1. LYCEE ZAHROUNI-TUNIS-
SCIENCES PHYSIQUES
4ème MATH
Cours
Boussada .A 2 www.physiqueweb2.c4.fr
LE DIPÔLE RC
I
Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension
1 Dipôle RC C
R
Le dipôle RC est constitué d’un condensateur associé en série avec un
résistor (conducteur ohmique).
2 Echelon de tension u(V)
U est une tension appliquée aux bornes du dipôle RC, à t=0 s on E
ferme le circuit. Si :
Pour t<0 ; u =0
Pour t  0 ; u = E.
On dit alors qu’on applique un échelon de tension au dipôle RC. t(s)
3 Relation entre i(t) et uc(t)
dq
En courant variable : i(t) = .
dt
C
+q -q
i dq d(Cuc ) du
i avec q  C.uc donc i   C. c
dt dt dt
uC à retenir
4 Equation différentielle K
(on doit représenter les flèches des tensions avant d’établir l’équation
différentielle). i R uR
Le condensateur est initialement déchargé, à la date t=0, on ferme
uG
l’interrupteur K. E i
d’après la loi des mailles : C
uR + uc + uG= 0 avec uR =Ri et uG= - E uC
duc
Ri + uc - E = 0 or i  C.
dt
duc
RC  uc  E , on pose =RC
dt
duc duc uc E
  uc  E ou  
dt dt  
5 Solution de l’équation différentielle
a- Solution de l’équation différentielle :
L’équation différentielle précédente a pour solution uC = A + Be-t.
Avec A ; B et  sont des constantes positives. Déterminons A ; B et  :
1ère étape : Le condensateur est initialement vide uC(0) = 0.
A + Be0 =0  A + B =0 donc B= - A. D’ou uC = A – Ae-t.
ème
2 étape : lorsque t  + ∞ ; le condensateur est complètement chargé : uC (∞) = E.
A – Ae-∞ = E or e-∞ =0.
A – 0 = E d’où A=E et B= - E.
Donc uC = E – Ee-t.
uC = E( 1 – e-t).
/1

2. duc
3ème étape : Cette solution vérifie l’équation différentielle RC  uc  E
dt
Donc : RCE(0 – (-)e-t) + E( 1 – e-t) = E
RCEe-t + E -E e-t = E  RCEe-t -E e-t = 0  Ee-t( RC - 1 ) = 0.
Or Ee-t >0 d’où RC - 1 = 0  RC = 1   =  = .
RC 
uC = E(1- e-t/ ).
6 Expression de uR(t) et de i(t)
t t t
  
Expression de uR(t) ; uR = E – uc = E - E(1  e  ) = E –E + E e 
d’où uR =E e 
Expression de i(t)
t
u E 
i  R donc i= e
R R
7 Graphes de uc(t), uR(t) et de i(t)
t t t
  E 
uc  E(1  e  ) uR =E e 
i= e
R
uR(V) i(A)
uc
E
E E=URmax Imax 
R
E t(s) t(s)
0 0 0
X
t(s) 0 + t(s) 0 + t(s) 0 +
E E
uc(V) 0 E u (V) E 0 i(A) 0
R R R
8 La constante de temps  C
a- Définition : I
La constante de temps  est une grandeur caractéristique du dipôle RC, elle nous renseigne sur la rapidité
avec laquelle s’effectue la charge ou laC décharge d’un condensateur.
b- Unité de  : E
uR V
R donc R est en S
  R C a v e c { i A d ' où  est en
V A.s
.  s
(seconde) donc  est un temps.
C
q D en
o r q  I.t d o n c C e s t
A.s A V
uc V
c- Détermination de  :
E
S
 Par calcul : Ayant les valeurs de R(en Ω) et de C(en F), on peut calculer directement (en s) ;  = RC .
Y
 Graphiquement : 1ère méthode (utilisation de la tangente à l’origine) : on peut montrer que  est
N
l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe de uc (t)[de même pour uR(t), i(t) et q(t)] à la
date t=0 avec l’asymptote (lorsque t+).
T
H u (V) R
TangenteE E=u Rmax
u (V
)
c
S Tangente
E=Uc E
max Asymptote
Point Asymptote
Ex t(s)
d’intersection 0
er 
cic
e1 Point
t(s)
 E d’intersection
0
X
E /2

3. o 2ème méthode (lecture graphique) :
er
1 cas : à partir du graphe de uc(t)
Pour t=, quelle est la valeur de uc ?

uc()  E(1  e )  E(1  e 1)

0, 63.E car e 1 0, 37
Exemple :
On a E= 4 V d’où 0,63.4 =2,52 V donc l’abscisse du point d’ordonnée 2,52 V est égale à 
uc(V)
4
2,52
t(s)
0
2ème cas : à partir du graphe de uR(t) 
uR(V)
Pour t=, quelle est la valeur de uR ?
 4
uR()  E.e   E.e 1 0, 37.E
Exemple :
On a E= 4 V d’où 0,37.4 =1,48 V donc l’abscisse du point
d’ordonnée 1,48 V est égale à . 1,48
9 Durée de charge d’un condensateur t(s)
0 
On peut considérer qu’un condensateur est complètement chargé lorsque
sa tension uc = 0,99E ce qui donne une durée de charge t  5 = 5RC
Le temps de charge augmente avec R et avec C.
Pour t < 5, on a le régime transitoire.
Pour t  5, on a le régime permanent.
Remarque :
 la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension est la charge progressive du condensateur : c’est un
phénomène transitoire.
 Charge d’un condensateur par une tension créneaux.
K Voie YA
i R
G.B.F Voie YB
A
i C uG
uc
B
T
Pour 5 < , pendant une demi-période la tension uc peut atteindre sa valeur finale donc on observe les
2
courbes suivantes (les deux voies ont la même sensibilité verticale) :
u(V)
Um
uc
uG
t(s)
T
5 2
T
T
Pour 5 > , pendant une demi-période la tension uc
2
ne peut pas atteindre sa valeur finale donc on observe les courbes suivantes :
/3

4. u(V)
uG
uc
t(s)
0 T 5
2
T
II
La décharge d’un condensateur
1- Equation différentielle :
(on doit garder la même orientation du circuit). K
Le condensateur est initialement chargé, à la date t=0, on ferme l’interrupteur K.
d’après la loi des mailles : uR
uR + uc = 0 avec uR =Ri i R
duc
Ri + uc = 0 avec i  C. i
dt C
duc uC
RC + uc = 0 , =RC
dt
duc duc uc
  uc  0 ou  0
dt dt 
2- Solution de l’équation différentielle :
t

L’équation différentielle précédente a pour solution uc  Ee 
.
Avec =RC.
3- Expression de uR(t) et de i(t) :
Expression de uR(t)
t t
 
uR = 0 – uc =  Ee 
d’où uR =  E e 
t
uR -E  
Expression de i(t) : i  donc i= e
R R
4- graphes de uc(t), uR(t) et de i(t) :
t t t
  -E  
uc  Ee 
uR =  E e 
i= e
R
uc(V) uR(V) i(A)
t(s) t(s)
E=Ucmax 0 0
t(s) URmax  E E
Imax  
R
0
/4