1. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Statistiques I
Alexandre Caboussat
alexandre.caboussat@hesge.ch
Classe : Mercredi 8h15-10h00
Salle: C114
http://campus.hesge.ch/caboussata
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 1 / 27

2. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exercice 8.2
1 Nuage de points
2 Relation?
3 Covariance:
cov(x, y) = −60.
4 Corr´elation
rxy = −0.9688.
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 2 / 27

3. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exercice 8.2
1 Nuage de points
2 Relation?
3 Covariance:
cov(x, y) = −60.
4 Corr´elation
rxy = −0.9688.
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 2 / 27

4. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exercice 8.2
1 Nuage de points
2 Relation?
3 Covariance:
cov(x, y) = −60.
4 Corr´elation
rxy = −0.9688.
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 2 / 27

5. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exercice 8.2
1 Nuage de points
2 Relation?
3 Covariance:
cov(x, y) = −60.
4 Corr´elation
rxy = −0.9688.
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 2 / 27

6. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exercice 8.3
50
70
90
110
130
150
170
190
210
15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
Nbre glaces
Température
Nombre de glaces
1 R2 = 0.996
2 Si xi = 24, ˆyi = ...
3 Si xi = 5, ˆyi = ...
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 3 / 27

7. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exercice 8.3
50
70
90
110
130
150
170
190
210
15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
Nbre glaces
Température
Nombre de glaces
1 R2 = 0.996
2 Si xi = 24, ˆyi = ...
3 Si xi = 5, ˆyi = ...
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 3 / 27

8. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exercice 8.3
50
70
90
110
130
150
170
190
210
15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
Nbre glaces
Température
Nombre de glaces
1 R2 = 0.996
2 Si xi = 24, ˆyi = ...
3 Si xi = 5, ˆyi = ...
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 3 / 27

9. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Donn´ees group´ees
D´efinition
La covariance de donn´ees group´ees d’une population est
cov(x, y) =
1
n
i=1
c
j=1
nij (xi − µx ) (yj − µy )
=
1
n
i=1
c
j=1
nij xi yj − µx µy
o`u xi et yj sont les centres des classes et o`u µx et µy sont les
moyennes des donn´ees group´ees.
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 4 / 27

10. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Donn´ees group´ees
Corr´elation lin´eaire de Pearson : formule identique `a celle des
donn´ees non-group´ees.
Population Echantillon
ρxy =
σxy
σx σy
rxy =
sxy
sx sy
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 5 / 27

11. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exemple
Relation entre les quantit´es d’aluminium et d’or achet´ees. Donn´ees
group´ees en deux cat´egories pour l’aluminium et 3 cat´egories pour
l’or.
Aluminium
[0;10[ [10;20] Total
Or [0;2000[ 20 2 22
[2000;4000[ 5 2 7
[4000;6000] 0 3 3
Total 25 7 32
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 6 / 27

12. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exemple (suite)
Notons X pour l’or et Y pour l’aluminium.
µx = 3·5000+7·3000+22·1000
32 = 1812.5
µy = 25·5+7·15
32 = 7.1875
var(x) = 3·50002+7·30002+22·10002
32 − 1812.52 = 1 714 843.75
var(y) = 25·52+7·152
32 − 7.18752 = 17.09
cov(x, y) = 0·5000·5+...+2·1000·15
32 − 1812.5 · 7.1875 = 3222.66
corr(x, y) = 3222.66√
1 714 843.75·17.09
= 0.5953
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 7 / 27

13. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Indicateurs de Concentration
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 8 / 27

14. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Objectifs
Comprendre un indicateur de concentration
Savoir construire la courbe de Lorenz
Savoir calculer et interpr´eter l’indice de Gini
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 9 / 27

15. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Indicateurs de concentration
Comment mesurer la r´epartition de richesse?
Y a-t-il des in´egalit´es ou ´equit´e?
Exemples
Patrimoine culturel.
Salaire des employ´es.
Imposition des citoyens.
Peuplement d’un pays.
Offres d’emploi.
. . .
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 10 / 27

16. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exemple
Bonus distribu´es dans l’entreprise.
Bonus en milliers de Frs 0.8 3 4 6 10
Effectifs 10 6 4 3 2
Cette r´epartition est-elle ´egalitaire?
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 11 / 27

17. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Rappel: Positionnement
1 observation vs les autres observations
valeur la plus fr´equente: mode ou classe modale
valeur qui divise en deux parties ´egales l’ensemble d’une s´erie
statistique class´ee par ordre croissant (statistique d’ordre):
m´ediane
situation par rapport `a une tendance centrale: variables
centr´ees r´eduites
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 12 / 27

18. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
R´epartition ´egalitaire ou in´egalitaire?
Fr´equence relative cumul´ee
Repr´esentation graphique en ogive
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 13 / 27

19. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exemple
xi = Bonus en milliers de Frs 0.8 3 4 6 10 Total
ni = Effectifs 10 6 4 3 2 25
Effectifs cumul´es 10 16 20 23 25
Effectif relatif cumul´e 0.4 0.64 0.8 0.92 1
Richesse par classe 8 18 16 18 20 80
Richesse cumul´ee 8 26 42 60 80
Richesse relative cumul´ee 0.1 0.325 0.525 0.75 1
Attention: Bonus class´es par ordre croissant.
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 14 / 27

20. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exemple
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 15 / 27

21. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Courbe de Lorenz
Consid´erons les parts de richesse par ordre croissant, avec leurs
effectifs associ´es.
La repr´esentation graphique en une ogive comprenant:
en abscisse les effectifs relatifs cumul´es
en ordonn´ee les parts de richesse relatives cumul´ees
une courbe de concentration en joignant par des segments de
droites les points (effectif relatif cumul´e, part relative
cumul´ee)
est la repr´esentation graphique de la courbe de Lorenz
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 16 / 27

22. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Courbe de Lorenz
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 17 / 27

23. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Aire de concentration
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 18 / 27

24. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Indice de Gini
D´efinition
L’indice de concentration de Gini, ou plus commun´ement l’indice
de Gini, est d´efini par le rapport entre l’aire de concentration par
l’aire du triangle sous la ligne d’´equipartition. Il est not´e IG .
IG = Aire de concentration
Aire du triangle sous la ligne d’´equipartition
= 2 × Aire de concentration
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 19 / 27

25. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Indice de Gini
D´efinition
L’indice de concentration de Gini, ou plus commun´ement l’indice
de Gini, est d´efini par le rapport entre l’aire de concentration par
l’aire du triangle sous la ligne d’´equipartition. Il est not´e IG .
IG = Aire de concentration
Aire du triangle sous la ligne d’´equipartition
= 2 × Aire de concentration
´Equipartition → 0 ≤ IG ≤ 1 ← In´egalit´e maximale
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 19 / 27

26. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Indice de Gini
D´efinition
L’indice de concentration de Gini, ou plus commun´ement l’indice
de Gini, est d´efini par le rapport entre l’aire de concentration par
l’aire du triangle sous la ligne d’´equipartition. Il est not´e IG .
IG = Aire de concentration
Aire du triangle sous la ligne d’´equipartition
= 2 × Aire de concentration
´Equipartition → 0 ≤ IG ≤ 1 ← In´egalit´e maximale
´Equit´e ↓ ⇔ IG ↑
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 19 / 27

27. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Concentration faible - forte
Concentration faible Concentration forte
50% d´etient 40% de la richesse 95% d´etient 15% de la richesse
50% d´etient 60% de la richesse 5% d´etient 85% de la richesse
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 20 / 27

28. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exemples
10% d´etient 90% de la richesse 30% d´etient 90% de la richesse
10% d´etient 70% de la richesse 30% d´etient 70% de la richesse
10% d´etient 50% de la richesse 30% d´etient 50% de la richesse
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 21 / 27

29. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Calcul de l’indice de Gini: M´ethode 1
1 Calculer l’aire A sous la courbe de Lorenz en additionnant les
aires des trap`ezes (trap`eze d´eg´en´er´e en un triangle pour le
premier calcul).
2 Soustraire de 0.5 l’aire trouv´ee: Aire de concentration = 0.5-A
3 Multiplier par 2 l’aire de concentration: IG = 2(0.5 − A)
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 22 / 27

30. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exemple de calcul: m´ethode 1
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 23 / 27

31. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exemple de calcul: m´ethode 1
1 Aire du triangle = 0.5 · 0.4 · 0.1 = 0.02
Aire du trap`eze = 0.5(0.1+0.325)(0.64-0.4)=0.051
Aire du trap`eze = 0.5(0.325+0.525)(0.8-0.64)=0.068
Aire du trap`eze = 0.5(0.535+0.75)(0.92-0.8)=0.0765
Aire du trap`eze = 0.5(0.75+1)(1-0.92)=0.07
Aire sous la courbe = 0.2855
2 Aire de concentration = 0.5 − A = 0.2145
3 IG = 2(0.5 − A) = 0.429
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 23 / 27

32. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Calcul de l’indice de Gini: M´ethode 2
F = fr´equence relative cumul´ee des individus
G = part relative cumul´ee de la richesse.
Fi =
1
n
i
j=1
nj ; Gi =
i
j=1
nj xj
c
j=1
nj xj
IG =
c−1
i=1
Fi Gi+1 −
c−1
i=1
Fi+1Gi
Courbe de Lorenz = lieu des points (Fi , Gi ) reli´es par des segments
de droite
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 24 / 27

33. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Exemple de calcul: m´ethode 2
Bonus en milliers de Frs 0.8 3 4 6 10
Effectifs 10 6 4 3 2
Fi = Effectif relatif cumul´e 0.4 0.64 0.8 0.92 1
Gi = Richesse relative cumul´ee 0.1 0.325 0.525 0.75 1
IG = (0.4 · 0.325 + 0.64 · 0.525 + 0.8 · 0.75 + 0.92 · 1)
−(0.64 · 0.1 + 0.8 · 0.325 + 0.92 · 525 + 1 · 0.75)
= 1.986 − 1.557
= 0.429
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 25 / 27

34. Exercices Covariance Indicateurs de concentration
Pour le 15 d´ecembre: test en blanc.
Pour le 23 d´ecembre: exercices 9.1 et 9.2
A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 27 / 27