1. 27 NOV
2009
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA
OPTIMIZACIÓN DE
REDES
Investigación de Operaciones II
 Figueroa Olaguez Melissa 06210889
 Montes Tenorio Crys 06210923
 Medina Estrella Victoria 06210919
 Valdez Reyes Herolinda 06210955
Hero
10/26/2009

2. MODELOS DE OPTIMIZACIÓN DE REDES
Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones. Las redes de
transporte, eléctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria. La representación
de redes se utiliza ampliamente en áreas tan diversas como producción, distribución,
planeación de proyectos, localización de instalaciones, administración de recursos y
planeación financiera, para nombrar sólo unos ejemplos. De hecho, una representación de
redes proporciona un panorama general tan poderoso y una ayuda conceptual para
visualizar las relaciones entre los componentes del sistema, que se usa casi en todas las
áreas científicas, sociales y económicas.
Uno de los mayores desarrollos recientes en investigación de operaciones (IO) ha sido el
rápido avance tanto en la metodología como en la aplicación de los modelos de
optimización de redes. La aparición de algunos algoritmos ha tenido un impacto
importante, al igual que las ideas de ciencias de la computación acerca de estructuras de
datos y la manipulación eficiente de los mismos. En consecuencia, ahora se dispone de
algoritmos y paquetes de computadora y se usan en forma rutinaria para resolver
problemas muy grandes que no se habrían podido manejar hace dos o tres décadas.
Se darán a conocer en este trabajo cinco tipos importantes de problemas de redes y algunas
ideas básicas sobre cómo resolverlos (sin profundizar en los aspectos de estructuras de
bases de datos, tan vitales para la aplicación exitosa en los problemas de gran escala). Los
tres primeros tipos de problemas –el problema de la ruta más corta, el problema del árbol
de mínima expansión y el problema del flujo máximo- tienen una estructura específica que
surge con frecuencia en la práctica.
El cuarto tipo –el problema del flujo de costo mínimo- proporciona un enfoque unificador de
muchas otras aplicaciones por su estructura mucho más general. Y por último el método del
CPM.
Terminología de Redes
Red: conjunto de puntos y líneas que unen ciertos pares de puntos.
Nodos: Puntos (o vértices).
Arcos: Líneas, ligaduras, aristas o ramas. Se etiquetan para dar nombre a los nodos en sus
puntos terminales.
Arco dirigido: Si el flujo a través de un arco se permite sólo en una dirección. La dirección se
indica agragando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco.
Arco no dirigido: Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones.
Red dirigida: Red que tiene sólo arcos dirigidos.
Red no dirigida: Todos sus arcos son no dirigidos.
Trayectoria: Sucesión de arcos distintos que conectan nodos.
Ciclo: Trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.
Red conexa: Red en la que cada par de nodos esta conectado.
Árbol: Red conexa (para algún subconjunto de n nodos) que no contiene ciclos no dirigidos.
Árbol de expansión: Red conexa para los n nodos que contiene ciclos no dirigidos.

3. Capacidad del arco: Cantidad máxima de flujo (quizá infinito) que puede circular en un arco
dirigido.
Nodo fuente: Nodo origen, tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo excede el
flujo que entra a él.
Nodo de demanda: Nodo de destino, donde el flujo que llega excede al que sale de él.
Nodo de trasbordo: Intermedio, satisface la conservación del flujo, es decir, el flujo que
entra es igual al que sale.
COMPONENTES DE REDES REPRESENTATIVAS
Nodos Arcos Flujo
Cruceros Caminos Vehículos
Aeropuertos Líneas aéreas Aviones
Puntos de conmutación Cables, canales Mensajes
Estaciones de bombeo Tuberías Fluidos
Centros de trabajo Rutas de manejo de Trabajos
materiales

4. PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA
Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y
destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo
es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al
destino.
Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del
procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la
ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas),
desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino.
Algoritmo de la ruta más corta:
1. Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen.
(Este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n-ésimo nodo más cercano sea el
nodo destino.)
2. Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en
las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen.
(Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.)
3. Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene
conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un
candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los
empates proporcionan candidatos adicionales.)
4. Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se
suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este
nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo
más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más
corta es la que genera esta distancia.

5. EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA RUTA MAS CORTA
Nodos resultos conectados Nodo no resulto mas Distanica Total n-esimo nodo Distancia Ultima
n
directamente a nodos no resuletos cercano conectado involucrada mas cercano minima conexion
1 O A 2 A 2 OA
2 O C 4 C 4 OC
3 A B 2+2-4 B 4 AB
A D 2+7=9
4 B E 4+3=7 E 7 BE
C E 4+4=8
A D 2+7=9
5 B D 4+4=8 D 8 BD
E D 7+1=8 D 8 ED
D T 8+5=13
6
E T 7+7=14 T 13 DT
DE A DISTANCIA
1 O A 1 2
2 O B 0 5
3 O C 0 4
4 A B 1 2
5 A D 0 7
6 B C 0 1
7 B D 1 4
8 B E 0 3
9 C B 0 1
10 C E 0 4
11 D E 0 1
12 D T 1 5
13 E D 0 1
14 E T 0 7
NODOS DEMANDA
O 1 = 1
A 0 = 0
B 0 = 0
C 0 = 0
D 0 = 0
E 0 = 0
T -1 = -1

6. FLUJO DE COSTO MÍNIMO
¿Qué es?
El problema del flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los modelos de
optimización de redes; primero, abarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su
solución es muy eficiente. Toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en
sus arcos. Considera un costo (o distancia) para el flujo a través de un arco. Puede manejar
varios orígenes (nodo fuente) y varios destinos (nodos demanda) para el flujo, de nuevo con
costos asociados.
La razón por la que el problema de flujo de costo mínimo se puede resolver de modo tan
eficiente es que se puede formular como un problema de programación línea y es posible
resolverlo con una versión simplificada del método símplex llamada método símplex de
redes.
A continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo.
1. La red es una red dirigida y conexa.
2. Al menos uno de los nodos es un nodo fuente.
3. Al menos uno de los nodos es un nodo de demanda.
4. El resto de los nodos son nodos de trasbordo.
5. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha,
donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco
6. La red tiene suficientes arcos con suficiente capacidad para permitir que todos los
flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos de demanda.
7. El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde
se conoce el costo por unidad.
8. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de
la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es maximizar la
ganancia total del envío.)
Objetivo
Tal vez el tipo más importante de aplicación del problema del flujo de costo mínimo es en la
operación de la red de distribución de una compañía (Fig. 1). Este tipo de aplicación
siempre incluye determinar un plan para enviar bienes desde las fuentes (fábricas, etc.) a las
instalaciones de almacenamiento intermedias (según se necesite) y después a los
consumidores. Siendo así, el objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos a
través de la red para satisfacer la demanda dada.
Por ejemplo, considere la red de distribución de la International Paper Company (descrita en
el número de marzo-abril de 1988 de Interfaces). Esta compañía es el mayor fabricante en
el mundo de pulpa, papel y productos de papel, lo mismo que un importante productor de
madera y triplay. Los nodos fuente en su red de distribución son esos bosques en los
distintos lugares. Sin embargo, antes de que los bienes de la compañía puedan llegar a los
nodos de demanda (clientes), la madera debe pasar por una larga secuencia de nodos de
trasbordo. Una trayectoria típica por la red de distribución es:

7. Bosques→Maderería→Aserradero→Fábrica de papel→Plantas.
transformadoras→Almacenes→Consumidores.
Aplicaciones comunes del problema del flujo de costo mínimo
Tipo de aplicación Nodos fuente Nodos de trasbordo Nodos de demanda
Operación de una red de Fuentes de bienes Almacenes intermedios Consumidores
distribución
Administración de Fuentes de desechos Instalaciones de Rellenos
desechos sólidos sólidos procesamiento
Operación de una red de Agentes de ventas Almacenes intermedios Instalaciones de
suministros procesamiento
Coordinación de mezclas Plantas Producción de un Mercado del producto
de productos en plantas artículo específico específico
Administración de flujo Fuentes de efectivo Opciones de inversión Necesidad de efectivo
de efectivo en tiempos a corto plazo en tiempos específicos
específicos
¿Cómo se realiza?
Para la formulación del modelo considere una red conexa dirigida en la que los n nodos
incluyen al menos un nodo origen y al menos un nodo destino. Las variables de decisión
son:
xij= flujo a través del arco i→j,
y la información dada incluye
cij=costo por unidad de lujo a través del arco i→j,
uij= capacidad del arco i→j,
bj= flujo neto generado en el nodo i.
El valor de bi depende de la naturaleza del nodo i, en donde
bi>0, si i es un nodo fuente,
bi>0, si i es un nodo de demanda,
bi=0, si i es un nodo de trasbordo.
El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos disponibles a través de la red
para satisfacer la demanda dada. Usando la convención de que las sumas se toman sólo
sobre arcos existentes, la formulación de programación lineal de este problema es:
Minimizar
sujeta a para cada nodo i,
y para cada arco i→j.

8. La primera suma en las restricciones de los nodos representa el flujo total que sale del nodo
i mientras que la segunda representa el flujo total que entra al nodo i; así, la diferencia es el
flujo neto generado en este nodo.
No se garantiza que el problema posea soluciones factibles; esto depende en parte de qué
arcos están presentes en la red y de sus capacidades.
Propiedades de soluciones factibles: una condición necesario para que un problema de flujo
de costo mínimo tenga soluciones factibles es que
Es decir, el flujo total generado en los nodos origen es igual al flujo total absorbido por los
nodos de destino.
Si los valores de bi que se dan en alguna aplicación violan esta condición, la interpretación
más común es que los recursos o las demandas (lo que tenga el exceso) representan en
realidad cotas superiores y no cantidades exactas. Cuando esta situación se presente, se
aumenta un destino ficticio para recibir los recursos que sobraban o bien se aumenta un
origen ficticio para mandar el exceso de demanda. El paso análogo en este caso es que
debe agregarse un nodo de demanda ficticio para absorber el exceso de recursos (se
agregan arcos con cij=0 desde todos los nodos origen hasta este nodo), o bien debe
agregarse un nodo origen ficticio para generar u flujo equivalente al exceso de demanda (se
agregan arcos con cij=0 de este nodo a todos los nodos de demanda).

9. EJEMPLO DE FLUJO DE COSTO MINIMO
En la figura 2 se muestra un ejemplo del problema de flujo de costo mínimo. Esta red, de
hecho, es la red de distribución para el problema de Distribution Unlimited Co. Los valores
de bi en la figura 2 se muestran entre paréntesis cuadrados cerca de los nodos; entonces, los
nodos origen (bi>0) son A y B (las dos fábricas de la compañía), los nodos destino (b i>0) son
D y E (los dos almacenes), y el único nodo de trasbordo (b i=0) es C (un centro de
distribución). Los valores cij se muestran junto a los arcos. En este ejemplo, todos menos
dos de los arcos tienen capacidades que exceden el flujo total generado (90), de manera
que uij=∞ para cualquier propósito práctico. Las dos excepciones son el arco A→B, donde
uAB=10 y el arco C→E que tiene uCE=80.
Minimizar Z= 2xAB + 4xAC + 9xAD +3xBC + xCE + 3xDE + 2xED,
sujeta a
xAB + xAC + xAD = 50
-xAB +xBC = 40
-xAC -xBC + xCE = 0
-xAD + xDE – xED = -30
- xCE – xDE + xED = -60
y xAB ≤ 10, xCE≤ 80, todas las xij ≥ 0.
Fig. 2. El problema de la Distribution Unlinmited Co.
formulado como un problema de flujo de costo mínimo.
De forma manual se realizaría por el método simplex, obteniendo como se observa 5 tablas
de la fase I y 2 tablas par la fase II.

10. Después de este largo procedimiento obtenemos que la solución óptima es Z= 490, con X1=
0; X2= 40; X3= 10; X4= 40; X5= 80; X6= 0 y X7 = 20.
Uso de Excel
Excel proporciona una manera conveniente de formular y resolver problemas del flujo de
costo mínimo como éste, y algunos más grandes. La figura 3 muestra cómo se puede hacer

11. esto. Se deben incluir los costos unitarios (cij), en la columna G. Como se especifican los
valores de bi para cada nodo, se requieren las restricciones de flujo neto para todos los
nodos. Sin embargo, en realidad sólo dos arcos necesitan restricciones de capacidad. La
celda objetivo (D12) ahora da el costo total del flujo (embarques) a través de la red, de
manera que el objetivo especificado en el cuadro de diálogo de Solver es minimizar esta
cantidad. Las celdas que cambian (D4:D10) en esta hoja de cálculo muestran la solución
óptima obtenida después de hacer clic en resolver.
Para problemas más grandes de flujo de costo mínimo, el método símplex de redes
proporciona un procedimiento de solución mucho más eficiente.
Fig. 3. Formulación en hoja de cálculo del problema del
flujo de costo mínimo de Distribution Unlimited Co.

12. PROBLEMA DEL FLUJO MAXIMO.
En términos generales, el problema de flujo máximo se puede describir de la siguiente
manera:
1. Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y
termina en otro nodo llamado destino.
2. Los nodos restantes son los nodos de trasbordo
3. Se permite el flujo a través de un arco solo en la dirección indicada por la flecha, donde la
cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos
señalan hacia afuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo.
4. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se
mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la
fuente o la cantidad que entra al destino.
Algunas aplicaciones:
A continuación se menciona algunos tipos de aplicaciones comunes del problema del flujo
máximo.
1. Maximizar el flujo a través de la red de distribución de una compañía desde sus fabricas
hasta sus clientes.
2. Maximizar el flujo a través de la red de suministros de una compañía de proveedores a las
fabricas.
3. Maximizar el flujo de petróleo por un sistema de tuberías.
4. Maximizar el flujo de agua a través de un sistema de acueductos
5. Maximizar el flujo de vehículos por una red de transporte.
En algunas de estas aplicaciones, el flujo a través de la red se puede originar en mas de un
nodo y también puede terminar en mas de uno, aunque el problema de flujo máximo puede
tener solo un origen y un destino.

13. EJEMPLO DE FLUJO DE COSTO MAXIMO
Se considera el problema de trasladar una cierta mercancía desde un punto específico,
llamado fuente a un punto de destino, denominado sumidero. Para ello se considera un
grafo dirigido G = (V,A), en el que se consideran dos nodos o vértices: uno denominado
nodo fuente y otro denominado nodo destino. Por supuesto, se considera que no existe un
arco directo que conecte el nodo fuente con el nodo destino. Por supuesto, el grafo estará
formado por unos nodos intermedios conocidos como puntos de transbordo a través de los
cuales el flujo (la mercancía) es desviado.
Sea
V = conjunto de todos los vértices o nodos del grafo.
fij = el flujo que circula por el arco (i,j).
f = cantidad total de flujo que se lleva desde el nodo fuente al nodo destino.
kij = capacidad del arco (i,j).
Ejemplo:
s = nodo fuente
n = nodo destino
1, 2 = nodos intermedios
Objetivo:
Determinar el máximo flujo f que se puede enviar desde el nodo fuente s al nodo destino n,
teniendo en cuenta las capacidades kij sobre el flujo de cada arco (i,j) y que el flujo se debe
conservar.

14. Modelo de programación lineal:
Las ecuaciones (1.1) representan la conservación del flujo en los nodos. Mientras que las
restricciones (1.2) son sobre el flujo que circula por cada arco, para que no sea negativo y no
supere la capacidad del arco.
En el ejemplo anterior se traduce en
Veamos un método eficiente para resolver el problema del flujo máximo directamente sin
usar el método del simplex.
Conceptos previos:
Definición: Dado cualquier nodo i todos los arcos que salen del nodo i se denominan arcos
hacia delante con respecto al nodo i.
Definición: Dado cualquier nodo i todos los arcos que entran al nodo i se denominan arcos
hacia atrás para el nodo i.

15. Definición: Un corte que separa el nodo fuente del nodo destino es una partición de los
nodos de la red en dos subconjuntos S y S* tal que el nodo fuente está en S y el nodo destino
está en S*.
Un ejemplo de corte en el ejemplo anterior podría ser (S, S*) dado por S = {s,1,2}.
Definición:
La capacidad de un corte es la suma de todas las capacidades de los arcos procedentes de
los nodos de S a los nodos en S*. Se denota K(S, S*). Esto es
Definición: El corte con la capacidad más pequeña se denomina corte mínimo.
A partir de los ejemplos anteriores de cortes se puede apreciar que si todos los arcos de un
corte se eliminan de la red entonces no existe un camino que una el nodo fuente con el
nodo destino, de aquí que el flujo de s a n no seria posible. En otras palabras, cualquier flujo
de s a n debe atravesar los arcos en el corte, y por consiguiente, el flujo f estará limitado por

16. la capacidad de ese corte. La relación entre flujos y cortes vendrá dada por el siguiente
lema:
Lema: Para cualquier red dirigida, si f es el flujo desde el nodo fuente al nodo destino, y (S,
S*) es un corte, entonces el valor de f es menor o igual que la capacidad de ese corte K(S,S *).
Como consecuencia de este lema se tiene que cualquier flujo compatible desde el nodo
fuente al nodo destino no puede exceder la capacidad de ningún corte. Por tanto, el flujo
máximo a través de la red está limitado por la capacidad del corte mínimo. El siguiente
teorema establece que siempre es posible encontrar el flujo de s a n igual a la capacidad del
corte mínimo.
Teorema de flujo máximo-corte mínimo: (Ford Fulkerson).
Para cualquier red el flujo máximo desde el nodo fuente al nodo destino es igual a la
capacidad del corte mínimo.
A partir de este teorema el problema de encontrar el flujo máximo en una red se traduce en
encontrar las capacidades de todos los cortes y elegir la mínima capacidad. Por otra parte,
dado el valor máximo de f no se especifica como este flujo es distribuido a través de los
distintos arcos. Además este método es poco recomendable ya que el número de posibles
cortes que separan el nodo fuente del destino son 2n-2.
Definición: Dada una red G = (V,A) llamamos Red Residual o Incrementeal R(f), a aquella red
formada a partir de G, con el mismo conjunto de nodos que ésta, y dado cada arco dirigido
(i,j) ∈ A en la red original, que no tiene arco en la dirección opuesta (es decir, (j,i) ∉ A), tal
que 0 ≤ fij ≤ kij se consideran en la Red Incremental dos arcos (i,j) y (j,i) con capacidades r ij =
kij - fij y rji = fij , respectivamente. A dichas capacidades se las denomina capacidades
residuales o incrementales.
Al principio que no circula ningún flujo por los arcos de la red original, la red residual difiere
de la original en que para cada arco dirigido de la red original sin arco opuesto, ahora se le
añade su opuesto con capacidad nula.
Definición: Se denomina Camino Incremental a todo camino dirigido desde el nodo fuente al
nodo destino en la red incremental.
Definición: Llamamos Cuello de Botella y lo denotamos por δ a la menor capacidad residual
de los arcos en un camino incremental, es decir, δ = min (i,j) ∈P rij. Dado el siguiente camino P
⊂ R(f)
δ= 2

17. Definición: Un arco se dice saturado sí y solo sí fij = kij ó rij = 0 y kij > 0.
El motivo de introducir el concepto de red residual o red incremental se debe a los
siguiente, fijémonos en la red siguiente:
Si se elige como primer camino incremental P = {(s,1),(1,3),(3,2),(2,n)} entonces saturo los
arcos (1,3),(3,2) y (2,n) y no podemos enviar más flujo de s a n consiguiendo un valor para f
= 1, cuando el flujo máximo es f = 2.
Sin embargo, tomando ahora el camino incremental P’ = {(s,1),(1,2),(2,3),(3,n)} podemos
enviar una unidad más de s a n y deshacer el error cometido al enviar una unidad de flujo a
través del arco (3,2). Notemos que ahora se ha enviado una unidad de flujo a través del arco
(2,3), el cual no existe en la red original.
El algoritmo de flujo máximo consiste en encontrar un camino a través del cual se puede
enviar un flujo positivo desde el nodo fuente al nodo destino. Tal camino es a lo que
denominabamos camino incremental, y se usa para enviar tanto flujo como sea posible
desde s a n. El proceso se repite hasta que no se pueda encontrar ningún otro camino
incremental, que mejore el flujo total de s a n. En dicho caso, se ha encontrado el flujo
máximo.
Proceso de etiquetado:
Este proceso se usa para encontrar un camino incremental desde el nodo fuente al nodo
destino. Comenzando con el nodo fuente s, se dice que cualquier nodo j se puede etiquetar

18. si podemos enviar un flujo positivo desde s a j. En general, desde cualquier nodo i podemos
etiquetar el nodo j si se satisface una de las siguientes condiciones:
1.- El arco que conecta los nodos i y j es un arco hacia delante y el flujo en el arco (i,j) es
menor que su capacidad ( es decir, fij ≤ kij).
2.- El arco que conecta i y j es un arco hacia atrás y el flujo en el arco (j,i) es mayor que 0.
Se continúa el proceso de etiquetado hasta que el nodo destino sea etiquetado. Entonces se
ha conseguido un camino incremental.
Algoritmo del Flujo Máximo:
El algoritmo se inicializa con un flujo nulo o cualquier flujo factible en todos los arcos, esto
es, satisfaciendo las restricciones de capacidad y conservación de los flujos en todos los
nodos. Para mejorar este flujo, se etiqueta inicialmente el nodo s y se aplica el proceso de
etiquetado para etiquetar los otros nodos hasta alcanzar el destino. Cuando esto ocurra
tendremos un camino incremental desde s a n a través del cual se puede enviar un flujo
positivo. A continuación, volvemos hacia atrás en el camino incremental con la ayuda de las
etiquetas de los nodos y calculamos el flujo máximo δ que puede ser enviado por el camino.
Entonces incrementamos el flujo en δ unidades en todos los arcos hacia delante en el
camino incremental y decrementamos el flujo en δ unidades en todos los arcos hacia atrás.
Repetimos el proceso de etiquetado para encontrar otro camino incremental desde s a n. El
algoritmo termina cuando no se pueda encontrar ningún otro camino incremental, lo que
nos conduce al máximo flujo posible de s a n.
ALGORITMO:
Paso 0:
Se inicializa f = 0 ( o cualquier flujo factible) y fij = 0 ∀ (i,j) ∈ A.
Se construye la red incremental, que coincide con la original. Esto es,
rij = kij para todo arco en la red original y se añade su opuesto con r ji = 0.
Sea δ = ∝. Sea hace i = s el nodo fuente, se marca con Predi = 0.
Paso 1:
Se elige un j ∈ Γ(i) no marcado tal que rij > 0 para el arco (i,j) y se marca con Predj = i.
Se asigna δ = min{δ,rPredj j}. En caso de que no exista y si i = s parar ya que se ha alcanzado el
máximo flujo posible que se puede enviar desde s a n. Si i ≠ s se hace i = Pred i y se busca otro
j ∈ Γ(i), no marcado con rij > 0.

19. Paso 2:
Si j = n, hacer f = f + δ, e ir al paso 3.
En caso contrario, hacer i = j y repetir el paso 1.
Paso 3:
Cambiamos rPredj j = rPredj j - δ y rj Predj = rj Predj + δ.
Hacer j = Predj, si j = s ir al paso 4. En otro caso, repetimos el paso 3.
Paso 4:
Se borran todas las marcas menos la de s, sea s = i. Se vuelve a asignar δ = ∝ y se va al paso
1.
Ejemplo: Sea la siguiente red en la cual los números sobre los arcos representan las
capacidades.

21. Flujo máximo es igual a 15.

22. CPM
METODO DE LA RUTA CRITICA
Decidir el programa de fechas en el que deben iniciarse y terminarse una serie de tareas
para llevar a cabo un proyecto. Camino crítico (CPM).
Proyecto: conjunto de actividades interrelacionadas, en el cual la realización de cada
actividad requiere tiempo y recursos.
CPM: método de ayuda en la planificación, programación y control de proyectos, cuando se
conoce con certeza la duración de las actividades.
El Método de Camino (o trayectoria) Crítico (MCC) intenta analizar la planificación de
proyectos. Esto posibilita un mejor control y evaluación del proyecto.
Por ejemplo, queremos saber ¿Cuanto tiempo durará el proyecto?, ¿Cuándo se estará listo
para comenzar una tarea en particular?, si la tarea no es completada a tiempo, ¿El resto del
proyecto se retrasará?, ¿Qué tareas deben ser aceleradas (efectivo) de forma tal de
terminar el proyecto antes?
La gerencia exitosa de un proyecto ambicioso, ya sea de construcción, de transporte o
financiero, descansan en una coordinación y planificación minuciosa de varias tareas. El
Método de Camino (o trayectoria) Crítico (MCC) intenta analizar la planificación de
proyectos. Esto posibilita un mejor control y evaluación del proyecto.
El objetivo suele ser llevar a cabo el proyecto en el menor tiempo posible. La ruta crítica
será la ruta de máxima duración
Procedimiento:
1. Definir las actividades del proyecto
2. Diseñar la red que representa el proyecto
3. Resolver el problema
4. Traducir la solución a un programa de tiempo
A. Elaborar una lista con todas las actividades del proyecto indicando para cada una de
ellas:
Las actividades predecesoras.

23. La duración y cantidad de recursos (si los hay) necesarios para su ejecución.
B. Diseñar la red que representa el proyecto:
 Cada actividad se representa mediante un vértice.
 Se añaden dos vértices ficticios que representan, respectivamente, las actividades
principio y final del proyecto.
 Las relaciones de precedencia entre actividades se realizan mediante arcos. Cada arco
(i, j) tiene asociado un coste que indica el tiempo de ejecución de la actividad i.
 Cada vértice puede tener asociado un peso que representa la cantidad de recursos que
consume la actividad i.

24. EJEMPLO DE LA RUTA CRITICA
New Computer está a punto de lanzar una oferta de nuevos ordenadores. Cada ordenador
consta de dos partes, una pantalla y un pack formado por, la CPU, el teclado y el ratón.
Antes de producir cualquiera de las componentes es necesario conseguir los materiales y
formar a los trabajadores que deben realizar el montaje. El pack que incluye la CPU requiere
pasar por un control de calidad antes de ser embalado con la pantalla. La siguiente tabla
indica la duración de cada actividad y sus predecesores. Diseñar la red que permite describir
el proyecto.
Actividad Predecesores Duración
A = Formación de trabajadores No tiene 6
B = Conseguir materiales No tiene 9
C = Producción de 1 pantalla A, B 8
D = Producción de un Pack A, B 7
E = Control de calidad del Pack D 10
F = Embalado C, E 12

25. Para cada actividad i definimos: xi = instante en el que comienza i
Min xFinal − xInicio
Sa: xA ¸ xInicio
xB ¸ xInicio
xC ¸ xA + 6
xC ¸ xB + 9
xD ¸ xA + 6
xD ¸ xB + 9
xE ¸ xD + 7
xF ¸ xC + 8
xF ¸ xE + 10
xFinal ¸ xF + 12
xFinal − xInicio = duración total del proyecto

27. BIBLIOGRAFIA
LIBERMAN, HILLER “Investigacion de Operaciones” 7ma Edicion. Capitulo 9
http://www.fdi.ucm.es/profesor/rosa_ramos/Investigaci%C3%B3n%20Operativa%20(ITS)%20Curso
%202005-2006/2ndo.%20Parcial/Problemas%20de%20flujos.pdf