi g'(x) = 4x - 4
Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) ¤ y' ≥ 0, "x Œ(1;2) ¤ m £ min g(x)
[1;2]
Dựa vào BBT của hàm số g(x), "x Œ(-•;-1] ta suy ra m £ 1.
Vậy m £ 1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) .
x2
- 2mx + 3m2
2m - x
Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (-•;1) .
-x2
+ 4mx - m2
f (x)
• Tập xác định: D = R {2m} . y' = = .Đặt t = x -1.
(x - 2m)2
(x - 2m)2
Khi đó bpt: f (x) £ 0 trở thành: g(t) = -t2
- 2(1- 2m)t - m2
+ 4m -1£ 0
Hàm số (2) nghịch biến trên (-•;1) ¤ y' £ 0, "x Œ(-•;1) ¤
Ï2m >1
Ì
g(t) £ 0, "t < 0 (i)
Ó
ÈD' = 0 Èm = 0
ÍÏD' > 0 ÍÏm ≠ 0 Èm = 0(i) ¤ ÍÔ
S > 0
¤ ÍÔ
4m - 2 > 0
¤ Í
ÍÌ ÍÌ Îm ≥ 2 + 3
ÎÍÔÓP ≥ 0 ÍÔm2
- 4m +1≥ 0
Î
Ó
Vậy: Với m ≥ 2 + 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (-•;1) .
x2
- 2mx + 3m2
2m - x
Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1;+•) .
-x2
+ 4mx - m2
f (x)
• Tập xác định: D = R {2m} . y' = = .Đặt t = x -1.
(x - 2m)2
(x - 2m)2
Khi đó bpt: f (x) £ 0 trở thành: g(t) = -t2
- 2(1- 2m)t - m2
+ 4m -1£ 0
Hàm số (2) nghịch biến trên (1;+•) ¤ y' £ 0, "x Œ(1;+•) ¤
Ï2m <1
Ìg(t) £ 0, "t > 0 (ii)
Ó
ÈD' = 0 Èm = 0
ÍÏD' > 0 ÍÏm ≠ 0
(ii) ¤ ÍÔ
S < 0 ¤ ÍÔ4m - 2 < 0
¤ m £ 2 - 3
ÍÌ ÍÌ
ÍÎÔÓP ≥ 0 ÍÔm2
- 4m +1≥ 0
Î
Ó
Vậy: Với m £ 2 - 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (1;+•)

www.MATHVN.com
KSHS 02: CỰC TRỊCỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y = f (x) = ax3
+ bx2
+ cx + d
• Hàm số có cực đại, cực tiểu ¤ phương trình y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
• Hoành độ x1,x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y¢ = 0 .
• Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng
phương pháp tách đạo hàm.
Ŕ Phân tích y = f ¢(x).q(x) + h(x) .
Ŕ Suy ra y1 = h(x1), y2 = h(x2 ) .
Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y = h(x) .
• Gọi a là góc giữa hai đường thẳng d : y = k x + b , d : y = k x + b thì tana =
k1
- k2
1 1 1 2 2 2 1+ k k1 2
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1. Tìm điều kiện để đƣờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông
góc) với đƣờng thẳng d : y = px + q .
Ŕ Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Ŕ Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
Ŕ Giải điều kiện: k = p (hoặc k = -
1
).
p
2. Tìm điều kiện để đƣờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đƣờng thẳng
d : y = px + q một góc a .
Ŕ Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
Ŕ Giải điều kiện:
k - p
= tana . (Đặc biệt nếu d ≡ Ox, thì giải điều kiện: k = tana )
1+ kp
3. Tìm điều kiện để đƣờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy
tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trƣớc (với I là điểm cho trƣớc).
Ŕ Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
Ŕ Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy.
Ŕ Giải điều kiện SDIAB = S .
4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S
cho trƣớc (với I là điểm cho trƣớc).
Ŕ Giải điều kiện SDIAB = S .
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đƣờng thẳng d
cho trƣớc.
Ŕ Gọi I là trung điểm của AB.
Ŕ Giải điều kiện:
ÏD ^ d
.ÌI Œd
Ó
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đƣờng thẳng d cho
trƣớc.

www.MATHVN.com
Hàm số có cực trị thuộc K1 = (-•;a) Hàm số có cực trị thuộc K2 = (a;+•)
Hàm số có cực trị trên khoảng (-•;a)
¤ f (x) = 0 có nghiệm trên (-•;a) .
¤ g(t) = 0 có nghiệm t < 0
ÈP < 0
ÍÏD' ≥ 0
¤ ÍÔ
S < 0
ÎÍÔÓP ≥ 0
Hàm số có cực trị trên khoảng (a;+•)
¤ f (x) = 0 có nghiệm trên (a;+•) .
¤ g(t) = 0 có nghiệm t > 0
ÈP < 0
ÍÏD' ≥ 0
¤ ÍÔ
S > 0
ÍÎ
ÔÓP ≥ 0
Ŕ Giải điều kiện: d(A,d) = d(B,d) .
6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai
điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).
Ŕ Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm
cực trị).
Ŕ Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.
7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ
thức cho trƣớc.
Ŕ Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.
8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1 = (-•;a) hoặc K2 = (a;+•) .
y' = f (x) = 3ax2
+ 2bx + c .
Đặt t = x -a . Khi đó: y' = g(t) = 3at2
+ 2(3aa + b)t + 3aa2
+ 2ba + c
ÍÌ ÍÌ
9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả:
a) x1 <a < x2 b) x1 < x2 < a c) a < x1 < x2
y' = f (x) = 3ax2
+ 2bx + c .
Đặt t = x -a . Khi đó: y' = g(t) = 3at2
+ 2(3aa + b)t + 3aa2
+ 2ba + c
a) Hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả x1 <a < x2
¤ g(t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1 < 0 < t2 ¤ P < 0
b) Hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả x1 < x2 < a
ÏD' > 0
¤ g(t) = 0 có hai nghiệm t ,t thoả t < t < 0 ¤
Ô
S < 0
1 2 1 2 Ì
ÔÓP > 0
c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả a < x1 < x2
ÏD' > 0
¤ g(t) = 0 có hai nghiệm t ,t thoả 0 < t < t ¤
Ô
S > 0
1 2 1 2 Ì
ÔÓP > 0

www.MATHVN.com
Á
3 3
˜
Î
Ì
g(-1) = m -3 ≠ 0
Ó
¤
1 2
Câu 1. Cho hàm số y = -x3
+ 3mx2
+ 3(1- m2
)x + m3
- m2
(1)
2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
• y ¢= -3x2
+ 6mx + 3(1- m2
) .
PT y ¢= 0 có D =1 > 0, "m
Chia y cho y¢ ta được:
fi Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị (x1; y1), (x2;y2 ).
y =
Ê 1
x -
m ˆ
y ¢+ 2x - m2
+ m
Ë ¯
Khi đó: y = 2x - m2
+ m ; y = 2x -m2
+ m
1 1 2 2
PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y = 2x - m2
+ m .
+ 3x2
+ mx + m - 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
• PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:
x3
+ 3x2
+ mx + m - 2 = 0 (1)
Èx = -1
¤ Íg(x) = x2
+ 2x + m - 2 = 0 (2)
(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox ¤ PT (1) có 3 nghiệm phân biệt
¤ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 ¤
ÏD ¢= 3- m > 0
Ó ¤ m < 3
+ (2m +1)x2
-(m2
-3m + 2)x - 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
• y ¢= -3x2
+ 2(2m +1)x -(m2
-3m + 2) .
(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung ¤ PT y¢ = 0
dấu ¤ 3(m2
-3m + 2) < 0 ¤ 1< m < 2 .
có 2 nghiệm trái
1
x3
- mx2
+ (2m -1)x -3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
3
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
• TXĐ: D = R ; y ¢= x2
- 2mx + 2m -1.
Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung ¤ y ¢= 0
Ïm ≠ 1
có 2 nghiệm phân
biệt cùng dấu ¤ ÏD¢ = m2
- 2m +1 > 0
Ì
2m -1 > 0
Ô
Ì
m >
1 .
ÔÓ 2
-3x2
- mx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x -1.
• Ta có: y' = 3x2
- 6x - m .
Hàm số có CĐ, CT ¤ y' = 3x2
- 6x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x ;x

www.MATHVN.com
¤ D' = 9 + 3m > 0 ¤ m > -3 (*)

www.MATHVN.com
Gọi hai điểm cực trị là A(x1;y1 );B(x2;y2 )
Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y =
Ê 1
x -
1 ˆ
y'+
Ê 2m
- 2
ˆ
x +
Ê
2 +
m ˆ
Á 3 3 ˜ Á 3 ˜ Á 3 ˜
Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯
fi y = y(x ) =
Ê 2m
- 2
ˆ
x + 2 +
m
; y = y(x ) =
Ê 2m
- 2
ˆ
x + 2 +
m
1 1 Á 3 ˜ 1
3 2 2 Á 3 ˜ 2
3
Ë ¯ Ë ¯
fi Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y =
Ê 2m
- 2
ˆ
x + 2 +
m
Á 3 ˜ 3
Ë ¯
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x -1 ¤ xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x -1
¤
2m
- 2 =1 ¤ m =
9
(không thỏa (*))
3 2
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x -1
¤ y = x -1¤
y1 + y2 =
x1 + x2 -1¤
Ê 2m
- 2
ˆ
(x + x )+ 2
Ê
2 +
m ˆ
= (x + x )- 2
I I
2 2
Á
3
˜ 1 2 Á
3
˜ 1 2
Ë ¯ Ë ¯
¤
Ê 2m
- 2
ˆ
.2 + 2
Ê
2 +
m ˆ
= 0 ¤ m = 0
Á
3
˜ Á
3
˜
Ë ¯ Ë ¯
Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = 0 .
-3mx2
+ 4m3
(m là tham số) có đồ thị là (Cm).
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
• Ta có: y¢ = 3x2
- 6mx ; y¢ = 0 ¤
Èx = 0
. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0.
Íx = 2mÎ
uuur
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3
), B(2m; 0) fi AB = (2m;-4m3
)
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3
)
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x ¤
ÏAB ^ d
¤
ÏÔ2m - 4m3
= 0
¤
2
ÌI Œd Ì 3
m = ±
Ó ÔÓ2m = m 2
+ 3mx2
-3m -1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 .
• y ¢= -3x2
+ 6mx ; y ¢= 0 ¤ x = 0 ⁄ x = 2m .
Hàm số có CĐ, CT ¤ PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt ¤ m ≠ 0 .uuur
Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0;-3m -1), B(2m;4m3
-3m -1) fi AB(2m;4m3
)
Trung điểm I của AB có toạ độ: I(m;2m3
-3m -1)
Đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 có một VTCP u = (8;-1) .
A và B đối xứng với nhau qua d ¤
ÏI Œd
¤
ÏÔmuuur+r8(2m3
- 3m -1)- 74 = 0 ¤Ì
AB ^ d
Ì m = 2
Ó ÔÓAB.u = 0
a) y = x3
-3x2
+ m2
x + m,d : y =
1
x -
5
. ĐS: m = 0 .
2 2
-3x2
+ mx (1).

www.MATHVN.com
2 3
Ì
Ì
I Œd
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng d: x - 2y - 5 = 0 .
• Ta có y = x3
-3x2
+ mx fi y' = 3x2
- 6x + m
Hàm số có cực đại, cực tiểu ¤ y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt ¤ D¢ = 9 -3m > 0 ¤ m < 3Ta có: y =
Ê 1
x -
1 ˆ
y ¢+
Ê 2
m - 2
ˆ
x +
1
m
Á 3 3 ˜ Á 3 ˜ 3
Ë ¯ Ë ¯fi đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình y =
Ê 2
m - 2
ˆ
x +
1
m
Á
3
˜
3
Ë ¯
nên D có hệ số góc k =
2
m - 2 .
1
3
d: x - 2y - 5 = 0 ¤ y =
1
x -
5
2 2
1
fi d có hệ số góc k2 =
2
Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D
1 Ê 2 ˆ
fi k1k2 = -1 ¤ Á m - 2˜ = -1 ¤ m = 0
Ë ¯
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là
I(1; –2). Ta thấy I Œ d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0
-3(m +1)x2
+ 9x + m - 2 (1) có đồ thị là (Cm).
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: y =
1
x .
2
• y' = 3x2
- 6(m +1)x + 9
Hàm số có CĐ, CT ¤ D' = 9(m +1)2
-3.9 > 0
¤ mŒ(-•;-1- 3)»(-1+ 3;+•)
Ta có y =
Ê 1
x -
m +1ˆ
y ¢- 2(m2
+ 2m - 2)x + 4m +1
Á 3 3 ˜
Ë ¯
Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A(x1;y1), B(x2; y2 ), I là trung điểm của AB.
fi y = -2(m2
+ 2m - 2)x + 4m +1; y = -2(m2
+ 2m - 2)x + 4m +1
1 1 2 2
và:
Ïx1 + x2 = 2(m +1)
Óx1.x2 = 3
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y = -2(m2
+ 2m - 2)x + 4m +1
A, B đối xứng qua (d): y =
1
x
2 ¤
ÏAB ^ d
Ó
¤ m = 1.
-3(m +1)x2
+ 9x - m , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1.
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2
• Ta có y' = 3x2
- 6(m +1)x + 9. sao cho x1 - x2 £ 2 .
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2
¤ PT y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2
¤ PT x2
- 2(m +1)x + 3 = 0
có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 .

www.MATHVN.com
¤ D' = (m +1)2
-3 > 0 ¤
Èm > -1+ 3
(1)
Í
Îm < -1- 3
+ Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = 2(m +1); x1x2 = 3. Khi đó:
x - x £ 2 ¤ (x + x )2
- 4x x £ 4 ¤ 4(m +1)2
-12 £ 4 ¤ (m +1)2
£ 4 ¤ -3 £ m £ 1 (2)1 2 1 2 1 2
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là -3 £ m < -1- 3 và -1+ 3 < m £ 1.
+ (1- 2m)x2
+ (2 - m)x + m + 2 , với m là tham số thực.
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x , x sao cho x - x >
1
.
1 2 1 2
3
• Ta có: y' = 3x2
+ 2(1- 2m)x + (2 - m)
Hàm số có CĐ, CT ¤ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 )
2 2
È
m >
5
¤ D' = (1- 2m) -3(2 - m) = 4m - m - 5 > 0 ¤ Í 4 (*)Ím < -1
Î
Hàm số đạt cực trị tại các điểm x ,x . Khi đó ta có: x + x = -
2(1- 2m)
; x x =
2 - m
1 2 1 2
3 1 2
3
x - x >
1
¤ (x - x )
2
= (x + x )
2
- 4x x >
1
1 2
3 1 2 1 2 1 2
9
¤ 4(1- 2m)2
- 4(2 - m) >1 ¤ 16m2
-12m - 5 > 0 ¤ m >
3+ 29
⁄ m <
3- 29
8 8
Kết hợp (*), ta suy ra m >
3+ 29
⁄ m < -1
8
1
x3
- mx2
+ mx -1, với m là tham số thực.
3
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 - x2 ≥ 8.
• Ta có: y' = x2
- 2mx + m .
Hàm số có CĐ, CT ¤ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 )
¤ D¢ = m2
- m > 0 ¤
Èm < 0
(*). Khi đó: x + x = 2m, x x = m .Ím >1 1 2 1 2
Î
È
m £
1- 65
Í
x - x ≥ 8 ¤ (x - x )2
≥ 64 ¤ m2
- m -16 ≥ 0 ¤ Í 2 (thoả (*))
1 2 1 2
Í 1+ 65
ÍÎ
m ≥
2
1
x3
-(m -1)x2
+ 3(m - 2)x +
1
, với m là tham số thực.
3 3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 2 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 + 2x2 =1.
• Ta có: y ¢= x2
- 2(m -1)x + 3(m - 2)
Hàm số có cực đại và cực tiểu ¤ y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2
¤ D¢ > 0 ¤ m2
- 5m + 7 > 0 (luôn đúng với "m)

www.MATHVN.com
Khi đó ta có:
Ïx1 + x2 = 2(m -1)
¤
ÏÔx2 = 3- 2m
Ì Ì
Óx1x2 = 3(m - 2) ÔÓx2 (1- 2x2 )= 3(m - 2)
¤ 8m2
+16m - 9 = 0 ¤ m =
-4 ± 34
.
4
+ mx2
-3x .
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 = -4x2 .
• y ¢=12x2
+ 2mx -3 . Ta có: D¢ = m2
+ 36 > 0, "m fi hàm số luôn có 2 cực trị x , x .1 2
Khi đó:
Ï
x = -4x ; x + x = -
m
; x x
1
fi m
9
Ì 1 2 1 2 1 2 = - = ±
Ó 6 4 2
a) y = x3
+ 3x2
+ mx +1; x + 2x = 3 ĐS: m = -105 .
1 2
1
x3
- ax2
-3ax + 4 (1) (a là tham số).
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 1.
2) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại x1 , x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện:
x 2
+ 2ax + 9a a2
1 2 + = 2 (2)
a2
x 2
+ 2ax + 9a2 1
• y¢ = x2
- 2ax -3a . Hàm số có CĐ, CT ¤ y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x
1 2
¤ D = 4a2
+12a > 0 ¤
Èa < -3
(*). Khi đó x + x = 2a , x x = -3a .
Ía > 0 1 2 1 2
Î
Ta có: x 2
+ 2ax + 9a = 2a(x + x )+12a = 4a2
+12a > 01 2 1 2
Tương tự: x 2
+ 2ax + 9a = 4a2
+12a > 0
2 1
4a2
+12a a2
4a2
+12a
Do đó: (2) ¤ + = 2 ¤ = 1 ¤ 3a(a + 4)= 0 ¤ a = -4
a2
4a2
+12a a2
+ 9mx2
+12m2
x +1 (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = Ŕ1.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2
= x .
CÑ CT
• Ta có: y¢ = 6x2
+18mx +12m2
= 6(x2
+ 3mx + 2m2
)
Hàm số có CĐ và CT ¤ y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x ,x ¤ D = m2
> 0 ¤ m ≠ 01 2
Khi đó: x =
1
(-3m - m ), x =
1
(-3m + m ).
1
2 2
2
Dựa vào bảng xét dấu y¢, suy ra xCÑ = x1, xCT = x22
Do đó: x2
= x ¤
Ê -3m - m ˆ
=
-3m + m
¤ m = -2 .
CÑ CT Á
2
˜
2
Ë ¯
Câu 17. Cho hàm số y = (m + 2)x3
+ 3x2
+ mx - 5 , m là tham số.

www.MATHVN.com
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.
• Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
¤ PT y' = 3(m + 2)x2
+ 6x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
Ïa = (m + 2) ≠ 0ÔD' = 9 -3m(m + 2) > 0 ÏD' = -m2
- 2m + 3 > 0 Ï-3 < m <1
Ô¤
Ô
P =
m
> 0 ¤
Ô
m < 0 ¤
Ô
m < 0 ¤ -3 < m < -2
Ì Ì Ì
Ô 3(m + 2) Ôm + 2 < 0 ÓÔm < -2ÔS =
-3
> 0
Ó
ÔÓ m + 2
1
x3
-
1
mx2
+ (m2
-3)x (1), m là tham số.
3 2
2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị x1,x2 với x1 > 0,x2 > 0 và
x2
+ x2
=
5
.
1 2
2
• y¢ = x2
- mx + m2
-3 ; y¢ = 0 ¤ x2
- mx + m2
-3 = 0 (2)
ÏD > 0
ÔP > 0 Ï 3 < m < 2 14YCBT ¤
Ô
S > 0 ¤
Ô
¤ m = .
Ì Ì 14 2Ô 5 Ôm = ±
Ôx2
+ x2
= Ó 2
Ó 1 2
2
+ (1- 2m)x2
+ (2 - m)x + m + 2 (m là tham số) (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
• y ¢= 3x2
+ 2(1- 2m)x + 2 - m = g(x)
YCBT ¤ phương trình y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x2 <1.
ÏD¢ = 4m2
- m - 5 > 0
¤ Ôg(1) = -5m + 7 > 0 ¤
5
< m <
7
.
Ì 4 5
ÔS
=
2m -1
< 1
ÔÓ2 3
m
x3
+ (m - 2)x2
+ (m -1)x + 2 (Cm).
3
2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1 < x2 <1.
• Ta có: y¢ = mx2
+ 2(m - 2)x + m -1; y¢ = 0 ¤ mx2
+ 2(m - 2)x + m -1 = 0 (1)
Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1 < x2 <1 khi m > 0 và (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1
Đặt t = x -1 fi x = t +1, thay vào (1) ta được:
m(t +1)2
+ 2(m - 2)(t +1) + m -1= 0 ¤ mt2
+ 4(m -1)t + 4m - 5 = 0
(1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 ¤ (2) có 2 nghiệm âm phân biệt

www.MATHVN.com
Ô
Í
ÏD' = 4m2
- m - 5 > 0 3m + 5 ≥ 0
Ô
Trần Sĩ Tùng
Ïm > 0
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Khảo sát hàm số
¤
ÔD¢ >
0
5
m
4
ÌP > 0
ÔÓS < 0
¤ < < .
4 3
+ (1- 2m)x2
+ (2 - m)x + m + 2 (Cm).
2) Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng (-2;0) .
• Ta có: y¢ = 3x2
+ 2(1- 2m)x + 2 - m; y¢ = 0 ¤ 3x2
+ 2(1- 2m)x + 2 - m = 0 (*)
Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc (-2;0) ¤ (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
và có ít nhất 1
È-2 < x1 < x2 < 0 (1)
nghiệm thuộc (-2;0) ¤ Í-2 < x1 < 0 £ x2
(2)
Ta có: ÍÎx1 £ -2 < x2 < 0 (3)
Ï4m2
- m - 5 > 0
ÏD' = 4m2
- m - 5 > 0
Ô
2m -1
Ô Ô
Ô
x1 + x2 -2 < < 0
Ô 3 10
(1) ¤ Ì
-2 <
2
< 0
¤ Ì 4(2m -1) 2 - m ¤ - < m < -1
Ô(x1 + 2)(x2 + 2)> 0 Ô4 +
3
+
3
> 0 7
Ô Ô
ÔÓx1x2 >
0
Ô2 - m
> 0
ÏD' = 4m2
- m - 5 > 0 [Ô 3
Ï4m2
- m - 5 > 0
Ôm ≥ 2
Ô
f (0)= 2 - m £
0
Ô
2m 1
Ô Ô -
(2) ¤ Ì
(x + 2)+ (x + 2)> 0
¤ Ì
3 > -2 ¤ m ≥ 2
Ô 1 2 Ô
Ô(x1 + 2)(x2 + 2)>
0
Ô2 -
m
4(2m -1)
4 0
Ó + + >

www.MATHVN.com
Ó 3 3
Ï4m2
- m - 5 > 0
Ô
Ô Ô
(3) ¤
Ô f
(
-2)=10 + 6m £ 0
¤
Ô2m -1
0 ¤ -
5
£ m < -1
Ì Ì <
Ôx1 + x2 < 0 Ô 3 3
ÓÔx1x2 >
0
Ô2 - m
> 0
[Ô 3
Tóm lại các giá trị m cần tìm là: mŒ
È
-
5
;-1
ˆ
» È2;+•)
Í 3
˜ Î
Î ¯Câu 22. Cho hàm số y = x3
-3x2
+ 2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = 3x - 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực
trị nhỏ nhất.
• Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
Xét biểu thức g(x,y) = 3x - y - 2 ta có:
g(xA ,yA) = 3xA - yA - 2 = -4 < 0; g(xB ,yB ) = 3xB - yB - 2 = 6 > 0
fi 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y = 3x - 2 .
Do đó MA + MB nhỏ nhất ¤ 3 điểm A, M, B thẳng hàng ¤ M là giao điểm của d và AB.
Phương trình đường thẳng AB: y = -2x + 2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
Ïy = 3x - 2
¤
Ï
x =
4
; y =
2
fi M
Ê 4
;
2 ˆ
Ì
y = -2x + 2
Ì
5 5 Á 5 5 ˜
Ó Ó Ë ¯

www.MATHVN.com
-3mx2
+ 3(m2
-1)x - m3
+ m (1)
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa
độ O.
• Ta có y ¢= 3x2
- 6mx + 3(m2
-1). Hàm số (1) có cực trị ¤ PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt
¤ x2
- 2mx + m2
-1= 0 có 2 nhiệm phân biệt ¤ D =1 > 0,"m
Khi đó: điểm cực đại A(m -1;2 - 2m) và điểm cực tiểu B(m +1;-2 - 2m)
Ta có OA = 2OB ¤ m2
+ 6m +1 = 0 ¤
Èm = -3+ 2 2
.
Í
Îm = -3- 2 2
-3x2
- mx + 2 có đồ thị là (Cm).
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song
song với đường thẳng d: y = -4x + 3.
• Ta có: y' = 3x2
- 6x - m . Hàm số có CĐ, CT ¤ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x ,x
1 2
¤ D' = 9 + 3m > 0 ¤ m > -3 (*)
Ê 1
x -
1 ˆ
y'-
Ê 2m
+ 2
ˆ
x +
Ê
2 -
m ˆ
Á 3 3 ˜ Á 3 ˜ Á 3 ˜
Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯
fi y = y(x )= -
Ê 2m
+ 2
ˆ
x +
Ê
2 -
m ˆ
; y = y(x )= -
Ê 2m
+ 2
ˆ
x +
Ê
2 -
m ˆ
1 1 Á
3
˜ 1 Á
3
˜ 2 2 Á
3
˜ 2 Á
3
˜
Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯
fi Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = -
Ê 2m
+ 2
ˆ
x +
Ê
2 -
m ˆ
Á 3 ˜ Á 3 ˜
Ë ¯ Ë ¯Ï
-
Ê 2m
+ 2
ˆ
= -4
Ô Á ˜
D // d: y = -4x + 3 ¤
Ô Ë 3 ¯ ¤ m = 3 (thỏa mãn (*))
Ì
ÔÊ
2 -
m ˆ
≠ 3
ÔÁ 3 ˜
ÓË ¯
a) y =
1
x3
- mx2
+ (5m - 4)x + 2 , d :8x + 3y + 9 = 0 ĐS: m = 0; m = 5 .
3
+ mx2
+ 7x + 3 có đồ thị là (Cm).
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị
vuông góc với đường thẳng d: y = 3x - 7 .
• Ta có: y' = 3x2
+ 2mx + 7. Hàm số có CĐ, CT ¤ y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x ,x .
1 2
¤ D' = m2
- 21 > 0 ¤ m > 21 (*)
Ê 1
x +
1 ˆ
y'+
2
(21- m2
)x +
Ê
3 -
7m ˆ
Á 3 9 ˜ 9 Á 9 ˜
Ë ¯ Ë ¯
fi y = y(x ) =
2
(21- m2
)x +
Ê
3-
7m ˆ
; y = y(x ) =
2
(21- m2
)x +
Ê
3-
7m ˆ
1 1
9 1 Á 9 ˜ 2 2
9 2 Á 9 ˜
Ë ¯ Ë ¯

www.MATHVN.com
1 2
= -
fi Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y =
2
(21- m2
)x + 3 -
7m
9 9
Ï m > 21
D ^ d: y = -4x + 3¤
Ô
2
¤ m
3 10
.
Ì
(21- m2
).3 = -1
= ±
2
ÔÓ9
-3x2
- mx + 2 có đồ thị là (Cm).
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo
với đường thẳng d: x + 4y - 5 = 0 một góc a = 450
.
• Ta có: y' = 3x2
- 6x - m . Hàm số có CĐ, CT ¤ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x ;x
¤ D' = 9 + 3m > 0 ¤ m > -3 (*)
Ê 1
x -
1 ˆ
y'-
Ê 2m
+ 2
ˆ
x +
Ê
2 -
m ˆ
Á 3 3 ˜ Á 3 ˜ Á 3 ˜
Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯
fi y = y(x )= -
Ê 2m
+ 2
ˆ
x +
Ê
2 -
m ˆ
; y = y(x )= -
Ê 2m
+ 2
ˆ
x +
Ê
2 -
m ˆ
1 1 Á 3 ˜ 1 Á
3
˜ 2 2 Á
3
˜ 2 Á
3
˜
Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯fi Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = -
Ê 2m
+ 2
ˆ
x +
Ê
2 -
m ˆ
Á 3 ˜ Á 3 ˜
Đặt k = -
Ê 2m
+ 2
ˆ
. Đường thẳng d: x + 4y - 5 = 0 Ë ¯ Ë ¯
có hệ số góc bằng -
1
.
Á 3 ˜ 4
Ë ¯
k +
1
È
k +
1
=1-
1
k
È
k =
3
È
m
39
Í Í Í = -
Ta có: tan 45o
= 4 ¤ Í 4 4 ¤ Í 5 ¤ Í 10
1-
1
k Ík +
1
= -1+
1
k Ík
5 Ím
1
= - = -
4 ÍÎ 4 4 ÍÎ 3 ÍÎ 2
Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m
1
.
2
a) y = x3
-3(m -1)x2
+ (2m2
-3m + 2)x - m(m -1) , d : y =
-1
x + 5 , a = 450
. ĐS: m =
3± 15
4 2
Câu 27. Cho hàm số y = x3 -3x2 + 2 (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn (S) có
phương trình (x - m)2
+ (y - m -1)2
= 5 .
• Phương trình đường thẳng D đi qua hai điểm cực trị 2x + y - 2 = 0 .
(S) có tâm I(m,m +1)
và bán kính R= 5 .
2m + m +1- 2
D tiếp xúc với (S) ¤ = 5 ¤ 3m -1 = 5
5
¤ m = 2; m =
-4
.
3

www.MATHVN.com
-3mx + 2 (Cm ) .
2) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của(Cm )cắt đường tròn tâm I(1;1) ,
bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích DIAB đạt giá trị lớn nhất .

www.MATHVN.com
• Ta có y' = 3x2
-3m . Hàm số có CĐ, CT ¤ PT y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ¤ m > 0
Vì y =
1
x.y¢- 2mx + 2 nên đường thẳng D đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có
3
phương trình là: y = -2mx + 2
2m -1
Ta có d (I,D)= < R =1 (vì m > 0) fi D luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R
4m2
+1
= 1 tại 2 điểm A, B phân biệt.
Với m ≠
1
: D không đi qua I, ta có:S =
1
IA.IB.sin AIB £
1
R2
=
1
2 DABI
2 2 2
Nên S đạt GTLN bằng
1
khi sinˆAIB =1 hay DAIB vuông cân tại I ¤ IH =
R
=
1
DIAB
2 2 2
2m -1 1 2 ± 3
¤ = ¤ m = (H là trung điểm của AB)
4m2
+1 2 2
+ 6mx2
+ 9x + 2m (1), với m là tham số thực.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng
4
.
5
• Ta có: y¢ = 3x2
+12mx + 9 . Hàm số có 2 điểm cực trị ¤ PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
¤ D' = 4m2
- 3 > 0 ¤ m >
3
hoặc m <
- 3
(*)
2 2
Khi đó ta có: y =
Ê x
+
2m ˆ
.y¢ + (6 -8m2
)x - 4m
Á
3 3
˜
Ë ¯
fi đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có PT là: D : y = (6 -8m2
)x - 4m
-4m 4
Èm = ±1
d(O,D) = = ¤ 64m4
-101m2
+ 37 = 0 ¤ Í 37 ¤ m = ±1.
(6 -8m2
)2
+1 5 Í
Ím = ±
8
(loaïi)
Î
-3x2
+ (m - 6)x + m - 2 (1), với m là tham số thực.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm A(1;-4) đến
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng
12
.
265
• Ta có: y¢ = 3x2
- 6x + m - 6 . Hàm số có 2 điểm cực trị ¤ PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
¤ D¢ = 32
-3(m - 6) > 0 ¤ m < 9 (*)
Ta có: y =
1
(x -1).y¢ +
Ê 2
m - 6
ˆ
x +
4
m - 43
Á
3
˜
3
Ë ¯
fi PT đường thẳng qua 2 điểm cực trị D: y =
Ê 2
m - 6
ˆ
x +
4
m - 4Á
3
˜
3
Ë ¯
6m -18 12
Èm =1
fi d(A,D) = = ¤ Í 1053 (thoả (*))
4m2
- 72m + 333 265 Ím =
249
Î

www.MATHVN.com
Á
2 4
˜
Í x = -m
Î
-3x2
+ mx +1 (1), với m là tham số thực.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm I
Ê 1
;
11ˆ
Ë ¯
đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất.
• Ta có: y¢ = 3x2
- 6x + m . Hàm số có 2 điểm cực trị ¤ PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
¤ D¢ > 0 ¤ m < 3 .
Ta có: y =
Ê x
-
1 ˆ
y¢ +
Ê 2m
- 2
ˆ
x +
m
+1
Á
3 3
˜ Á
3
˜
3
Ë ¯ Ë ¯
fi PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là: D : y =
Ê 2m
- 2
ˆ
x +
m
+1.
Á
3
˜
3
Ë ¯
Ê 1 ˆ uur Ê 3 ˆ
Dễ dàng tìm được điểm cố định của D là A - ;2 . AI = 1; .
Á
2
˜ Á ˜
Ë ¯
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên D.
Ta có d(I,D) = IH £ IA . Dấu "=" xảy ra ¤ IA ^ D
Ë 4 ¯
¤ 1+
Ê 2m
- 2
ˆ
.
3
= 0 ¤ m =1.
Á
3
˜
4
Vậy max(d(I ,D)) =
5
4
Ë ¯
khi m = 1.
3 2 3 2
Câu 32. Cho hàm số y = x + 3(m +1)x + 3m(m + 2)x + m + 3m (Cm ) .
2) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2
điểm cực trị là không đổi.
• Ta có: y¢ = 3x2
+ 6(m +1)x + 6m(m + 2) ;
Đồ thị (Cm) có điểm cực đại A(-2 - m;4)
y¢ = 0 ¤
Èx = -2 - m .
Î
và điểm cực tiểu B(-m;0) fi AB = 2 5 .
-3(m +1)x2
+ 6mx + m3
.
2) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB = 2 .
• Ta có: y¢ = 6(x -1)(x - m) . Hàm số có CĐ, CT ¤ y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ¤ m ≠ 1.
Khi đó các điểm cực trị là A(1;m3
+ 3m -1),B(m;3m2
) .
AB = 2 ¤ (m -1)2
+ (3m2
- m3
-3m +1) = 2 ¤ m = 0; m = 2 (thoả điều kiện).
-3mx2
+ 3(m2
-1)x - m3
+ 4m -1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho DOAB vuông tại O.
• Ta có: y ¢= 3x2
- 6mx + 3(m2
-1); y ¢= 0 ¤
Èx = m +1fi y = m - 3
Í x = m -1fi y = m +1

www.MATHVN.com
Ím = 2
fi A(m +1;m - 3) , B(m -1;m +1) fi OA = (m +1;m - 3) , OB = (m -1;m +1) .
DOAB vuông tại O ¤ OA.OB = 0 ¤ 2m2
- 2m - 4 = 0 ¤
Èm = -1
.
Î

www.MATHVN.com
-3(m +1)x2
+ 6mx + m3
(1)
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại
C, với C(4;0) .
• Ta có: y¢ = 6(x -1)(x - m) . Hàm số có CĐ, CT ¤ y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ¤ m ≠ 1.
Khi đó các điểm cực trị là A(1;m3
+ 3m -1),B(m;3m2
) .
DABC vuông tại C ¤ AC.BC = 0 ¤ (m +1)ÈÎm2
(m2
- m +1) + 3m2
- 5m + 4˘˚ = 0
¤ m = -1
+ 3x2
+ m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -4 .
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho ˆAOB =1200
.
• Ta có: y ¢= 3x2
+ 6x ; y ¢= 0 ¤
Èx = -2 fi y = m + 4
Í x = 0 fi y = m
Î
Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4)
OA = (0;m), OB = (-2;m + 4) . Để ˆAOB =1200
thì cos AOB
1
= -
2
¤
m(m + 4)
= -
1
¤ m2
(4 + (m + 4)2
) = -2m(m + 4) ¤
Ï-4 < m < 0
Ì 2
m2 (4 + (m + 4)2 ) 2 Ó3m + 24m + 44 = 0
Ï-4 < m < 0
-12 + 2 3¤
Ô
12 2 3 ¤ m =
Ì
m =
- ±
3
ÔÓ 3
-3x2
+ m2
- m +1 (1)
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam
giác ABC bằng 7, với điểm C(Ŕ2; 4 ).
• Ta có y' = 3x2
- 6x ; y' = 0 ¤ 3x2
- 6x = 0 ¤ x = 0;x = 2 fi Hàm số luôn có CĐ, CT.
Các điểm CĐ, CT của đồ thị là: A(0;m2
- m +1), B(2;m2
- m -3) , AB = 22
+ (-4)2
= 2 5
x - 0 y - m2
+ m -1 2
Phương trình đường thẳng AB: = ¤ 2x + y - m + m -1 = 0
2 -4
1 1 m2
- m +1 2 Èm = 3
SDABC =
2
d(C, AB).AB =
2
.
5
.2 5 = m - m +1 = 7 ¤ Ím = -2
.
Î
a) y = x3
-3mx + 2, C(1;1),S = 18 . ĐS: m = 2 .
-3(m +1)x2
+12mx -3m + 4 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm
C
Ê
-1;-
9 ˆ
lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
Á 2 ˜
Ë ¯
• Ta có y' = 3x2
-3(m +1)x +12m . Hàm số có hai cực trị ¤ y¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt
¤ D = (m -1)2
> 0 ¤ m ≠ 1 (*). Khi đó hai cực trị là A(2;9m), B(2m;-4m3
+12m2
-3m + 4) .

www.MATHVN.com
Î
Í x = m -1
Î
Î
Î
Ï2 + 2m -1= 0 1DABC nhận O làm trọng tâm ¤Ô 9 ¤ m = - (thoả (*)).
Ì
-4m3
+12m2
+ 6m + 4 - = 0 2
ÔÓ
Câu 39. Cho hàm số y = f (x) = 2x3
+ 3(m -3)x2
+11- 3m
2
(Cm ).
2) Tìm m để
hàng.
(Cm ) có hai điểm cực trị M1,M2 sao cho các điểm M1,M2 và B(0; Ŕ1) thẳng
• y¢ = 6x2 + 6(m - 3) . y¢ = 0 ¤
Èx = 0
Í x = 3- m . Hàm số có 2 cực trị ¤ m ≠ 3
(*).
Chia f (x) cho f ¢(x) ta được: f (x) = f ¢(x)
Ê 1
x +
m -3 ˆ
- (m -3)2 x +11- 3m
Á 3 6 ˜
Ë ¯
fi phương trình đường thẳng M1M2 là: y = -(m - 3)2 x +11- 3m
M1,M2,B thẳng hàng ¤ BŒ M1M2 ¤ m = 4 (thoả (*)).
1 3 2 2
Câu 40. Cho hàm số y = x
3 - mx + (m -1)x +1 (Cm ) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 .
2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCÑ + yCT > 2 .
• Ta có: y¢ = x2
- 2mx + m2
-1.
3
y¢ = 0 ¤
Èx = m +1.
Î
È-1< m < 0
yCÑ + yCT > 2 ¤ 2m - 2m + 2 > 2 ¤ Ím >1
.
1
x3
-(m +1)x2
+
4
(m +1)3
3 3
(1) (m là tham số thực).
2) Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía
ngoài) của đường tròn có phương trình (C): x2
+ y2
- 4x + 3 = 0 .
• y¢ = x2
- 2(m +1)x .
y¢ = 0 ¤
Èx = 0
Í x = 2(m +1) . Hàm số có cực trị ¤ m ≠ -1 (1)
Gọi hai điểm cực trị của đồ thị là: A
Ê
0;
4
(m +1)3 ˆ
, B(2(m +1);0) .
Á
3
˜
Ë ¯
(C) có tâm I(2; 0), bán kính R = 1. IA = 4 +
16
(m +1)6
, IB =
9
4m2
.
A, B nằm về hai phía của (C) ¤ (IA2
- R2
)(IB2
- R2
) < 0 ¤ 4m2
-1< 0 ¤ -
1
< m <
1
2 2
(2)
Kết hợp (1), (2), ta suy ra: -
1
< m <
1
.
2 2
-3mx2
+ 3(m2
-1)x - m3
(Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -2 .
2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi
đường thẳng cố định.
• y ¢= 3x2
- 6mx + 3(m2
-1);
y ¢= 0 ¤
Èx = m +1
Í x = m -1

www.MATHVN.com
Điểm cực đại M(m -1;2 -3m) chạy trên đường thẳng cố định:
Ïx = -1+ t
Ìy = 2 - 3t
Ó
Điểm cực tiểu N(m +1;-2 - m) chạy trên đường thẳng cố định:
Ïx = 1+ t
Ìy = -2 -3t
Ó
1
x3
- mx2
- x + m +1 (C ) .
3 m
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất.
• Ta có: y¢ = x2
- 2mx -1; y¢ = 0 có D¢ = m2
+1 > 0,"m fi hàm số luôn có hai điểm cực trị
x1, x2 . Giả sử các điểm cực trị của (Cm) là A(x1;y1),B(x2; y2 ) .
Ta có: y =
1
(x - m).y¢ -
2
(m2
+1)x +
2
m +1
3 3 3
fi y = -
2
(m2
+1)x +
2
m +1; y = -
2
(m2
+1)x +
2
m +1
1
3 1
3 2
3 2
3
Do đó: AB2
= (x - x )2
+ (y - y )2
= (4m2
+ 4)
È
+
4
(m2
+1)2 ˘
≥ 4
Ê
1+
4 ˆ
2 1 2 1 Í1
9 ˙ Á
9
˜
Î ˚ Ë ¯
fi AB ≥
2 13
. Dấu "=" xảy ra ¤ m = 0 . Vậy min AB =
2 13
khi m = 0 .
3 3
-3x2
- mx + 2 (1).
2) Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.
• y¢ = 3x2
- 6x - m . Hàm số có 2 cực trị ¤ y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ¤ m > -3.
Ta có: y =
1
(x -1).y¢+
Ê
-
2m
- 2
ˆ
x + 2 -
m
fi Đường thẳng D đi qua 2 điểm cực trị của đồ3
Á
3
˜
3
Ë ¯
thị có phương trình: y =
Ê
-
2m
- 2
ˆ
x + 2 -
m
.Á
3
˜
3
Ë ¯
D cắt Ox, Oy tại A
Ê m - 6
;0
ˆ
, B
Ê
0;
6 - m ˆ
(m ≠ 0).Á
2(m + 3)
˜ Á
3
˜
Ë ¯ Ë ¯
Tam giác OAB cân ¤ OA = OB ¤
m - 6
=
6 - m
¤ m = 6; m = -
9
;m
3
.
= -
2(m + 3) 3 2 2
Đối chiếu điều kiện ta có m
3
.
= -
2
Câu 45. Cho hàm số : y =
1
x3
- mx2
+ (m2
- m +1)x +1 (1).
3
2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (-•;1) .
• Tập xác định D = R. y¢ = x2
- 2mx + m2
- m +1 .
Đặt t = x -1fi x = t +1 ta được : y' = g(t) = t2
+ 2(1- m)t + m2
- 3m + 2
Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (-•;1) ¤ f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng (-•;1) .

www.MATHVN.com
ÍÌ
¤ Í
Î
Ó
ÍÌ
¤ Í
Î
Ó
Ì Ì
¤ g(t) = 0 có nghiệm t < 0
ÈP < 0
ÍÏD' ≥ 0
¤ ÍÔ
S <
0
ÍÎÔÓP ≥
0
Èm2
-3m + 2 < 0
Í
Ïm -1≥ 0
Ô
ÍÌ2m - 2 < 0
ÍÔm2
-3m + 2 ≥
0
¤ 1< m < 2
Vậy: Với 1< m < 2 thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng (-•;1)
1
x3
- mx2
+ (m2
- m +1)x +1 (1).
3
2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (1;+•) .
- 2mx + m2
- m +1 .
+ 2(1- m)t + m2
- 3m + 2
Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1;+•) ¤ f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng (1;+•) .
¤ g(t) = 0 có nghiệm t > 0 ÈP < 0
ÍÏD' ≥ 0
¤ ÍÔ
S >
0
ÍÎ
ÔÓP ≥
0
Èm2
-3m + 2 < 0
Í
Ïm -1≥ 0
Ô
ÍÌ2m - 2 > 0
ÍÔm2
-3m + 2 ≥
0
¤ 1< m
Vậy: Với m > 1 thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng (1;+•)
1
x3
- mx2
+ (m2
- m +1)x +1 (1).
3
2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả mãn x1 <1< x2 .
- 2mx + m2
- m +1 .
Đặt t = x -1fi x = t +1 ta được: y' = g(t) = t2
+ 2(1- m)t + m2
-3m + 2
(1) có hai cực trị x1, x2
thoả x1 <1< x2 ¤ g(t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1 < 0 < t2
¤ P < 0 ¤ m2
-3m + 2 < 0 ¤ 1< m < 2
Vậy: Với 1< m < 2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1,x2 thoả mãn x1 <1< x2 .
1
x3
- mx2
+ (m2
- m +1)x +1 (1).
3
2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả mãn x1 < x2 <1.
- 2mx + m2
- m +1 .
+ 2(1- m)t + m2
- 3m + 2
thoả x1 < x2 <1 ¤ g(t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1 < t2 < 0
ÏD' > 0
¤
Ô
S <
0
ÔÓP >
0
Ïm -1> 0
¤
Ô
m2
-3m + 2 > 0 ¤ mŒ∅ . Vậy: Không có giá trị nào của m nào thoả YCBT.
Ô2m - 2 < 0
Ó

www.MATHVN.com
1
x3
- mx2
+ (m2
- m +1)x +1 (1).
3
2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x2
thoả mãn 1< x1 < x2 .

www.MATHVN.com
Ì Ì
- 2mx + m2
- m +1 .
+ 2(1- m)t + m2
- 3m + 2
thoả 1< x1 < x2 ¤ g(t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả 0 < t1 < t2
ÏD' > 0
¤
Ô
S >
0
ÔÓP >
0
Ïm -1> 0
¤
Ô
m2
-3m + 2 > 0 ¤ m > 2
Ô2m - 2 > 0
Ó
Vậy: Với m > 2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thoả mãn 1< x1 < x2 .

www.MATHVN.com
Î
Dạng 2: Cực trị của hàm số trùng phƣơng: y = f (x) = ax4
+ bx2
+ c
• Hàm số luôn nhận x = 0 làm 1 điểm cực trị.
• Hàm số có 1 cực trị ¤ phương trình y¢ = 0 có 1 nghiệm.
• Hàm số có 3 cực trị ¤ phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
• Khi đồ thị có 3 điểm cực trị A(0;c),B(x1; y1),C(x2 ;y2 ) thì DABC cân tại A.
1. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân
hoặc tam giác đều.
Ŕ Tìm điều kiện để phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Ŕ Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra DABC cân tại A.
Ŕ Giải điều kiện: DABC vuông tại A ¤ AB.AC = 0
DABC đều ¤ AB = BC
2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện
tích S cho trƣớc.
Ŕ Tìm điều kiện để phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Ŕ Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra DABC cân tại A.
Ŕ Kẻ đường cao AH.
Ŕ Giải điều kiện: S = S =
1
AH.BC .
ABC
2
- 2(m2
- m +1)x2
+ m -1.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Tìm m để đồ thị (C) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
• y¢ = 4x3
- 4(m2
- m +1)x ;
Èx = 0
y¢ = 0 ¤ Í
ÍÎx = ±
.
m2
- m +1 2
Khoảng cách giữa các điểm cực tiểu: d = 2 m2
- m +1 = 2 Ê
m -
1 ˆ
+
3
Á
2
˜
4
fi min d =
Ë ¯
3 ¤ m =
1
.
2
1
x4
- mx2
+
3
2 2
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3 .
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.
• y ¢= 2x3
- 2mx = 2x(x2
- m) .
y ¢= 0 ¤
Èx = 0
Íx2
= m
Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại ¤ PT y ¢= 0 có 1 nghiệm ¤ m £ 0
+ 2mx2
- 4 (Cm ).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2 .
2) Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của (Cm ) đều nằm trên các trục toạ độ.

www.MATHVN.com
• Ta có: y¢ = -4x3
+ 4mx ; y¢ = 0 ¤
Èx = 0
.Í x2
= m
Î
+ Nếu m £ 0 thì đồ thị có 1 điểm cực trị duy nhất (0;-4)ŒOy .
+ Nếu m > 0 thì (C ) có 3 điểm cực trị A(0;-4),B(- m;m2
- 4),C( m;m2
- 4) .m
Để A, B, C nằm trên các trục toạ độ thì B, C Œ Ox ¤
Ïm > 0
¤ m = 2 .Ì
m2
- 4 = 0
Ó
Vậy: m £ 0 hoặc m = 2 .
+ (3m +1)x2
-3 (với m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác
cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng
2
lần độ dài cạnh bên.
3
• Ta có: y' = 4x3
+ 2(3m +1)x ; y' = 0 ¤ x = 0, x2 3m +1
.
= -
2
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ¤ m
1
(*). Ba điểm cực trị là:
< -
3
Ê -3m -1 -(3m +1)2 ˆ Ê -3m -1 -(3m +1)2 ˆ
A(0;-3) ; BÁ ; -3˜ ;CÁ - ; - 3˜
Ë 2 4 ¯ Ë 2 4 ¯
2 Ê -3m -1ˆ Ê -3m -1 (3m +1)4 ˆ 5
DABC cân tại A ; BC = AB ¤ 9.4Á ˜ = 4Á + ˜ ¤ m = - , thoả (*).
3 Ë 2 ¯ Ë 2 16 ¯ 3
Câu 54. Cho hàm số y = f (x) = x4
+ 2(m - 2)x2
+ m2
- 5m + 5 (C ).
m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1
tam giác vuông cân.
• Ta có f ¢(x) = 4x3
+ 4(m -2)x = 0 ¤
Èx = 0
Í x2
= 2 - m
Î
Hàm số có CĐ, CT ¤ PT f ¢(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt ¤ m < 2 (*)
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A(0;m2
- 5m + 5), B( 2 - m;1- m), C(- 2 - m;1- m)uuur uuur
fi AB = ( 2 - m;-m2
+ 4m - 4), AC = (- 2 - m;-m2
+ 4m - 4)
Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A
uuur uuur
¤ AB.AC = 0 ¤ (m - 2)3
= -1 ¤ m =1 (thoả (*))
Câu 55. Cho hàm số y = x + 2(m - 2)x + m - 5m + 5 (Cm )4 2 2
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
• Ta có f ¢(x) = 4x3
+ 4(m -2)x = 0 ¤
Èx = 0
Í x2
= 2 - m
Î
Hàm số có CĐ, CT ¤ PT f ¢(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt ¤ m < 2 (*)
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A(0;m2
- 5m + 5), B( 2 - m;1- m), C(- 2 - m;1- m)uuur uuur
fi AB = ( 2 - m;-m2
+ 4m - 4), AC = (- 2 - m;-m2
+ 4m - 4)

www.MATHVN.com
¤ =
Î
Í
3
Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi µA= 600
¤ cos A =
1
2
AB.AC 1
uuur uuur ¤ m = 2 - 3
3 .
AB . AC 2
(Chú ý: Có thể dùng tính chất: DABC đều ¤ AB = BC = CA).
a) y = x4
- 2mx2
+ 2m + m4
. ĐS: m = 3
3
3
b) y = x4
- 4(m -1)x2
+ 2m -1. ĐS: m = 1+
2
c) y = x4
- 4(m -1)x2
+ 2m -1
- 2mx2
+ 2m + m4
có đồ thị (Cm) .
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có diện tích S = 4 .
• Ta có y' = 4x3
- 4mx = 0 ¤
Èx = 0
Í
g(x) = x2
- m = 0
Hàm số có 3 cực trị ¤ y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt¤ Dg = m > 0 ¤ m > 0 (*)
Với điều kiện (*), phương trình y ¢= 0 có 3 nghiệm x1 = - m; x2 = 0; x3 = m . Hàm số đạt
cực trị tại x1; x2; x3 . Gọi
A(0;2m + m );B(
m;m
- m + 2m);C(-
m;m
- m + 2m) là 3 điểm
cực trị của (Cm) . 4 4 2 4 2
Ta có: AB2
= AC2
= m4
+ m;BC2
= 4m fi DABC cân đỉnh A
Gọi M là trung điểm của BCfi M(0;m4
- m2
+ 2m) fi AM = m2
= m2
Vì DABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:
5
S =
1
AM.BC =
1
.m2
DABC
2 2
Câu hỏi tương tự: . 4m = 4 ¤ m2 = 4 ¤ m5
=16 ¤ m = 5
16 . Vậy m =
5
16 .
a) y = x4
- 2m2
x2
+1, S = 32. ĐS: m = ±2
b) y =
1
x4
- 2mx2
+ m , S = 32 2 . ĐS: m = 2
4
c) y = x4
- 2m2
x2
+ m4
+ m , S = 32. ĐS: m = ±2
d) y = x4
- 2mx2
+ 2m2
- 4, S =1. ĐS: m = 1
+ 2mx2
+ m2
+ m có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = Ŕ2.
đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200
.
• Ta có y¢ = 4x3
+ 4mx ; y¢ = 0 ¤ 4x(x2
+ m) = 0 ¤
Èx = 0
ÍÎ x = ± -m
(m < 0)
Khi đó các điểm cực trị là: A(0;m2
+ m), B( -m;m), C(- -m;m)
uuur
AB = (
uuur
-m;-m2
) ; AC = (- -m;-m2
). DABC cân tại A nên góc 120o
chính là µA .

www.MATHVN.com
uuur uuur
µ o 1 AB.AC 1 - -m. -m + m4
1
A =120 ¤ cos A = - ¤ uuur uuur = - ¤ = -
2 AB . AC 2 m4
- m 2
m + m4
1
Èm = 0 (loaïi)
1¤ = - fi 2m + 2m4
= m - m4
¤ 3m4
+ m = 0 ¤ Í 1 . Vậy m = - .
m4
- m 2
Í
Ím = - 3
3
3
Î 3
- 2mx2
+ m -1 có đồ thị (Cm) .
đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 .
• Ta có y ¢= 4x3
- 4mx = 4x(x2
- m) = 0 ¤
Èx = 0
Íx2
= m
Î
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ¤ PT y ¢= 0 có ba nghiệm phân biệt và y ¢ đổi dấu khi x
đi qua các nghiệm đó ¤ m > 0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là:
A(0;m -1), B(- m;-m2
+ m -1), C( m;-m2
+ m -1)
S =
1
y - y . x - x = m2
m ; AB = AC = m4
+ m, BC = 2 m
VABC
2 B A C B
AB.AC.BC (m4
+ m)2 m
Èm =1
R = =1 ¤ = 1 ¤ m3
- 2m +1 = 0 ¤ Í 5 -14SVABC 4m2
m Í
Ím =
Î 2
a) y = x4
- 2mx2
+1 ĐS: m = 1, m =
-1+ 5
2
- 2mx2
+ 2 (Cm).
2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn
ngoại tiếp đi qua điểm D
Ê 3
;
9 ˆ
.
Á
5 5
˜
Ë ¯
• Ta có: y¢ = 4x3
- 4mx; y¢ = 0 ¤
Èx = 0
. Hàm số có 3 điểm cực trị ¤ m > 0 .Íx2
= m
Î
Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là: A(0;2),B(- m;-m2
+ 2),C( m;-m2
+ 2) .
Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn (P) ngoại tiếp DABC.
ÏIA2
= ID2
Ï3x - y +1 = 0 Ïx = 0
Ô Ô Ô
Ta có: ÌIB2
= IC2
¤ Ì2x m = -2x m ¤ Ìy = 1 . Vậy m = 1.ÔIB2
= IA2 Ô(x + m)2
+ (y + m2
- 2)2
= x2
+ (y - 2)2 ÔÓm =1
Ó Ó
- 2(1- m2
)x2
+ m +1 (Cm).
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
• y¢ = 4x3
- 4(1- m2
)x ; y¢ = 0 ¤
Èx = 0
. Hàm số có 3 cực trị ¤ -1< m < 1.Í x2
=1- m2
Î
Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là:
A(0;1+ m) , B(- 1- m2
; 1- m2 ), C( 1- m2
; 1- m2 )

www.MATHVN.com
Î
> -
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
1 2 2
Khảo sát hàm số
Ta có: SABC =
2
d(A,BC).BC = (1- m )
Vậy max SABC =1 ¤ m = 0 .
£ 1. Dấu "=" xảy ra ¤ m = 0 .
1
x4
-(3m +1)x2
+ 2(m +1)
4 (Cm).
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ
O.
• y¢ = x3
- 2(3m +1)x ;
y¢ = 0 ¤
Èx = 0
Íx2
= 2(3m +1)
. Hàm số có 3 cực trị ¤ m
1
3
(*)
Khi đó toạ độ 3 điểm cực trị là:
A(0;2m + 2),B(- 6m + 2;-9m2
- 4m +1),C( 6m + 2;-9m2
- 4m +1)
DABC có trọng tâm O ¤ -18m2
- 6m + 4 = 0 ¤ m = -
2
;m =
1
3 3
Đối chiếu với điều kiện (*), suy ra m =
1
.
3

www.MATHVN.com
KSHS 03: SỰTƢƠNG GIAO
Dạng 1: Sự tƣơng giao của đồ thị hàm số bậc 3: y = f (x) = ax3
+ bx2
+ cx + d (a ≠ 0)
• Cho hai đồ thị (C1): y = f (x) và (C2): y = g(x) . Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và
(C2) ta giải phương trình: f (x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.
• Số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số bậc ba: y = f (x) = ax3
+ bx2
+ cx + d với trục hoành
bằng số nghiệm của phương trình ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 (1)
1. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 1 điểm chung duy nhất.
È f khoâng coù cöïc trò
¤ ÍÏ f coù 2 cöïc trò ¤ Phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhấtÍÌ > 0
ÎÍÓyCÑ.yCT
2. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 2 điểm chung phân biệt.
¤ (C) tiếp xúc với Ox ¤
Ï f coù 2 cöïc trò
¤ Phương trình (1) có đúng 2 nghiệmÌy .y = 0
Ó CÑ CT
3. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 3 điểm chung phân biệt.
¤
¤ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệtÌy .y < 0
Ó CÑ CT
4. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dƣơng.
¤
ÔyCÑ.yCT < 0
¤ Phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt.Ì > 0, x > 0
ÔxCÑ CT
ÔÓa.f (0) < 0 (hay ad < 0)

www.MATHVN.com
Ì < 0, x < 0
5. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm.
¤
ÔyCÑ.yCT < 0
ÔxCÑ CT
ÔÓa.f (0) > 0 (hay ad >
0)
¤ Phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt.
6. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo
thành một cấp số cộng.
a,b,c lập thành một cấp số cộng ¤ a + c = 2b
Ŕ Giả sử (1) có 3 nghiệm x1, x2,x3 lập thành cấp số cộng.
Ŕ Viết (1) dưới dạng: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 ¤ a(x - x )(x - x )(x - x ) = 0
1 2 3
¤ aÈx3
-(x + x + x )x2
+ (x x + x x + x x )x - x x x ˘ = 0
Î 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 ˚
Ŕ x1, x2,x3 lập thành cấp số cộng ¤ x1 + x3 = 2x2
fi x = -
b
2
3a
là 1 nghiệm của (1).
Ŕ Thế x = -
b
2 3a
vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm.
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.
7. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo
thành một cấp số nhân.
a,b,c lập thành một cấp số nhân ¤ ac = b2
Ŕ Giả sử (1) có 3 nghiệm x1, x2,x3 lập thành cấp số nhân.
Ŕ Viết (1) dưới dạng: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 ¤ a(x - x )(x - x )(x - x ) = 0
1 2 3
¤ aÈx3
-(x + x + x )x2
+ (x x + x x + x x )x - x x x ˘ = 0
Î 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 ˚
2 3 d
Ŕ x1, x2,x3 lập thành cấp số nhân ¤ x1x3 = x2 fi x2 = -
a
là 1 nghiệm của (1).
Ŕ Thế x = 3 -
d
2 a
vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm.
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.

www.MATHVN.com
x -• +•
f ¢(x)
f (x) +•
-• -• -•
+ mx + 2 có đồ thị (Cm)
2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
• PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: x3
+ mx + 2 = 0 ¤ m = -x2
-
2
(x ≠ 0)
x
3
Xét hàm số: f (x) = -x2
-
2
fi f '(x) = -2x +
2
=
-2x + 2
x x2
x2
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất ¤ m > -3 .
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) = x3
- mx2
+ 2m (Cm) ( m là tham số).
• Ta có: y¢ = 3x2
- 2mx = x(3x - 2m)
+ Khi m = 0 thì y¢ = 3x2
≥ 0 fi (1) đồng biến trên R fi thoả yêu cầu bài toán.
+ Khi m ≠ 0 thì (1) có 2 cực trị x = 0 , x =
2m
. Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi
1 2
3
Ê 4m3 ˆ Ê 2m2 ˆ Ïm ≠ 0
f (x ).f (x )> 0 ¤ 2mÁ2m - ˜ > 0 ¤ 4m2
Á1- ˜ > 0 ¤
Ô
1 2
Ë 27 ¯ Ë 27 ¯
Ì
-
3 6
< m <
3 6
Ô
Ó 2 2
Kết luận: khi mŒ
Ê
-
3 6
;
3 6 ˆ
thì đồ thị (Cm) cắt Ox tại duy nhất một điểm.
Á ˜
Ë 2 2 ¯
a) y = x3
+ 3(m +1)x2
+ 3(m2
+1)x +1 ĐS: mŒ R .
-3(m +1)x2
+ 6mx - 2 có đồ thị (Cm)
• y¢ = 6x2
- 6(m +1)x + 6m ; D¢ = 9(m +1)2
-36m = 9(m -1)2
.
y'
+ Nếu m = 1 thì y¢ ≥ 0, "x fi hàm số đồng biến trên R fi đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm
duy nhất fi m = 1 thoả mãn YCBT.
+ Nếu m ≠1 thì hàm số có các điểm cực trị x1, x2 ( x1, x2 là các nghiệm của PT y¢ = 0 )
fi x1 + x2 = m +1; x1x2 = m .
Lấy y chia cho y¢ ta được: y =
Ê x
-
m +1ˆ
y¢ - (m -1)2
x - 2 + m(m +1) .
Á
3 6
˜
Ë ¯
fi PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y = -(m -1)2
x - 2 + m(m +1)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất ¤ yCÑ .yCT > 0
¤ (-(m -1)2
x - 2 + m(m +1)).(-(m -1)2
x - 2 + m(m +1))> 0
1 2
¤ (m -1)2
(m2
- 2m - 2) < 0 ¤ m2
- 2m - 2 < 0 (vì m ≠ 1) ¤ 1- 3 < m <1+ 3 .
Kết luận: 1- 3 < m <1+ 3 .

www.MATHVN.com
Î
Î
Ó
Î
Ó
Î
ÔxCÑ CT
+ Í
-3m2
x + 2m có đồ thị (Cm).
2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
• Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị
fi y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt ¤ 3x2
-3m2
= 0
Khi đó y' = 0 ¤ x = ±m.
có 2 nghiệm phân biệt ¤ m ≠ 0
(Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt ¤ yCĐ = 0 hoặc yCT = 0
Ta có: + y(-m) = 0 ¤ 2m3
+ 2m = 0 ¤ m = 0 (loại)
+ y(m) = 0 ¤ -2m3
+ 2m = 0 ¤ m = 0 ⁄ m = ±1
Vậy: m = ±1
-3x2
+1.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng (D): y = (2m -1)x - 4m -1
biệt.
cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân
• Phương trình hoành độ giao của (C) và (D): x3
-3x2
- (2m -1)x + 4m + 2 = 0
¤ (x - 2)(x2
- x - 2m -1) = 0
Èx = 2
¤ Í f (x) = x2
- x - 2m -1= 0 (1)
È2 ≠ x = x
(D)cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt ¤ (1) phải có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Íx
1
x
2
ÈÏD = 0 ÈÏ8m + 5 = 0
Î 1 = 2 ≠ 2
ÍÔ
b ÍÔ
1 È 5
ÍÌ
- ≠ ÍÌ
≠ 2 Ím = - 5 1
¤ ÍÔÓ
2a
2
¤
ÍÔÓ2
¤ Í 8 . Vậy: m = - ; m = .
ÍÏD > 0 ÍÏ8m + 5 > 0 Ím =
1 8 2
ÍÌ
f (2) = 0 ÍÌ
-2m +1 = 0
ÍÎ 2
- 6x2
+ 9x - 6 có đồ thị là (C).
2) Định m để đường thẳng (d) : y = mx - 2m - 4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
• PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3
- 6x2
+ 9x - 6 = mx - 2m - 4
¤ (x - 2)(x2
- 4x +1- m) = 0
Èx = 2
¤ Íg(x) = x2
- 4x +1- m = 0
(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt ¤ PT g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 ¤ m > -3
-3mx2
+ 3(m2
-1)x -(m2
-1) (m là tham số) (1).
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
dương.
• Đồ thị (1) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương ¤
Ï(1) coù 2 cöïc trò
ÔyCÑ.yCT < 0
Ì
> 0, x > 0
ÔÓa.y(0) < 0
(*)
+ y¢ = 3x2
- 6mx + 3(m2
-1) D = 9(m2
- m2
+1) = 9 > 0, "my ¢ + y ¢= 0 ¤
Èx = m -1= xCÑx = m +1 = x
Î CT

www.MATHVN.com
Ïm -1> 0
Suy ra: (*) ¤
Ôm +1 > 0
¤ 3 < m <1+ 2Ì
(m2
-1)(m2
-3)(m2
- 2m -1) < 0
Ô
ÔÓ-(m2
-1) < 0
1
x3
- mx2
- x + m +
2
có đồ thị (C ).
3 3 m
2) Tìm m để (Cm )cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn
hơn 15.
• YCBT ¤
1
x3
- mx2
- x + m +
2
= 0 (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa x2
+ x2
+ x2
>15 .
3 3 1 2 3
Ta có: (*) ¤ (x -1)(x2
+ (1-3m)x - 2 -3m) = 0 ¤
Èx = 1
Í
g(x) = x2
+ (1-3m)x - 2 -3m = 0
Î
YCBT ¤ g(x) = 0 có 2 nghiệm x , x phân biệt khác 1 và thỏa x2
+ x2
>14 ¤ m > 1
1 2 1 2
a) Với y = x3
-3mx2
-3x + 3m + 2
-3x2
- 9x + m , trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
• Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
¤ Phương trình x3
-3x2
- 9x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
¤ Phương trình x3
-3x2
- 9x = -m có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
¤ Đường thẳng y = -m đi qua điểm uốn của đồ thị (C) ¤ -m = -11 ¤ m =11.
-3mx2
+ 9x - 7 có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0 .
2) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
• Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: x3
-3mx2
+9x - 7 = 0 (1)
Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x1; x2; x3 ta có: x1 + x2 + x3 = 3m
Để x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 = m là nghiệm của phương trình (1)
Èm =1
Í -1+ 15 -1- 15
fi -2m3
+ 9m - 7 = 0 ¤ Ím = . Thử lại ta có m = là giá trị cần tìm.
Í 2 2
Í -1- 15
Ím =
Î 2
a) y = x3
-3mx2
+ 2m(m - 4)x + 9m2
- m . ĐS: m = 1.
-3mx2
- mx có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 1.
2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = x + 2 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành
cấp số nhân.

www.MATHVN.com
Ó
Ì 1 2 2 3 1 3
Î
Ìg(2) = -m ≠ 0 4
Î
Ô
• Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:
x3
-3mx2
- mx = x + 2 ¤ g(x) = x3
-3mx2
-(m +1)x - 2 = 0
Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2; x3
số nhân. Khi đó ta có: g(x) = (x - x1)(x - x2 )(x - x3)
Ïx1 + x2 + x3 = 3m
Suy ra:
Ô
x x + x x + x x = -m -1
Ôx1x2x3 = 2
lần lượt lập thành cấp
Vì x x = x2
fi x3
= 2 fi x = 3
2 nên ta có: -m -1 = 4 + 3
2.3m ¤ m = -
5
1 3 2 2 2
33
2 +1
Đk đủ: Với m = -
5
, thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy: m = -
33
2 +1
5
.
33
2 +1
a) y = x3
-(3m +1)x2
+ (5m + 4)x -8 , d ≡ Ox . ĐS: m = 2 .
-3x2
+ 2 .
2) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = m(x - 2) - 2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm
phân biệt A(2; Ŕ2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị (C)
đạt giá trị nhỏ nhất.
• PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x3
-3x2
+ 2 = m(x - 2) - 2
Èx = 2
¤ Íg(x) = x2
- x - 2 - m = 0 (1)
.
(C) cắt d tại 3 điểm phân biệt A(2; –2), B, D ¤ ÏD = 9 + 4m > 0
¤ -
9
< m ≠ 0
Ó
(*)
Với điều kiện (*), gọi x1, x2 là các nghiệm của (1) thì x1 + x2 =1, x1x2 = -2 - m .
Ta có: k = y¢(x ).y¢(x ) = (3x2
- 6x )(3x2
- 6x ) = 9(m +1)2
- 9 ≥ -9 với -
9
< m ≠ 0 .
1 2 1 1 2 2
4
Dấu "=" xảy ra ¤ m = -1. Vậy giá trị m cần tìm là m = -1. Khi đó kmin = -9 .
Câu 13. Cho hàm số y = -2x3
+ 6x2
+1 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng d : y = mx +1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho B
là trung điểm của đoạn thẳng AC.
• PT hoành độ giao điểm của (C) và d: -2x3
+ 6x2
+1 = mx +1 ¤
Èx = 0 (y =1)
Í
2x2
- 6x + m = 0 (1)
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C ¤ (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ≠ 0
ÏD¢ > 0 Ï 9
¤ Ìm ≠ 0
¤ Ìm <
2
;m ≠ 0 . Khi đó B(x1;mx1 +1), C(x2;mx2 +1) .
Ó Ó
Ïx1 + x2 = 3
Vì B là trung điểm của AC nên x2 = 2x1 (2). Mặt khác: Ì
x x =
m (3)
Từ (2) và (3) suy ra m = 4 .
[Ô 1 2 2

www.MATHVN.com
- 6x2
+ 9x (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Tìm m để đường thẳng d : y = mx cắt (C) tại 3 điểm O(0; 0), A, B phân biệt. Chứng tỏ
rằng khi m thay đổi, trung điểm I của đoạn AB luôn nằm trên một đường thẳng song song
với trục tung.
• PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x3
- 6x2
+ 9x = mx ¤
Èx = 0 (y = 0)
Íx2
- 6x + 9 - m = 0 (1)
Î
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O(0; 0), A, B ¤ (2) có 2 nghiệm phân biệt xA,xB khác 0
¤
ÏD¢ > 0
¤ 0 < m ≠ 9 (*) . Vì I là trung điểm của AB nên x =
xA + xB = 3Ì9 - m ≠ 0 I
2
Ó
fi I Œ D: x = 3 (D // Oy).
-3mx2
+ (m -1)x + m +1 (Cm).
2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y = 2x - m -1 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
• PT hoành độ giao điểm của (Cm) và d: x3
-3mx2
+ (m -1)x + m +1 = 2x - m -1 (1)
¤
Èx = 1Íx2
+ (1-3m)x - 2m - 2 = 0 (2)
Î
YCBT ¤ (1) có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 ¤ (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn
hơn 1
Xét PT (2) ta có: D = 9m2
+ 2m + 9 > 0, "m fi (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt x ,x .
1 2
Do đó: (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 ¤ 1< x1 < x2 ¤ 0 < x1 -1< x2 -1 (*)
Đặt t = x -1. Khi đó (2) ¤ t2
+ 3(1- m)t - 5m = 0 (3)
ÏD> 0
(*) ¤ (3) có 2 nghiệm dương phân biệt ¤
Ô
S = 3(m -1) > 0 (vô nghiệm)
Ì
ÔÓP = -5m >
0
Kết luận: không có giá trị m thoả YCBT.
-3x +2 .
2) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho
xA = 2 và BC = 2 2 .
• Với xA = 2 fi yA = 4 . PT đường thẳng d đia qua A(2; 4) có dạng: y = k(x -2) + 4 .
PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x3
-3x + 2 = k(x - 2) + 4 ¤
Èx = 2
Íg(x) = x2
+ 2x - k +1 = 0
Î
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ¤
ÏD¢ > 0
¤
Ïk > 0
. Khi đó toạ độ của B(x ;y ),C(x ;y )Ìg(2) ≠ 0 Ìk ≠ 9 1 1 2 2
Ó
Ó
thoả hệ phương trình:
Ïx2
+ 2x - k +1 = 0 (1)
Ì
y = kx - 2k + 4 (2)
Ó
Ta có: (1) fi x1 - x2 = 2 k ; (2) fi y1 - y2 = k(x1 - x2 ) = 2k k
BC = 2 2 ¤ 4k + 4k3
= 2 2 ¤ 4k3
+ 4k -8 = 0 ¤ k =1 . Vậy d : y = x + 2 .

www.MATHVN.com
Î
m
Ì
Î
¤ ¤
Ó Ó
Í
- 6mx2
+1 (C) (m là tham số).
2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y = -x +1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A(0; 1), B, C
phân biệt sao cho B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
• PT hoành độ giao điểm của (C) và d: 4x3
- 6mx2
+1 = -x +1 ¤
Èx = 0
Í
4x2
- 6mx +1 = 0 (1)
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C ¤ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
È 2
< -
¤ Í 3 (*). Khi đó giả sử B(x1;-x1 +1), C(x2;-x2 +1) .
Ím >
2
ÍÎ 3
B, C đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ¤
Ïx1 = y2 Ïx = -x +1
¤ Ì 1 2 ¤ x + x = 1
Óy1 = x2 Óx2 = -x1 +1 1 2
¤
3
m =1 ¤ m =
2
2 3
(không thoả (*)). Vậy không có giá trị m thoả YCBT.
+ 2mx2
+ (m + 3)x + 4 có đồ thị là (Cm) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại
ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .
• Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: x3
+ 2mx2
+ (m + 3)x + 4 = x + 4
Èx = 0 (y = 4)
¤ Íg(x) = x2
+2mx + m +2 = 0 (1)
(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C ¤ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
ÏD/
= m2
- m - 2 > 0 Ïm < -1 ⁄ m > 2 (*)
Ì
g(0) = m + 2 ≠ 0
Ì
m ≠ -2
1-3 + 4
Khi đó: xB + xC = -2m; xB.xC = m + 2 . Mặt khác: d(K,d) = =
2
2 . Do đó:
S = 8 2 ¤
1
BC.d(K,d) = 8 2 ¤ BC =16 ¤ BC2
DKBC
2
= 256
2 2 2 2
¤ (xB - xC ) + (yB - yC ) = 256 ¤ (xB - xC ) + ((xB + 4) -(xC + 4)) = 256
2 2
¤ 2(xB - xC ) = 256 ¤ (xB + xC ) - 4xB xC =128
¤ 4m2
- 4(m + 2) =128 ¤ m2
- m -34 = 0 ¤ m =
1±
137
(thỏa (*)). Vậy m =
1±
2
137
.2
a) y = x3
+2mx2
+ 3(m -1)x +2 , d : y = -x + 2, K(3;1), A(0;2),S = 2 2 . ĐS: m = 0,m = 3
-3x2
+ 4 có đồ thị là (C).
2) Gọi dk
là đường thẳng đi qua điểm A(-1;0) với hệ số góc k (k Œ°) . Tìm k để đường
thẳng dk
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 .
• Ta có: dk : y = kx + k ¤ kx - y + k = 0
PT hoành độ giao điểm của (Cm) và d là:

www.MATHVN.com
x3
-3x2
+ 4 = kx + k ¤ (x +1)ÈÎ(x - 2)2
- k˘˚ = 0 ¤ x = -1 hoặc (x - 2)2
= k
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ¤
Ïk > 0
(*)k Ì
k ≠ 9
Ó
Khi đó các giao điểm là A(-1;0),B(2 - k;3k - k k ),C(2 + k;3k + k k ).
BC = 2 k 1+ k2
, d(O,BC) = d(O,d ) =
k
k
1+ k2
S =
1
.
k
.2 k. 1+ k2
=1 ¤ k k = 1 ¤ k3
=1 ¤ k =1 (thoả (*))
DOBC
2 1+ k2
a) y = x3
-3x2
+ 4; A(-1;0), S = 8 . ĐS: k = 4 .
OBC
Câu 20. Cho hàm số y = (2 - m)x3
- 6mx2
+ 9(2 - m)x - 2 (Cm) (m là tham số).
2) Tìm m để đường thẳng d : y = -2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0;-2) , B và C sao cho
diện tích tam giác OBC bằng 13 .
• Phương trình hoành độ giao điểm là: (2 - m)x3
- 6mx2
+ 9(2 - m)x - 2 = -2 (1)
¤
Èx = 0Í
(2 - m)x2
- 6mx + 9(2 - m) = 0 (2)
Î
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; –2), B, C ¤ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
¤
ÏD= 9m2
- 9(2 - m)2
> 0 ¤
Ïm >1
(*). Giả sử B(x ;-2),C(x ;-2) (x ≠ x ) .Ì
2 - m ≠ 0
Ìm ≠ 2 B C B C
Ó Ó
Ï
x x
6m 1Khi đó:
Ô B + C =
2 m . Ta có: S = d(O,BC).BC = 13Ì - DOBC
ÔÓxBxC = 9 2
2 Ê 6m ˆ
2 È
m =
14
fi BC = 13 ¤ (xB + xC ) - 4xB xC =13 ¤ Á ˜ -36 =13 ¤ Í 13 (thoả (*)).
Ë 2 - m ¯ Ím = 14
Î
-3x2
+ 2 có đồ thị là (C).
2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 .
• Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng y = k(x -1).
PT hoành độ giao điểm của (C) và D: (x -1)(x2
- 2x - 2 - k) = 0
D cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ¤ x2
- 2x - 2 - k = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ¤ k > -3
S =
1
d(O,D).AB = k k + 3 fi k k + 3 = 2 ¤
Èk = -1
DOAB
2 Ík = -1± 3
Î
Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: y = -x +1; y = (-1± 3)(x -1).
+ 3x2
+ mx +1 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.

www.MATHVN.com
• PT hoành độ giao điểm của (1) và d: x3
+ 3x2
+ mx +1 =1 ¤ x(x2
+ 3x + m) = 0
d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C ¤ m <
9
, m ≠ 0
4
Khi đó: x , x là các nghiệm của PT: x2
+ 3x + m = 0 fi x + x = -3; x .x = m
B C B C B C
Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k = 3x2
+ 6x + m và tại C là k = 3x2
+ 6x + m
1 B B 2 C C
Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau ¤ k .k = -1 ¤ 4m2
- 9m +1 = 0
1 2
¤ m =
9 - 65
⁄ m =
9 + 65
8 8
-3x +1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3 .
2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(Ŕ1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc
với nhau.
• Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3
-(m + 3)x - m - 2 = 0
¤ (x +1)(x2
- x - m - 2) = 0 ¤
Èx = -1(y = 3)
Íg(x) = x2
- x - m - 2 = 0
Î
d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P ¤ m > -
9
, m ≠ 0
4
Khi đó: x , x là các nghiệm của PT: x2
- x - m - 2 = 0 fi x + x = 1; x .x = -m - 2
N P N P N P
Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là k = 3x2
-3 và tại P là k = 3x2
-3
1 N 2 P
Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau ¤ k .k = -1 ¤ 9m2
+18m +1 = 0
1 2
¤ m =
-3 + 2 2
⁄ m =
-3- 2 2
3 3
-3x2
+ 4 (C)
2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba
điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
• PT đường thẳng (d): y = k(x - 2)
+ PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3
-3x2
+ 4 = k(x - 2)
¤ (x - 2)(x2
- x - 2 - k) = 0 ¤
Èx = 2 = xA
Í
g(x) = x2
- x - 2 - k = 0
Î
+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N ¤ PT g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt, khác 2
¤
ÏD > 0
¤ -
9
< k ≠ 0 (*)Ì f (2) ≠ 0 4
Ó
+ Theo định lí Viet ta có:
ÏxM + xN =1
Ì = -k - 2
ÓxM xN
+ Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau¤ y ¢(xM ).y ¢(xN ) = -1
¤ (3x2
- 6x )(3x2
- 6x ) = -1 ¤ 9k2
+18k +1 = 0 ¤ k =
-3± 2 2
(thoả (*))
M M N N
3
-3x (C)

www.MATHVN.com
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y = m(x +1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại
một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P
sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
• PT hoành độ giao điểm (x +1)(x2
- x - 2 - m) = 0 (1) ¤
Èx +1 = 0
Íx2
- x - 2 - m = 0 (2)
Î
(1) luôn có 1 nghiệm x = -1 ( y = 2 ) fi (d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ¤ (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1
¤ m > -
9
;m ≠ 0 (*)
4
Tiếp tuyến tại N, P vuông góc ¤ y '(x ).y '(x ) = -1 ¤ m =
-3± 2 2
(thoả (*))
N P
3
1
x3
- x2
-3x +
8
.
3 3
2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).
• Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m.
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
1
x3
- x2
-3x +
8
= m ¤ x3
-3x2
- 9x + 8 -3m = 0 (1)
3 3
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho DOAB cân tại O thì (1) phải có 2 nghiệm
x1, x2 = -x1 ( x1,Ŕx1 là hoành độ của A, B) fi x1, x2 là các nghiệm của phương trình:
(x2
- x2
)(x - x ) = 0 ¤ x3
- x x2
- x2
x + x2
x = 0 (2)
1 2 2 1 1 2
Ïx2 = 3 Ïx1 = ±3
Đồng nhất (1) và (2) ta được:
Ô
x2
= 9 ¤ Ôx = 3 . Kết luận: d: y
19
.
Ì 1 Ì 2 = -
3Ôx2
x = 8-3m Ô 19
Ó 1 2 m = -
ÔÓ 3
- 5x2
+ 3x + 9 (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Gọi D là đường thẳng đi qua A(-1;0) và có hệ số góc k . Tìm k để D cắt đồ thị (C) tại ba
điểm phân biệt A,B,C sao cho tam giác OBC có trọng tâm G(2;2) (O là gốc toạ độ).
• PT đường thẳng D: y = k(x +1). PT hoành độ giao điểm của (C) và D:
x3
- 5x2
+3x + 9 = k(x +1) ¤
Èx = -1
Í
(x -3)2
= k
Î
D cắt (C) tại ba điểm phân biệt ¤ (x -3)2
= k có hai nghiệm phân biệt khác -1 ¤
Ïk > 0
Ìk ≠16
Ó
Khi đó toạ độ các giao điểm là: A(-1;0) , B(3+ k;k(4 + k )), C(3- k;k (4 - k )).
ÏxG = 2
Do đó tọa độ trọng tâm DOBC :
Ô
8k ¤ k =
3
(thoả điều kiện).Ì
= = 2 4
ÔÓ
yG 3

200 cau khao sat ham so

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (15)

Similar to 200 cau khao sat ham so

Similar to 200 cau khao sat ham so (20)

200 cau khao sat ham so