Bab 1 membahas latar belakang riset operasi dan metodologi riset operasi yang terdiri dari 6 langkah yaitu mendefinisikan masalah, membangun model, menyelesaikan model, validasi solusi, implementasi, dan mekanisme kontrol. Bab 2 membahas program linier sebagai salah satu teknik riset operasi dan karakteristiknya yang meliputi sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas, dan kepastian.

1. BAB I
RISET OPERASI
1.1 Sejarah dan Latar Belakang Riset Operasi.
Sejak revolusi industri, dunia usaha mengalami perubahan dalam hal
ukuran (besarnya) dan kompleksitas organisasi-organisasi perusahaan. Bagian
yang mengalami perubahan yang cukup mencolok adalah perkembangan
dalam pembagian kerja dan segmentasi tanggung jawab manajemen dalam
organisasi organisasi tersebut. Disisi lain, organisasi-organisasi (perusahaan)
pada saat ini harus beroperasi di dalam situasi dan kondisi lingkungan bisnis
yang dinamis dan selalu bergejolak, serta siap untuk berubah-ubah.
Perubahan-perubahan tersebut terjadi sebagai akibat dari kemajuan
teknologi yang begitu pesat ditambah dengan dampak dari beberapa faktor-
faktor lingkungan lainnya seperti keadaan ekonomi, politik, sosial dan
sebagainya. Perkembangan Kemajuan teknologi tersebut telah menghasilkan
dunia komputerisasi. Buah-buah pembangunan telah melahirkan para
pimpinan dan pengambilan keputusan, para peneliti, perencana dan pendidik
untuk memikirkan serta memecahkan/menganalisis permasalahan, mengambil
langkah-langkah dan strategi yang tepat serta target yang sesuai secara
sistematis dalam rangka mencapai tujuan yang telah ditentukan, yakni hasil
yang memuaskan. Hasil yang memuaskan tersebut adalah hasil yang optimal
yang berarti dampak positifnya maksimum dan dampak negatifnya minimum.
Tim-tim riset operasi dalam lingkungan dunia bisnis ini menandai kemajuan
teknik-teknik riset operasi.
1

2. Sebagai contoh utama adalah metode simpleks untuk pemecahan
masalah-masalah linear programming, yang dikembangkan oleh George
Dantzig dalam tahun 1947. Disamping itu banyak peralatan-peralatan riset
operasi standar, seperti linear programming, dynamic programming, teori
antrian dan teori pengendalian persediaan telah dikembangkan sebelum akhir
tahun 1950-an.
1.2 Pengertian Riset Operasi.
Arti riset operasi (operations research) telah banyak didefinisikan oleh
beberapa ahli.
 Morse dan Kimball mendefinisikan riset operasi sebagai metode ilmiah
(scientific method) yang memungkinkan para manajer mengambil keputusan
mengenai kegiatan yang mereka tangani dengan dasar kuantitatif. Definisi ini
kurang tegas karena tidak tercermin perbedaan antara riset operasi dengan
disiplin ilmu yang lain.
 Churchman, Arkoff dan Arnoff pada tahun 1950-an mengemukakan pengertian
riset operasi sebagai aplikasi metode-metode, teknik-teknik dan peralatan-
peralatan ilmiah dalam menghadapi masalah masalah yang timbul di dalam
operasi perusahaan dengan tujuan ditemukannya pemecahan yang optimum
masalah-masalah tersebut.
 Miller dan M.K. Starr mengartikan riset operasi sebagai peralatan manajemen
yang menyatukan ilmu pengetahuan, matematika, dan logika dalam kerangka
pemecahan masalah masalah yang dihadapi sehari-hari, sehingga akhirnya
permasalahan tersebut dapat dipecahkan secara optimal.
2

3. Dari ketiga definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa riset operasi
berkenaan dengan pengambilan keputusan yang optimal dalam, dan
penyusunan model dari sistem-sistem baik yang diterministik maupun
probabilistik yang berasal dari kehidupan nyata. Atau dunia pengelolaan atau
dunia usaha yang memakai pendekatan ilmiah atau pendekatan sistematis
disebut riset operasi (Operations Resech).
1.3 Riset Operasi Sebagai Seni dan Ilmu.
Istilah riset operasi sering kali diasosiasikan secara eksklusif dengan
penggunaan teknik-teknik matematis untuk membuat model dan menganalisi
masalah keputusan. Walaupun matematika dan model matematis merupakan
inti dari riset operasi, pemecahan masalah tidaklah hanya sekedar
pengembangan dan pemecahan model-model matematis. Secara spesifik,
masalah keputusan biasanya mencakup factor-faktor penting yang tidak
berwujud dan tidak dapat diterjemahkan secara langsung dalam bentuk model
matematis.
Sebagai sebuah teknik pemecahan masalah, riset operasi harus
dipandang sebagai ilmu dan seni. Aspek ilmu terletak dalam penyediaan
teknik-teknik matematis dan algoritma untuk memecahkan masalah keputusan
yang tepat. Riset operasi adalah sebuah seni karena keberhasilan dalam semua
tahap yang mendahului dan melanjuti pemecahan dari sebuah model
matematis sebagian besar bergantung pada kreativitras dan kemampuan
pribadi dari mereka yang menganalisis pengambilan keputusan.
Sebagai contoh, Sebuah ilustrasi yang baik dari kasus diatas adalah
salah satu versi dari masalah elevator yang dikenal luas. Sebagai tanggapan
3

4. terhadap keluhan para penghuni tentang lambatnya elevator disebuah
bangunan perkantoran yang besar, sebuah pemecahan yang didasari oleh
analisis teori jalur antrian ditemukan tidak memuaskan. Setelah mempelajari
sistem tersebut lebih lanjut, ditemukan bahwa keluhan para penghuni tersebut
lebih disebabkan oleh kebosanan, karena pada kenyataannya, waktu
menunggu sangat singkat.
Sebuah pemecahan diajukan dimana sebuah cermin panjang dipasang
ditempat masuk elevator. Keluhan menghilang karena para pengguna elevator
asik memandangi diri mereka sendiri dan orang lain sambil menunggu
elevator.
Ilustrasi elevator ini menggarisbawahi pentingnya memandang aspek
matematis dari riset operasi dalam konteks yang lebih luas dari sebuah proses
pengambilan keputusan yang unsur-unsurnya tidak dapat diwakili sepenuhnya
oleh sebuah model matematis.
1.4 Metodologi Riset Operasional
Step 1 :
1. Efining and Formulating the Problem.
2. Organisational Culture
3. Grey or Problem Area
4. Climate for ecision Making
5. Availability of Various Alternatives
Step 2 :
4

5. eveloping and Constructing a Model
Model yang digunakan adalah model matematika
dipandang simpel dan mudahdalam mengasumsikan permasalahan
dalam model matematika.Teknik yang digunakan dalam OR antara lain :
a. linear programming,
b. transportation,
c. assignment,andd. simulation etc.
Menggunakan seluruh ilmu pada RO, secara model matematika terbagi menjadi 3
y aitu :
1. ecision Variables and Parameters
2. Constraints
3. Objective Function
Step 3 :
Solving the Model Menyelesaikan permasalahan sesuai dengan model
yang telahdibangun dan dikontruksi.
Step 4 : Solution-Testing or Model-ValidationMenghasilkan
solusi.Solusi ini kemudian dilakukan uji validasi pada sistem yang
akandijalankan.Jika validasi sudah memunuhi syarat maka solusi bisa
dijalankanpada step berikutnya.
5

6. Step 5 : Implementation StageMenjalankan solusi yang
sudah divalidasi
Step 6 : Establishing Control Mechanisms Melakukan
mekanisme kontrol terhadap solusi yang diimplementasikan.
BAB II
PROGRAM LINIER
2.1 Sejarah Program Linier
Ide Linear Programming pertama kali dicetuskan oleh seorang ahli
matematika asal Rusia bernama L.V. Kantorivich dalam bukunya yang
berjudul ”MATHEMATICAL METHODS IN THE ORGANIZATION AND
PLANNING OF PRODUCTION”. Dengan buku ini, ia telah merumuskan
pertama kalinya persoalan “Linear Programming”. Namun, cara-cara
6

7. pemecahan persoalan in di Rusia tidak berkembang dengan baik dan ternyata
para ahli di negara Barat dan AS yang menggunakan cara ini dimanfaatkan
dengan baik.
Pada tahun 1947, seorang ahli matematika dari AS yang bernama
George B. Dantzig menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalan-
persoalan linear programming. Cara pemecahan ini dinamakan ” Simplex
Method”, yang diuraikan dalam bukunya ”LINEAR PROGRAMMING AND
EXTENTION”. Selanjutnya teori ini berkembang pesat sekali terutama
dibidang kemiliteran yang menyangkut optimisasi dalam strategi perang dan
di bidang-bidang lainnya.
2.2 Pengertian Program Linier
Linear Programming (LP) / Pemrograman linier merupakan suatu
model yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian
sumber-sumber yang terbatas secara optimal dengan menggunakan model
matematika. Sumber-sumber yang dimaksud dapat berupa bahan baku,
peralatan & mesin, ruang, waktu, dana dan orang. istilah linier menunjukan
bahwa seluruh fungsi matematika yang ada di dalam model harus merupakan
suatu fungsi linier, sedangkan programming pada hakekatnya adalah sinonim
dengan perencanaan.
Jadi pemrograman linier mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan
untuk mencapai suatu hasil yang optimal, yaitu suatu hasil yang
mencerminkan tercapainya sasatan tertentu yang paling baik diantara
alternatif-alternatif yang mungkin dengan mengunakan fungsi linier. Atau
7

8. dengan kata lain LP adalah metode atau teknik matematis yang digunakan
untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan.
Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan LP ialah merumuskan
masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia,
kemudian menerjemahkan masalah ini kedalam bentuk model matematika
guna menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi.
Pada saat kita akan menentukan alat program linier dalam mencoba
memecahkan suatu persoalan, maka ada beberapa hal yang harus dicermati
atau kondisi yang diperlukan. Hal-hal tersebut adalah:
1. Tujuan dari pemecahan kasus merupakan optimalisasi. Optimalisasi
artinya mencari suatu titik pada besaran angka yang akan menunjuk pada
tujuan utama dari kasus yang akan dipecahkan. Tujuan utama dari kasus
adalah maksimasi atau minimasi. Contoh suatu perusahaan apakah ingin
memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya dalam target
operasionalnya. Optimalisasi dari perusahaan itu adalah mencari tingkat
output dan kombinasi input yang akan mencapai tujuan dari perusahaan, yaitu
maksimasi laba atau minimasi biaya.
2. Terdapat berbagai alternatif dari kombinasi berbagai variabel input yang
tersedia yang salah satunya akan memberikan tingkat output yang sesuai
dengan tujuan dari optimalisasi. Misalnya apakah membuat nasi goreng yang
akan memaksimumkan keuntungan dibuat dengan proporsi satu piring nasi
dan dua takar bumbu atau dengan proporsi satu piring nasi dengan tiga takar
bumbu?
3. Variabel-variabel input merupakan variabel yang terbatas. Keterbatasan di
sini dalam arti jumlah yang tersedia terbatas disertai dengan biaya dari tiap
8

9. variabel juga tertentu. Kombinasi variabel input dalam menghasilkan output
mempunyai sifat substitusi, artinya semakin banyak satu variabel input
digunakan untuk membuat suatu output, maka alokasi variabel input tersebut
untuk output lain akan berkurang.
4. Semua output yang akan dihasilkan merupakan suatu pertidaksamaan
linier dari input. Pertidaksamaan ini akan menggambarkan keterbatasan atau
kemungkinan yang timbul dari kondisi input dan output. Misalnya, jika X
adalah nasi goreng biasa dan Y adalah nasi goreng spesial, serta ada ketentuan
bahwa biaya untuk membuat 3 piring nasi goreng biasa dan 2 piring nasi
goreng spesial tidak boleh melebihi 30.000 rupiah. Oleh karena itu, bisa kita
tulis: 3X + 2Y ≤ 30.000.
2.3 Karakteristik Pemrograman Linier
Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan
beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan
grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis,
linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas,
divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas.
Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi
tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap
level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama
berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan
kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat
proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya
9

10. tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak
dipenuhi.
Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian
silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk
perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan
maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan
merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel
keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan
merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua
variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk substitusi, dimana
peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume
penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak
terpenuhi.
Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam
sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer
dimungkinkan.
Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa
konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas
merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.
Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat
dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam
pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal
yang diperoleh.
2.4 Formulasi Model Pemrograman Linier
10

11. Ada 3 langkah utama dalam merumuskan model pemrograman linier, yaitu :
1. Tentukan variabe yang ingin diketahui atau variabel keputusan dan
gambar dalam simbol-simbol aljbar.
2. Tentukan semua keterbatasan atau kendala dan gambar dalam bentuk
persamaan linier atau ketidaksamaan dari variable tadi.
3. Tentukan tujuan atau kreteria dan gambaran sebagai fungsi linier dari
variabel keputusan yang akan berbentuk maksimasi atau minimalisasi.
Contoh :
Perusahaan han dani mau menjadwalkan produksi dari peralatan dapur yang
membutuhkan dua jenis sumber yaitu tenaga buruh dan bahan
baku.Perusahaan telah merencanakan tiga jenis model dan ketiganya
membutuhkan sumber dan memberikan keuntungan sebagai berikut :
Penyediaan bahan baku yang didapat dilakukan per hari adalah 300 kg
sedangkan kepastian tenaga kerja yang dimiliki adalah 150 jam/hari.
Bagaimana perumusan pemrograman liniernya sehingga keuntungan totalnya
maksimumnya untuk menentukan kecwpatan produksi hariannya.
11

12. Perumusannya
Langkah 1. Kegiatan yang ingin diketahui adalah produksi harian dari ketiga
model.
Maksimalkan = produksi harian dari produk A
= produksi harian dari produk B
= produksi harian dari produk C
Langkah 2. Menentukan kendala.Dalam masalah ini kendala yang dihadapi
adalah kepastian dari kedua sumber yaitu tenaga kerja dan
bahan baku.
Untuk setiap unit produk A dibutuhkan 7 jam, model B
membutuhkan 3 jam buruh dan model C membutuhkan 6 jam.
Maka kebutuhan tenaga kerja total adalah:
7 + 3 + 6 yang tidak boleh lebih dari 150 jam/hari,maka:
7X1 + 3X2 + 6X3 ≤ 150
Demikian juga dengan bahan baku untuk model A dibutuhkan
4, model B dibutuhkan 4 dan untuk model C dibutuhkan 5.
Maka kendala yang diberikan oleh kepastian bahan baku adalah:
4X1 + 4X2 + 5X3 ≤ 200
Selain itu variabel keputusan harus dibatasi jangan sampai
negatif,keterbatasan ini disebut kendala non negatif.
Langkah 3. Menentukan tujuan. Tujuan perusahaan adalah memaksimumkan
keuntungan sehingga dengan anggapan bahwa semua produksi
akan terjual, maka keuntungan total bagi perusahaan adalah:
12

13. Z = 4X1 + 20X2 + 30X3
Maka model pemrograman linier bagi masalah perencanaan
campuran produksi ini adalah :
Cari harga + + yang akan memaksimumkan Z = 4X1 +
20X2 + 30X3
Dengan memperhatikan kendala :
7X1 + 3X2 + 6X3 ≤ 150
4X1 + 4X2 + 5X3 ≤ 200
≥ 0, ≥ 0, ≥ 0
BAB III
SOLUSI GRAFIK PROGRAM LINIER
3.1 Metode Grafik
Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk
menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan
adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear
Programming (LP).
13

14. 3.2 Maksimisasi
Optimalisasi yang dilakukan dengan tujuan untuk maksimasi bisa
menggunakan aplikasi program linier dengan menggunakan grafik. Syarat
yang diperlukan untuk dapat menggunakan pendekatan grafik adalah jumlah
dari variabel output tidak boleh lebih dari dua. Hal ini disebabkan dimensi
yang digunakan hanya terdiri dari dua dimensi atau hanya satu sumbu
horizontal dan satu sumbu vertikal yang menggambarkan masing-masing
output.
Gambar satu di bawah memperlihatkan gambaran grafik yang akan
digunakan dalam pemecahan masalah optimalisasi dengan pendekatan grafik.
Sumbu horizontal menggambarkan output barang X, dimana semakin ke
kanan, jumlah output akan semakin besar. Sumbu vertikal mencerminkan
output barang Y, dimana semakin ke atas akan menggambarkan jumlah output
Y yang semakin besar.
Output Y
0
Output X
Gambar 1. Grafik dua dimensi
Misalkan sebuah perusahaan "A" memproduksi 2 jenis barang yaitu
barang X dan barang Y. Kedua jenis barang tersebut diproduksi dengan
14

15. mempergunakan 3 jenis mesin (P, Q dan R). Barang X diproses dengan mesin
P selama 4 jam, mesin Q selama 3 jam dan mesin R selama 1 jam, sedangkan
barang Y diproses dengan mesin Q dan mesin R masing-masing selama 2 jam.
Dalam 1 hari mesin P bisa beroperasi selama 16 jam, mesin Q selama 24 jam
dan mesin R selama 20 jam. Barang X dapat dijual di pasar dengan harga Rp
400.000 per buah sedangkan barang Y dijual seharga Rp 300.000 per buah.
Perusahaan akan menghitung pendapatan tiap hari berdasarkan
kemampuan per hari dari mesin yang dimiliki. Oleh karena itu, dengan tujuan
memaksimumkan pendapatan perusahaan setiap harinya, perusahaan harus
menentukan suatu kombinasi dari jumlah barang X dan jumlah barang Y yang
akan diproduksi dan dijual guna memperoleh pendapatan yang maksimum.
Kasus di atas bisa kita buat ikhtisarnya dalam bentuk tabel informasi
persoalan untuk perusahaan “A” seperti diperlihatkan oleh tabel 1. Tabel
tersebut memperlihatkan waktu yang diperlukan tiap barang dari masing-
masing mesin yang digunakan, serta memperlihatkan keterbatasan
penggunaan mesin tiap harinya. Tabel ini juga memperlihatkan kendala dari
proses produksi untuk pembuatan barang X dan barang Y yang secara
terperinci akan dijelaskan nanti.
Tabel 1. Informasi Persoalan Pembuatan Barang X dan Barang Y bagi
Perusahaan “A”
Waktu yang diperlukan Total jam yang
Mesin untuk tiap unit barang tersedia
X Y untuk tiap mesin
P 4 - 16
15

16. Q 3 2 24
R 1 2 20
Objective Function
Tujuan dari pemecahan masalah contoh di atas adalah
memaksimumkan pendapatan perusahaan per harinya dari dua output barang
yang dihasilkan perusahaan. Pendapatan maksimum yang ingin diraih disebut
dengan Objective Function atau Fungsi Tujuan. Objective Function dari
persoalan di atas kita rumuskan dengan persamaan matematik sebagai berikut:
Output Barang X : Pendapatan per unit sebesar Rp 400.000,-
Output Barang Y : Pendapatan per unit sebesar Rp 300.000,-
Total Output (X+Y) : 400.000 X + 300.000 Y = Objective Function
Constraint
Perusahaan akan mencoba meraih objective function tersebut dengan
mengacu pada proses produksi dari tiga mesin seperti yang diperlihatkan pada
tabel 1. Mesin-mesin tersebut merupakan variabel input bagi perusahaan
dengan keterbatasan pada kemampuan dari mesin dalam menghasilkan output
yang diperlihatkan pada waktu yang tersedia bagi tiap mesin untuk
berproduksi. Kombinasi dari penggunaan mesin untuk tiap output mempunyai
spesifikasi khusus yang dicerminkan oleh koefisien dari tiap mesin secara
simultan. Jika kita gabungkan tiap kombinasi mesin untuk tiap output dengan
ketersediaan waktu bagi tiap mesin, maka kita akan dapatkan suatu persamaan
Constraint (kendala).
16

17. Kendala yang dihadapi oleh perusahaan tersebut pada intinya adalah
waktu yang digunakan untuk tiap input (mesin) untuk membuat kedua output
dan tidak boleh melebihi total dari waktu yang tersedia bagi ketiga mesin.
Pertidaksamaan akan digunakan di sini karena mempunyai pengertian kurang
atau sama dengan untuk total waktu yang tersedia bagi tiap mesin.
Mesin P :4X ≤ 16
Mesin Q : 3X + 2 Y ≤ 24
Mesin R :X+2Y ≤ 20
Output yang dihasilkan untuk kedua barang harus memperlihatkan
hasil yang nyata dalam matematis tidak boleh kurang dari nol (negatif).
Secara grafik, semua angka positif tersebut hanya ada pada satu kuadran, yaitu
kuadran pertama. Oleh karena itu, gambar 1 di atas, menunjukkan bahwa
hanya kuadran pertama yang akan digunakan dalam pendekatan grafik di sini.
Bentuk pertidaksamaan tambahan untuk constraint bagi kasus perusahaan ”A”
adalah :
Output barang X :X≥0
Output barang Y :Y≥0
Mathematical Summary
Perumusan masalah untuk perusahaan ”A” sekarang bisa disimpulkan
berdasarkan ringkasan matematiknya (Mathematical Summary). secara
lengkap sebagai berikut:
17

18. Objective Function: Pendapatan Maksimum = 400.000 X + 300.000 Y
Constraint :
4X ≤ 16
3X + 2Y ≤ 24
X + 2Y ≤ 20
X ≥0
Y ≥0
Pembuatan Grafik
Langkah berikutnya adalah membuat grafik untuk tiap persamaan
Constraint. Grafik akan dibuat seperti gambar 1, dimana Output barang X
untuk sumbu horizontal dan Output barang Y untuk sumbu vertikal. Kita
harus meletakkan setiap persamaan kendala di atas ke grafik yang akan kita
buat, sehingga kita memerlukan dua titik untuk dapat menarik garis linier tiap
persamaan.
Untuk mendapatkan dua titik tersebut kita andaikan salah satu barang
tidak dibuat atau produksi hanya atas satu barang. Misalkan untuk persamaan
Constraint yang kedua yaitu 3X + 2Y≤ 24, bila produksi hanya untuk X
artinya produksi Y tidak ada (Y = 0), maka ditemukan satu titik yaitu :
3X + 2Y≤ 24 bila Y = 0
3X ≤ 24
X ≤ 24/3
18

19. X≤8
Ditemukan titik : (8, 0)  A
Sehingga titik tersebut adalah (8, 0) artinya di sumbu X untuk 8 dan 0
untuk sumbu Y, dimana penulisan koordinat harus sumbu x baru diikuti
dengan sumbu y. (sumbu X ; Sumbu Y). Titik yang kedua kita lakukan sama
dengan mengandaikan semua produksi untuk barang Y, sehingga tidak ada
barang X yang dibuat (X = 0).
3X + 2Y≤ 24 bila X = 0
2Y ≤ 24
Y ≤ 24/2
Y ≤ 12
Ditemukan titik : (0, 12)  B
Kita gabungkan kedua titik tersebut untuk mendapatkan satu garis
linier. Gambar dua memperlihatkan garis AB yang mencerminkan kombinasi
kedua barang akan menghabiskan 24 jam pemakaian mesin Q. Titik-titik di
atas garis ini tidak bisa dilakukan karena akan menghabiskan waktu
pemakaian di atas 24 jam, sedangkan bila di bawah garis akan bisa dilakukan
karena berada pada tingkat pemakaian mesin di bawah 24 jam.
Output Y
B
12
D
8
5 C
A
19
0
2 6 8 Output X

20. Gambar 2. Grafik persamaan 2.
Kombinasi-kombinasi output X dan Y (X, Y) yang ada di bawah garis
AB bisa dilakukan, tetapi masih kurang dari jumlah jam yang maksimum.
Misalnya titik C (2, 5) masih bisa dilakukan karena jumlah pemakaian mesin
masih di bawah 24 jam, yaitu 3X + 2Y≤ 24 sehingga, 3(2) + 2(5) = 16 jam.
Titik D (6, 8) ada di atas garis AB, oleh karena itu tidak mungkin kita lakukan
karena ada di atas kapasitas mesin 24 jam, yaitu 3X + 2Y≤ 24 sehingga, 3(6)
+ 2(8) = 34 jam.
Persamaan pertama, keempat dan kelima bisa kita buat grafiknya
dengan cara seperti untuk persamaan 2. Tabel berikut memperlihatkan
bagaimana koordinat didapat untuk masing-masing persamaan constraint. Jika
hanya terdapat satu titik potong, maka garis tersebut akan sejajar sumbu yang
tidak ada titik potongnya. Contoh persamaan satu, tidak ada titik potong
dengan sumbu Y, maka garisnya akan sejajar dengan sumbu Y. Khusus untuk
persamaan 4 dan 5, titiknya unik yaitu ada di titik origin (0, 0). Untuk yang
didefinisikan di sumbu X maka, arahnya sepanjang sumbu X demikian pula
untuk sumbu Y.
Tabel 2. Koordinat Persamaan Constraint
No. Persamaan Sumbu X Sumbu Y Keterangan
1. 4X ≤ 16 (4, 0) - Satu titik
potong
20

21. 2. 3X + 2Y≤ 24 (8, 0) (0, 12) Dua titik
potong
3. X + 2Y (20, 0) (0, 10) Dua titik
≤ 20 potong
4. X≥0 (0, 0) - Satu titik
potong
5. Y≥0 - (0, 0) Satu titik
potong
Feasible Region
Tiap persamaan yang sudah didapat koordinatnya akan dibuat
gambarnya pada gambar 3. Setiap garis linier yang dibuat harus menjelaskan
area yang dicakup oleh garis tersebut berdasarkan persamaannya. Misalnya
untuk persamaan pertama yang diperlihatkan berupa garis tegak sejajar
dengan sumbu Y pada gambar 3, akan mencakup area ke sebelah kiri dari
garis tersebut. Hal ini karena pertidaksamaannya merupakan kurang dari atau
sama dengan, yang berarti mencakup area sebelum atau sama dengan garis X
= 4. Daerah layak atau feasible region untuk tiap persamaan diperlihatkan
pada gambar 3 sampai dengan gambar 5, dimana untuk gambar 6 merupakan
irisan dari tiap gambar.
21

22. Output Y
1
0 4 Output X
Gambar 3. Daerah Layak dari persamaan 1.
Output Y
2
12
0 8 Output X
22

23. Gambar 4. Daerah Layak dari persamaan 2.
Output Y
10
3
0 20 Output X
Gambar
5. Output Y Daerah
Layak
dari
0 Output X
persamaan 3.
23

24. Gambar 6. Daerah Layak dari persamaan 4 dan persamaan 5.
Gambar 3 sampai dengan gambar 6 memperlihatkan daerah layak
untuk tiap persamaan. Gambar 7 memperlihatkan daerah layak bagi semua
persamaan yang ada pada area 0EFGH. Setiap titik kombinasi output X dan
output Y yang diproduksi di dalam area daerah layak 0EFGH akan
memberikan kita alasan untuk dapat memproduksinya. Masalahnya sekarang
adalah titik mana saja yang dapat memberikan tingkat pendapatan per hari
bagi Perusahaan yang tertinggi. Kita bisa mencari tingkat pendapatan yang
bisa dihasilkan oleh titik E, F, G dan H serta menentukan titik mana yang
menghasilkan pendapatan tertinggi. Hal ini menyisakan masalah lain berupa
tidak diketahuinya kombinasi X dan Y (koordinat) dari semua titik tersebut.
Titik E dan H saja yang ada kombinasinya yaitu (0, 10) untuk E dan (4, 0)
untuk H. Koordinat titik F dan G bisa dicari dengan mencari titik potong dari
kedua garis.
Output Y
1
2
12
E
10 F
3
G
H A
0 4 8 20 Output X
24

25. Gambar 7. Daerah Layak dari persamaan 1 sampai dengan persamaan 5.
Titik F : Merupakan titik potong dari persamaan 2 dan persamaan 3.
3X + 2Y ≤ 24 Persamaan 2
X + 2Y ≤ 20 Persamaan 3
Pertama kita eliminasikan Y untuk menghasilkan X
3X + 2Y = 24
X + 2Y = 20 −
2X = 4, X=2
Substitusikan X yang didapat ke salah satu persamaan. Misal ke Persamaan 2.
3X + 2Y = 24
3(2) + 2Y = 24
2Y = 24 – 6
Y = 18/2
Y =9
25

26. Maka didapat koordinat untuk kombinasi F adalah (2, 9) yang berarti
memproduksi dua buah output X dan memproduksi sembilan output Y. Untuk
titik G bisa dicari dengan cara yang sama yaitu:
Titik G : Merupakan titik potong dari persamaan 1 dan persamaan 2.
4X ≤ 16 Persamaan 1
3X + 2Y≤ 24 Persamaan 2
Pertama kita cari X dari persamaan 1
4X = 16
X = 16/4
= 4
Substitusikan X yang didapat ke Persamaan 2.
3X + 2Y = 24
3(4) + 2Y = 24
2Y = 24 – 12
Y = 12/2
Y =6
26

27. Maka didapat koordinat untuk kombinasi G adalah (4, 6) yang berarti
memproduksi empat buah output X dan memproduksi enam output Y.
Langkah terakhir untuk menentukan titik mana yang merupakan
kombinasi optimal dalam memaksimumkan pendapatan adalah dengan
memasukkan tiap kombinasi ke persamaan tujuan (objective function) dan
mencari yang menghasilkan pendapatan tertinggi.
Objective Function: Pendapatan = 400.000 X + 300.000 Y
Tabel 3. Pendapatan dari Tiap Kombinasi
No. Kombinasi Koordinat Pendapatan
1. E (0, 10) 400.000 (0) + 300.000 (10) = 3.000.000
2. F (2, 9) 400.000 (2) + 300.000 (9) = 3.500.000
3. G (4, 6) 400.000 (4) + 300.000 (6) = 3.400.000
4. H (4, 0) 400.000 (4) + 300.000 (0) = 1.600.000
Berdasarkan tabel 3 di atas, bisa kita simpulkan bahwa perusahaan
harus menentukan memproduksi dua buah barang X dan sembilan buah
barang Y agar pendapatan per hari perusahaan bisa maksimum. Kendala
perusahaan terhadap perbedaan waktu pakai mesin menjadi teralokasikan
secara efisien menurut persamaan linier programming.
27

28. 3.3 Minimisasi
Program linier bisa digunakan untuk tujuan meminimumkan suatu
fungsi. Biaya merupakan contoh yang paling sering digunakan sebagai fungsi
tujuan untuk diminimumkan.
Contoh untuk kasus minimum, misalnya pilihan atas dua jenis
makanan dengan perhatian terhadap kebutuhan nutrisi yang terkandung atas
masing-masing makanan tersebut. Misalkan makanan tersebut adalah daging
sapi dan ikan. Harga untuk daging sapi adalah Rp 20.000 per Kg dan Rp
30.000 per Kg untuk ikan. Kandungan nutrisi yang diperlukan dari kedua
makanan tersebut adalah protein, mineral dan vitamin yang kandungan dan
keperluan minimal per hari yang dibutuhkan oleh tubuh dapat diperlihatkan
pada tabel berikut:
Tabel 4. Ikhtisar
Kebutuhan
Unit Nutrisi per Kg Minimum Per
Hari
Nutrisi Daging Sapi
Ikan (Y) Jumlah
(X)
Protein 1 2 14
Mineral 1 1 10
Vitamin 1 0,5 6
Objective Function
28

29. Tujuan dari pemecahan masalah contoh di atas adalah meminimumkan
biaya dari makanan atas harga dari tiap jenis makanan. Objective Function
dari persoalan di atas kita rumuskan dengan persamaan matematik sebagai
berikut:
Daging Sapi (X) : Harga per Kg Rp 20.000,-
Ikan (Y) : Harga per Kg Rp 30.000,-
Total Makanan (X+Y) : 20.000 X + 30.000 Y = Objective Function
Constraint
Kendala yang dihadapi untuk meminimumkan biaya dari konsumsi
makanan tetapi kebutuhan atas nutrisi yang minimal adalah sebagai berikut:
Protein : X + 2Y ≥ 14
Mineral : X+Y ≥ 10
Vitamin : X + 0,5 Y ≥6
Jumlah tiap jenis makanan yang dikonsumsikan tidak boleh bertanda
negatif karena akan tidak berarti. Oleh karena itu, untuk X dan Y ditambah
kendala harus positif berupa:
Konsumsi daging sapi : X ≥ 0
29

30. Konsumsi ikan :Y≥0
Mathematical Summary
Perumusan masalah untuk Konsumsi makanan, sekarang bisa
disimpulkan berdasarkan ringkasan matematiknya (Mathematical Summary).
secara lengkap sebagai berikut:
Objective Function: Biaya minimum = 20.000 X + 30.000 Y
Constraint :
X + 2Y ≥ 14
X+Y ≥ 10
X + 0,5 Y ≥6
X ≥0
Y ≥0
Pembuatan Grafik
Langkah berikutnya adalah membuat grafik untuk tiap persamaan
Constraint. Seperti untuk maksimasi akan dibuat dua titik dari tiap persamaan
untuk dapat membuat grafik.
30

31. Tabel berikut memperlihatkan bagaimana koordinat didapat untuk
masing-masing persamaan constraint. Jika hanya terdapat satu titik potong,
maka garis tersebut akan sejajar sumbu yang tidak ada titik potongnya.
No. Persamaan Sumbu X Sumbu Y Keterangan
1. X + 2Y (14, 0) (0, 7) Dua titik
≥ 14 potong
2. X + Y ≥ 10 (10, 0) (0, 10) Dua titik
potong
3. X + 0,5 Y≥ 6 (6, 0) (0, 12) Dua titik
potong
4. X≥0 (0, 0) - Satu titik
potong
5. Y≥0 - (0, 0) Satu titik
potong
Tabel 5. Koordinat Persamaan Constraint
Feasible Region
Tiap persamaan yang sudah didapat koordinatnya akan dibuat
gambarnya
Y
pada gambar 8.
Setiap
garis linier yang
7
dibuat
1
31
0 14 X

32. harus menjelaskan area yang dicakup oleh garis tersebut berdasarkan
persamaannya. Daerah layak atau feasible region untuk tiap persamaan
diperlihatkan pada gambar 8 sampai dengan gambar 10, dimana untuk gambar
11 merupakan irisan dari tiap gambar.
Gambar 8. Daerah Layak dari persamaan 1.
Y
10
2
0 10 X
Gambar 9. Daerah
Layak dari persamaan 2.
32

33. Y
12
3
0 6 X
Gambar 10. Daerah
Layak dari persamaan 3.
Output Y
0 Output X Gambar
11. Daerah
Layak dari persamaan 4 dan persamaan 5.
Y
Gambar 8
G sampai
12
10 dengan
F gambar 10
7
1 E
33
D
0 6 10 14 X

34. memperlihatkan daerah layak untuk tiap persamaan. Gambar 11
memperlihatkan daerah layak bagi semua persamaan yang ada pada area yang
diarsir. Setiap titik kombinasi konsumsi X dan konsumsi Y yang ada di dalam
area daerah layak akan memberikan kita alasan untuk dapat
mengkonsumsinya. Oleh karena itu, kita harus mencari koordinat dari tiap
titik yang merupakan kombinasi konsumsi untuk X dan konsumsi Y, baru kita
cari mana yang paling minimum dari persamaan objektifnya.
Gambar 11. Daerah Layak dari persamaan 1 sampai dengan persamaan 5.
Titik E : Merupakan titik potong dari persamaan 1 dan persamaan 2.
X + 2Y ≥ 14 Persamaan 1
X + Y ≥ 10 Persamaan 2
Pertama kita eliminasikan X untuk menghasilkan Y
X + 2Y = 14
34

35. X+Y = 10 −
Y =4
Substitusikan Y yang didapat ke salah satu persamaan. Misal ke Persamaan 2.
X + Y = 10
X+ 4 = 10
X = 10 - 4
X =6
Maka didapat koordinat untuk kombinasi E adalah (6, 4) yang berarti
mengkonsumsi 6 Kg daging sapi (X) dan mengkonsumsi 4 kg ikan (Y).
Untuk titik G bisa dicari dengan cara yang sama yaitu:
Titik F : Merupakan titik potong dari persamaan 3 dan persamaan 2.
X + 0,5Y≥ 6 Persamaan 3
X + Y ≥ 10 Persamaan 2
Pertama kita eliminasikan X untuk menghasilkan Y
X + 0,5Y =6
X+Y = 10 −
35

36. - 0,5 Y =-4
Y =8
Substitusikan Y yang didapat ke Persamaan 2.
X + Y = 10
X + 8 = 10
X = 10 – 8
X =2
Maka didapat koordinat untuk kombinasi F adalah (2, 8) yang berarti
mengkonsumsi dua Kg daging sapi dan mengkonsumsi delapan daging ikan.
Langkah terakhir untuk menentukan titik mana yang merupakan
kombinasi optimal dalam meminimumkan biaya makanan adalah dengan
memasukkan tiap kombinasi ke persamaan tujuan (objective function) dan
mencari yang menghasilkan biaya terendah.
Objective Function: Biaya = 20.000 X + 30.000 Y
Tabel 6. Biaya Makanan dari Tiap Kombinasi
No. Kombinasi Koordinat Pendapatan
36

37. 1. D (14, 0) 20.000 (14) + 30.000 (0) = 280.000
2. E (6, 4) 20.000 (6) + 30.000 (4) = 240.000
3. F (2, 8) 20.000 (2) + 30.000 (8) = 280.000
4. G (0, 12) 20.000 (0) + 30.000 (12) = 360.000
Berdasarkan tabel 6 di atas, bisa kita simpulkan bahwa konsumsi yang
memberikan biaya paling rendah untuk kebutuhan nutrisi yang mencukupi
adalah pada konsumsi 6 kg daging sapi dan 4 kg daging ikan.
3.4 Masalah Khusus Metode Grafik Program Linier
1. Multiple Optimum Solution
Dalam LP sangat dimungkinkan terjadi multiple optimum solution atau
sering disebut dengan solusi optimum lebih dari satu.
Contoh :
Z (Mak) = 20X1 + 40X2
Kendala 3X1 + 6X2 ≤ 30
X1 ≤ 8
X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
2. No Feasible Solution
37

38. Tidak adanya feasible solution dapat terjadi karena kesalahan dalam
membuat formulasi LP atau kesalahan dalam menggambar garis kendala,
sehingga kita tidak dapat menemukan feasible solution space.
Contoh :
Z (Mak) = 20X1 + 50X2
Kendala X1 + X2 ≤ 5
2X1 + 3X2 ≥ 24
X1, X2 ≥ 0
38

39. BAB IV
SOLUSI PROGRAM LINEAR DENGAN METODE PRIMAL
4.1 Metode Primal
Maksimumkan : Z = 40X1 + 30X2 + 50X3
Batasan : 1. 6X1 + 4X2 + X3 ≤ 32000
2. 6X1 + 7X2 + 3X3 ≤ 16000
3. 4X1 + 5X2 + 12X3 ≤ 24000
4. X1, X2, X3 ≥ 0
Langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks primal:
1. Merubah model matematika menjadi bentuk baku simpleks dengan cara
menambahkan batasan dengan variable slack pada pertidaksamaan lebih kecil
sama dengan atau mengurangi dengan variable surplus pada pertidaksamaan
lebih besar sama dengan.
+ variable slack pada batasan ≤
- Variable surplus pada batasan ≥
Bentuk baku simpleks:
Maksimumkan : Z - 40X1 - 30X2 - 50X3 – 0S1 - 0S2 – 0S3 = 0
Batasan : 1. 6X1 + 4X2 + X3 + S1 = 32000
2. 6X1 + 7X2 + 3X3 + S2 = 16000
3. 4X1 + 5X2 + 12X3 + S3 = 24000
2. Buat tebel awal simpleks:
39

40. 3. Tentukan kolom masuk.
Pada kasus maksimalisasi, kolom masuk merupakan nilai negatif terbesar
pada persamaan Z atau baris Z pada table simpleks, sehingga X3 merupakan
kolom masuk.
4. Tentukan kolom keluar atau persamaan pivot.
Merupakan nilai positif terkecil dari rasio antara pemecahan dengan elemen
pada kolom masuk, sehingga:
Variable nondasar X3 akan menggantikan variable dasar S3 pada table
simpleks iterasi pertama.
5. Tentukan elemen pivot.
Merupakan angka pada perpotongan kolom masuk dan kolom keluar,
sehingga elemen pivot = 12.
6. Mencari persamaan pivot baru.
Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama / elemen pivot
40

41. Persamaan pivot baru =
7. Mencari persamaan variable dasar baru.
Pada kasus diatas yang merupakan variable dasar adalah Z, S1, dan S2.
Variable dasar baru = variable dasar lama – (elemen kolom masuk x persamaan
pivot baru.
a. Persamaan Z baru:
b. Persamaan S1 baru:
c. Persamaan S2 baru:
41

42. 8. Table simpleks iterasi pertama:
9. Kondisi optimum pada kasus maksimalisasi diperoleh ketika persamaan Z
atau baris Z tidak memilik angka yang bernilai negative. Apabila kondisi
optimum belum diperoleh maka kembali ke langkah 3.
10. Elemen pivot = 5
11. Persamaan pivot baru
42

43. 12. Persamaan variable dasar baru.
a. Persamaan Z baru
b. Persamaan S1 baru
c. Persamaan X3 baru
13. Table simpleks iterasi kedua – optimum
43

44. 14. Table simplek iterasi kedua diatas sudah optimum karena variable nondasar
pada persamaan Z sudah bernilai positif, sehingga:
X1 = 2000
X3 = 4000/3
Z = 440000/3
15. Pada table optimum S2 dan S3 = 0. Artinya persediaan sumber daya kedua
dan ketiga habis digunakan, tetapi masih memiliki sumber daya pertama (S1)
sebesar 56000/3 karena tidak digunakan.
44

45. BAB V
SOLUSI SIMPLEX PROGRAM LINIER MINIMASI
Dalam masalah maksimasi, biasanya memiliki kendala pertidaksamaan
jenis ≤. Sekarang akan dijelaskan proses simplex untuk suatu masalah
minimasi yang biasanya memiliki kendala pertidaksamaan jenis ≥. Masalah
minimasi menggunakan langkah langkah yang sama seperti pada masalah
maksimasi, namun ada beberapa penyesuaian yang harus dibuat. Bagi kendala
pertidaksamaan jenis ≤ maka variable slack ditambahkan untuk menghabiskan
sumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat diterapkan
pada kendala pertidaksamaan jenis ≥ dan kendala persamaan (=).
Contoh :
Minimumkan Z = -3X1 + X2 + X3
Dengan syarat : X1 – 2X2 + X3 ≤ 11
4X1 + X2 + 2X3 ≥ 3
2X1 - X3 = -1
X1, X2, X3 ≥ 0
Persamaan pada kendala ke tiga harus dirubah agar memiliki nilai kanan
positif denga cara dikalikan (-1), sehingga menjadi :
- 2X1 + X3 = 1
Persamaannya berubah menjadi :
Minimumkan Z = - 3X1 + X2 + X3
45

46. dengan syarat : X1 - 2X2 + X3 ≤ 11
- 4X1 + X2 + 2X3 ≥ 3
- 2X1 + X3 = 1
X1 , X2 , X3 ≥ 0
Bentuk baku diperoleh dengan menambahkan variabel slack pada
kendala pertama, mengurangkan variabel surplus pada kendala kedua.
Sehingga diperoleh :
Z + 3X1 - X2 - X3 - 0S1 - 0S2 = 0 → Persamaan tujuan
X1 - 2X2 + X3 + S1 = 11
- 4X1 + X2 + 2X3 - S2 = 3 persamaan kendala
- 2X1 + X3 = 1
Istilah variabel slack dan variabel surplus adalah berbeda dimana
slack ditambahkan dan mencerminkan sumber daya yang tak terpakai,
sementara surplus dikurangkan dan menunjukkan suatu kelebihan atas
keperluannya, tetapi keduanya diberikan notasi serupa, yaitu S.
Kebutuhan utama metode simplex adalah solusi awal layak (initial
basic solution). Tanpa ini maka tabel simplex tidak dapat dibuat. Dari masalah
diatas, terdapat tiga (3) persamaan dan lima (5) variabel tak diketahui, yang
berarti bahwa 2 variabel harus menjadi non basis (nilainya = 0) pada setiap
solusi. Tak seperti kasus dimana terdapat variabel slack pada setiap
persamaan, disini kita dapat menjamin bahwa dengan menetapkan suatu
variabel sama dengan nol, variabel basis yang dihasilkan akan non negatif
(berarti diperoleh solusi layak).
46

47. BAB VI
PRIMAL DAN DUAL
Metode primal dan dual di dalam program linier sangat penting sekali
untuk dipaham, karena pada dasarnya setiap bentuk primal di dalam program
linier akan mempunyai bentuk dualnya, sehingga antara primal dan dual
sangat berkaitan erat dalam pengambilan suatu keputusan.
6.1 Formulasi Umum Primal Permasalahan Pemrograman Linier
Fungsi tujuan : Maksimumkan : (1) Z = bjxj
Pembatas : (2) Aijxj ≤ ci …… (7.1)
(3) xj ≥ 0
Untuk semua : i = 1, 2, 3,…,m
J = 1, 2, 3,…,n
6.2 Formulasi Umum Dual Permasalahan Pemrograman Linier
Fungsi tujuan : Minimumkan : (1) Z = ciyi
Pembatas : (2) Aijyi ≥ bj ……(7.2)
(3) yi ≥0
Untuk semua : i = 1, 2, 3,…,m
J = 1, 2, 3,…,n
47

48. 6.3 Ketentuan-Ketentuan Metode Primal – Dual
1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta pada dual
2. Konstanta pada primal menjadi koefisien fungsi tujuan pada dual
3. Fungsi tujuan maksimal pada primal menjadi fungsi tujuanminimal pada
dual
4. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris pada dual
5. Setiap baris pada primal berkorespondensi dengan kolom pada dual
6. Tanda ketidaksamaan bergantung pada fungsi tujuan
6.4 Contoh Kasus Permasalahan Program Linier
Contoh kasus pada permasalahan program linier dibedakan menjadi 2
kategori dalam penggunaaan notasi :
1. Untuk kasus maksimisasi, notasi pada variabel keputusan
menggunakan huruf x (sesuai dengan formulasi umum primal)
2. Untuk kasus minimisasi, notasi pada variabel keputusan
menggunakan huruf y (sesuai dengan formulasi umum dual)
Contoh 7.1 Kasus Primal Pemrograman Linier
Fungsi tujuan : Maksimumkan (1) Z = 2x1 + 4x2 – 3x3
Pembatas : (2) x1 + 3x2 – 2x3 ≤ 30
(3) x1 + x2 + x3 ≤ 24
(4) 3x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 60
(5) x1 ≥ 0
(6) x2 ≥ 0
(7) x3 ≥ 0
Contoh 7.2 Kasus Dual Pemrograman Linier
48

49. Fungsi Tujuan : Minimumkan (1) Z = 30y1 + 24y2 + 60y3
Pembatas : (2) y1 + y2 + 3y3 ≥ 2
(3) 3y1 + y2 + 5y3 ≥ 4
(4) -2y1 + y2 + 3y3 ≥ -3
→ 2y1 – y2 – 3y3 ≤ 3
(5) y1 ≥ 0
(6) y2 ≥ 0
(7) y3 ≥ 0
Implementasi langkah-langkah tabel metode simplex untuk
menyelesaikan permasalahan pemrograman linier yang telah dibawa ke dalam
bentuk dual (contoh 7.2), dijelaskan sebagai berikut :
Langkah 1
Berdasarkan formulasi umum maka contoh 7.2 dapat disusun dalam
bentuk standar, sebagai berikut :
Fungsi tujuan : Minimumkan (1) Z + (4M-30)y1 + (2M-24)y2 + (8M-60)y3 –
MS1 – MS2 – 0S3 = 6M
Pembatas : (2) y1 + y2 + 3y3 – S1 + R1 = 2
(3) 3y1 + y2 + 5y3 – S2 + R2 = 4
(4) 2y1 – y2 – 3y3 + S3 = 3
(5) y1 ≥ 0
(6) y2 ≥ 0
(7) y3 ≥ 0
Langkah 2.
49

50. Langkah 3.
Tabel dibawah ini menunjukan perubahan-perubahan yang dimulai
dari keadaan tabel awal, tabel hasil perubahan pertama, tabel hasil perubahan
kedua dan tabel hasil perubahan ketiga, yang menghasilkan nilai fungsi tujuan
yang optimal, sebagai berikut :
Diperoleh solusi optimal sebagai berikut :
[ y1,y2,y3, Z ] = [ ½, 0, ½, 45 ]
50

51. 6.5 Analisis Sensitivitas dan Post Optimal
1. Perubahan pada Koefisien Fungsi Tujuan
Menunjukan analisis sensitivitas pada koefisien fungsi tujuan dapat
menggunakan kasus pembuatan meja dan kursi.
Maksimumkan Z = 160x1 + 200x2
Batasan 2x1 + 4x2 ≤ 40 jam kerja
18x1 + 18x2 ≤ 216 pon kayu
24x1 + 12x2 ≤ 240 m2 tempat penyimpanan
x1, x2 ≥ 0
Andaikan persamaan fungsi tujuan dirubah menjadi Z=250x1+200x2
maka solusi optimal akan berubah karena kemiringan dari garis fungsi tujuan
berubah. Oleh karena itu dalam kasus ini akan dicari besarnya perubahan pada
koefisien fungsi tujuan yang tidak menyebabkan perubahan solusi optimal.
 Tabel simpleks Optimal dengan untuk kasus memproduksi meja dan kursi.
 Andaikan perubahan pada c1 adalah Δ maka tabel simpleks optimal nya.
51

52.  Solusi akan tetap optimal selama nilai cj-Zj adalah negatif, jika cj-Zj
bernilai positif maka solusi akan berubah, dan bila cj-Zj bernilai nol maka
ada solusi alternative
 Supaya solusi tetap optimal -20+Δ/2 <0 dan -20/3-Δ/9<0 sehingga:
-20+Δ/2 < 0, Δ/2 < 20, Δ < 40 … 1)
-20/3-Δ/9<0, - Δ/9<0+20/3, Δ > -60 … 2)
Koefisien fungsi tujuan c1 = 160 + Δ, sehingga Δ = c1 – 160
Masukan persamaan 1) ke Δ = c1 – 160, c1 – 160 < 40, c1<200.
Masukan persamaan 2) ke Δ = c1 – 160, c1 – 160 > -60, c1>100.
Diperoleh 100 < c1 < 200.
Selanjutnya tentukan perubahan c2 yang tidak dapat merubah solusi.
 Tabel simpleks optimal untuk c2 = 200 + Δ
 Persamaan -20-Δ/2<0 dan -20/3+Δ/18<0, sehingga
52

53. -20-Δ/2<0, -Δ/2<20, Δ>-40 … 1)
-20/3+Δ/18<0, Δ/18<20/3, Δ<120 … 2)
Koefisien fungsi c2 = 200 + Δ sehingga Δ = c2 -200
Persamaan 1 ) menjadi c2-200 >-40, c2>160
Persamaan 2) menjadi c2-200<120, c2<320. oleh karena itu
diperoleh 160<c2<320
Range-range c1 atau c2 memungkinkan untuk satu perubahan saja yaitu c1
atau c2 saja tidak berlaku jika keduanya berubah secara bersamaan.
2. Perubahan Pada Nilai Kuantitas Batasan
Mempelajari pengaruh perubahan nilai kuantitas pada batasan dapat
menggunakan contoh pembuatan meja dan kursi dengan model program linear
sebagai berikut:
Maksimumkan Z = 160x1 + 200x2
Batasan 2x1 + 4x2 ≤ 40 jam kerja
18x1 + 18x2 ≤ 216 pon kayu
24x1 + 12x2 ≤ 240 m2 tempat penyimpanan
x1, x2 ≥ 0
Misalkan kuantitas diatas disebut q1 = 40, q2 = 216, dan q3 = 240,.
Andaikan q2 diubah dari 216 menjadi 234 maka daerah solusinya akan
berubah dari ABCD menjadi AEFD,lihat Gambar.
53

54.  Perubahan kuantitas dapat merubah daerah solusi, oleh karena itu salah
satu tujuan analisis sensitifitas adalah untuk mempelajari sejauh mana qi
dapat berubah sehingga solusi tetap feasible. Misalkan terdapat kenaikan
jam tenaga kerja sebesar Δ maka batasan pertama menjadi
2x1+4x2≤40+Δ.
 Tabel simpleks awalnya menjadi :
 Tabel akhirnya adalah
54

55.  Salahsatu persyaratan metode simpleks adalah kuantitasnya bersifat positif
oleh karena itu terdapat pertidaksamaan sbb:
8 + Δ/2 ≥ 0 … 1)
4 - Δ/2 ≥ 0 … 2)
48+6Δ ≥ 0 … 3)
Dari pers 1) 8 + Δ/2 ≥ 0, Δ/2 ≥ -8, Δ ≥ -16
Dari pers 2) 4 - Δ/2 ≥ 0, -Δ/2 ≥ -4, Δ ≤ 8
Dari pers 3) 48 + 6Δ ≥ 0, 6Δ ≥ -48, Δ ≥ -8
q1 = 40 + Δ, Δ = q1 -40
Dari pers 1) q1-40 ≥ -16, q1 ≥ 24
Dari pers 2) q1-40 ≤ 8, q1≤ 48
Dari pers 3) q1-40 ≥ -8, q1≥32
Sehingga 32 ≤q1≤48
Selama q1 pada range ini solusi akan tetap positif dan feasible tetapi
nilainya bisa berubah.
 Analisis sensitifitas untuk nilai kuantitas batasan dapat digunakan dalam
hubungannya dengan solusi dual. Dalam contoh ini diperoleh y1 (nilai
marginal tenaga kerja) = $20, y2 (nilai marginal kayu) = $6.67, dan y3
( nilai marginal tempat penyimpanan ) = $0. Nilai marginal yang paling
besar adalah tenaga kerja. Berdasarkan range 32 ≤ q1 ≤ 48 maka q1 dapat
55

56. ditambah sebanyak 8. jika q1 ditambah sebanyak 8 maka nilai solusi x2 =
8 + Δ/2 = 8 + 8/2 = 12, x1 = 4 - Δ/2 = 4 – 8/2 =0, dan s3 = 48 + 6 (8) = 96.
Laba total akan meningkat sebesar $20 untuk setiap ekstra jam tenaga
kerja.
 Z = 2.240 + 20Δ = 2.240 + 20 (8) = $2.400
3. Perubahan Parameter Model Lainnya
Analisis sensitifitas tidak hanya merubah cj dan qi saja tapi juga koefisien
peubah keputusan dari batasan. Misal batasan pertama dari 2x1 + 4x2 ≤ 40
jam menjadi x1 + 4x2 ≤40 jam.
 Gambar grafik perubahan dari 2x1 + 4x2 ≤ 40 jam menjadi x1 + 4x2 ≤
40 jam.
 Daerah feasible awal adalah ABCD setelah diubah maka berubah
menjadi AECD.
56

57. BAB VII
MODEL TRANSPORTASI
7.1 Pengertian Model Transportasi
Model transportasi merupakan bagian dari program linear. Tujuan dari
model transportasi ini adalah untuk mengoptimalkan jumlah pengiriman ke
tujuan dalam sekali pengiriman, sehingga dapat menekan biaya serendah
mungkin atau mencapai jumlah laba yang maksimal.
Program linear adalah suatu model umum yang jamak dipakai untuk
menyelesaikan masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas secara
optimal, mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan yang akan dilakukan
dengan menggunakan anggapan-anggapan hubungan linear, untuk mencapai
hasil yang maksimal.
Model transportasi merupakan kasus khusus dari masalah program
linear dengan tujuan untuk mengangkut barang tunggal (1 jenis) dari berbagai
asal (origin) ke berbagai tujuan (destination), dengan biaya angkut serendah
mungkin.
Telah dijelaskan bahwa model transportasi merupakan suatu kasus
khusus dalam masalah program linear, namun dapat susut menjadi masalah
transportasi jika :
1. Koefisien dari variabel struktural, yaitu amn terbatas pada nilai-nilai
0 atau 1.
2. Terdapat adanya kehomogenan antara unit-unit dalam persyaratan.
Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat
perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber ke tempat-tempat tujuan yang
berbeda-beda, dan dari beberapa sumber ke suatu tempat tujuan juga berbeda-
beda.
57

58. Model transportasi merupakan salah satu kasus khusus dari masalah
program linear yang bertujuan untuk mencari biaya angkut serendah mungkin.
Model transportasi memiliki ciri-ciri khas seperti yang dimiliki oleh program
linear, yaitu :
1. Fungsi obyektif yang linear
2. Struktur persyaratan yang linear
Setiap masalah program linear memiliki sekumpulan persyaratan
linear.
Dengan aij merupakan koefisien struktural yang mencerminkan
spesifikasi teknik dari masalah yang dibahas, dan ia tampil sebagai
koefisien dari variabel struktural dalam persyaratan-persyaratan
struktural. Sedangkan bi adalah konstanta yang menggambarkan
kapasitas maksimum atau minimum dari fasilitas-fasilitas yang ada
maupun sumber-sumber yang tersedia. Bentuk persyaratan
struktural yang linear dituliskan secara lengkap sebagai berikut :
58

59. 3. Persyaratan tidak negatif
Variabel struktural, variabel slack, variabel slack buatan dari
masalah program linear terbatas pada nilai-nilai tidak negatif,
ditulis :
Xj > 0 j = 1, 2, ..., n
Si > 0 i = 1, 2, ..., m
Ai > 0
Tabel Model Transportasi
59

60. Jika m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom dalam suatu
masalah transportasi, kita dapat menyatakan masalah secara lengkap dengan
m+n-1 persamaan. Ini berarti bahwa suatu penyelesaian dasar yang memenuhi
persyaratan dari suatu masalah transportasi hanya memiliki m+n-1 komponen-
komponen positif.
7.2 Pendekatan Model Transportasi
Model transportasi terdiri atas 3 langkah dasar :
Langkah 1 : melibatkan penentuan pengiriman awal, sedimikian rupa
sehingga diperoleh solusi dasar yang memenuhi syarat. Ini berarti
bahwa m+n-1 sel atau rute dari matriks transformasi digunakan untuk
tujuan pengangkutan. Sel yang digunakan untuk pengangkutan disebut
60

61. sel yang ditempati, sedang sel lainnya dari matriks transportasi akan
disebut sel kosong.
Langkah 2 : bertujuan menentukan biaya kesempatan (Oportunity
Cost) yang berkaitan dengan sel kosong. Biaya kesempatan dari sel
kosong dapat dihitung untuk setiap sel kosong tersendiri, atau dapat
dihitung untuk semua sel kosong secara keseluruhan. Jika biaya
kesempatan dari semua sel kosong tidak positif, maka telah diperoleh
solusi optimal. Di pihak lain, jika terdapat hanya satu sel saja memiliki
biaya kesempatan bernilai positif, solusi pasti belum optimal dan kita
harus melangkah ketiga.
Langkah 3 : meliatkan penentuan solusi dasar yang memenuhi syarat,
baru dan lebih baik. Sekali solusi dasar yang baru dan memenuhi
syarat telah dicapai, kita ulangi langkah 2 dan langkah 3 sampai suatu
solusi optimal telah ditentukan.
Sebelum masuk ke dalam penyelesaian model transportasi, sesuai
langkah pertama harus ditentukan dahulu solusi awalnya. Ada beberapa cara
menentukan solusi awal, yaitu metode pojok barat-laut dan metode inspeksi.
A. Metode Pojok Barat-Laut
Metode ini ditemukan oleh Charnes dan Cooper, dan kemudian
dikembangkan oleh Danzig. Sesuai nama aturan ini, maka penempatan
pertama dilakukan di sel paling kiri dan paling atas dari matriks, yaitu sel
61

62. O1D1. Bandingkan persediaan di O1 dengan kebutuhan di D1, yaitu masing-
masing d1 dan b1. Buat x11 = Min (b1, d1).
 Bila b1 > d1, maka x11 = d1. Teruskan ke sel O1D2, yaitu gerakan
horizontal dimana x12 = min. (b1- d1, d2).
 Bila b1 < d1, maka x11 = b1. Teruskan ke sel O2D1, yaitu gerakan
vertikal dimana x21 = min. (d1-b1, b2).
 Bila b1 = d1, maka buatlah x11 = d1 dan teruskan ke sel O2D2 (gerakan
miring).
Teruskan langkah ini menjauhi pojok barat-laut menuju pojok
tenggara dari tabel, sehingga akhirnya semua permintaan terpenuhi.
Setelah program awal ini selesai ditentukan, maka perlu diuji
persyaratan bahwa m+n-1 sel harus terisi. Bila m+n-1 sama dengan jumlah sel
yang terisi, maka solusi tidak merosot.
Metode pojok barat-laut ini memperlihatkan bahwa tiap langkah yang
dilakukan akan memenuhi satu kendala. hiangga akhirnya berhenti di langkah
ke m+n-1, karena pada langkah ini sudah terpenuhi m+n-1 kendala.
Metode pojok barat-laut ini belum bisa dibilang optimal, dikarenakan
metode inimengabaikan biaya yang relevan dari tiap-tiap rute.
B. Metode Inspeksi
62

63. Dalam menyesuaikan masalah transportasi, diperlukan adanya inspeksi
dan pertimbangan. Untuk masalah transportasi berdimensi kecil, hal ini akan
memberi pengurangan terhadap waktu.
Alokasi pertama dibuat terhadap sel yang berkaitan dengan biaya
pengangkutan terendah. Sel dengan ongkos terendah ini diisi sebanyak
mungkindengan mengingat persyaratan kapasitasorigin maupun persyaratan
permintaan tempat tujuan. Lalu beralih mengalokasikan ke sel termurah
berikutnya dengan memperhatikan kapasitas yang tersisa dan permintaan baris
dan kolomnya.
Ada kemungkinan terdapat adanya ikatan antara sel-sel termurah.
Ikatan tersebut dapat dipatahkan atau denganmemilih sembarang sel untuk
diisi. Banyaknya sel yang terisi harus sedemikian hingga diperoleh m+n-1 sel
yang terisi.
Secara singkat, pendekatan metode transportasi didasarkan atas tiga
langkah, yaitu :
1. Menentukan program awal untuk mencapaisolusi dasar yang
memenuhi syarat.
2. Menentukan biaya kesempatan dari setiap sel kosong.
Memperbaiki program yang sedang berjalan untuk memperoleh
program yang lebih baik, hingga akhirnya mencapai solusi optimal.
63

64. BAB VIII
MODEL PENUGASAN
8.1 Maksimalisasi Penugasan
Dalam model ini tujuannya adalah memaksimalkan keuntungan.
Dalam penempatan karyawan yang paling cocok adalah satu pekerjaan ditangani
satu orang karyawan.
Contoh :
Suatu Penugasan memiliki 4 orang karyawan yang akan ditugaskan untuk
menyelesaikan 4 macam tugas. Satu karyawan harus mengerjakan satu macam
pekerjaan. Dan biaya penyelesaikan pekerjaan itu oleh tiap karyawan seperti
terlihat pada table berikut :
64

65. Untuk melakukan alokasi penugasan karyawan yang optimal dengan yang
menguntungkan perusahaan maka langkah-langkah penugasan sebagai berikut
:
1. Membuat Tabel Opportunity Loss Matrik dengan mencari elemen
terbesar dibaris itu dan mengurangkan dengan nilai elemen tiap baris..
Sehingga Menghasilkan Tabel berikut :
2. Membuat Total Opportunity Loss Matrik
 Dari Tabel Opportunity Loss Matrik disetiap kolom harus memiliki
paling sedikit 1 elemen benilai nol (Langkah sama dengan algoritma
meminimumkan)
65

66.  Ternyata pada kolom ketiga belum ada elemen bernilai nol, maka
harus kita dibuat agar memiliki nilai nol dengan cara : Mengurangi elemen
pada kolom tersebut dengan nilai paling kecil di kolom tersebut. Setelah
semua memiliki nilai nol disetiap kolom, maka diperoleh table Total
Opportunity Loss Matrix sebagai berikut :
3. Menarik Garis untuk meliput angka nol
Setelah semua baris dari kolom memiliki angka nol, maka tariklah
garis seminimum mungkin, baik vertical maupun horizontal yang bisa
menghubungkan angka nol.
66

67. Penugasan belum optimal, karena jumlah garis=3 yang dibuat itu
masih lebih kecil dibanding dengan jumlah baris=4 atau kolom=4 yang belum
terliput garis. Untuk merubah table diatas dilakukan langkah sebagai berikut :
• Pilih angka terkecil diantara semua angka yang belum terliput dengan
garis dan kurangkan semua angka yang belum terliput garis dengan angka
terkecil tersebut.
• Angka yang terliput dengan garis vertical dan horizontal, tambahkan
dengan angka terkecil yang belum terliput dengan garis, sehingga
menghasilkan tabel Perubahan Total Opportunity Cost Matrix sebagai
berikut :
67

68. Tabel diatas sudah optimal, karena garis yang dibuat sudah 4 garis,
sama dengan jumlah baris atau jumlah kolom. Setelah itu letakkan karyawan
pada salah satu pekerjaan yang nilainya pada Total Opportunity Cost = 0
(Cari Biaya Terendah) tiap kolom atau baris, dan satu pekerjaan bisa diisi oleh
satu orang saja dan tambahkan semua biaya agar diperoleh biaya keseluruhan
sebagai berikut :
Karyawan A ditempatkan pada tugas III, karena 1 karyawan hanya
boleh menempati 1 pekerjaan. Jumlah biaya Rp. 100 merupakan biaya
termurah dibanding dengan semua alternative lain.
8.2 Minimisasi Penugasan
Tujuan kita adalah meminimumkan biaya untuk menyelesaikan suatu
pekerjaan oleh seorang karyawan. Dalam penempatan karyawan yang paling
cocok adalah satu pekerjaan ditangani satu orang karyawan.
Contoh :
Suatu Penugasan memiliki 4 orang karyawan yang akan ditugaskan untuk
menyelesaikan 4 macam tugas. Satu karyawan harus mengerjakan satu macam
68

69. pekerjaan. Dan biaya penyelesaikan pekerjaan itu oleh tiap karyawan seperti
terlihat pada table berikut :
Untuk melakukan alokasi penugasan karyawan yang optimal dengan langkah-
langkah sebagai berikut :
4. Membuat Tabel Opportunity Cost dengan mengurangi elemen tiap
baris dengan elemen terkecil dari baris itu. Sehingga Menghasilkan Tabel
berikut :
5. Membuat Total Opportunity Cost Matrik
- Dari Tabel Opportunity Cost disetiap kolom harus memiliki paling
sedikit 1 elemen benilai nol.
69

70. - Ternyata pada kolom II dan IV belum ada elemen bernilai nol, maka
harus dibuat agar memiliki nilai nol dengan cara : Mengurangi elemen pada
kolom tersebut dengan nilai paling kecil di kolom tersebut. Setelah semua
memiliki nilai nol disetiap kolom, maka diperoleh table Total Opportunity
Cost Matrix sebagai berikut :
6. Menarik Garis untuk meliput angka nol
Setelah semua baris dari kolom memiliki angka nol, maka tariklah
garis seminimum mungkin, baik vertical maupun horizontal yang bisa
menghubungkan angka nol.
70

71. Penugasan belum optimal, karena jumlah garis yang dibuat itu masih
lebih kecil dibanding dengan jumlah baris atau kolom yang belum terliput
garis.
Untuk merubah tabel diatas dilakukan langkah sebagai berikut :
• Pilih angka terkecil diantara semua angka yang belum terliput dengan
garis dan kurangkan semua angka yang belum terliput garis dengan angka
terkecil tersebut.
• Angka yang terliput dengan garis vertical dan horizontal, tambahkan
dengan angka terkecil yang belum terliput dengan garis, sehingga
menghasilkan table Perubahan Total Opportunity Cost Matrix sebagai
berikut :
71

72. Tabel diatas sudah optimal, karena garis yang dibuat sudah 4 garis,
sama dengan jumlah baris atau jumlah kolom. Setelah itu letakkan karyawan
pada salah satu pekerjaan yang nilainya pada Total Opportunity Cost = 0
(Cari Biaya Terendah) tiap kolom atau baris, dan satu pekerjaan bisa diisi oleh
satu orang saja dan tambahkan semua biaya agar diperoleh
72

73. Jumlah biaya Rp. 51 merupakan biaya termurah dibanding dengan
semuaalternative lain.
BAB IX
PERENCANAAN JARINGAN KERJA
73

74. 9.1 Pengertian Jaringan Kerja
Manajemen proyek secara lambat laun telah menjadi suatu bidang baru
dengan berkembangnya dua teknik analisis yang digunakan untuk
perencanaan, penjadwalan, pengawasan dan pengambilan keputusan terhadap
proyek yang sedang berjalan atau yang akan berjalan. Teknik pertama disebut
critical path method (CPM) dan teknik kedua disebut project evaluation and
review technique (PERT).
Pada dasarnya kedu teknik analisis ini sudah lama. Perbedaannya
terletak pada perkiraan waktu, dimana CPM menaksir waktu dengan cara pasti
(deterministic) sementara PERT dengan cara kemungkinan (probabilistic).
Kedua teknik analisis inilah yang dikenal dengan network analisys atau teori
jaringan kerja.
Suatu proyek pada hakikatnya adalah sejumlah kegiatan yang
dirangkaikan satu dengan yang lain maupun tidak. Dalam hal ini teori jaringan
kerja dapat mengatur rangkaian satu dengan yang lain maupun tidak. Dalam
hal ini teori jaringan kerja dapat mengatur rangkaian dari kegiatan-kegiatan
tersebut sehingga benar-benar dapat dilaksanakan secara efisien dan efektif.
Dalam mengatur rangkaian dari kegiatan-kegiatan, teori jaringan kerja harus
dapat :
1. Menggambarkan interelasi kegiatan dengan urutan yang logis.
2. Mengidentifikasi unsur-unsur kritis secara mudah.
3. Mendeteksi masalah-masalah yang gawat.
74

75. 9.2 Perencanaan Proyek
Perencanaan proyek terdiri atas tiga tahap, yaitu :
1. Membuat uraian kegiatan-kegiatan, menyusun logika urutan kejadian-
kejadian, menentukan syarat-syarat pendahuluan, menguraikan interelasi
dan interdependensi antara kegiatan-kegiatan.
2. Penaksiran waktu yang diperlukan untuk melaksanakan tiap kegiatan
menegaskan kapan suatu kegiatan dimulai dan kapan berakhir. Secara
keseluruhan kapan proyek selesai.
3. Bila perlu, menetapkan alokasi biaya dan peralatan guna pelaksanaan tiap
kegiatan, meskipun pada hakikatnya hal ini tidak begitu penting.
9.3 Diagram Jaringan Kerja
Diagram jaringan mempunyai dua peranan, yaotu sebagai alat
perencanaan proyek dan sebagai ilustrasi secara grafik dari kegiatan-kegiatan
suatu proyek. Oleh karena itu dia harus mampu memberi gambaran tentang :
1. Hubungan antara komponen-komponen kegiatan secara keseluruhan.
2. Arus operasi yang dijalankan sejak awal sampai berakhirnya suatu proyek.
Lambang-lambang yang dipakai untuk memberikan keterangan yang
jelas mengenai proyek itu :
1.
75

76. Anak panah (Arrow) menyatakan kegiatan. Panjang dan arah anak panah
tidak mempunyai arti khusus. Pangkal dan ujung menerangkan kegiatan
mulai dan berakhir. Pada umumnya kegiatan diberi kode huruf kapital A,
B, …..
2.
Lingkaran kecil atau node, menyatakan suatu kejadian atau peristiwa.
Kejadian diartikan sebagai awal atau akhir dari satu atau beberapa
kegiatan. Umumnya diberi kode angka 1, 2, …. Dan seterusnya yang
disebut nomor kejadian.
3.
Anak panah terputus-putus, menyatakan kegiatan semu atau dummy
sebagai pemberitahuan bahwa terjadi perpindahan dari suatu kejadian ke
kejadian lain pada saat yang sama. Oleh karena itu dummy tidak
memerlukan waktu dan tidak menghabiskan sumber. Panjang dan arah
dummy tidak mempunyai arti khusus.
Untuk menyatakan saling ketergantungan logikal dari kegiatan-kegiatan,
berikut dijelaskan beberapa ketentuan sebagai berikut :
1.
Kegiatan B hanya dapat dimulai bila kegiatan A selesai. Perlu
diketahui bahwa kejadian merupakan awal dan akhir suatu kegiatan.
76

77. 2.
Kegiatan C dapat dimulai bila kegiatan A dan B selesai.
3.
Kegiatan C dan D dapat dimulai setelah kegiatan A dan B berakhir,
dan selesai pada kejadian yang berbeda
4.
Terdapat kejadian yang saling tergantung tanpa dihubungkan dengan
kegiatan tetapi du=ihubungkan dengan dummy
5. Bila ada dua kegiatan berbeda yang mulai pada kejadian yang sama
dan berakhir pada kejadian yang sama pula, maka kagiatan tersebut
tidak boleh dibuat berimpit
77

78. 6. Dalam suatu jaringan kerja tidak boleh terjadi suatu loop atau arus
putar.
BAB X
ANALISIS KEPUTUSAN
78

79. 10.1 Analisis Keputusan
Analisis keputusan layak dipelajari selepas mempelajari atau
mengetahui tentang pemodelan sistem. Analisis Keputusan adalah sebuah
metode yang memberikan dukungan kuantitatif untuk para pembuat keputusan
di semua bidang termasuk insinyur, analis dalam perencanaan kantor dan
lembaga-lembaga publik, konsultan manajemen proyek, proses manufaktur
perencana, analis keuangan dan ekonomi, ahli penunjang medis / diagnosis
teknologi, dll. Seorang pengambil keputusan haruslah memperhatikan hal-hal
seperti : logika, realita, rasional, dan pragmatis.
Untuk mencapai beberapa sasaran antara seperti yang telah diuraikan
sebelumnya diperlukan adanya suatu keputusan tidakan yang akan dilakukan
dari beberapa alternatif. Untuk itu, dilakukan analisis keputusan dengan
mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :
> Merumuskan Pernyataan Keputusan
Tujuan merumuskan pernyataan keputusan adalah untuk memusatkan
perhatian pada tindakan yang terpilih dalam tahap pengidentifikasian
alternatif tindakan sebagai dasar untuk melaksanakan keputusan yang akan
ditempuh dalam usaha mengembangkan perusahaan.
> Menetapkan Kriteria Keputusan
Kriteria keputusan adalah kemampuan memberikan gambaran
mengenai suatu keadaan yang lebih terperinci tentang hasil keputusan yang
diambil. Tujuan penetapan kriteria adalah untuk menyaring sejumlah alternatif
lain yang pada akhirnya akan muncul satu alternatif terbaik.
> Menetapkan Alternatif Keputusan
79

80. Alternatif keputusan adalah kemungkinan-kemungkinan pilihan bagi
pencapaian tujuan dari pernyataan keputusan. Dari berbagai alternatif, akan
dipilih yang terbaik berdasarkan kriteria-kriteria yang ada. Pertimbangan
pokoknya adalah mana yang paling memenuhi kriteria dan paling kecil
resikonya bila alternatif itu dijalankan.
> Menentukan Bobot Masing-Masing Kriteria
Penentuan bobot berdasarkan besar-kecilnya pengaruh kriteria
terhadap alternatif keputusan. Semakin besar pengaruhnya maka bobotnya
lebih besar dan sebaliknya. Jumlah bobot untuk seluruh kriteria adalah satu
(1)
> Membuat Matriks Penilaian
Matriks penilaian bertujuan untuk mengevaluasi alternatif-alternatif
yang paling baik yang dapat memenuhi sasaran. Dalam matriks ini digunakan
sistem pembobotan, dimana kriteria dan alternatif keputusan diberi bobot
kemudian diperkalikan.
> Menentukan Tindakan Terpilih
Hasil perkalian antara kriteria dan alternatif keputusan yang memiliki
bobot tertinggi merupakan alternatif prioritas. Alternatif yang menjadi
prioritas merupakan tindakan terpilih untuk mencapai sasaran utama.
80

81. Beberapa teknik dalam mengambil keputusan dapat diilustrasikan
dalam tabel berikut ini:
Certainty : Jika semua informasi yg diperlukan untuk membuat keputusan
diketahui secara sempurna & tdk berubah
Risk : Jika informasi sempurna tidak tersedia, tetapi seluruh peristiwa yg akan
terjadi besarta probabilitasnya diketahui
Uncertainty : Jika seluruh informasi yg mungkin terjadi diketahui, tetapi tanpa
mengetahui probabilitasnya masing-masing
Conflict : Jika kepentingan dua atau lebih pengambil keputusan berada dalam
pertarungan aktif diantara kedua belah pihak.
10.2 Pohon Keputusan
Pohon yang dalam analisis pemecahan masalah pengambilan
keputusan adalah pemetaan mengenai alternatif-alternatif pemecahan masalah
81

82. yang dapat diambil dari masalah tersebut. Pohon tersebut juga
memperlihatkan faktor-faktor kemungkinan/probablitas yang akan
mempengaruhi alternatif-alternatif keputusan tersebut, disertai dengan
estimasi hasil akhir yang akan didapat bila kita mengambil alternatif
keputusan tersebut.
10.2.1 Manfaat Pohon Keputusan
Pohon keputusan adalah salah satu metode klasifikasi yang paling
populer karena mudah untuk diinterpretasi oleh manusia. Pohon kepetusan
adalah model prediksi menggunakan struktur pohon atau struktur berhirarki.
Konsep dari pohon keputusan adalah mengubah data menjadi pohon
keputusan dan aturan-aturan keputusan. Manfaat utama dari penggunaan
pohon keputusan adalah kemempuannya untuk mem-break down proses
pengambilan keputusan yang kompleks menjadi lebih simple sehingga
pengambil keputusan akan lebih menginterpretasikan solusi dari
permasalahan. Pohon keputusan juga berguna untuk mengeksplorasi data,
menemukan hubungan tersembunyi antara sejumlah calon variabel input
dengan sebuah variabel target. Pohon keputusan memadukan antara eksplorasi
data dan pemodelan, sehingga sangat bagus sebagai langkah awal dalam
proses pemodelan bahkan ketika dijadikan sebagai model akhir dari beberapa
teknik lain. Sering terjadi tawar menawar antara keakuratan model dengan
transparansi model. Dalam beberapa aplikasi, akurasi dari sebuah klasifikasi
atau prediksi adalah satu-satunya hal yang ditonjolkan, misalnya sebuah
perusahaan direct mail membuat sebuah model yang akurat untuk
memprediksi anggota mana yang berpotensi untuk merespon permintaan,
tanpa memperlihatkan bagaimana atau mengapa model tersebut bekerja.
82

83. 10.2.2 Kelebihan Pohon Keputusan
Kelebihan dari metode pohon keputusan adalah:
 Daerah pengambilan keputusan yang sebelumnya kompleks
dan sangat global, dapat diubah menjadi lebih simpel dan spesifik.
 Eliminasi perhitungan-perhitungan yang tidak diperlukan,
karena ketika menggunakan metode pohon keputusan maka sample
diuji hanya berdasarkan kriteria atau kelas tertentu.
 Fleksibel untuk memilih fitur dari internal node yang berbeda,
fitur yang terpilih akan membedakan suatu kriteria dibandingkan
kriteria yang lain dalam node yang sama. Kefleksibelan metode pohon
keputusan ini meningkatkan kualitas keputusan yang dihasilkan jika
dibandingkan ketika menggunakan metode penghitungan satu tahap
yang lebih konvensional
 Dalam analisis multivariat, dengan kriteria dan kelas yang
jumlahnya sangat banyak, seorang penguji biasanya perlu untuk
mengestimasikan baik itu distribusi dimensi tinggi ataupun parameter
tertentu dari distribusi kelas tersebut. Metode pohon keputusan dapat
menghindari munculnya permasalahan ini dengan menggunakan
criteria yang jumlahnya lebih sedikit pada setiap node internal tanpa
banyak mengurangi kualitas keputusan yang dihasilkan.
10.2.3 Kekurangan Pohon Keputusan
 Terjadi overlap terutama ketika kelas-kelas dan criteria yang
digunakan jumlahnya sangat banyak. Hal tersebut juga dapat
menyebabkan meningkatnya waktu pengambilan keputusan dan jumlah
memori yang diperlukan.
 Pengakumulasian jumlah eror dari setiap tingkat dalam sebuah
pohon keputusan yang besar.
83

84.  Kesulitan dalam mendesain pohon keputusan yang optimal.
 Hasil kualitas keputusan yang didapatkan dari metode pohon
keputusan sangat tergantung pada bagaimana pohon tersebut didesain.
10.2.4 Model Pohon Keputusan
Pohon keputusan adalah model prediksi menggunakan struktur
pohon atau struktur berhirarki. Contoh dari pohon keputusan dapat
dilihat di Gambar berikut ini.
Disini setiap percabangan menyatakan kondisi yang harus
dipenuhi dan tiap ujung pohon menyatakan kelas data. Contoh di
Gambar 1 adalah identifikasi pembeli komputer,dari pohon keputusan
tersebut diketahui bahwa salah satu kelompok yang potensial
membeli komputer adalah orang yang berusia di bawah 30 tahun dan
juga pelajar. Setelah sebuah pohon keputusan dibangun maka dapat
digunakan untuk mengklasifikasikan record yang belum ada
kelasnya. Dimulai dari node root, menggunakan tes terhadap atribut
dari record yang belum ada kelasnya tersebut lalu mengikuti cabang
yang sesuai dengan hasil dari tes tersebut, yang akan membawa
kepada internal node (node yang memiliki satu cabang masuk dan
dua atau lebih cabang yang keluar), dengan cara harus melakukan tes
lagi terhadap atribut atau node daun. Record yang kelasnya tidak
84

85. diketahui kemudian diberikan kelas yang sesuai dengan kelas yang
ada pada node daun. Pada pohon keputusan setiap simpul daun
menandai label kelas. Proses dalam pohon keputusan yaitu mengubah
bentuk data (tabel) menjadi model pohon (tree) kemudian mengubah
model pohon tersebut menjadi aturan (rule).
10.2.5 Terminologi Pohon Berakar
Beberapa terminologi dalam pohon berakar:
1. Anak/Child atau Orangtua/Parent : b,c, dan d adalah anak
dari a dan a adalah orangtua dari b,c, dan d.
2. Lintasan/Path : lintasan dari a ke j adalah a,b,e,j. Panjang
lintasan dari a ke j adalah jumlah sisi yang dilalui, yaitu 3.
3. Saudara kandung/Sibling : b,c,dan d adalah saudara
kandung sebab mempunyai orangtua yang sama yaitu a.
4. Derajat : derajat adalah jumlah anak yang ada pada simpul
tersebut. A berderajat 3, dan b berderajat 2. Derajat suatu pohon
85

86. adalah derajat maksimum dari semua simpul yang ada. Pohon
pada gambar 3 berderajat 3.
5. Daun : daun adalah simpul yang tidak mempunyai anak.
c, f, g, h, i, dan j adalah daun
6. Simpul dalam/Internal nodes : simpul yang mempunyai
anak. Simpul a,b, dan d adalah simpul dalam.
7. Tingkat/Level : adalah 1 + panjang lintasan dari simpul
teratas ke simpul tersebut. Simpul teratas mempunyai tingkat = 1.
8. Pohon n-ary : pohon yang tiap simpul cabangnya
mempunyai banyaknya n buat anak disebut pohon n-ary. Jika
n=2, pohonnya disebut pohon biner.
86

87. DAFTAR PUSTAKA
Hasan, Iqbal. 2004. Pokok-pokok Materi Teori Pengambilan Keputusan. Bogor:
Ghalia Indonesia
Sri Mulyono, Riset Operasi, Jakarta: Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi UI, 2002
Supranto, J. 2005. Teknik Pengambilan Keputusan. Edisi Revisi. Jakarta: Rineka
Cipta
Taha, Hamdy A., Riset Operasi – Jilid 1, Jakarta: Binarupa Aksara, 1996
http://fairuzelsaid.wordpress.com/2009/11/24/data-mining-konsep-pohon-keputusan/
http://duljimbonpdq.blogspot.com/2010/09/formulasi-model-pemrograman-
linier.html
hendri.staff.gunadarma.ac.id
87