2. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes congruentes
y sus lados homólogos proporcionales.
Lados homólogos .
son los lados opuestos a ángulos congruentes en dos triángulos semejantes.
Así en la figura tenemos:
A P
BC AC AB
B Q  ABC  PQR
QR PR QP
C R

3. CRITERIOS DE SEMEJANZA
1.Dos triángulos son semejantes, si tiene dos ángulos iguales. ( A.A )
BC AC AB
QR PR QP
2.Dos triángulos son semejantes , si tiene un ángulo congruente y los lados que la
conforman respectivamente son proporcionales.( L. A. L )
AB AC
PQ PR

4. 3.Dos triángulos son semejantes, si tienen sus tres lados proporcionales.
BC AC AB
QR PR QP
Nota:
Si una recta es paralela, a un lado de un triángulo e interseca a los otros dos lados , entonces
determina un triángulo semejante al dado.
AC//DC
 ABC  DBE

5. Nota:
Cuando dos triángulos son semejantes, además de los lados homólogos proporcionales,
también lo son las alturas, las bisectrices, y las medianas, por que ellas forman triángulos
parciales respectivamente semejantes. Los perímetros también son proporcionales.
 PQR AB h
 ABC
PQ hI

6. TEOREMA DE MENELAO
Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y a la prolongación del tercero, los puntos
de intersección determinan seis segmentos en los lados del triángulo y se cumple que el
producto de tres segmentos consecutivos es igual al producto de los tres restantes.
Así:
La recta L interseca a los lados AB y BC en los
puntos P y Q, respectivamente, y a la
prolongación AC en R. Se forman seis
segmentos : PA y PB en AB; QB y QC en BC;
y RA y RC en CA.
El teorema dice:
QB.PA.RC=PB.RA.QC

7. Teorema:
Sea P un punto cualquiera del interior del triángulo ABC, AM, BN y CS son tres segmentos que
pasan por P estando M en BC, N en AC y S en AB. Los puntos M, N y S determinan seis
segmentos en el triángulo ABC para los cuales se cumple que el producto de los tres
segmentos no consecutivos es igual al producto de los tres restantes.
A
En la figura:
AN.CM.BS = SA.NC.MB
S N
P
B M C

8. POLÍGONOS SEMEJANTES
Dos polígonos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes congruentes y sus
Lados homólogos proporcionales.

9. Problemas resueltos:
1.Halla los pares de triángulos semejantes. Desarrollo:
Los triángulos ABC y HIJ
son semejantes, tienen
sus ángulos iguales.
Los triángulos PQR y MNT
son semejantes, tienen sus
ángulos iguales.

10. 2.Halla el valor de «x» si MN // PQ
Triángulo MNS es semejante con PQS ( A.A)
x 50
X = 25 m
10 20
3.Halla «x». Sí PQ // AB
Desarrollo:

11. Desarrollo: 4.Halla «x». S i HJ // LK
96 - x
Desarrollo:
Los triángulos ABC y PQC son semejantes
96 x 36
96 24
36 96
96 x
24
X = 48 u

12. Los triángulos HIJ y IKL son
Desarrollo:
semejantes.
Los triángulos ABC y EBF son congruentes.
x 30
X = 45 m
18 12 x 30
40 12 X = 16 m
5.Halla «x». Si EF //AC
6.En un trapecio ABCD las bases BC y AD miden
4cm y 9cm , respectivamente. Si
BAC CDA
Desarrollo:
4
9

13. 4 x
x 9
x2 36
X = 6 cm
7.Dado el triángulo rectángulo
ABC en el cual se inscribe el Los triángulos APQ y RCS son semejantes
cuadrado PQRS; si PS está sobre
hipotenusa AC y AP = 4 cm ; SC = 9 cm. x 4
Halla el perímetro del cuadrado.
9 x
Desarrollo:
2
x 36
X = 6 cm P =24 cm