1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.
ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES
MÉTODOS MATEMÁTICOS
PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL
CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS
CURVILÍNEAS ORTOGONALES.
LECCIÓN NUEVE.
Sistemas especiales de coordenadas curvilíneas ortogonales.
Coordenadas cilíndricas circulares.
Este sistema de coordenadas es definido por las siguientes superficies coordenadas:
- Una superficie cilíndrica de radio [ 1 r C 1 cuyo eje es el eje x3 del sistema cartesiano x1,x2,x3.
- Una superficie plana que forma un ángulo [ 2 M C 2 constante con el plano x1x3 , y
- una superficie [ 3 x 3 C 3 constante.
Las tres superficies son ortogonales dos a dos.
Coordenadas:
[1 r, [ 2 M, [3 x3 z
Vectores:
& & & & & &
a1 ar , a2 aM , a3 e3
Ecuaciones de transformación:
x1 x r cos M ; x2 y rsenM y x3 z
Rangos de variación de las coordenadas:
rt0 ; 0 d M d 2S ; -fdzdf
Factores de escala:
h1 hr 1 ; h2 hM r ; h3 hz 1
Elemento de volumen:
dVol rdrdMdz
Gradiente de una función :
&
& w a M w & w
’ a r az
wr r wM wz
Divergencia de un vector V :
1 ª w(rVr ) wVM w(rVz ) º
’˜V « » ó:
r ¬ wr wM wz ¼
1 w(rVr ) 1 wVM 1 w(rVz )
’˜V
r wr r wM r wz
Laplaciano de una función :
1 w § w · 1 w 2 w 2
’2 ¨r ¸
r wr © wr ¹ r 2 wM 2 wz 2
1

2. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.
ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES
MÉTODOS MATEMÁTICOS
Coordenadas esféricas.
Este sistema de coordenadas es definido por las siguientes superficies coordenadas:
- Una superficie esférica de radio [ 1 r C 1 cuyo eje es el centro del sistema cartesiano x1,x2,x3.
- Una superficie plana que forma un ángulo [ 2 T C 2 constante con el plano x1x3 ,y
- una superficie plana que forma un ángulo [ 3 M C 3 variante en el plano x2x3.
Las tres superficies son ortogonales dos a dos.
Coordenadas:
[1 r, [ 2 T, [3 M
Vectores:
a1 ar , a2 aT , a3 aM
Ecuaciones de transformación:
x 1 x rsenT cos M ; x2 y rsenTsenM y x3 z r cos T
Rangos de variación de las coordenadas:
rt0 ; 0dTdS ; 0 d M d 2S
Factores de escala:
h1 hr 1 ; h2 hT r ; h3 hI rsenT
Elemento de volumen:
dVol r 2 senTdrdMdT
Gradiente de una función :
w a T w a M w
’ ar
wr r wT rsenT wM
Divergencia de un vector V :
1 ª w(r 2 senTVr ) w(rsenTVT ) w(rVM ) º
’˜V « »
r 2 senT «
¬ wr wT wM » ¼
Laplaciano de una función :
1 w § 2 w · 1 w § w · 1 w2
’2 2 wr ¨
r ¸ 2 ¨ senT ¸ 2
r © wr ¹ r senT wT © wT ¹ r sen T wM 2
2
2