2080 ex-+-sol

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fi˜liothèque d9exer™i™es

version RD o™to˜re PHHQ

re™ueil ré—lisé p—r ern—ud fodin

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sntrodu™tion
e(n de f—™iliter le tr—v—il de tousD voi™i l— qu—trième version de ™e re™ueil d9exer™i™esF v9esprit
n9— p—s ™h—ngé X simpli(er le ™on™o™t—ge des feuilles d9exer™i™es p—r un simple ™opierE™oller F
te n9—i p—s s—isi tous les exer™i™esD loin de làD je remer™ie vivement les gros ™ontri˜uteurs X
E Éli—ne gousquer Y
E pr—nçois qourio Y
E €ierreE‰ves veg—ll Y
E €—s™—l yrtiz Y
E pr—nz ‚iddeF
ƒ—ns ou˜lier tous ™eux qui m9ont fourni leurs feuilles d9exer™i™es X te—nEpr—nçois f—rr—udD géE
™ile hrouetD gornéli— hrutuD ylivier qinesteD †in™ent quir—rdelD te—nEw—r™ ré™—rtD ern—ud
rilionD te—nEw—rie ves™ureD ss—˜elle viousseD ƒylv—in w—illotD xi™ol—s w—r™oD fertr—nd wonE
thu˜ertD x—dj— ‚e˜inguetD ƒ—ndrine ‚ousselD w—rieErelène †ign—lF u9ils et elles en soient tous
remer™iésF

v— ˜i˜liothèque s9—gr—ndie en™ore X environ 2000 exer™i™esF ves (™hiers sour™es sont dispoE
e
ni˜les en v „ ˆD et ré™upér—˜les à l9—dresse suiv—nte X
i

http XGGwwwEg—tFunivElilleIFfrG ∼˜odinG
ƒur ™e siteD une p—ge permet de ré™upérer les exer™i™es qui vous intéressent en s—isiss—nt leur
numéroF gert—ins exer™i™es sont ™orrigés @environ 15%AD ™epend—nt —(n des s—uver quelques
—r˜res les ™orre™tions ne sont p—s in™luses d—ns ™ette version p—pierF fien sûr lorsque vous ré™uE
pérez des exer™i™es pour f—ire une feuille de td les ™orre™tions exist—ntes sont —utom—tiquement
—joutées en (n de feuilleF

†ous pouvez ™ontri˜uer à ™e re™ueil en m9envoy—nt vos (™hiers X

ern—udFfodind—g—tFunivElilleIFfr
hon™ n9hésitez p—s à t—per vos feuilles et ™orre™tionsD ™e ser— f—it une fois pour toutes et pour
tous 3

ern—ud fodin

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ƒomm—ire
s evqÈf‚i I I
I xom˜res ™omplexes I
P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IQ
Q snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion PP
R ‚el—tion d9équiv—len™eD rel—tion d9ordre PS
S hénom˜rement PT
T erithmétique d—ns Z QH
U €olynômes RP
V pr—™tions r—tionnelles SH

ss exev‰ƒi I SP
W €ropriétés de R SP
IH ƒuites SV
II vimites de fon™tions UH
IP gontinuité et étude de fon™tions UT
IQ hériv—˜ilité VP
IR pon™tions ™ir™ul—ires et hyper˜oliques inverses VU
IS g—l™uls d9intégr—les WH
IT Équ—tions di'érentielles IHP

sss evqÈf‚i P IHU
IU isp—™es ve™toriels IHU
IV eppli™—tions liné—ires IIP
IW isp—™es ve™toriels de dimension (nie IPH
PH w—tri™es IPU
PI hétermin—ntsD systèmes liné—ires IQU

s† exev‰ƒi P ISQ
PP ƒuites X ™ompléments ISQ
PQ gontinuité et ™omp—r—ison de fon™tions ISS
PR hériv—˜ilité X ™ompléments ISU
PS héveloppements limités ISW

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PT sntégr—les @™omplémentsAD intégr—les impropres ITS

† evqÈf‚i Q IUH
PU qroupes X génér—lités IUH
PV enne—ux et ™orps IUT
PW qroupes (nis IVH
QH qroupes quotients IVU
QI isp—™es eu™lidiens IWH
QP indomorphismes p—rti™uliers IWW
QQ €olynômes d9endomorphismes PIH
QR ‚édu™tion d9endomorphismes X di—gon—lis—tion PIP
QS ‚édu™tion d9endomorphismes X —utres rédu™tions PPU

†s exev‰ƒi Q PQV
QT pon™tions ™onvexes PQV
QU xotions de topologie PQW
QV pon™tions de deux v—ri—˜les PRS
QW isp—™es métriques et esp—™es ve™toriels normés PSU
RH ƒuites d—ns Rn PTS
RI sntégr—les multiples PTT
RP ƒéries numériquesD séries de pourier PTV

†ss qÉywÉ„‚si PUR
RQ qéométrie —0ne PUR
RR ssométries ve™torielles PUU
RS qéométrie —0ne eu™lidienne PUV
RT gour˜es p—r—métrées PVW
RU €ropriétés métriques des ™our˜es pl—nes PWH
RV goniques PWI
RW en—lyse ve™torielle PWI

†sss gy‚‚ig„syxƒ PWQ

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sˆ gw et py‚w…ves‚iƒ QUI

I xom˜res ™omplexes I
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€remière p—rtie
evqÈf‚i I
I xom˜res ™omplexes
IFI porme ™—rtésienneD forme pol—ire
ixer™i™e I wettre sous l— forme a + ib @a, b ∈ RA les nom˜res X

2
3 + 6i 1+i 3 + 6i 2 + 5i 2 − 5i
; + ; + .
3 − 4i 2−i 3 − 4i 1−i 1+i
‘ixer™i™e ™orrigé“
ixer™i™e P É™rire les nom˜res ™omplexes suiv—nts sous l— forme a + ib @a, b ∈ RA X

√ 3
5 + 2i 1 3 (1 + i)9
; − +i ; .
1 − 2i 2 2 (1 − i)7

ixer™i™e Q É™rire sous l— forme a + ib les nom˜res ™omplexes suiv—nts X

IF xom˜re de module 2 et d9—rgument π/3F
PF xom˜re de module 3 et d9—rgument −π/8F
ixer™i™e R €l—™er d—ns le pl—n ™—rtésienD les points d9—0xes suiv—ntes X z1 = i, z2 = 1 + i, z3 = −2 +
ixer™i™e S wettre ™h—™un des nom˜res ™omplexes suiv—nts sous l— forme a + ib, a ∈ R et
b ∈ R.
−2 1 1 + 2i 2 + 5i 2 − 5i
√ D D , + .
1 − i 3 (1 + 2i)(3 − i) 1 − 2i 1 − i 1+i
ixer™i™e T IF wettre sous forme trigonométrique les nom˜res ™omplexes suiv—nts X
√ 4
z1 =
3 + 3iD z2 = −1 − 3iD z3 = − iD z4 = −2D z5 = eiθ + e2iθ .
√
3
PF g—l™uler ( 1+i 3 )2000 F
ixer™i™e U
2

i'e™tuer les ™—l™uls suiv—nts X

IF (3 + 2i)(1 − 3i)F
PF €roduit du nom˜re ™omplexe de module 2 et d9—rgument π/3 p—r le nom˜re ™omplexe de
module 3 et d9—rgument −5π/6F
3+2i
QF F
1−3i
RF uotient du nom˜re ™omplexe de module 2 et d9—rgument π/3 p—r le nom˜re ™omplexe
de module 3 et d9—rgument −5π/6F
ixer™i™e V g—l™uler le module et l9—rgument des nom˜res ™omplexes suiv—ntsD —insi que de
leurs ™onjugués X
√
IF 1 + i(1 + 2)F
√ √
PF 10 + 2 5 + i(1 − 5)F

I xom˜res ™omplexes P
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tan ϕ−i
QF
tan ϕ+i
où ϕ est un —ngle donnéF

ixer™i™e W ‚eprésenter sous forme trigonométrique les nom˜res X
√
√ √ 1+i 3
1+i ; 1+i 3 ; 3+i ; √ .
3−i
ixer™i™e IH Ét—˜lir les ég—lités suiv—ntes X
√
1−i 3
√
IF (cos(π/7) + i sin(π/7))( )(1 + i) = 2(cos(5π/84) + i sin(5π/84)),
2
√ √
PF (1 − i)(cos(π/5) + i sin(π/5))( 3 − i) = 2 2(cos(13π/60) + i sin(13π/60)),
√ √
2(cos(π/12)+i sin(π/12)) 3−i
QF
1+i
= 2
.
ixer™i™e II g—l™uler le module et l9—rgument de
u
u =
√
2
√
6−i 2
et v = 1 − iF in déduire le
module et l9—rgument de w = F
v
ixer™i™e IP É™rire sous l— forme p—rtie réelleEp—rtie im—gin—ireD puis sous l— forme moduleE
—rgument le nom˜re ™omplexe X

√ 2
1 + i − 3(1 − i)
.
1+i

ixer™i™e IQ héterminer le module et l9—rgument des nom˜res ™omplexes X
iα
ee et eiθ + e2iθ .
ixer™i™e IR héterminer le module et l9—rgument de
1+i
1−i
F g—l™uler ( 1+i )32 F
1−i
ixer™i™e IS g—l™uler
√
Z = (1 + i 3)2000 F
ixer™i™e IT g—l™uler
√ √
(1 + i 3)5 + (1 − i 3)5 et
√ √
(1 + i 3)5 − (1 − i 3)5 F
ixer™i™e IU g—l™uler le module et l9—rgument de z= 1
F

ixer™i™e IV
1+i tan α
g—l™uler les puiss—n™es nEièmes des nom˜res ™omplexes X
√
1+i 3 1 + i tan θ
z1 = ; z2 = 1 + j ; z3 = .
1+i 1 − i tan θ
ixer™i™e IW gomment ™hoisir l9entier n—turel
√
n pour que ( 3+i)n soit un réel c un im—gin—ire c
ixer™i™e PH ƒoit z un nom˜re ™omplexe de module ρD d9—rgument θD et soit z son ™onjuguéF
g—l™uler (z + z)(z 2 + z 2 ) . . . (z n + z n ) en fon™tion de ρ et θF
ixer™i™e PI @p—rtiel novem˜re VVA
iα iβ
ƒoient α et β
deux nom˜res réelsF wettre le nom˜re
iγ α+β
™omplexe z = e +e sous forme trigonométrique z = ρe @indi™—tion X poser u = D
2
α−β
v = 2 AF
in déduire l— v—leur de
n
p
Cn cos[pα + (n − p)β].
p=0


I xom˜res ™omplexes Q
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ixer™i™e PP É™rire l9expression (1 + cos φ + i sin φ) sous forme trigonométriqueF in déduire
l9expression de (1 + cos φ + i sin φ)n .
ixer™i™e PQ wettre sous forme trigonométrique 1 + eiθ où θ ∈] − π, π[F honner une interpréE
t—tion géométriqueF
ixer™i™e PR wontrer que si |z| k 1 —lors 1−k |1 + z| 1 + kF p—ire un dessin et
montrer qu9il peut y —voir ég—litéF

ixer™i™e PS
2
wontrer —lgé˜riquement et géométriquement que si |z| = 1 —lors |1 + z| 1 ou
|1 + z | 1 F

ixer™i™e PT ‚ésoudre l9équ—tion exp(z) =
√
3 + 3iF

IFP ‚—™ines ™—rréesD équ—tion du se™ond degré
ixer™i™e PU g—l™uler les r—™ines ™—rrées de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i, et 7 + 24iF
ixer™i™e PV „rouver les r—™ines ™—rrées de 3 − 4i et de 24 − 10iF
ixer™i™e PW IF g—l™uler les r—™ines ™—rrées de
1+i
√ F in déduire les v—leurs de
2
cos(π/8) et

sin(π/8)F
PF g—l™uler les v—leurs de cos(π/12) et sin(π/12)F
ixer™i™e QH wontrer que les solutions de az 2 + bz + c = 0 —ve™ aD bD c réelsD sont réelles ou
™onjuguéesF
ixer™i™e QI ‚ésoudre d—ns C les équ—tions suiv—ntes X
√
z2 + z + 1 = 0 ; z 2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0 ; z2 − 3z − i = 0 ;

z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0 ; z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0 ; 4z 2 − 2z + 1 = 0 ;
z 4 + 10z 2 + 169 = 0 ; z 4 + 2z 2 + 4 = 0.
ixer™i™e QP „rouver les r—™ines ™omplexes de l9équ—tion suiv—nte X

x4 − 30x2 + 289 = 0.

ixer™i™e QQ €our z ∈ C {2i}D on pose

2z − i
f (z) = .
z − 2i
IF ‚ésoudre l9équ—tion z 2 = i, z ∈ C.
PF ‚ésoudre l9équ—tion f (z) = z, z ∈ C {2i}.
ixer™i™e QR yn note j=e3.
2π

IF wettre j et j2 sous forme —lgé˜riqueF

PF †éri(er que 1 + j + j 2 = 0F

I xom˜res ™omplexes R
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QF p—™toriser le polynôme z 3 − 8iF
ixer™i™e QS IF g—l™uler les r—™ines ™—rrées de 1 + iD 7 + 24iD iD 5 + 12iD √
√
1+i 3
3+i
F

PF ‚ésoudre les équ—tions suiv—ntes X

@—A z2 + z + 1 = 0
@˜A z2 + z − 2 = 0
@™A z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0
@dA z 2 + 4z + 5 = 0
@eA z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0
@f A z 4 − (1 − i)z 2 − i = 0
@gA z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z − 15 = 0
ixer™i™e QT ‚ésoudre d—ns C les équ—tions suiv—ntes X

IF z 2 − (11 − 5i)z + 24 − 27i = 0F
PF z 3 + 3z − 2i = 0F
ixer™i™e QU yn ™onsidère d—ns C l9équ—tion (E) suiv—nte X

z 2 − (1 + a) (1 + i) z + 1 + a2 i = 0,

où a est un p—r—mètre réelF

IF g—l™uler en fon™tion de a ∈ R les solutions z1 et z2 de (E) @indi™—tion X on pourr—
déterminer les r—™ines ™—rées ™omplexes de −2i(1 − a)2 AF
PF yn désigne p—r Z1 @respF Z2 A les points du pl—n ™omplexe d9—0xe z1 @respF z2 A et p—r M le
milieu de [Z1 , Z2 ]F „r—™er l— ™our˜e du pl—n ™omplexe dé™rite p—r M lorsque a v—rie d—ns
RF
ixer™i™e QV IF €our α ∈ RD résoudre d—ns C l9équ—tion z 2 − 2 cos(α)z + 1 = 0. in déduire
l— forme trigonométrique des solutions de l9équ—tion X

z 2n − 2 cos(α)z n + 1 = 0, où n est un entier n—turel non nulF

Pα (z) = z 2n − 2 cos(α)z n + 1.
@—A tusti(er l— f—™toris—tion suiv—nte de Pα X

α α 2π α 2(n − 1)π
Pα (z) = z 2 − 2 cos +1 z 2 − 2 cos + + 1 . . . z 2 − 2 cos +
n n n n n

@˜A €rouverD à l9—ide des nom˜res ™omplexes p—r exempleD l— formule suiv—nte X

θ
1 − cos θ = 2 sin2 , θ ∈ R.
2

@™A g—l™uler Pα (1)F in déduire

2 α α π α (n − 1)π sin2 α
sin sin2 + . . . sin2 + = 2
.
2n 2n n 2n n 4n−1

I xom˜res ™omplexes S
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PF €our tout α —pp—rten—nt à ]0, π[D et pour tout entier n—turel n 2D on pose X

α π α 2π α (n − 1)π
Hn (α) = sin + sin + . . . sin + .
2n 2n 2n n 2n n

@—A wontrer queD pour tout α non nulD on — X

sin(α/2)
2n−1 Hn (α) = .
sin(α/2n)

@˜A uelle est l— limite de Hn (α) lorsque α tend vers 0c
@™A in déduire queD pour tout entier n—turel n supérieur ou ég—l à 2D on —

π 2π (n − 1)π n
sin sin . . . sin = .
n n n 2n−1

IFQ ‚—™ine nEième
ixer™i™e QW IF €our quelles v—leurs de z ∈ C —EtEon |1 + iz| = |1 − iz|.
1+iz n
yn ™onsidère d—ns C l9équ—tion
1−iz
= 1+ia , où a ∈ R. wontrerD s—ns les ™—l™ulerD que
1−ia
les solutions de ™ette équ—tion sont réellesF „rouver —lors les solutionsF
√
3+i
g—l™uler les r—™ines ™u˜iques de √ F

ixer™i™e RH
3−i

€our tout nom˜re ™omplexe ZD on pose P (Z) = Z 4 − 1F
IF p—™toriser P (Z) et en déduire les solutions d—ns C de l9équ—tion P (Z) = 0F
PF héduire de IF les solutions de l9équ—tion d9in™onnue z X

((2z + 1)/(z − 1))4 = 1

ixer™i™e RI ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion suiv—nte X
√
z 4 = (1 − i) / 1 + i 3 .
ixer™i™e RP ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion
1
z 3 = 4 (−1 + i) et montrer qu9une seule de ses soluE
tions — une puiss—n™e qu—trième réelleF
ixer™i™e RQ „rouver les r—™ines ™u˜iques de 2 − 2i et de 11 + 2iF
ixer™i™e RR
√
1+i 3
π
g—l™uler √ 2
2(1+i)
—lgé˜riquementD puis trigonométriquementF in déduire cos 12 D
2
sin 12 D tan 12 D tan 5π F
π π
12
‚ésoudre d—ns C l9équ—tion z 24 = 1F
ixer™i™e RS „rouver les r—™ines qu—trièmes de 81 et de −81F
ixer™i™e RT IF wontrer queD pour tout n ∈ N∗ et tout nom˜re z ∈ CD on — X

(z − 1) 1 + z + z 2 + ... + z n−1 = z n − 1,

et en déduire queD si z = 1D on — X

zn − 1
1 + z + z 2 + ... + z n−1 = .
z−1

I xom˜res ™omplexes T
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ix x
PF †éri(er que pour tout x∈R D on — exp(ix) − 1 = 2i exp 2
sin 2
.
∗
QF ƒoit n∈N F g—l™uler pour tout x ∈ R l— somme X

Zn = 1 + exp(ix) + exp(2ix) + ... + exp((n − 1)ix),

et en déduire les v—leurs de

Xn = 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos((n − 1)x)
Yn = sin(x) + sin(2x) + ... + sin((n − 1)x).

ixer™i™e RU g—l™uler l— somme Sn = 1 + z + z 2 + · · · + z n F
ixer™i™e RV IF ‚ésoudre z3 = 1
et montrer que les r—™ines s9é™rivent 1D j D j 2 F g—l™uler
1+j+ j et en déduire les r—™ines de 1 + z + z 2 = 0F
2

PF ‚ésoudre z n = 1 et montrer que les r—™ines s9é™rivent 1, ε, . . . , εn−1 F in déduire les r—™ines
de 1 + z + z 2 + · · · + z n−1 = 0F g—l™ulerD pour p ∈ ND 1 + εp + ε2p + · · · + ε(n−1)p F
ixer™i™e RW ‚ésoudre d—ns C X

IF z5 = 1F
PF z5 = 1 − iF
QF z3 = −2 + 2iF
RF z5 = z.
¯
ixer™i™e SH IF g—l™uler les r—™ines nEièmes de −i et de 1 + iF
PF ‚ésoudre z 2 − z + 1 − i = 0F
2n
QF in déduire les r—™ines de z − z n + 1 − i = 0F
ixer™i™e SI ƒoit ε une r—™ine nEième de l9unité Y ™—l™uler

S = 1 + 2ε + 3ε2 + · · · + nεn−1 .

ixer™i™e SP ‚ésoudreD d—ns CD l9équ—tion (z + 1)n = (z − 1)n F
ixer™i™e SQ ‚ésoudreD d—ns CD l9équ—tion zn = z où n 1F
ixer™i™e SR ‚ésoudre les équ—tions suiv—ntes X
√
1+i 3 1−i
z6 = √ ; z4 = √ .
1−i 3 1+i 3
ixer™i™e SS ‚ésoudre
6
z + 27 = 0 z ∈ C F @ A

ixer™i™e ST @p—rtiel novem˜re WIA IF ƒoient z1 D z2 D z3 trois nom˜res ™omplexes distin™ts
—y—nt le même ™u˜eF

ixprimer z2 et z3 en fon™tion de z1 F
PF honnerD sous forme pol—ireD les solutions d—ns C de X

z 6 + (7 − i)z 3 − 8 − 8i = 0.

@sndi™—tion X poser Z = z3 Y ™—l™uler (9 + i)2 A

I xom˜res ™omplexes U
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ixer™i™e SU ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion 27(z − 1)6 + (z + 1)6 = 0F
ixer™i™e SV héterminer les r—™ines qu—trièmes de −7 − 24iF
ixer™i™e SW ƒoit β∈C tel que β7 = 1 et β = 1F wontrer

β β2 β3
+ + = −2
1 + β2 1 + β4 1 + β6

IFR qéométrie
ixer™i™e TH héterminer l9ensem˜le des nom˜res ™omplexes z tels que X

z−3
IF = 1,
z−5
√
z−3 2
PF = .
z−5 2
ixer™i™e TI IF ‚ésoudre d—ns C l9équ—tion @IA (z − 2)/(z − 1) = i. yn donner— l— solution
sous forme —lgé˜riqueF

PF ƒoit M, A, et B les points d9—0xes respe™tives z, 1, 2F yn suppose que M = A et que
M = B F snterpréter géométriquement le module et un —rgument de (z − 2)/(z − 1) et
retrouver l— solution de l9équ—tion @IAF

ixer™i™e TP ve pl—n P est r—pporté à un repère orthonormé et identi(é à l9ensem˜le C des
nom˜res ™omplexes p—r
M (x, y) → x + iy = z,
où z est —ppelé l9—0xe de M. ƒoit f : P rg P qui à tout point M d9—0xe z —sso™ie M d9—0xe
z−i
z = z+i
.
IF ƒur quel sous ensem˜le de PD f estEelle dé(nie c

PF g—l™uler |z | pour z —0xe d9un point M situé d—ns le demi pl—n ouvert

H := {M (x, y) ∈ P | y 0.}?

QF in déduire l9im—ge p—r f de H.
ixer™i™e TQ ve pl—n P est r—pporté à un repère orthonormé et on identi(e P à l9ensem˜le des
nom˜res ™omplexes C p—r
M (x, y) → x + iy = z,
où z
est —ppelé l9—0xe de M. ƒoit g : P rg P qui à tout point M d9(xe z = −1 —sso™ie g(M )
1−z
d9—0xe z = F
1+z
IF g—l™uler ¯
z +z pour |z| = 1F
PF in déduire l9im—ge du ™er™le de r—yon 1 de ™entre 0 privé du point de ™oordonnées (−1, 0)
p—r l9—ppli™—tion g.
ixer™i™e TR ƒoit C l— ™our˜e d9équ—tion x2 − xy + y 2 = 0 d—ns le pl—n P r—pporté à un repère
orthonorméF

I xom˜res ™omplexes V
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IF v— ™our˜e C —EtEelle des points d9interse™tion —ve™ le re™t—ngle ouvert R dont les sommets
sont X

A = (−3, 2)
B = (4, 2)
C = (4, −1)
D = (−3, −1).

PF wême question pour le re™t—ngle fermé R de sommets X

A = (−1, 4)
B = (2, 4)
C = (2, 1)
D = (−1, 1).

ixer™i™e TS
z−3
héterminer p—r le ™—l™ul et géométriquement les nom˜res ™omplexes
z−a
z tels que

z−5
= 1F qénér—liser pour
z−b
= 1F
ixer™i™e TT
z−3
héterminer p—r le ™—l™ul et géométriquement les nom˜res ™omplexes
z−a
z tels que

z−5
= k @k 0D k = 1AF qénér—liser pour
z−b
= kF
ixer™i™e TU IF ƒoit AD B D C trois points du pl—n ™omplexe dont les —0xes sont respe™tiveE
ment aD bD cF yn suppose que a+jb+j 2 c = 0 Y montrer que ABC est un tri—ngle équil—tér—l
√
@j et j 2 sont les r—™ines ™u˜iques ™omplexes de 1 plus pré™isément j = −1+i 3 AF ‚é™iE
2
proque c

PF ABC ét—nt un tri—ngle équil—tér—l dire™t du pl—n ™omplexeD on ™onstruit les tri—ngles
équil—tér—ux dire™ts BOD et OCE D ™e qui détermine les points D et E @O est l9origine
du pl—n ™omplexeAF uelle est l— n—ture du qu—dril—tère ADOE c gomp—rer les tri—ngles
OBC D DBA et EAC F
ixer™i™e TV ƒoit H une hyper˜ole équil—tère de ™entre OD et M un point de HF wontrer que
le ™er™le de ™entre M qui p—sse p—r le symétrique de M p—r r—pport à O re™oupe H en trois
points qui sont les sommets d9un tri—ngle équil—tér—lF
sndi™—tions X en ™hoisiss—nt un repère —déqu—tD H
— une équ—tion du type xy = 1D —utrement
2
dit en identi(—nt le pl—n de H ¯2
—u pl—n ™omplexeD z − z = 4iF in not—nt a l9—0xe de M D le
™er™le — pour équ—tion |z − a|2 = 4a¯F
a yn pose ¯
Z = z − a et on élimine Z entre les équ—tions
du ™er™le et de l9hyper˜oleF in divis—nt p—r Z + 2a pour éliminer l— solution déjà ™onnue du
3
symétrique de M D on o˜tient une équ—tion du type Z − A = 0F

ixer™i™e TW wontrer que pour u, v ∈ CD on — |u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ).
ixer™i™e UH ƒoient z, z ∈ C tels que erg (z) − erg(z ) = π
2
F

IF wontrer que zz + zz = 0F
PF wontrer que |z + z |2 = |z − z |2 = |z|2 + |z |2 F

I xom˜res ™omplexes W
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ixer™i™e UI IF héterminer l9ensem˜le des points M du pl—n ™omplexeD d9—0xe z tels que X
z(z − 1) = z 2 (z − 1)F
PF héterminer l9ensem˜le des points M du pl—n ™omplexeD d9—0xe z tels que les im—ges de
1D z D 1 + z 2 soient —lignéesF
ixer™i™e UP ƒoit s = (1 − z)(1 − iz)F
IF héterminer l9ensem˜le des im—ges des nom˜res ™omplexes z tel que s soit réelF

PF héterminer l9ensem˜le des im—ges des nom˜res ™omplexes z tel que s soit im—gin—ire purF
ixer™i™e UQ IF ƒoit A
un point du pl—n d9—0xe α = a
2
+ ibF héterminer l9ensem˜le des
points M du pl—n dont l9—0xe z véri(e |z| = α¯ + αz.
z ¯
z1
PF uelles ™onditions doivent véri(er les points M1 et M2 d9—0xes z1 et z2 pour que
z2
soit
réel c

QF héterminer les nom˜res ™omplexes z tels que les points du pl—n ™omplexe d9—0xes z, iz,
i forment un tri—ngle équil—tér—lF
z−1
RF ƒoit z = a + ibD mettre l9expression
z+1
sous forme A + iB D F héterminer l9ensem˜le des
z−1 π
points du pl—n ™omplexe d9—0xe z telle que l9—rgument de soit F

ixer™i™e UR
z+1 2

héterminer les nom˜res ™omplexes z tels que le tri—ngle —y—nt pour sommets les
2 3
points d9—0xes z, z , z soit re™t—ngle —u point d9—0xe z F

ixer™i™e US héterminer les nom˜res ™omplexes z ∈ C∗ tels que les points d9—0xes
1
z, z et
(1 − z) soient sur un même ™er™le de ™entre yF

ixer™i™e UT ‚ésoudre d—ns C le système X

|z − 1| 1, |z + 1| 1.

ixer™i™e UU @gomment ™onstruire un pent—gone réguliercA (A0 , A1 , A2 , A3 , A4 ) un
ƒoit
pent—gone régulierF yn note O son ™entre et on ™hoisit un repère orthonorm9e (O, − , − ) —ve™
→ →
u v
→ −→
u
−
− = OA0 D qui nous permet d9identi(er le pl—n —ve™ l9ensem˜le des nom˜res ™omplexes CF

IF honner les —0xes ω0 , . . . , ω4 des points A0 , . . . , A4 F wontrer que ωk = ω1 k pour k ∈
2 3 4
{0, 1, 2, 3, 4}F wontrer que 1 + ω1 + ω1 + ω1 + ω1 = 0F
PF in déduire que cos( 2π )
5
est l9une des solutions de l9équ—tion 4z 2 + 2z − 1 = 0F in déduire
l— v—leur de cos( 2π )F
5
π
QF yn ™onsidère le point d9—0xe −1F g—l™uler l— longueur BA2 en fon™tion de sin
B puis
√ π 2π
10
de 5 @on rem—rquer— que sin 10 = cos 5 AF
i 1
RF yn ™onsidère le point I d9—0xe D le ™er™le C de ™entre I de r—yon et en(n le point
2 2
J d9interse™tion de C —ve™ l— demiEdroite [BI)F g—l™uler l— longueur BI puis l— longueur
BJ F
SF eppli™—tion X hessiner un pent—gone régulier à l— règle et —u ™omp—sF ixpliquerF


I xom˜res ™omplexes IH
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IFS „rigonométrie
ixer™i™e UV yn r—ppelle l— formule @ θ ∈ RA X

eiθ = cos θ + i sin θ.
IF it—˜lir les formules d9iuler @ θ ∈ RA X

eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ
cos θ = et sin θ = .
2 2i
PF in utilis—nt les formules d9iulerD liné—riser @ou tr—nsformer de produit en sommeA @ a, b ∈
RA X

2 cos a cos b ; 2 sin a sin b ; cos2 a ; sin2 a.

QF e l9—ide de l— formule X eix eiy = ei(x+y) @x, y ∈ RAD retrouver ™elles pour sin(x + y)D
cos(x + y) et tan(x + y) en fon™tion de sinusD ™osinus et t—ngente de x ou de y Y en déduire
les formules de ™—l™ul pour sin(2x)D cos(2x) et tan(2x) @x, y ∈ RAF
x
RF g—l™uler cos x et sin x en fon™tion de tan @x = π + 2kπ , k ∈ ZAF
2
SF it—˜lir l— formule de woivre @ θ ∈ RA X

(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).

TF in utilis—nt l— formule de woivreD ™—l™uler cos(3x) et sin(3x) en fon™tion de sin x et cos xF
ixer™i™e UW IF g—l™uler cos 5θ D cos 8θ D sin 6θ D sin 9θ D en fon™tion des lignes trigonométriques
de l9—ngle θF
3 4 5 6
PF g—l™uler sin θ D sin θ D cos θ D cos θ D à l9—ide des lignes trigonométriques des multiples
entiers de θ F

ixer™i™e VH in utilis—nt les nom˜res ™omplexesD ™—l™uler cos 5θ et sin 5θ en fon™tion de cos θ
et sin θF
ixer™i™e VI IF ƒoit θ ∈ RF e l9—ide de l— formule de woivre exprimer en fon™tion de cos θ
et de sin θ X

@—A cos(2θ) et sin(2θ)F
@˜A cos(3θ) et sin(3θ)F in déduire une équ—tion du troisième degré —dmett—nt pour soE
π
lution cos( ) et l— résoudreF
3

PF viné—riser les polynomes trigonométriques suiv—nts X 1 + cos2 xD cos3 x + 2 sin2 xF
ixer™i™e VP (cos 5x)(sin 3x)
ixprimer en fon™tion de sin x et cos xF
ixer™i™e VQ x ƒoit un nom˜re réelF yn note C = 1+cos x+cos 2x+. . .+cos nx
n
= n
k=0 cos kxD
etS = sin x + sin 2x + . . . + sin nx = k=0 sin kxF g—l™uler C et S F
ixer™i™e VR ‚ésoudre d—ns
R les équ—tions X

1 1
sin x = , cos x = − , tan x = −1,
2 2
et pl—™er sur le ™er™le trigonométrique les im—ges des solutions Y résoudre d—ns R l9équ—tion

2π
cos(5x) = cos −x .
3

I xom˜res ™omplexes II
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ixer™i™e VS g—l™uler sin(25π/3), cos(19π/4), tan(37π/6).
ixer™i™e VT ‚ésoudre l9équ—tion X 2 sin2 x−3 sin x−2 = 0D puis l9inéqu—tion X 2 sin2 x−3 sin x−
20 F

ixer™i™e VU itudier le signe de l— fon™tion donnée p—r f (x) = cos 3x + cos 5x.
ixer™i™e VV ƒimpli(erD suiv—nt l— v—leur de
√
x ∈ [−π, π]D l9expression 1 + cos x + | sin x/2|F
ixer™i™e VW ‚ésoudre d—ns R les équ—tions suiv—ntes X @donner les v—leurs des solutions —pE
p—rten—nt à ]−π, π] et les pl—™er sur le ™er™le trigonométriqueAF
2π
IF sin (5x) = sin 3
+x D
π x
PF sin 2x − 3
= cos 3
D

QF cos (3x) = sin (x)F
ixer™i™e WH e quelle ™ondition sur le réel m l9équ—tion
√
√
3 cos(x) + sin(x) = m —EtEelle une
solution réelle c ‚ésoudre ™ette équ—tion pour m = 2F
ixer™i™e WI ‚ésoudre d—ns R les inéqu—tions suiv—ntes X

cos(5x) + cos(3x) cos(x)
2 cos2 (x) − 9 cos(x) + 4 0.

ixer™i™e WP ‚ésoudre d—ns R les équ—tions suiv—ntes X

IF cos2 (x) − sin2 (x) = sin(3x)F
PF cos4 (x) − sin4 (x) = 1F

IFT hivers
ixer™i™e WQ1+ir
wontrer que tout nom˜re ™omplexe z non réel de module 1 peut se mettre sous
l— forme D où r ∈ RF

ixer™i™e WR
1−ir

ƒoit uD v des nom˜res ™omplexes non réels tels que |u| = |v| = 1 et uv = −1F
u+v
wontrer que est réelF

ixer™i™e WS
1+uv

g—l™uler les sommes suiv—ntes X

n n
k
cos(kx) ; Cn cos(kx).
k=0 k=0

ixer™i™e WT @intiers de q—ussA ƒoit Z[i] = {a + ib ; a, b ∈ Z}F
IF wontrer que si α et β sont d—ns Z[i] —lors α+β et αβ le sont —ussiF

PF „rouver les élements inversi˜les de Z[i]D ™9estEàEdire les éléments α ∈ Z[i] tels qu9il existe
β ∈ Z[i] —ve™ αβ = 1F
QF †éri(er que quel que soit ω∈C il existe z ∈ Z[i] tel que |ω − z| 1F

I xom˜res ™omplexes IP
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RF wontrer qu9il existe sur Z[i] une division eu™lidienneD ™9estEàEdire queD quels que soient α
et β d—ns Z[i] il existe q et r d—ns Z[i] véri(—nt X

α = βq + r —ve™ |r| |β|.
α
@sndi™—tion X on pourr— ™onsidérer le ™omplexe A
β
ixer™i™e WU wontrer que ∀z ∈ C
| (z)| + | (z)|
√
2
|z| | (z)| + | (z)|F Étudier les ™—s

d9ég—litéF

ixer™i™e WV ƒoit (a, b, c, d) ∈ R4 tel que ad − bc = 1 et c = 0F wontrer que si z=−
d
c
—lors

az + b (z)
( )= F
cz + d |(cz + d)|2
ixer™i™e WW ue dire de trois ™omplexes aD bD c non nuls tels que |a + b + c| = |a| + |b| + |c|F
ixer™i™e IHH IF Étudier l— suite (zn )n∈N dé(nie p—r X z0 = 4, zn+1 = f (zn ) où f est
l9—ppli™—tion de C sur luiEmême dé(nie p—r X

1 √
∀z ∈ C, f (z) = i + (1 − i 3)z.
4
sndi™—tion X on ™ommen™er— p—r re™her™her les ™oordonnées ™—rtésiennes de l9unique point
α tel que f (α) = αD puis on s9intéresser— à l— suite (xn )n∈N dé(nie p—r X

∀n ∈ N, xn = zn − α.
PF yn pose ∀n ∈ N, ln = |zn+1 − zn |F g—l™uler
n
lim lk
n→∞
k=0

et interpréter géométriquementF

ixer™i™e IHI @ix—men o™to˜re IWWWA yn dé(nit une fon™tion f de C − {i} d—ns C − {1}
en pos—nt
z+i
.f (z) =
z−i
IF yn suppose z réelF uel est le module de f (z) c

PF „rouver les nom˜res ™omplexes z tels que f (z) = z F

ixer™i™e IHP @ix—men novem˜re PHHIA
1+z
ƒoit f l— fon™tion de C d—ns C dé(nie p—r f (z) =
F
1−z
IF g—l™uler les points (xes de l— fon™tion fD ™9est à dire les nom˜res ™omplexes z tels que
f (z) = z F
PF héterminer les nom˜res ™omplexes z pour lesquels f (z) est réelF

ixer™i™e IHQ IF wontrer que si x + y + z = aD yz + zx + xy = bD xyz = cD —lors xD y et
z sont solutions de l9équ—tion Z 3 − aZ 2 + bZ − c = 0F „rouver xD y et z si on suppose
a = b = 0 et c = −8F
PF ‚ésoudre le système 
 x+y+z = 4
x + y2 + z2 = 4
2
 3
x + y3 + z3 = 1

P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IQ
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P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements
PFI vogique
ixer™i™e IHR ƒoient R et S des rel—tionsF honner l— nég—tion de R ⇒ SF
ixer™i™e IHS hémontrer que (1 = 2) ⇒ (2 = 3)F
ixer™i™e IHT ƒoient les qu—tre —ssertions suiv—ntes X

(a) ∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y 0 ; (b) ∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y 0 ;

(c) ∀x ∈ R ∀y ∈ R x + y 0 ; (d) ∃x ∈ R ∀y ∈ R y 2 x.
IF ves —ssertions aD bD cD d sontEelles vr—ies ou f—usses c

PF honner leur nég—tionF

ixer™i™e IHU ƒoit f une —ppli™—tion de R d—ns RF xierD de l— m—nière l— plus pré™ise possi˜leD
les énon™és qui suivent X

IF €our tout x ∈ R f (x) 1F
PF v9—ppli™—tion f est ™roiss—nteF

QF v9—ppli™—tion f est ™roiss—nte et positiveF

RF sl existe x ∈ R+ tel que f (x) 0F
yn ne dem—nde p—s de démontrer quoi que ™e soitD juste d9é™rire le ™ontr—ire d9un énon™éF
ixer™i™e IHV gompléter les pointillés p—r le ™onne™teur logique qui s9impose X ⇔, ⇐, ⇒ .
2
IF x ∈ R x = 4 ...... x = 2Y
PF z ∈ C z = z ...... z ∈ RY
QF x ∈ R x = π . . . . . . e2ix = 1F
ixer™i™e IHW
2
h—ns R2 D on dé(nit les ensem˜les F1 = {(x, y) ∈ R2 , y 0} et F2 = {(x, y) ∈
R , xy 1, x 0}F Év—luer les propositions suiv—ntes X
−−
−→
IF ∀ε ∈]0, +∞[ ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2 / ||M1 M2 || ε
−−
−→
PF ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2 / ∀ε ∈]0, +∞[ ||M1 M2 || ε
−−
−→
QF ∃ε ∈]0, +∞[ / ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2 ||M1 M2 || ε
−−
−→
RF ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2 ∃ε ∈]0, +∞[ / ||M1 M2 || ε
u—nd elles sont f—ussesD donner leur nég—tionF
ixer™i™e IIH xier l— proposition X tous les h—˜it—nts de l— rue du r—vre qui ont les yeux
˜leus g—gneront —u loto et prendront leur retr—ite —v—nt SH —nsF
ixer™i™e III É™rire l— nég—tion des —ssertions suiv—ntes où P, Q, R, S sont des propositionsF

IF P ⇒ QD
PF P et non QD

P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IR
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QF P et @ Q et RAD
RF P ou @Q et RAD
SF @P et QA ⇒ (R ⇒ S)F
ixer™i™e IIP xier les —ssertions suiv—ntes X

IF tout tri—ngle re™t—ngle possède un —ngle droit Y

PF d—ns toutes les é™uriesD tous les ™hev—ux sont noirs Y

QF pour tout entier xD il existe un entier y tel queD pour tout entier zD l— rel—tion z x
implique le rel—tion z x + 1Y
RF ∀ε 0 ∃α 0 / |x − 7/5| α ⇒ |5x − 7| εF
ixer™i™e IIQ @ve missionn—ire et les ™—nni˜—lesA ves ™—nni˜—les d9une tri˜u se prép—rent
à m—nger un missionn—ireF hésir—nt lui prouver une dernière fois leur respe™t de l— dignité et de
l— li˜erté hum—ineD les ™—nni˜—les proposent —u missionn—ire de dé™ider luiEmême de son sort
en f—is—nt une ™ourte dé™l—r—tion X si ™elleE™i est vr—ieD le missionn—ire ser— rôtiD et il ser— ˜ouilli
d—ns le ™—s ™ontr—ireF ue doit dire le missionn—ire pour s—uver s— vie c @d9—près gerv—ntèsA

ixer™i™e IIR v— proposition P ∧Q (¬P ) ∨ Q estEelle vr—ie c

ixer™i™e IIS yn suppose que l— proposition P est vr—ie —insi que les propositions suiv—ntes X

IF (¬Q) ∧ P ¬S F
PF S (¬P ) ∨ QF
QF P R ∨ SF
RF S∧Q ¬P F
SF R ∧ ¬(S ∨ Q) TF
TF R (¬P ) ∨ (¬Q)F
v— proposition T estEelle vr—ie c

ixer™i™e IIT i™rire l— nég—tion des phr—ses suiv—ntes X

IF (∀x)(∃n)/(x n)F
PF (∃M )/(∀n)(|un | M )F
QF (∀x)(∀y)(xy = yx)F
RF (∀x)(∃y)/(yxy −1 = x)F
SF (∀ε 0)(∃N ∈ N)/(∀n N )(|un | ε)F
TF (∀x ∈ R)(∀ε 0)(∃α 0)/(∀f ∈ F)(∀y ∈ R)(|x − y| α |f (x) − f (y)| ε)F
ixer™i™e IIU gomp—rer les di'érentes phr—ses @sontEelles équiv—lentesD ™ontr—iresD quelles sont
™elles qui impliquent les —utresFFFA

IF (∀x)(∃y)/(x y)F
PF (∀x)(∀y)(x y)F
QF (∃x)(∃y)/(x y)F
RF (∃x)/(∀y)(x y)F
SF (∃x)/(∀y)(y x)F

P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IS
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TF (∃x)(∃y)/(y x)F
UF (∀x)(∃y)/(x = y)F
ixer™i™e IIV P (x) ƒi est une proposition dépend—nt de x ∈ X D on note P = {x ∈ X/P (x) est vr—ie }F
P
ixprimer en fon™tion de et Q les ensem˜les ¬P , P ∧ Q, P ∨ Q, P Q, P ⇔ QF
ixer™i™e IIW wontrer que ∀ε 0 ∃N ∈ N tel que (n N 2−ε 2n+1
n+2
2 + εAF
ixer™i™e IPH f, g ƒoit deux fon™tions de R d—ns RF „r—duire en termes de qu—nti(™—teurs les
expressions suiv—ntes X

IF f est m—jorée Y

PF f est ˜ornée Y

QF f est p—ire Y

RF f est imp—ire Y

SF f ne s9—nnule j—m—is Y

TF f est périodique Y

UF f est ™roiss—nte Y

VF f est stri™tement dé™roiss—nte Y

WF f n9est p—s l— fon™tion nulle Y

IHF f n9— j—m—is les mêmes v—leurs en deux points dist™in™ts Y

IIF f —tteint toutes les v—leurs de NY
IPF f est inférieure à gY
IQF f n9est p—s inférieure à gF

PFP insem˜les
ixer™i™e IPI wontrer que ∅ ⊂ XD pour tout ensem˜le XF
ixer™i™e IPP wontrer p—r ™ontr—position les —ssertions suiv—ntesD E ét—nt un ensem˜le X

IF ∀A, B ∈ P(E) (A ∩ B = A ∪ B) ⇒ A = B D
PF ∀A, B, C ∈ P(E) (A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C) ⇒ B = C F
ixer™i™e IPQ ƒoit A, B deux ensem˜lesD montrer (A ∪ B) = A ∩ B et (A ∩ B) = A ∪ B F
ixer™i™e IPR E et F deux ensem˜lesD f : E → F F
ƒoient hémontrer que X
∀A, B ∈ P(E) (A ⊂ B) ⇒ (f (A) ⊂ f (B))D
∀A, B ∈ P(E) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)D
∀A, B ∈ P(E) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)D
∀A, B ∈ P(F ) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B)D
∀A ∈ P(F ) f −1 (F A) = E f −1 (A)F
ixer™i™e IPS A et B ét—nt des p—rties d9un ensem˜le ED démontrer les lois de worg—n X

A ∪ B = (A ∩ B) et A ∩ B = (A ∪ B).

P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IT
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ixer™i™e IPT hémontrer les rel—tions suiv—ntes X

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) et A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

ixer™i™e IPU wontrer que si F et G sont des sousEensem˜les de E X

(F ⊂ G ⇐⇒ F ∪ G = G) et (F ⊂ G ⇐⇒ F ∪ G = E).

in déduire que X

(F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ G = F ) et (F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ G = ∅).

ixer™i™e IPV E F ƒoit A⊂E
et B⊂F
des ensem˜lesF ƒi et montrer que A × B ⊂ E × FF
ixer™i™e IPW A = {a , a , a , a } B = {b , b , b , b , b }
ƒoit 1 2 3 4 et 1 2 3 4 5 F É™rire le produit ™—rtésien
A×B A×B
F uel est le nom˜re de p—rties de c

ixer™i™e IQH E ƒoit n
un ensem˜le à
p
élémentsF uel est le nom˜re d9éléments de Ep c uel
E
est le nom˜re de p—rties de c

ixer™i™e IQI x y z D D ét—nt des nom˜res réelsD résoudre le système X

(x − 1)(y − 2)z = 0
(x − 2)(y − 3) = 0

‚eprésenter gr—phiquement l9ensem˜le des solutionsF

ixer™i™e IQP ƒoit A une p—rtie de E D on —ppelle fon™tion ™—r—™téristique de A l9—ppli™—tion f
de E d—ns l9ensem˜le à deux éléments {0, 1}D telle que X

0 si x∈A
/
f (x) =
1 si x∈A

ƒoit A et B deux p—rties de ED f et g leurs fon™tions ™—r—™téristiquesF wontrer que les fon™tions
suiv—ntes sont les fon™tions ™—r—™téristiques d9ensem˜les que l9on déterminer— X

IF 1 − fF
PF f gF
QF f + g − f gF
ixer™i™e IQQ ƒoit un ensem˜le E et deux p—rties A et B de E F yn désigne p—r A B l9ensem˜le
(A ∪ B) (A ∩ B)F h—ns les questions ™iE—près il pourr— être ™ommode d9utiliser l— notion de
fon™tion ™—r—™téristiqueF
IF hémontrer que A B = (A B) ∪ (B A)F
PF hémontrer que pour toutes les p—rties AD B D C de E on — (A B) C = A (B C)F
QF hémontrer qu9il existe une unique p—rtie X de E telle que pour toute p—rtie A de ED
A X = X A = AF
RF hémontrer que pour toute p—rtie A de ED il existe une p—rtie A de E et une seule telle
que A A =A A = XF
ixer™i™e IQR IF É™rire l9ensem˜le de dé(nition de ™h—™une des fon™tions numériques suiE
√ 1 √ 1
v—ntes X x→ xD x → x−1 D x → x + x−1 F
PF ƒimpli(er [1, 3] ∩ [2, 4] et [1, 3] ∪ [2, 4]F

P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IU
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QF €our tout n ∈ ND on note nZ l9ensem˜le des entiers rel—tifs multiples de n X nZ = {np | p ∈
Z}F ƒimpli(er2Z ∩ 3ZF
ixer™i™e IQS yn dé(nit les ™inq ensem˜les suiv—nts X

A1 = (x, y) ∈ R2 , x+y 1
A2 = (x, y) ∈ R2 , |x + y| 1
A3 = (x, y) ∈ R2 , |x| + |y| 1
A4 = (x, y) ∈ R2 , x + y −1
A5 = (x, y) ∈ R2 , |x − y| 1

IF ‚eprésenter ™es ™inq ensem˜lesF

PF in déduire une démonstr—tion géométrique de

(|x + y| 1 et |x − y| 1) ⇔ |x| + |y| 1.
ixer™i™e IQT wontrer que ™h—™un des ensem˜les suiv—nts est un interv—lleD éventuellement
vide ou réduit à un point

+∞ +∞
1 1
I1 = 3, 3 + 2 et I2 = −2 − , 4 + n2 .
n=1
n n=1
n
ixer™i™e IQU wontrer que ™h—™un des ensem˜les suiv—nts est un interv—lleD éventuellement
vide ou réduit à un point

+∞ +∞
1 1 1
I1 = − ,2 + et I2 = 1+ ,n .
n=1
n n n=1
n
ixer™i™e IQV Eƒoient A, B, C
un ensem˜le et E A∪B = A∪C
trois p—rties de telles que
etA∩B =A∩C B=C
F wontrer que F

ixer™i™e IQW Eƒoient A, B, C
un ensem˜le et E trois p—rties de F
wontrer que(A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A) F

ixer™i™e IRH A, B, C ⊂ E A ∪ B = B ∩ C
honner les positions rel—tives de si F

ixer™i™e IRI P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)
istEil vr—i que P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) c it c

ixer™i™e IRP A∩B =A∩C ⇔A∩ B =A∩ C
wontrer que F

ixer™i™e IRQ P(P({1, 2}))
honner l— liste des éléments de F

ixer™i™e IRR A, B ⊂ E
ƒoient X⊂E
F ‚ésoudre les équ—tions à l9in™onnue

IF A ∪ X = BF
PF A ∩ X = BF
ixer™i™e IRS E, F, G
ƒoient trois ensem˜lesF wontrer que (E × G) ∪ (F × G) = (E ∪ F ) × GF
ixer™i™e IRT E, F, G, H
ƒoient qu—tre ensem˜lesF gomp—rer les ensem˜les (E × F ) ∩ (G × H)
et(E ∩ G) × (F ∩ H) F

ixer™i™e IRU E ƒoit l9ensem˜le des fon™tions de N d—ns {1, 2, 3}F €our i = 1, 2, 3 on pose
Ai = {f ∈ E/f (0) = i}F wontrer que les Ai forment une p—rtition de EF

P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IV
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PFQ e˜surde et ™ontr—posée
ixer™i™e IRV wontrer que
√
2 ∈ QF
/
ixer™i™e IRW ƒoit X un ensem˜le et f une —ppli™—tion de X d—ns l9ensem˜le P(X) des p—rties
de X F yn note A l9ensem˜le des x ∈ X véri(—nt x ∈ f (x)F hémontrer qu9il n9existe —u™un x ∈ X
/
tel que A = f (x)F

ixer™i™e ISH (fn )n∈N une suite d9—ppli™—tions de l9ensem˜le N d—ns luiEmêmeF yn dé(nit
ƒoit
une —ppli™—tion f de N d—ns N en pos—nt f (n) = fn (n) + 1F hémontrer qu9il n9existe —u™un
p∈N tel que f = fp F
ixer™i™e ISI IF ƒoit p1 , p2 , . . . , pr r nom˜res premiersF wontrer que l9entier N = p1 p2 . . . pr +
1 n9est divisi˜le p—r —u™un des entiers pi F
PF …tiliser l— question pré™édente pour montrer p—r l9—˜surde qu9il existe une in(nité de
nom˜res premiersF

PFR ‚é™urren™e
ixer™i™e ISP hémontrerD en r—isonn—nt p—r ré™urren™eD que 106n+2 + 103n+1 + 1 est divisi˜le
p—r111 quel que soit n ∈ NF @sndi™—tion X 1000 = 9 × 111 + 1 AF

ixer™i™e ISQ n
wontrer X

n(n + 1)
IF k= ∀n ∈ N∗ .
k=1
2
n
n(n + 1)(2n + 1)
PF k2 = ∀n ∈ N∗ .
k=1
6
ixer™i™e ISR in quoi le r—isonnement suiv—nt estEil f—uxc
ƒoit P(n) X n ™r—yons de ™ouleurs sont tous de l— même ™ouleurF
! P(1) est vr—ie ™—r un ™r—yon de ™ouleur est de l— même ™ouleur que luiEmêmeF
! ƒupposons P(n)F ƒoit n + 1 ™r—yonsF yn en retire 1F ves n ™r—yons rest—nts sont de l— même
™ouleur p—r hypothèse de ré™urren™eF
‚eposons ™e ™r—yon et retironsEen un —utre Y les n nouve—ux ™r—yons sont à nouve—u de l—
même ™ouleurF ve premier ™r—yon retiré ét—it don™ ˜ien de l— même ™ouleur que les n —utresF
v— proposition est don™ vr—ie —u r—ng n + 1F
! yn — don™ démontré que tous les ™r—yons en nom˜re in(ni dénom˜r—˜le sont de l— même
™ouleurF

ixer™i™e ISS ƒoit l— suite (xn )n∈N dé(nie p—r x0 = 4 et xn+1 =
2x2 − 3
n
xn + 2
F

IF wontrer que X ∀n ∈ N xn 3F
PF wontrer que X ∀n ∈ N xn+1 − 3 3 (xn − 3)F
2
3 n
QF wontrer que X ∀n ∈ N xn 2
+ 3F
RF v— suite (xn )n∈N estEelle ™onvergente c

ixer™i™e IST

P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements IW
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IF h—ns le pl—nD on ™onsidère trois droites ∆1 , ∆2 , ∆3 form—nt un vr—i tri—ngle X elles ne
sont p—s ™on™our—ntesD et il n9y en — p—s deux p—r—llèlesF honner le nom˜re R3 de régions
@zones ˜l—n™hesA dé™oupées p—r ™es trois droitesF

PF yn ™onsidère qu—tre droites ∆1 , . . . , ∆4 D telles qu9il n9en existe p—s trois ™on™our—ntesD ni
deux p—r—llèlesF honner le nom˜re R4 de régions dé™oupées p—r ™es qu—tre droitesF
QF yn ™onsidère n droites ∆1 , . . . , ∆n D telles qu9il n9en existe p—s trois ™on™our—ntesD ni deux
p—r—llèlesF ƒoit Rn le nom˜re de régions délimitées p—r ∆1 . . . ∆n D et Rn−1 le nom˜re de
régions délimitées p—r ∆1 . . . ∆n−1 F wontrer que Rn = Rn−1 + nF

RF g—l™uler p—r ré™urren™e le nom˜re de régions délimitées p—r n droites en position génér—leD
™9estEàEdire telles qu9il n9en existe p—s trois ™on™our—ntes ni deux p—r—llèlesF

ixer™i™e ISU ƒoit
n+1
X un ensem˜leF €our f ∈ F(X, X)D on dé(nit f 0 = id et p—r ré™urren™e
pour n∈Nf = fn ◦ fF
IF wontrer que ∀n ∈ N f n+1 = f ◦ f n F
PF wontrer que si f est ˜ije™tive —lors ∀n ∈ N (f −1 )n = (f n )−1 F
ixer™i™e ISV wontrer que
n+1
n
∀n 2, n! .
2
ixer™i™e ISW €our tout entier n—turel nD on pose

Sn = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1) · n

hémontrer que l9on —
1
Sn = n(n − 1)(n + 1)
ixer™i™e ITH
3
€our n∈N on ™onsidère l— propriété suiv—nte X

Pn : 2n n2

IF €our quelles v—leurs de n l9impli™—tion Pn =⇒ Pn+1 estEelle vr—ie c

PF €our quelles v—leurs de n l— propriété Pn estEelle vr—ie c

ixer™i™e ITI ue pensezEvous de l— démonstr—tion suiv—nte c

IF €our tout n 2D on ™onsidère l— propriété X

P (n) : n points distin™ts du pl—n sont toujours —lignés

PF sniti—lis—tion X P (2) est vr—ie ™—r deux points distin™ts sont toujours —lignésF

QF rérédité X yn suppose que P (n) est vr—ie et on v— démontrer P (n + 1)F
ƒoit don™ A1 , A2 , . . . , An , An+1 des points distin™tsF h9—près l9hypothèse de ré™urren™eD
A1 , A2 , . . . , An sont —lignés sur une droite dD et A2 , . . . , An , An+1 sont —lignés sur une
droite d F ves deux droites d et d —y—nt n−1 points ™ommuns A2 , . . . , An sont ™onfonduesF
hon™ A1 , A2 , . . . , An , An+1 sont —lignésD ™e qui montre l9hérédité de l— propriétéF

RF gon™lusion X l— propriété P (n) est vr—ie pour tout n 2F
ixer™i™e ITP IF hémontrer que pour tout entier n—turel nD 9 divise 10n − 1F

P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements PH
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PF ƒoit k un entier stri™tement positifF Étudier l— propriété suiv—nte X pour tout entier n—turel
n
nD k divise (k + 1) + 2F

ixer™i™e ITQ hémontrer que pour n 1D le produit de n entiers imp—irs est un entier imp—irF
ixer™i™e ITR yn ™onsidère une suite (un )n∈N telle que X

u0 = 0 et u1 = 1 et ∀n 1, un+1 = un + 2un−1

hémontrer que X

IF ∀n ∈ N, un ∈ ND
1
PF ∀n ∈ N, un = 3 (2n − (−1)n )F
ixer™i™e ITS ƒoitb 2 un entier (xéF hémontrer que pour tout N ∈ N∗ D il existe un entier
n∈N et des entiers a0 , a1 , . . . , an —pp—rten—nt à { 0, 1, . . . , b − 1 } tels que Y

N = a0 + a1 b + · · · + an bn et an = 0

hémontrer que pour ™h—que ND le système (n, a0 , a1 , . . . , an ) est déterminé p—r l— propriété
™iEdessusF
yn dit que a0 , a1 , . . . , an sont les ™hi'res de l9é™riture du nom˜re N suiv—nt l— ˜—se bF
ixer™i™e ITT hémontrer p—r ré™urren™e que pour tout k ∈ ND k! divise le produit de k entiers
™onsé™utifs X
∀n ∈ N, k! | n(n + 1) · · · (n − k + 1)
ixer™i™e ITU ves propriétés
Pn : 3 | 4n − 1 , ∀n ∈ N,
et
Qn : 3 | 4n + 1 , ∀n ∈ N,
sontEelles vr—ies ou f—usses c

ixer™i™e ITV IF g—l™uler les restes de l— division eu™lidienne de 1, 4, 42 , 43 p—r 3F
PF pormulerD pour tout n ∈ ND une hypothèse P(n) ™on™ern—nt le reste de l— division eu™liE
n
dienne de 4 p—r 3F hémontrer que P(n) est véri(ée pour tout n ∈ NF

QF €our tout n ∈ ND le nom˜re 16n + 4n + 3 estEil divisi˜le p—r 3F
ixer™i™e ITW hémontrerD en r—isonn—nt p—r ré™urren™eD que 32n+2 − 2n+1 est divisi˜le p—r 7
n∈N
quel que soit F

ixer™i™e IUH IF hémontrer p—r ré™urren™e X

n
n(n + 1)
k=
k=0
2

PF g—l™uler de deux m—nières di'érentes X

n+1 n
3
k − (k + 1)3 .
k=1 k=0

QF in déduire X
n
1
k 2 = (2n3 + 3n2 + 3n).
k=0
6

P vogiqueD ensem˜lesD r—isonnements PI
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ixer™i™e IUI wontrer que pour tout entier n 1 X

1 1 1 n
+ + ... + = .
1.2 2.3 n.(n + 1) n+1
ixer™i™e IUP hémontrerD en le détermin—nt qu9il existe un entier n0 tel que

∀n n0 , 2n (n + 2)2 .

ixer™i™e IUQ hémontrer p—r ré™urren™e sur n que pour tout n 2 l9impli™—tion

[x −1, x = 0] ⇒ [(1 + x)n 1 + nx]

est vr—ieF

ixer™i™e IUR IF ƒoit n ∈ NY montrer que pour tout entier k 1 on —

nk + knk−1 (n + 1)k .

PF ƒoit b un réel positif ou nulF wontrer p—r ré™urren™eD que pour tout n 1 on —

nb (nb)2 (nb)n
(1 + b)n 1+ + + ... + .
1! 2! n!
ixer™i™e IUS wontrer p—r ré™urren™e que pour tout entier n ∈ ND
n
(a + b)n = Cn ak bn−k ,
k

k=0

pour tout réel a et bF
ixer™i™e IUT yn dé(nit une suite (Fn ) de l— f—çon suiv—nte X

Fn+1 = Fn + Fn−1 ; F0 = 1, F1 = 1 .

IF g—l™uler Fn pour 1 n 10F
PF wontrer que l9équ—tion x2 = x+1 —dmet une unique solution positive a que l9on ™—l™uler—F
QF wontrer queD pour tout n 2D on —

an−2 Fn an−1 .

ixer™i™e IUU wontrer que X

π √
cos = 2+ 2 + . . . 2.
2n
ixer™i™e IUV €our n ∈ N, n 2, trouver une loi simpli(—nt le produit X

1 1
(1 − )...(1 − ).
4 n
ixer™i™e IUW €our n ∈ N, soient a0 , . . . , an des nom˜res réels de même signe tel que ai −1,
montrer que X
(1 + a0 )...(1 + an ) 1 + a0 + . . . + an .

Q snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion PP
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PFS hivers
ixer™i™e IVH n 4n n! c
ixer™i™e IVI
uels sont les entiers tels que

wontrer que X
n
1
∀n 2, un = ∈ N.
/
k=1
k
sndi™—tion X montrer que

2pn + 1
∀n 2, ∃(pn , qn ) ∈ (N∗ )2 , un = .
2qn
ixer™i™e IVP ƒoit f : N ∗ → N∗ une —ppli™—tion véri(—nt X

∀n ∈ N∗ , f (n + 1) f (f (n)).
wontrer que f = IdN∗ . sndi™—tions X que dire de k ∈ N tel que f (k) = inf{f (n)|n ∈ N} c in
déduire que ∀n 0, f (n) f (0). wontrer ensuite que ∀n ∈ N, on — X ∀m n, f (m) f (n) et
∀m n, f (m) m @on pourr— introduire k tel que f (k) soit le plus petit entier de l— forme
f (m) —ve™ m nAF in déduire que f est stri™tement ™roiss—nte et qu9il n9existe qu9une seule
solution —u pro˜lèmeF v—quelle c

ixer™i™e IVQ €our p ∈ {1, 2, 3} on note Sp =
n

k=0
kpF
IF e l9—ide du ™h—ngement d9indi™e i=n−k d—ns S1 D ™—l™uler S1 F
PF p—ire de même —ve™ S2 F ue se p—sseEtEil c
QF p—ire de même —ve™ S3 pour l9exprimer en fon™tion de n et S2 F
in utilis—nt l9exer™i™e ISQD ™—l™uler S3 F

ixer™i™e IVR
RF

€our ™—l™uler des sommes port—nt sur deux indi™esD on — intérêt à représenter l—
zone du pl—n ™ouverte p—r ™es indi™es et à sommer en lignesD ™olonnes ou di—gon—lesFFF g—l™uler X

IF ij F
1 i j n
PF i(j − 1)F
1 ij n
QF (i − 1)j F
1 ij n
RF (n − i)(n − j)F
1 i j n
SF (p + q)2 @on poser— k = p + q AF
1 p,q n

Q snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion
QFI eppli™—tion
ixer™i™e IVS ƒoient f : R → R et g : R → R telles que f (x) = 3x + 1 et g(x) = x2 − 1F eEtEon
f ◦g =g◦fc
ixer™i™e IVT ƒoit l9—ppli™—tion de R d—ns RD f : x → x2 F
IF héterminer les ensem˜les suiv—nts X f ([−3, −1])D f ([−2, 1])D f ([−3, −1]∪[−2, 1]) et f ([−3, −1]∩
[−2, 1])F ves ™omp—rerF

PF wêmes questions —ve™ les ensem˜les f −1 (]−∞, 2])D f −1 ([1, +∞[)D f −1 (]−∞, 2] ∪ [1, +∞[)
−1
et f (]−∞, 2] ∩ [1, +∞[)F

Q snje™tionD surje™tionD ˜ije™tion PQ
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QFP snje™tionD surje™tion
ixer™i™e IVU honner des exemples d9—ppli™—tions de R d—ns R @puis de R2 d—ns RA inje™tive
et non surje™tiveD puis surje™tive et non inje™tiveF

ixer™i™e IVV ƒoit f :R→R dé(nie p—rf (x) = x3 − xF
−1
f estEelle inje™tive c surje™tive c héterminer f ([−1, 1]) et f (R+ )F
ixer™i™e IVW ves fon™tions suiv—ntes sontEelles inje™tives c surje™tives c ˜ije™tives c

f : Z → Z, n → 2n ; f : Z → Z, n → −n

f : R → R, x → x2 ; f : R → R+ , x → x 2
f : C → C, z → z 2 .
ixer™i™e IWH ves —ppli™—tions suiv—ntes sontEelles inje™tivesD surje™tivesD ˜ije™tives c

N→N
IF f:
n→n+1
Z→Z
PF g:
n→n+1
R2 → R2
QF h:
(x, y) → (x + y, x − y)
R − {1} → R
RF k: x+1
x → x−1
ixer™i™e IWI ƒoit f :R→R dé(nie p—r f (x) = 2x/(1 + x2 )F
IF f estEelle inje™tive c surje™tive c

PF wontrer que f (R) = [−1, 1]F
QF wontrer que l— restri™tion g : [−1, 1] → [−1, 1] g(x) = f (x) est une ˜ije™tionF

RF ‚etrouver ™e résult—t en étudi—nt les v—ri—tions de fF
ixer™i™e IWP v9—ppli™—tion f : C {0} → C, z → z + 1/z estEelle inje™tive c surje™tive c
˜ije™tive c
honner l9im—ge p—r f du ™er™le de ™entre 0 et de r—yon 1F
honner l9im—ge ré™iproque p—r f de l— droite iRF
ixer™i™e IWQ yn ™onsidère qu—tre ensem˜les A, B, C et D et des —ppli™—tions f : A → BD
g : B → C D h : C → DF wontrer que X

g◦f inje™tive ⇒f inje™tiveD

g◦f surje™tive ⇒g surje™tiveF

wontrer que X

g◦f et h◦g sont ˜ije™tives ⇔ f, g et h sont ˜ije™tives .


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