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1. Matemática II - 2012/02 - Domingo Mendez
SLIDESHARE DE LA UNIDAD I
LA INTEGRAL DEFINIDA
Notación Sigma
Cuando se habla del Cálculo como rama de las matemáticas, se mencionan varios de los
problemas que dieron lugar a su origen y desarrollo. Uno de ellos es el problema del área de una
región plana. La notación sigma Σ (debe su nombre a la letra griega con la que se representa) para
expresar estos sumatorios, Es aquella que se representa con la letra griega que implica
sumatoria en la parte superior, y en la parte inferior están sus índices que especifican el tamaño
donde el se encuentra. Siempre el límite superior va a ser mayor que el inferior y su utilidad
práctica es para calcular áreas limitadas por curvas planas.
Suma Superior e Inferior
La expresión Y = F(x)= X2 + 1 es el area que se calcula utilizando una sumatoria en la que al
aumentar mas veces “n” nos acercamos mas al area buscada.
Y = F(1)= 12 + 1 =1 ; [a, b]
Y = F(2)= 22 + 1 =5 ; [a, b]
La Integral definida y sus propiedades:
Hasta ahora se ha dividido el intervalo [a,b] en subintervalos de la misma longitud, pero en
realidad ésto no es necesario. Riemann generalizó todo el estudio que se ha hecho hasta ahora
para subintervalos de distinto tamaño. Además, me he referido hasta ahora a funciones continuas
y no negativas (puesto que estába hablando de área bajo una curva). En este aspecto también
Riemann generalizó sus conclusiones y la única condición que puso es que la función f(x) estuviese
definida en [a,b]. Como se vera después, el hecho de que una función sea continua en un
intervalo, es condición suficiente para que sea integrable en dicho intervalo.
Antes de Riemann ya se utilizaban las integrales definidas, pero este gran matemático generalizó
su definición y lo amplió a un mayor nº de funciones.
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la
gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
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La integral definida se representa por .
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de
integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como
una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función.
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El teorema de valor medio, también llamado teorema de los incrementos finitos o teorema de
Bonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos
matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. Este teorema lo
formuló Lagrange y por eso tambien el conocido como el teorema de Lagrange, es una
generalización del teorema de Rolle.
Sea f(x) una función que satisface lo siguiente:
1. f(x) es una función continua en el intevalo [a,b]
2. f(x) es una funcion diferenciable en [a,b]
entonces hay un número "c" en el intervalo [a,b] tal que
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea una función integrable y definamos por para todo x en [a,b]. Entonces:
i) F es continua en [a,b].
ii) En todo punto c de [a,b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto
siendo. En particular, si f es continua en [a,b], entonces F es derivable en [a,b] y para todo x en
[a,b].
Demostración.
i) Como f es integrable debe estar acotada. Sea tal que para todo x en [a,b]. Entonces, si x < y son
puntos de [a,b] tenemos que:
Por la misma razón, si suponemos que y < x, tendremos que, estas dos desigualdades nos dicen
que para todo par de puntos x, y de [a, b]. De esta desigualdad se sigue inmediatamente la
continuidad de F en [a, b].
ii) Pongamos
Dado, e>0, la continuidad de f en c nos dice que hay un δ>0 tal que para todo t ε [a,b] tal que se
tiene que . Tomemos ahora un punto cualquiera x ε [a,b] tal que entonces es claro que para todo t
comprendido entre x y c se tendrá que y, por tanto, por lo que deducimos que para todo x ε [a,b]
tal que , x ¹ c, se verifica que:
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4. Matemática II - 2012/02 - Domingo Mendez
Se ha probado así que, esto es, F es derivable en c y .
SUSTITUCIÓN Y CAMBIO DE VARIABLE
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función
compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable
t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inical:
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