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  1. 1. Signatur Algebren Erweiterterung Ende P/T-Netze algebraisch spezifiziert Alexander Rein, Helko Glathe 01.11.2006 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  2. 2. Signatur Algebren Erweiterterung Ende Inhaltsverzeichnis Signatur 1 Algebren 2 Algebra PT1 Algebra PT2 Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT2 Algebra PT3 Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT3 Erweiterterung 3 Erweiterte Signatur Algebra zur erweiterten Signatur Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  3. 3. Signatur Algebren Erweiterterung Ende Unsere Signatur f¨r ein Petrinetz u Σ-P/T Netz: sorts: nat Stelle Transition KanteVor KanteNach getKapazit¨t: Stelle → nat opns: a getGewichtVor: KanteVor → nat getGewichtNach: KanteNach → nat getToken: Stelle → nat targetVor: KanteVor → Transition targetNach: KanteNach → Stelle sourceVor: KanteVor → Stelle sourceNach: KanteNach → Transition Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  4. 4. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Petrinetz zur gesuchten Algebra PT1 s1 k=2 f3 f4 e1 w=2 t2 t3 t1 e2 e3 f2 f1 s2 k=1 s3 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  5. 5. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Sorten PT1nat = N {s1,s2,s3} PT1Stelle = {t1,t2,t3} PT1Transition = {e1,e2,e3} PT1KanteVor = {f1,f2,f3,f4} PT1KanteNach = Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  6. 6. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen ( | x=s1 2, getKapazit¨tPT1 (x) a = | sonst 1, ( | x=e1 2, getGewichtVorPT1 (x) = | sonst 1, getGewichtNachPT1 (x) = 1 ( | x=s1 2, getTokenPT1 (x) = | sonst 0, Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  7. 7. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen 8 | x=e1 >t1, < | x=e2 targetVorPT1 (x) = t2, > | x=e3 t3, : 8 | x=f1 >s2, < | x=f2 targetNachPT1 (x) = s3, > | sonst s1, : 8 | x=e1 >s1, < | x=e2 sourceVorPT1 (x) = s2, > | x=e3 s3, : 8 | >t1, x=f1 > > | <t1, x=f2 sourceNachPT1 (x) = | >t2, x=f3 > > | t3, x=f4 : Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  8. 8. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Petrinetz zur gesuchten Algebra PT2 g1 k=4 i3 w=2 i4 w=2 h1 w=4 u2 u3 u1 h2 w=2 h3 w=2 i2 w=2 i1 w=2 h4 h5 g2 k=2 u4 g3 k=2 i5 i6 i7 h6 h7 u5 u6 g4 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  9. 9. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Sorten PT2nat = N {g1,g2,g3,g4} PT2Stelle = {u1,u2,u3,u4,u5,u6} PT2Transition = {h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7} PT2KanteVor = {i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7} PT2KanteNach = Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  10. 10. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen 8 | x=g1 >4, < | (x=g2)∨(x=g3) getKapazit¨tPT2 (x) a = 2, > | sonst 1, : 8 | x=h1 >4, < | (x=h2)∨(x=h3) getGewichtVorPT2 (x) = 2, > | sonst 1, : ( | (x=i1)∨(x=i2)∨(x=i3)∨(x=i4) 2, getGewichtNachPT2 (x) = | sonst 1, ( | x=g1 4, getTokenPT2 (x) = | sonst 0, Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  11. 11. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen 8 | >u1, x=h1 > > | >u2, x=h2 > > > | > >u3, x=h3 > < | targetVorPT2 (x) = u4, x=h4 > | >u4, x=h5 > > > > | >u5, x=h6 > > > | : u6, x=h7 8 | >g 2, x=i1 > > | >g 3, x=i2 > > > | > >g 1, x=i3 > < | targetNachPT2 (x) = g 1, x=i4 > | >g 4, x=i5 > > > > | >g 2, x=i6 > > > | : g 3, x=i7 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  12. 12. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen 8 | >g 1, x=h1 > > | >g 2, x=h2 > > > | > >g 3, x=h3 > < | sourceVorPT2 (x) = g 2, x=h4 > | >g 3, x=h5 > > > > | >g 4, x=h6 > > > | : g 4, x=h7 8 | >u1, x=i1 > > | >u1, x=i2 > > > | > >u2, x=i3 > < | sourceNachPT2 (x) = u3, x=i4 > | >u4, x=i5 > > > > | >u5, x=i6 > > > | : u6, x=i7 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  13. 13. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Allgemein Definition Homomorphismus h: PT1 → PT2 h=(hs :PT1s → PT2s )s S mit hs (fPT1 (x))=fPT2 (hs (x)) Definition ist vereinfacht und gilt nur f¨r einelementige Operationen! u Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  14. 14. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Suche nach Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT2 s1 k=2 g1 k=4 f3 f4 e1 w=2 i3 w=2 i4 w=2 t2 t3 h1 w=4 t1 u2 u3 e2 e3 f2 f1 u1 h2 w=2 h3 w=2 i2 w=2 i1 w=2 s2 k=1 s3 k=1 h4 h5 g2 k=2 u4 g3 k=2 i5 i6 i7 h6 h7 u5 u6 g4 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  15. 15. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Konkret hnat (x) = x∗2 8 | x=s1 >g 1, < | x=s2 hStelle (x) = g 2, > | x=s3 g 3, : 8 | x=t1 >u1, < | x=t2 hTransition (x) = u2, > | x=t3 u3, : 8 | x=e1 >h1, < | x=e2 hKanteVor (x) = h2, > | x=e3 h3, : 8 | >i1, x=f1 > > | <i2, x=f2 hKanteNach (x) = | >i3, x=f3 > > | i4, x=f4 : Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  16. 16. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Beweisansatz von h Beweis. sourceVor: KanteVor → Stelle hStelle (sourceVorPT1 (x)) = sourceVorPT2 (hKanteVor (x)) , x KanteVorPT1 x sourceVorPT1 (x) hStelle (sourceVorPT1 (x)) sourceVorPT2 (hKanteVor (x)) hKanteVor (x) x e1 s1 g1 = g1 h1 e1 e2 s2 g2 = g2 h2 e2 e3 s3 g3 = g3 h3 e3 Analog f¨r sourceNach, targetVor, targetNach! u hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) = getKapazit¨tPT2 (hStelle (x)) , x a a StellePT1 x getKapazit¨tPT1 (x) a hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) a getKapazit¨tPT2 (hStelle (x)) a hStelle (x) x s1 2 4 = 4 g1 s1 g2 ∨ g3 sonst 1 2 = 2 sonst Analog f¨r getGewichtVor, getGewichtNach und getToken! u Homomorphismus ist injektiv, aber nicht surjektiv! Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  17. 17. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Petrinetz zur gesuchten Algebra PT3 g1 k=2 i2 h1 w=2 u2 u1 h2 i1 g2 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  18. 18. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Sorten PT3nat = N {g1,g2} PT3Stelle = {u1,u2} PT3Transition = {h1,h2} PT3KanteVor = {i1,i2} PT3KanteNach = Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  19. 19. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen ( | x=g1 2, getKapazit¨tPT3 (x) a = | x=g2 1, ( | x=h1 2, getGewichtVorPT3 (x) = | x=h2 1, getGewichtNachPT3 (x) = 1 ( | x=g1 2, getTokenPT3 (x) = | sonst 0, Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  20. 20. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen ( | x=h1 u1, targetVorPT3 (x) = | x=h2 u2, ( | x=i1 g 2, targetNachPT3 (x) = | x=i2 g 1, ( | x=h1 g 1, sourceVorPT3 (x) = | x=h2 g 2, ( | x=i1 u1, sourceNachPT3 (x) = | x=i2 u2, Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  21. 21. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Suche nach Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT3 s1 k=2 g1 k=2 f3 f4 i2 e1 w=2 h1 w=2 t2 t3 u2 t1 u1 e2 e3 f2 f1 h2 i1 s2 k=1 s3 k=1 g2 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  22. 22. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Konkret hnat (x) = x ( | x=s1 g 1, hStelle (x) = | sonst g 2, ( | x=t1 u1, hTransition (x) = | sonst u2, ( | x=e1 h1, hKanteVor (x) = | sonst h2, ( | (x=f1)∨(x=f2) i1, hKanteNach (x) = | sonst i2, Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  23. 23. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Beweisansatz von h Beweis. sourceVor: KanteVor → Stelle hStelle (sourceVorPT1 (x)) = sourceVorPT3 (hKanteVor (x)) , x KanteVorPT1 x sourceVorPT1 (x) hStelle (sourceVorPT1 (x)) sourceVorPT3 (hKanteVor (x)) hKanteVor (x) x e1 s1 g1 = g1 h1 e1 e2 s2 g2 = g2 h2 e2 e3 s3 g2 = g2 h2 e3 Analog f¨r sourceNach, targetVor, targetNach! u hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) = getKapazit¨tPT3 (hStelle (x)) , x a a StellePT1 x getKapazit¨tPT1 (x) a hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) a getKapazit¨tPT3 (hStelle (x)) a hStelle (x) x s1 2 2 = 2 g1 s1 sonst 1 1 = 1 g2 sonst Analog f¨r getGewichtVor, getGewichtNach und getToken! u Homomorphismus ist surjektiv aber nicht injektiv! Jedoch bewahrt dieser Homomorphismus NICHT das Schaltverhalten! Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  24. 24. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Suche nach einer Signatur, die auch das Schalten erm¨glicht o Σ-P/T Netz Enhanced: sorts: nat Stelle Transition KanteVor KanteNach Markierung getKapazit¨t: Stelle → nat opns: a getGewichtVor: KanteVor → nat getGewichtNach: KanteNach → nat getToken: Stelle Markierung → nat targetVor: KanteVor → Transition targetNach: KanteNach → Stelle sourceVor: KanteVor → Stelle sourceNach: KanteNach → Transition schalte: Transition Markierung → Markierung iniMarkierung: → Markierung Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  25. 25. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Petrinetz zur gesuchten Algebra PT1Enhanced 1 k=2 f3 f4 e1 w=2 t2 t3 t1 e2 e3 f2 f1 2 k=1 3 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  26. 26. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Sorten PT1Enhancednat = N {1,2,3} ⊆ N PT1EnhancedStelle = {t1,t2,t3} PT1EnhancedTransition = {e1,e2,e3} PT1EnhancedKanteVor = {f1,f2,f3,f4} PT1EnhancedKanteNach = (N ◦ N ◦ N) Wort der L¨nge 3! PT1EnhancedMarkierung = a Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  27. 27. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Operationen ( | x=s1 2, getKapazit¨tPT1Enhanced (x) a = | sonst 1, ( | x=e1 2, getGewichtVorPT1Enhanced (x) = | sonst 1, getGewichtNachPT1Enhanced (x) = 1 getTokenPT1Enhanced (s,m) = ms (Buchstabe s des Wortes m) Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  28. 28. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Operationen 8 | x=e1 >t1, < | x=e2 targetVorPT1Enhanced (x) = t2, > | x=e3 t3, : 8 | x=f1 >s2, < | x=f2 targetNachPT1Enhanced (x) = s3, > | sonst s1, : 8 | x=e1 >s1, < | x=e2 sourceVorPT1Enhanced (x) = s2, > | x=e3 s3, : 8 | >t1, x=f1 > > | <t1, x=f2 sourceNachPT1Enhanced (x) = | >t2, x=f3 > > | t3, x=f4 : Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  29. 29. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Operationen iniMarkierungPT1Enhanced = 200 8 >(m1 − 2, m2 + 1, m3 + 1), | (t = t1) ∧ (m1 = 2)∧ > | (m2 = 0) ∧ (m3 = 0) > > > > > > > > > > >(m1 + 1, m2 − 1, m3 ), | (t = t2) ∧ (m2 = 1)∧ > > > > | (m1 < 2) < schaltePT1Enhanced (t,m) = > > > >(m1 + 1, m2 , m3 − 1), | (t = t3) ∧ (m3 = 1)∧ > > > > | (m1 < 2) > > > > > > > > > | sonst : m, Anmerkung: Man kann evtl. nicht feststellen, ob t geschaltet hat oder nicht! Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  30. 30. Signatur Algebren Erweiterterung Ende Wir bedanken uns f¨r Eure Aufmerksamkeit. u Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

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