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1.
1) Si 𝑓(𝑥)
= { −4 𝑠𝑖 𝑥 < −2 𝑥3 2 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 2 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 Hallar a) lim 𝑥→−2 𝑓(𝑥) lim 𝑥→−2− −4 = −4 lim 𝑥→−2+ 𝑥3 2 = (−2)3 2 = −4 lim 𝑥→−2 𝑓(𝑥) = − 4 b) lim 𝑥→2 𝑓(𝑥) lim 𝑥→2− 𝑥3 2 = (2)3 2 = 4 lim 𝑥→2+ 𝑥 − 1 = 2 − 1 = 1 lim 𝑥→2 𝑓(𝑥) = ∄ 2) lim 𝑥→ 𝜋 6 𝑆𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋 6 ) 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − √3 2 = 𝑆𝑒𝑛 ( 𝜋 6 − 𝜋 6 ) 𝐶𝑜𝑠 𝜋 6 − √3 2 = 𝑆𝑒𝑛(0) √3 2 − √3 2 0 0 Hacemos cambio de variable 𝑦 = 𝑥 − 𝜋 6 => 𝑥 = 𝑦 + 𝜋 6 Luego si 𝑥 → 𝜋 6 => 𝑦 → 0 Asi lim 𝑥→ 𝜋 6 𝑆𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋 6 ) 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − √3 2 = lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) 𝐶𝑜𝑠 (𝑦 + 𝜋 6 ) − √3 2 Por propiedad de Cos (α+β)=cos α cos β – sen α sen β
2.
lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) 𝐶𝑜𝑠(𝑦)𝐶𝑜𝑠 𝜋 6 − 𝑆𝑒𝑛(𝑦)𝑆𝑒𝑛 𝜋 6 − √3 2 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) √3 2 𝐶𝑜𝑠(𝑦)
− 1 2 𝑆𝑒𝑛(𝑦) − √3 2 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) √3 2 (𝐶𝑜𝑠(𝑦) − 1) − 1 2 𝑆𝑒𝑛(𝑦) lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) √3 2 (𝐶𝑜𝑠(𝑦) − 1) − 1 2 𝑆𝑒𝑛(𝑦) . 1 𝑦 1 𝑦 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) 𝑦 √3 2 ( 𝐶𝑜𝑠(𝑦) − 1 𝑦 ) − 1 2 𝑆𝑒𝑛(𝑦) 𝑦 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) 𝑦 lim 𝑦→0 √3 2 ( 𝐶𝑜𝑠(𝑦) − 1 𝑦 ) − lim 𝑦→0 1 2 𝑆𝑒𝑛(𝑦) 𝑦 = 1 √3 2 (0) − 1 2 (1) = −2 3) lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 4𝑥2 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(0) 4(0)2 0 0 lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 4𝑥2 = lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 (2𝑥)2 lim 𝑥→0 [ 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 (2𝑥)2 . 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ] lim 𝑥→0 12 − 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥 (2𝑥)2(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) = lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 (2𝑥)2(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 (2𝑥)2 lim 𝑥→0 1 (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) = (lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑥 ) 2 lim 𝑥→0 1 (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) Si 𝑥 → 0 => 2𝑥 → 2.0
3.
2𝑥 → 0 (
lim 2𝑥→0 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑥 ) 2 lim 2𝑥→0 1 (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) = (1)2 . 1 1 + 1 = 1. 1 2 = 1 2 4) Hallar K sabiendo que la función es continua en -2 𝑓(𝑥) = { 𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2 𝑘𝑥2 − 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > −2 Para ser continua estas tres condiciones deben ser iguales 𝐼) 𝑓(−2) = −8 𝐼𝐼) lim 𝑥→−2− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→−2− 𝑥3 = (−2)3 = −8 lim 𝑥→−2+ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→−2+ 𝑘𝑥2 − 2𝑥 = 𝑘(−2)2 − 2(−2) = 4𝑘 + 4 𝐼𝐼𝐼) lim 𝑥→−2− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→−2+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(−2) 4𝑘 + 4 = −8 4𝑘 = −8 − 4 4𝑘 = −12 𝑘 = − 12 4 = −3 5) hallar las asíntotas verticales y horizontales de la grafica de la ecuación 𝑥𝑦2 − 𝑦2 − 4𝑥 − 8 = 0 𝑥𝑦2 − 𝑦2 = 4𝑥 + 8 𝑦2(𝑥 − 1) = 4𝑥 + 8 𝑦2 = 4𝑥 + 8 𝑥 − 1 𝑦 = ±√ 4𝑥 + 8 𝑥 − 1 Dominio 4𝑥 + 8 𝑥 − 1 ≥ 0 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑥 − 1 = 0 𝑡𝑎𝑙 𝑥 ≠ 1 4(𝑥 + 2) 𝑥 − 1 ≥ 0 => 𝑥 + 2 𝑥 − 1 ≥ 0
4.
-∞ -2 1
+ ∞ -3 0 0 X+2 - + + x-1 - - + + - - decrece crece Decrece Dominio 𝑥 ∈ (−∞, −2] ∪ (1, +∞) Como tenemos una restricción de denominador tenemos un punto de Asintota vertical en x=1 lim 𝑥→1+ √ 4𝑥 + 8 𝑥 − 1 = 4(1+) + 8 1+ − 1 = +∞ lim 𝑥→1− √ 4𝑥 + 8 𝑥 − 1 = 4(1−) + 8 1− − 1 = −∞ Para la asíntota horizontal lim 𝑥→∞ √ 4𝑥 + 8 𝑥 − 1 = √lim 𝑥→∞ 4𝑥 + 8 𝑥 − 1 = √lim 𝑥→∞ 4𝑥 𝑥 + 8 𝑥 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 = √lim 𝑥→∞ 4 + 8 𝑥 1 − 1 𝑥 = √ 4 + 0 1 − 0 = 2 lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = −lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = −2 Por tanto y= 2 y y=-2 son asíntotas horizontales 6) sea g(x)=2x2+x calcular g´(x) por definición 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 𝑔´(𝑥) = lim ℎ→0 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) ℎ
5.
= lim ℎ→0 2(𝑥 +
ℎ)2 + (𝑥 + ℎ) − 2𝑥2 − 𝑥 ℎ = lim ℎ→0 2𝑥2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 + 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 𝑥 ℎ = lim ℎ→0 4𝑥ℎ + 2ℎ2 + ℎ ℎ = lim ℎ→0 ℎ(4𝑥 + 2ℎ + 1) ℎ = lim ℎ→0 4𝑥 + 2ℎ + 1 = 4𝑥 + 2(0) + 1 = 4𝑥 + 1 7) hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio 𝑓(𝑥) = { −2 𝑠𝑖 𝑥 < −1 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 3 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 lim 𝑥→−1 𝑓(𝑥) lim 𝑥→−1− −2 = −2 lim 𝑥→−1+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = −𝑎 + 𝑏 lim 𝑥→−1− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→−1+ 𝑓(𝑥) −2 = −𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 2 lim 𝑥→3 𝑓(𝑥) lim 𝑥→3− 𝑎𝑥 + 𝑏 = 3𝑎 + 𝑏 lim 𝑥→3+ 2 = 2 lim 𝑥→3− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→3+ 𝑓(𝑥) 3𝑎 + 𝑏 = 2 Entonces { 3𝑎 + 𝑏 = 2 𝑎 − 𝑏 = 2 4𝑎 = 4 𝑎 = 1 Sustituyendo
6.
1 − 𝑏
= 2 −𝑏 = 2 − 1 −𝑏 = 1 𝑏 = −1
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