TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

1. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Señales y Sistemas

7. Ejemplo Puesto que ahora consideraremos señales discretas, multiplicamos x(t) por la forma de muestreo ideal, y s (t) para producir una señal exponencial muestreada. Por el teorema de la multiplicación, la transformada de Fourier de x s (t ) es la convolución de las transformadas de Fourier de y s (t) y x(t).

8. Calculando la DFT solo en una sección de T segundos es en efecto, multiplicar x s (t) por una función de ventana  (t/T). En el dominio de la frecuencia, esto corresponde a la convolución de X s (f) con la transformada de Fourier de la función de la ventana, la cual es TSincTf . La transformada de Fourier de la señal muestreada y ventaneada es Finalmente, el resultado de la operación de DFT efectivamente muestrea el espectro X SW (f) en un conjunto discreto de frecuencias separados por el recíproco del tiempo de observación (duración de la ventana), 1/T. Esto corresponde a la convolución en el dominio del tiempo con una secuencia de funciones deltas ya que Esto produce una secuencia muestreada periódica en el dominio del tiempo, x sp (t).

13. Ejemplo Si evaluamos estas sumas considerando De las series geométricas, sabemos que esta sumatoria tiende a: Ya que la exponencial es igual a 1, para cualquier par de (k,l)

15. Ejemplo X(0) =32 X(1)=0 X(2)=-j12 X(3)=0 X(4) =0 X(5)=0 X(6)=j12 X(7)=0

17. Ejemplo de DFT de 2 puntos 2-Puntos DFT x(0) x(1) X(0) X(1) x(0) x(1) X(0) X(1) -1

20. DFT N/2 Puntos DFT N/2 Puntos x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) G(0) G(1) G(2) G(3) H(0) H(2) H(3) H(1) X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7)

23. DFT N/2 Puntos DFT N/2 Puntos x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) -1 -1 -1 -1 W 0 N W 1 N W 2 N W 3 N X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7)

36. Ventana Nivel de Lóbulo Principal (dB) Ancho de Banda 3-dB (bins) Ganancia Coherente [∑w(n)] 2 / ∑w 2 (n) Rectangular w(n)=1, n=0,1, ..N-1 -13 0.89 1.0 Triangular w(n)=2n/N, n=0,1…N/2 w(N-n-1)=w(n) -27 1.28 0.75 Hanning w(n)=1/2[1-Cos(2  n/N)] n=0,1….N-1 -32 1.44 0.67

37. Ventana Nivel de Lóbulo Principal (dB) Ancho de Banda 3-dB (bins) Ganancia Coherente [∑w(n)] 2 / ∑w 2 (n) Hamming w(n)=0.54-0.46*Cos(2  n/N)] n=0,1….N-1 -43 1.30 0.74 Kaisser-Bessel w(n)=I o (  )/I o (  ) donde I o (x) = Función de Bessel modificada  =2; -46  =2.5;-57  =3; -69  =3,5;-82 1.43 1.57 1.71 1.83 0.67 0.61 0.56 0.52