Algebra lineal (vectores r2 y r3)

MODULO

ÁLGEBRA LINEAL

CAMILO ZÍÑIGA

A mi padre, JUAN ARTURO ZÚÑIGA R., quien fue el primero en enseñarme el hermoso mundo
de la matemáticas, y quien me ha apoyado incondicionalmente en todas mis empresas.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD –
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
Bogotá D. C., 2008

-1-

COMITÉ DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador
Rector

Gloria Herrera
Vicerrectora Académica

Roberto Salazar Ramos
Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas

Maribel Córdoba Guerrero
Secretaria General

MÓDULO
CURSO ÁLGEBRA LINEAL
PRIMERA EDICIÓN

© Copyright
Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2008
Bogotá, Colombia

-2-

AL ESTUDIANTE

El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos
teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para
contextualizarlos en su campo de formación disciplinar.

El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un
significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en
diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo
del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las
más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes
significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en
tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el
análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc.

El curso académico se estructura básicamente en dos unidades didácticas. La primera
contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones
Lineales, Rectas, Planos e Introducción a los Espacios Vectoriales.

A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación
cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante la
articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los
diferentes campos de formación disciplinar.

Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de
los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de
aprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su
desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información
en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de
acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información
disponible en la plataforma virtual de la universidad.

La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso se
tomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu
investigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opciones
documentales que aportan a la resignificación cognitiva. Estas fuentes documentales son
obviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: material
impreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc.

-4-

TABLA DE CONTENIDO

UNIDAD I

1. VECTORES EN R 2 …………………………………………………………………….9
1.1 NOCION DE
DISTANCIA………………………………………………………………………….11
1.2 SEGMENTOS DIRIGIDOS………………………………………………………14
1.3 DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR………………………………….20
1.4 ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES……………………………..23
1.4.1 Multiplicación de un vector por un escalar…………………….23
1.4.2 Suma de Vectores………………………………………………………35
1.4.3 Diferencia de vectores………………………………………………..39
1.4.4 Producto escalar…………………………………………………………43
1.5 PROYECCIONES…………………………………………………………………..52
2. VECTORES EN R 3 …………………………………………………………………..58
2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS……………………………………………62
2.2 VECTORES BASE…………………………………………………………………..66
2.3 PRODUCTO VECTORIAL………………………………………………………..72
PROBLEMAS…………………………………………………………………………………. 77
AUTOEVALUACION……………………………………………………………………….. 79
3. MATRICES……………………………………………………………………………..81
3.1 OPERACIONES CON MATRICES………………………………………………83
3.1.1 Suma de matrices……………………………………………………84
3.1.2 Multiplicación por escalar…………………………………………87
3.1.3 Multiplicación de matrices………………………………………..88
3.2 OPERACIONES SOBRE MATRICES…………………………………………...92
3.2.1 Forma escalonada y forma escalonada reducida……95
3.2.2 Inversa de una matriz………………………………………..99
3.2.3 Matrices Elementales…………………………………………105
3.2.4 La Factorización LU…………………………………………..119
4. DETERMINANTES…………………………………………………………………131
4.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES…………………138
4.2 INVERSAS…………………………………………………………………………….140
INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ….…………………147
PROBLEMAS……………………………………………………………………………………155
AUTOEVALUACION………………………………………………………………………….159

UNIDAD II

5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES………………………………………163
5.1 PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
ELIMINACION GAUSSIANA………..……………………………………………186
5.2 SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
METODO DE GAUSS – JORDAN……………………………………………….189

-5-

5.3 TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
REGLA DE CRAMER………………………………………………………………..195
5.4 CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU……………………………………….198
5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA…………………………………………..203
SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS…….………………………………….206
6. RECTAS EN R 3 ………………………………………………………..……………208
7. PLANOS………………………………………………………..……………………220
8. ESPACIOS VECTORIALES………………………………..……………………..228
PROBLEMAS………………………………………………………………………………………..235
AUTOEVALUACION…………………………………………………………………….…………239

-6-

UNIDAD 1

VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

-7-

OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con los
fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores,
matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y
situaciones particulares en diferentes campos del saber.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

 Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el
entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo
pertinente de las operaciones con los mismos.

 Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a
espacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas
especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas
operaciones que con ellas puede realizar y que le permitirán utilizar herramientas
como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver
a futuro sistemas lineales.

-8-

1.1 NOCION DE DISTANCIA

Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre
ellos.
Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que
nos establece que:

- 10 -

a 2  6 2  82
a 2  100
a   100

Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir,
a  10 unidades.

- 11 -

Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL
Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición.
Pag. 251

- 66 -

Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL
Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición.
Pag. 263

- 67 -

1 0 0 1 0 0
1 1 0 , por lo tanto E 1   1
E1   1 0
1

0 0 1  0 0 1
  
   

1 0 0
 
1 0 0 
1 1
E2   0 0  , por lo tanto E 2  0 6 0
 
6
0 0 1 
   
0 0 1
 

 


1 2 0  1 2 0 
E3   0 1  , por lo tanto E 1  0 1 0
0  3

0 0 1  0 0 1 
  
   

1 0 0 1 0 0
E4   0 1  , por lo tanto E 1  0 1 0
0 4

0 6 1 0 6 1 
  
   

1 0 0
 
1 0 0 
1
E5   0 1 0  , por lo tanto E5  0 1 0
 

0 0 3 
 
1
 
0 0
 

 3

5  5
1 0  1 0
 
3  3 
E6   0 1 0  , por lo tanto E 61   0 1 0 
   
   
0 0 1  0 0 1 

  
 


1 0 0 1 0 0
   

1  1
E7   0 1  , por lo tanto E 7 1   0 1
 


6 6

 
0 0 1
 0 0 1 

  
 

Ahora realicemos el siguiente producto
E11  E 2 1  E 61  E 7 1
 

- 108 -

1 0 0  1 0 0 1 2 0  1 0 0 1 0 0
 1 1 0    0 6 0    0 1 0   0 1 0   0 1 0  
0 0 1   0 0 1   0 0 1  0 6 1  0 0 3 
         
         
 5 
 1 0 1 0 0
 
3  
 1
 0 1 0  0 1
  
6

  
 0 0 1  0 0 1 

  
  

Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos:
 5 
1 0 1 0 0
 
1 0 0  1 2 0 1 0 0 1 0 0  3  
 1  1
6 0   0 1 0   0 1 0   0 1 0    0 1 0  0 1
  
6

0 0 1  0 0 1  0 6 1  0 0 3  
          
 0 0 1  0 0 1 
       
  
  

Seguimos
 5 
1 0 1 0 0
 
1 2 0  1 0 0 1 0 0  3  
 1  1
4 0    0 1 0   0 1 0    0 1 0  0 1
  
6

0 0 1   0 6 1  0 0 3  
        
 0 0 1  0 0 1 
     
  
  

Seguimos
 5 
1 0 1 0 0
 
1 2 0  1 0 0   3  
 1  1
4 0    0 1 0   0 1 0  0 1
  
6

0 6 1  0 0 3 
      
 0 0 1  0 0 1
   
  
  

Seguimos
 5 
1 0 1 0 0
 
1 2 0  3  
 1  1
4 0  0 1 0  0 1
  
6

0 6 3 
    
 0 0 1  0 0 1 
 
  
  


- 109 -

Seguimos
 5 
 1 2 1 0 0
 
3  
5    1
 1 4  0 1

3   6


 0 6 3  0 0 1 

  
  

Finalmente
1 2  2
1 4 1 
0 6 2
 
 

En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su
inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las
inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales.

- 110 -

UNIDAD 2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y
ESPACIOS VECTORIALES

- 154 -

OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción de
los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del
complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes
bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del
conocimiento.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

 Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el
entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio.
Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son
obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.

 Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema de
ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia
en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad
los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del mismo (en
el caso en que sea posible)

- 155 -

5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES
EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA

El objetivo es resolver un sistema de la forma AX  b (con A de n  n ), donde A es
invertible.
Partiendo del sistema AX  b , podemos multiplicar a izquierda por A 1 (Que existe,
dado que A es invertible), con lo que nos queda:
A 1 AX  A 1b Agrupando obtenemos
1 1
A AX  A b Simplificando
 I  X  A 1 b Finalmente
1
X A b
La ultima afirmación, nos indica que se A es de n  n e invertible, entonces la solución
del sistema lineal AX  b , la encontramos de la forma X  A 1b .

Ejemplo

Dado el sistema lineal

2 x1  3 x 2  10 x3  21
4 x1  x 2  x3  11
7 x1  5 x 2  4 x3  17
Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre su
inversa y úsela para resolver el sistema.

Solución

Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su
determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única
solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única)

Encontremos el determinante:

- 194 -

2  3 10
DetA  4 1 1  225
7 5 4
Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa:
1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán
1
2. Empleando determinantes ( A 1  * AdjA )
det A
Voy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante la
invitación a realizarlo también por el otro método.

1
f1 f 2  4 f1
2

f 3  7 f1 1
f2
7

3
f1  f2
2

11  14
f3  f2 f3
2 225

- 195 -

13
f1  f3 19
14 f2  f3
7

Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones
elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa
de A.
Es decir,
  1 38 13 
 25 225 225 
1 62  38 
A 1  
 25 225 225 

3 11  14 
 25 225 225 
 

Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación X  A 1b .
Donde,
21
b  11
17 
 
 

Por tanto,

1 38 13 
 25 225 225  21
1 62  38   
 11
 25 225 225   
X 
3 11  14  17 
 
 25
 225 225 

2
X  1 
2
 
 
Es decir, la solución es x1  2; x 2  1; x3  2

- 196 -

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