Teoremas da Incompletude de Gödel

Teoremas da Incompletude de G¨del
o

o

Helio H. L. C. Monte-Alto
Anderson da Silva Marcolino
Lucas de Oliveira Teixeira

2012

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o
Sum´rio
a

Sum´rio I
a

1 Sum´rio
a

2 Visõ geral
a

3 Defini¸˜es
co

4 Demonstra¸õ
ca

5 Prova usando Sistemas de Representa¸õ Abstratos
ca

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o
Visõ geral
a

Visõ geral
a

Kurt G¨del
o
Matem´tico austr´
a ıaco
Desenvolveu os dois teoremas da incompletude em 1931

Matem´tica no in´ do sćulo XX
a ıcio e
Positivismo
Acreditava-se que seria poss´ encontrar um conjunto de
ıvel
axiomas completo e consistente para toda matem´tica
a
Segundo problema de Hilbert: provar que a aritm´tica ´
e e
consistente
Os teoremas da incompletude sõ largamente aceitos como
a
uma resposta negativa a este problema

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o
Visõ geral
a

Teoremas - Visõ geral
a

Defini¸õ informal:
ca
1 Qualquer teoria axiom´tica recursivamente enumer´vel e
a a
capaz de expressar aritm´tica elementar nõ pode ser, ao
e a
mesmo tempo, consistente e completa.
2 Para qualquer teoria formal recursivamente enumer´vel T que
a
inclui verdades aritm´ticas b´sicas e tamb´m certas verdades
e a e
da teoria da prova, se T inclui uma afirma¸õ de sua pr´pria
ca o
consistˆncia, entõ T ´ inconsistente
e a e

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o
Defini¸oes
c˜

Defini¸oes
c˜

Um sistema ´ consistente se nõ ´ poss´ deduzir
e a e ıvel
contradi¸˜es a partir de seus axiomas.
co
Um sistema ´ completo se ´ de poss´ deduzir todas as
e e ıvel
f´rmulas verdadeiras a partir de seus axiomas.
o
Uma teoria axiom´tica ´ uma teoria baseada num conjunto de
a e
axiomas a partir dos quais sõ deduzidos teoremas utilizando
a
procedimentos bem definidos.
Em s´ıntese, G¨del provou que, se a aritm´tica ´ consistente, entõ
o e e a
´ incompleta.
e

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o
Demonstra¸˜o
ca

Demonstra¸˜o
ca

Princ´
ıpio: auto-referˆncia
e
Reescrita de um sistema formal utilizando a linguagem dos
n´meros naturais
u
Exemplo: Problema de Smullyan

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o
Demonstra¸˜o
ca

Problema G¨deliano de Smullyan
o
Seja um programa que imprime cadeias com os seguintes s´
ımbolos

¬, I , N, (, )
Uma cadeia X ´ imprim´ se o programa pode imprimi-la.
e ıvel
Supomos que o programa imprimir´, mais cedo ou mais tarde,
a
todas as cadeias imprim´
ıveis.
A norma de uma cadeia X ´ a cadeia X (X ).
e
Uma senten¸a ´ uma cadeia de uma das quatro formas abaixo:
c e
1 I (X )
2 IN(X )
3 ¬I (X )
4 ¬IN(X )
onde X ´ uma cadeia.
e
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o
Demonstra¸õ
ca

o

Seja a senten¸a ¬IN(¬IN).
c
Por defini¸õ, esta senten¸a ´ verdadeira se e somente se a norma
ca c e
da cadeia ¬IN nõ ´ imprim´
a e ıvel.
No entanto, a norma de ¬IN ´ justamente a senten¸a ¬IN(¬IN),
e c
logo esta senten¸a ´ verdadeira se e somente se ela nõ ´
c e a e
imprim´ıvel. Temos duas hip´teses:
o
a senten¸a ´ imprim´
c e ıvel, mas falsa - contradi¸õ, pois o
ca
programa s´ imprime senten¸as verdadeiras;
o c
a senten¸a ´ verdadeira, mas nõ imprim´
c e a ıvel;

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o
Demonstra¸õ
ca

o

Analogia:
O programa nõ ´ capaz de imprimir todas as senten¸as
a e c
verdadeiras
Um sistema formal possuir´ afirma¸˜es verdadeiras que nõ
a co a
podem ser provadas

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o
Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos
ca

ca

Os teoremas foram inicialmente provados para o sistema
formal da aritm´tica (Aritm´tica de Peano)
e e
Prova mais gen´rica: utilizando Sistemas de Representa¸˜o
e ca
Abstratos (SRA)
SRAs permitem representar sistemas de alta diversidade de
estruturas sint´ticas
a

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o
ca

Sistemas de Representa¸õ Abstratos
ca

Um sistema de representa¸õ abstrato (SRA) Z ´ uma s´tupla
ca e e
E, g , S, T , R, P, Φ onde
E ´ um conjunto enumer´vel de elementos chamados de
e a
express˜es;
o
g ´ uma fun¸õ de E em N, bijetora, chamada de enumera¸õ de
e ca ca
G¨del;
o
S ⊆ E: senten¸as;c
T ⊆ S senten¸as verdadeiras, ou teoremas;
c
R ⊆ S senten¸as falsas, ou anti-teoremas;
c
P ⊆ E ´ um conjunto de predicados un´rios;
e a
Φ, chamada de fun¸õ de representa¸õ, ´ uma fun¸õ de E × N
ca ca e ca
em E, que atribui a cada expressõ H e n´mero natural n, a
a u
expressõ Φ(H, n), que ser´ abreviada por H(n).
a a

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o
ca

ca

Figure : Sistemas Abstratos de Representa¸˜o (SRA).
ca

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o
ca

ca

Exemplo: Teoria dos n´meros - N´meros primos
u u
Seja o predicado Primo.
Ent˜o Φ(Primo, n) ´ a senten¸a Primo(n), lida como ”n ´
a e c e
primo”.
Supondo que n = 5 temos que Primo(5) ´ uma senten¸a
e c
verdadeira (Primo(5) ∈ T ) e que se n = 6 temos que
Primo(6) ´ uma senten¸a falsa (Primo(6) ∈ R).
e c

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o
ca

SRAs - Consistˆncia e Completude
e

Seja Z = E, g , S, T , R, P, Φ um SRA. Dizemos que Z ´:
e
Consistente Se T ∩ R = ∅;
Completo Se T ∪ R = S;
Saturado Se Z ´ consistente e completo.
e

Z ´ completo se, e somente se, toda senten¸a de Z ´ decid´ em
e c e ıvel
Z

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o
ca

Diagonaliza¸õ, n´meros e senten¸as de G¨del
ca u c o

Diagonaliza¸õ
ca
Seja Z um SRA e X uma expressõ de Z, cujo n´mero de G¨del ´
a u o e
g(X). A expressõ Φ(X , g (X )) ´ a diagonaliza¸õ ou norma de X.
a e ca
Caso X seja um predicado H, Φ(H, g (H)) ´ uma senten¸a,
e c
chamada de senten¸a diagonal, que denotamos por H(h).
c

N´meros de G¨del
u o
Seja Z um SRA e W ⊆ E. W ∗ ´ o conjunto dos n´meros de G¨del
e u o
das express˜es X cuja diagonaliza¸õ Φ(X , Xγ ) ∈ W, isto ´:
o ca e

W ∗ = {Xγ |Xγ = g (X ) e Φ(X , Xγ ) ∈ W}

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o
ca

Diagonaliza¸õ, n´meros e senten¸as de G¨del
ca u c o

Figure : Diagonaliza¸õ de duas express˜es: a de uma expressõ X
ca o a
qualquer e a de um predicado H.

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o
ca

Senten¸as de G¨del
c o

c o
Seja X uma senten¸a e A um conjunto de n´meros. Dizemos que
c u
X ´ uma senten¸a de G¨del para A se e somente se X tem a
e c o
propriedade: X ∈ T ⇐⇒ Xγ ∈ A.

Intuitivamente, uma senten¸a de G¨del aﬁrma que o n´mero de
c o u
G¨del de um predicado satisfaz o predicado.
o
X ´ uma senten¸a de G¨del para um conjunto A de n´meros
e c o u
quando g (X ) (o signiﬁcado de X em N) pertence ao conjunto A se
e somente se este fato (sua pertinˆncia) ´ prov´vel no sistema, isto
e e a
´, pertence a T .
e

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o
ca

c o

Exemplo - Analogia
Conjunto das palavras que gozam da propriedade implicada
por seu significado
Ex: proparox´
ıtono ´ uma proparox´
e ıtona
Vamos chamar as palavras que nõ gozam dessa propriedade
a
de heterossignificantes.
Pergunta: heterossignificante ´ heterossignificante?
e

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o
ca

c o

Exemplo - Analogia
Conjunto das palavras que gozam da propriedade implicada
por seu significado
Ex: proparox´
ıtono ´ uma proparox´
e ıtona
Vamos chamar as palavras que nõ gozam dessa propriedade
a
de heterossignificantes.
Pergunta: heterossignificante ´ heterossignificante?
e
¸˜
CONTRADICAO!!

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o
ca

c o
c o
Seja X uma senten¸a e W um conjunto de express˜es. Dizemos
c o
que X ´ uma senten¸a de G¨del para W se e somente se X tem a
e c o
propriedade: X ∈ T ⇐⇒ X ∈ W.

Podemos concluir disso que todas as senten¸as de G¨del se
c o
encontram na regi˜o (T ∩ g −1 (A)) ∪ (S − (T ∪ g −1 (A)))
a

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o
ca

c o

Figure : Senten¸as de G¨del para W.
c o

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o
ca

c o
Primeiro lema da diagonaliza¸õ
ca

Seja Z um SRA e W ⊆ E. Se W ∗ ´ represent´vel em Z entõ W
e a a
admite (existe) uma senten¸a de G¨del. Mais especificamente, se
c o
H ´ um predicado que representa W ∗ , entõ H(h) ´ uma senten¸a
e a e c
de G¨del para W .
o

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o
ca

c o
Primeiro lema da diagonaliza¸õ
ca

Seja Z um SRA e W ⊆ E. Se W ∗ ´ represent´vel em Z entõ W
e a a
admite (existe) uma senten¸a de G¨del. Mais especificamente, se
c o
H ´ um predicado que representa W ∗ , entõ H(h) ´ uma senten¸a
e a e c
de G¨del para W .
o

Teorema 1
Seja Z um SRA. O conjunto T ∗ nõ ´ represent´vel em Z.
a e a
Demonstra¸õ: Suponha que T ∗ ´ represent´vel. Entõ existe um
ca e a a
predicado H que o representa em Z. Pelo Lema da diagonaliza¸õ,
ca
H(h) ´ uma senten¸a de G¨del para T ∗ . Desse modo, H(h) ∈ T se
e c o
e somente se H(h) ∈ T , o que ´ um absurdo. Logo, T ∗ nõ ´
e a e
represent´vel.
a
21 / 28

o
ca

c o

c o

E se considerarmos W = R, quais seriam as senten¸as de G¨del
c o
para R?

22 / 28

o
ca

c o

c o

E se considerarmos W = R, quais seriam as senten¸as de G¨del
c o
para R?
Corol´rio
a
Seja Z um SRA. Ent˜o, toda senten¸a indecid´ ´ uma senten¸a
a c ıvel e c
de G¨del para R.
o
22 / 28

o
ca

c o

Teorema ”Quase L´”
a
Seja Z um SRA. Se R∗ ´ represent´vel em Z, entõ Z ´
e a a e
inconsistente ou incompleto.
Demonstra¸õ: Se R∗ ´ represent´vel entõ existe um predicado,
ca e a a
digamos H, que o representa. Pelo lema da diagonaliza¸õ, H(h) ´
ca e
uma senten¸a de G¨del para R. Assim, H(h) ∈ T ⇐⇒ H(h) ∈ R.
c o
Isto significa que: (i) H(h) ∈ T ∩ R e assim Z seria inconsistente
ou (ii) H(h) ∈ T ∪ R e neste caso Z seria incompleto.
/

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o
ca

c o

Figure : As duas alternativas para um SRA.

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o
ca

Sistemas formais como SRAs

Teorema 1F
Seja Z uma SRAE. Se todo conjunto recursivo ´ represent´vel em
e a
Z, entõ Z ´ um sistema formal indecid´
a e ıvel.
Demonstra¸õ: Suponha que T fosse recursivo. Logo T tamb´m
ca e
seria recursivo. Entõ, T ∗ seria recursivo. Desta forma, T ∗ seria
a
represent´vel em Z, pela hip´tese do teorema, o que contraria um
a o
dos teoremas mostrados.

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o
ca

Sistemas formais como SRAs

Teorema 2F
Seja Z uma SRA. Se Z ´ um sistema formal indecid´
e ıvel, entõ Z ´
a e
Demonstra¸õ: Se Z ´ saturado (nega¸õ do teorema), ter´ ambos
ca e ca a
T e R como conjuntos recursivamente enumer´veis e
a
complementares com respeito a S, portanto ambos T e R seriam
recursivos e portanto Z decid´
ıvel. Logo Z ´ nõ saturado, ou seja,
e a

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o
ca

Teorema final

Primeiro Teorema de G¨del
o
Se um sistema formal Z ´ suficientemente poderoso para
e
representar todos os conjuntos recursivos, entõ Z ´ inconsistente
a e
ou incompleto.
Demonstra¸õ: Por hip´tese todo conjunto pode ser representado
ca o
em Z, entõ, pelo Teorema 1F, Z ´ indecid´ e, portanto, pelo
a e ıvel
Teorema 2F, Z ´ inconsistente ou incompleto.
e

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o
ca

Conclus˜es
o
At´ hoje se especula as implica¸˜es dos Teoremas da
e co
Incompletude na matem´tica e na filosofia.
a
G¨del discute exaustivamente em seus trabalhos posteriores
o
quest˜es que variam, desde o conceito de inteligˆncia at´ a
o e e
existˆncia de Deus (argumento ontol´gico de G¨del).
e o o
Em teoria da computabilidade: os teoremas sõ relacionados a
a
v´rios resultados
a
Stephen Cole Kleene (1947) mostrou que se a aritm´tica fosse
e
consistente e completa isto for¸aria o problema da parada a ser
c
decid´
ıvel, o que implica em uma contradi¸õ.
ca
Sempre haver´ mais coisas que sõ verdadeiras do que se
a a
pode provar;
Todos os sistemas fechados dependem de suposi¸˜es feitas
co
fora do sistema e que nõ podem ser provadas;
a
28 / 28

o
ca

[1] R. de Carvalho, Modelos de computa¸˜o e sistemas formais.
ca
DCC/IM, COPPE/UFRJ, NCE-UFRJ, 1998.
[2] O. Goldreich, Computational complexity - a conceptual
perspective. Cambridge University Press, 2008.
[3] D. Hilbert, Mathematische Probleme, ser. Archiv der
Mathematik und Physik, M. W. English Translation, Ed.
Bulletin of the American Mathematical Society 8, 1901, vol. 3,
no. 1. [Online]. Available:
http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/hilbert/problems.html
[4] J. Hopcroft, R. Motwani, and J. Ullman, Introduction to
automata theory, languages, and computation.
Addison-wesley Reading, MA, 1979, vol. 2.
[5] S. Kleene, Mathematical logic. Dover publications, 2002.

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o
ca

[6] M. Sipser and R. de Queiroz, Introdu¸˜o ` teoria da
ca a
computa¸˜o. Thomson Learning, 2007.
ca
[7] R. Smullyan, Five Thousand BC and Other Philosophical
Fantasies. St. Martin’s Press, 1983.
[8] A. Whitehead and B. Russell, Principia mathematica.
University Press, 1912, vol. 2.

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