1. TEMAS DE ENTRENAMIENTO
Segunda Evaluación
CÁLCULO DIFERENCIAL
I Término – 2009
Derivadas
Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justifique su respuesta.
1. Si ‫ݕ‬ = ݈݊√‫ݔ‬ entonces 2 ቀ
ௗ௬
ௗ௫
ቁ
ଶ
+
ௗమ௬
ௗమ௫
= 0
2. La función de variable real ݂ cuya regla de correspondencia es ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 3|‫|ݔ‬ +
4|‫ݔ‬ − 1|, tiene un mínimo absoluto en ‫ݔ‬ = 1.
3. Sean ݂ሺ‫ݔ‬ሻ y ݃ሺ‫ݔ‬ሻ dos funciones pares y derivables para todo ‫ݔ‬ ߳ ℝ, entonces
(݂ሺ‫ݔ‬ሻ + ݃ሺ‫ݔ‬ሻሻ′ es una función también par y derivable para todo ‫ݔ‬ ߳ ℝ.
4. Sean ݂, ݃, ℎ funciones de variable real tales que ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ݃ሺ‫ݔ‬ሻ + ℎሺ‫ݔ‬ሻ. Si ݂ es
derivable en ܿ entonces ݃ y ℎ son derivables en ܿ .
5. Suponga que ݂ es dos veces derivable en ሺܽ, ܾሻ y continua en [ܽ, ܾ] y sea ܿ ߳ ሺܽ, ܾሻ.
Si ݂’’ሺܿሻ = 0 entonces ܲሺܿ, ݂ሺܿሻሻ es un punto de inflexión.
6. Las ecuaciones ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬
ర
య + ‫ݔ‬ y ‫ݔ‬ = ‫ݕ‬ + ‫ݕ‬ସ
tienen la misma recta tangente en el
punto ሺ0,0ሻ.
7. Sea ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = sinሺ‫ݔ‬ሻ ሺ1 + cosሺ‫ݔ‬ሻሻ, ‫,0[߳ݔ‬ 2ߨሻ. Entonces el punto ൬
ହగ
ଷ
, ݂ ቀ
ହగ
ଷ
ቁ൰ es un
mínimo local de ݂.
8. La ecuación de la recta normal a ‫ݕ‬ = ‫݈݊ݔ‬ሺ‫ݔ‬ሻ y paralela a la recta ‫:ܮ‬ 2‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ + 3 =
0 es ‫ܮ‬ே:‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ − 2݁ିଷ = 0
9. La función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones:
‫ݔ‬ =
ଵ
√௧మାଵ
− ln ൬
ଵା√ଵା௧మ
௧
൰; ‫ݕ‬ =
௧
√ଵା௧మ
, satisface la ecuación ‫ݕ‬ඥ1 + ሺ‫ݕ‬ᇱሻଶ = ‫′ݕ‬
10. Demuestre que el área del triángulo formado por los ejes coordenados y una recta
tangente cualquiera a la hipérbola 2‫ݕݔ‬ = ܽ es constante.
11. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ‫ݔ‬ଷ
+ 3‫ݕݔ‬ଷ
+ ‫ݕ‬ = 5 en ሺ1,1ሻ.
12. Si se conoce que el punto ܲሺ1,2ሻ pertenece a la función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ܽ‫ݔ‬ଶ
+ ܾ‫ݔ‬ + ܿ y que
la recta de ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ es tangente a ݂ en el origen, determine los valores de ܽ, ܾ, ܿ.
13. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva ඥ5 − ‫ݕ‬ +
‫ݕݔ‬ଶ
= 6 en el punto ܲሺ4,1ሻ.

2. 14. Determine las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la curva
paramétrica:
൝
‫ݔ‬ = 2‫ݐ‬ଶ + 1
‫ݕ‬ =
1 + ‫ݐ‬
‫ݐ‬ଶ
, ܿ‫݋݀݊ܽݑ‬ ‫ݐ‬ = 1
15. La recta normal a la curva de ecuación ‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݕݔ‬ = 3‫ݕ‬ଶ
en el punto ܲሺ1,1ሻ
intercepta la misma en otro punto ܳ . Determine las coordenadas de ܳ.
16. La recta tangente y la recta normal de la curva ܿ = ‫ݔ‬ୱ୧୬ሺ௫ሻ
en el punto ቀ
஠
ଶ
,
஠
ଶ
ቁ,
forman un triangulo con el eje ‫.ݔ‬ Hallar el área de dicho triángulo.
17. Dada la curva:
൜
xሺtሻ = cosሺtሻ
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫݊݁ݏ‬ሺ2‫ݐ‬ሻ
, t߳[0, ߨ]
a) Determine la región del plano donde se encuentra la curva
b) Determine los puntos donde la recta tangente a la curva es paralela al eje “‫”ݔ‬
c) Determine los puntos donde la recta tangente a la curva es paralela al eje “‫”ݕ‬
18. Sea ‫ݕ‬ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ, en donde ݂ tiene la inversa ݂ିଵ
. La relación que conecta las
derivadas de ݂ ‫ݕ‬ ݂ିଵ
es ሺ݂ିଵሻᇱሺ‫ݕ‬ሻ =
ଵ
௙ᇲሺ௫ሻ
19. Sea ݂ሺ‫ݔ‬ሻ =
ଵ
௫ିଵ
, utilizando la definición, calcule ݂ᇱ
ሺ4ሻ.
20. Hallar el valor del área del triángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la
curva definida por la ecuación√‫ݔ‬ + ඥ‫ݕ‬ = 2 en el punto ሺ1, 1ሻ , con los ejes
coordenados.
21. Obtenga la derivada
ௗ௬
ௗ௫
para la función ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଷ
=
௘షೣ
√௫௬
ୡ୭ୱ ሺ௫ା௬ሻ
22. Obtenga y’: ‫ݕ‬ = ሺ‫݊ܽݐ‬ሺ2‫ݔ‬ሻሻ
ୡ୭୲ቀ
ೣ
మ
ቁ
23. Sea ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ln ሺ‫ݔ‬ሻ, hallar la segunda derivada empleando la definición.
24. Sea ݂ una función diferenciable para ∀‫ݔ‬ ߳ ሺܽ, ܾሻ y sea ܿ ߳ ሺܽ, ܾሻ, si ݂ᇱሺܿሻ =
0 entonces ݂ሺܿሻ es un máximo o un mínimo valor de ݂.
25. Sea ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬௥
; donde 0 < ‫ݎ‬ < 1 y sea ‫ݔ‬ ߳ [ܽ, ܾ] si ݂ es continua en [a, b] entonces:
∃ܿ ߳ [ܽ, ܾ], tal que
݂ᇱሺܿሻ =
݂ሺܾሻ − ݂ሺܽሻ
ܾ − ܽ

3. 26. Para que el punto ܲሺܿ, ݂ሺܿሻሻ sea considerado punto de inflexión de la gráfica de la
función f basta que ésta sea cóncava hacia arriba a un lado de ܿ y cóncava hacia
abajo al otro lado de ܿ.
Gráficas de Funciones
27. Demuestre que las gráficas de 2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= 6 y ‫ݕ‬ଶ
= 4‫ݔ‬ se intersecan en ángulo
recto.
28. Graficar indicando dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía,
extremos, concavidad, puntos de inflexión: ݂ሺ‫ݔ‬ሻ =
௘ೣ
௫మାଵ
29. Elabore la gráfica de la función:
݂ሺ‫ݔ‬ሻ =
ሺ‫ݔ‬ + 1ሻଶ
‫ݔ‬ଶ
, ܲሺ0,1ሻ
30. Determine ܽ y ܾ de modo que ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ܽ√‫ݔ‬ +
௕
√௫
, tenga a ܲሺ4,13ሻ, como un punto
de inflexión.
31. Para que el punto ܲሺܿ, ݂ሺܿሻሻ sea considerado punto de inflexión de la gráfica de la
función f basta que ésta sea cóncava hacia arriba a un lado de ܿ y cóncava hacia
abajo al otro lado de ܿ.
Teorema del Valor Medio
32. Determine si la función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ଶ/ଷ
cumple con el teorema de valor medio en el
intervalo ሺ−2,2ሻ.
33. Demuestre, utilizando el teorema del valor medio que lim௫→∝ሺ√‫ݔ‬ + 2 − √‫ݔ‬ሻ = 0
34. Califique la siguiente proposición como verdadera o falsa, justificando su
respuesta:
“Para la función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ݈݊ሺ‫ݔ‬ሻ en [1, ݁] no se cumple la conclusión del Teorema de
Valor medio para derivadas de Lagrange”.
Razón de Cambio
35. Una escalera de 13 ‫.݌‬ está apoyada contra una casa cuando su base empieza a
resbalarse. En el momento en que la base está a 12 ‫.݌‬ de la casa, la base se está
moviendo a una razón de 5 ‫.ݏ/݌‬ ¿A qué tasa está cambiando el área del triangulo
formado por la escalera, la pared y el suelo en ese momento?.

4. 36. Hay un poste de luz de 15 ݉. de longitud y una pared de 5 ݉. de altura que se
encuentra a 25 ݉. de distancia del poste. Una persona ubicada entre el poste y la
pared, ubicado a una distancia de 10 ݉. con respecto al poste, suelta un globo con
helio, el mismo que empieza a subir a una velocidad constante de 10 ݉/
‫.ݏ‬ Conforme el globo sube, el faro proyecta la sombra del mismo sobre la pared.
¿A qué tasa se mueve la sombra proyectada sobre el suelo justamente en el
instante en que la sombra proyectada sobre el suelo justamente en el instante en
que la sombra del globo deja de proyectarse sobre la pared.
37. En un tanque en forma de cono circular recto invertido se vierte agua a razón de
720 ܿ݉ଷ
/݉݅݊. El tanque tiene una altura de 200 ܿ݉. y la longitud del radio es de
60 ܿ݉. Determine, la rapidez con la que sube el nivel de agua, cuando el tanque
está a 1/8 de su capacidad.
38. Si la ordenada de los puntos que pertenecen a la circunferencia ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= 25
decrece con una velocidad de 1.5 ܿ݉./‫,.݃݁ݏ‬ determine la velocidad de variación de
sus abscisas respectivas cuando la ordenada mide 4 ܿ݉. Interprete sus respuestas.
Máximos y Mínimos
39. Dos ciudades ‫ܣ‬ y ‫ܤ‬ obtendrán su abastecimiento de agua de la misma estación de
bombeo, la cual se ubicará en la orilla de un río recto a 15 ݇݉. de la ciudad ‫ܣ‬ y a
10 ݇݉. de la ciudad ‫.ܤ‬ Los puntos del río más cercanos a ‫ܣ‬ y ‫ܤ‬ están separados
20 ݇݉.; y ‫ܣ‬ y ‫ܤ‬ se encuentran en el mismo lado del río. Calcule dónde deben
ubicarse la estación de bombeo de modo que se emplee la menor cantidad de
tubería.
40. Se quiere construir una pista rectangular coronado con un semicírculo con 200 ݉.
de perímetro (Observe la figura). Hallar las dimensiones de la pista para que su
área sea máxima.
41. Una ventana está formada por un rectángulo con un semicírculo sobrepuesto.
Encontrar la forma de tal manera que por la ventana ingrese la mayor cantidad
de luz para un perímetro dado.
42. Encuentre las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que se
puede inscribir en una esfera de radio R. ¿Cuál es el volumen máximo?.
r

5. 43. Encuentre las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en
la elipse con ecuación
௫మ
ଵ଺
+
௬మ
ଽ
= 1, si se conoce y que los lados del mismo son
paralelos a los ejes de coordenadas.
Fórmulas de Maclaurin y Taylor
44. Determine los términos hasta ‫ݔ‬ହ
del polinomio de Maclaurin para
ℎሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ݊݁ݏ‬ሺඥ1 + ‫ݔ‬ሻ
45. Usando el polinomio de Maclaurin y con orden n=4, demuestre que:
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = tanିଵሺ0.12ሻ = 0.1194