Microsoft Word Plan De áRea MatemáTicas Ienss

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR DE SINCELEJO

Plan de área de Matemáticas
Año 2006
Núcleo de Ciencia y Tecnología
Jefe de Núcleo: Adolfo Andrés Tirado Hernández

Disciplinas: Matemáticas, Geometría y Estadística

Jefes de Áreas: Albeiro López Cervantes (Matemáticas); Carlos Vélez Arias (Ciencias Naturales); Elkin
Peña Coronado (Tecnología e Informática)

Docentes: Ramiro Acevedo Navarro, Elena Benítez, William Corena Pérez, Efraín Jiménez Moreno,
Albeiro López Cervantes, Eder Rangel Manchego, Alfredo Reyes Gómez, Amín Ruíz Álvarez, Adolfo
Tirado Hernández

Distribución del tiempo:
Primer Período: 23 de enero al 7 de abril
Segundo Período: 17 de abril al 16 de junio
Tercer Período: 10 de junio al 15 de septiembre
Cuarto Período: 18 de septiembre al 24 de noviembre

1. DIAGNÓSTICO

ANALISIS DE RESULTADOS DE PRUEBAS EXTERNAS

PRUEBAS DE ESTADO (ICFES) AÑO 2005

1.) Resultados en la prueba por competencias específicas en Matemáticas:
• En la prueba por competencias específicas, los resultados fueron los siguientes:

Matemática
Nivel C1 C2 C3
Interpretativa Argumentativa Propositiva

I ( Bajo ) 37.44 24.63 34.48

II ( Medio ) 61.58 73.89 65.02

III ( Alto ) 0.99 1.48 0.49

De acuerdo con los resultados que nos muestra la tabla podemos concluir que:

Los estudiantes de la institución en la competencia interpretativa figuraron en la escala II (MEDIO),
con porcentajes de 61.58%. Los estudiantes ubicados en esta escala son capaces de solucionar

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problemas no rutinarios que requieren interpretaciones, traducciones y/o identificación de simbología
propia del lenguaje matemático para matematizar la situación.
Por otra parte, en la competencia argumentativa, figuraron también en la escala de MEDIO en un
porcentaje de 73.89%. Los estudiantes ubicados en esta escala son capaces de abordar situaciones
problema que implican el reconocimiento de estrategias, explicaciones y justificaciones, que
permiten realizar una comprobación directa desde la información ofrecida en la situación.
De igual manera, en la competencia propositiva, figuraron en la escala II (MEDIO), en un porcentaje
de 65.02%. Los estudiantes ubicados en esta escala capaces de abordar situaciones problema que
implican el reconocimiento de ciertas proyecciones ante una situación dada, estas proyecciones
pueden ser encontradas a partir del descubrimiento o creación de ciertas regularidades o
generalizaciones.
Preocupa sobre manera, que un 37.44% de estudiantes figuren en la escala I (BAJO) en la
competencia interpretativa, esto significa que tan solo son capaces de solucionar problemas
rutinarios que requieren interpretaciones, traducciones y/o identificación de simbología propia del
lenguaje matemático para matematizar la situación.
Preocupa también, que en la competencia argumentativa, un 24.63% de los estudiantes figuren en
la escala I (BAJO), esto significa que solo abordan con éxito situaciones que exigen argumentos
fundamentados en casos particulares de la situación inicial, los argumentos refieren afirmaciones
expuestas en la situación, que buscan ratificarse o contradecirse.
Preocupa también, que en la competencia propositiva, un 34.48% de los estudiantes figuren en la
escala I (BAJO), esto significa que sólo pueden enfrentar con éxito situaciones en las que se exige
proponer lo que sucedería en una situación dada si algunas de sus condiciones iniciales fueran
modificadas.
Es alarmante que tan solo un grupo minúsculo de estudiantes figuren en la escala III (ALTO), con
porcentajes de 0.99%, 1.48% y 0.49% en las competencias interpretativa, argumentativa y
propositiva, respectivamente.

• Recomendaciones:

Es prioritario que los profesores de matemática de la institución revisemos la forma como se viene
abordando la enseñanza de la matemática escolar a la luz del desarrollo de competencias.
Es indispensable que los profesores del área se fundamenten más en los procesos y en las
estrategias propias de las matemáticas.
Urge que los profesores del área se reúnan para discutir y establecer consensos en torno a cómo
se favorece en los estudiantes el desarrollo de competencias en matemáticas.

• Contraste con los resultados globales del municipio, departamento y nación.

COMPETENCIA INTERPRETATIVA

NIVEL NORMAL SINCELEJO SUCRE COLOMBIA
I (BAJO) 37.44 35.36 36.00 34.12
II (MEDIO) 61.58 62.64 62.12 63.42
III (ALTO) 0.99 1.37 1.27 1.51

Comparando los resultados del colegio con los alcanzados a nivel global en Sincelejo, Sucre y
Colombia, en la competencia interpretativa, se puede concluir que:

En el nivel I (BAJO) estamos en desventaja con los resultados alcanzados a nivel global por el
municipio, el departamento y la nación; especialmente frente a los resultados del municipio y de la
nación, ya que tenemos un porcentaje mayor de estudiantes ubicados en este nivel.
En el nivel II (MEDIO) estamos en desventaja con los resultados alcanzados a nivel global por el
municipio, el departamento y la nación, púes, tenemos una menor cantidad de estudiantes ubicados
en este nivel.
En el nivel III (ALTO) estamos también, en desventaja frente a los resultados globales del municipio,
el departamento y la nación, ya que tenemos un porcentaje menor de estudiantes ubicados en este
nivel.

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COMPETENCIA ARGUMENTATIVA

I ( BAJO ) 24.63 28.33 29.56 29.86
II ( MEDIO ) 73.89 69.87 68.64 67.86
III ( ALTO ) 1.48 1.16 1.19 1.34

Comparando los resultados del colegio con los alcanzados a nivel global en Sincelejo, Sucre y Colombia, en
la competencia argumentativa, se puede concluir que:

En el nivel I (BAJO) los resultados fueron satisfactorios, puesto que tenemos un menor porcentaje
de estudiantes ubicados en esta escala, en comparación con los resultados del municipio, el
departamento y la nación.
En el nivel II (MEDIO), estamos en ventaja frente a los resultados del municipio, el departamento y la
nación, ya que tenemos un porcentaje mayor de estudiantes ubicados en esta escala.
En el nivel III (ALTO) los resultados también fueron satisfactorios, ya que en esta escala ubicamos
un porcentaje mayor de estudiantes, en comparación con los resultados del municipio, el
departamento y la nación.

COMPETENCIA PROPOSITIVA

I ( BAJO ) 34.48 28.15 29.52 29.65
II ( MEDIO ) 65.02 69.84 68.92 68.19
III ( ALTO ) 0.49 1.37 0.96 1.22

Comparando los resultados del colegio con los alcanzados a nivel global en Sincelejo, Sucre y Colombia, en
la competencia propositiva, se puede concluir que:

En el nivel I (BAJO) los resultados nos dejaron en desventaja frente a los resultados del municipio, el
departamento y la nación, puesto que ubicamos un mayor porcentaje de estudiantes en esta escala.
En el nivel II (MEDIO), estamos en desventaja frente a los resultados del municipio, el departamento
y la nación, ya que ubicamos un porcentaje menor de estudiantes en esta escala.
En el nivel III (ALTO) los resultados también nos dejaron en evidente desventaja frente a los
resultados del municipio, el departamento y la nación, ya que en esta escala ubicamos un porcentaje
menor de estudiantes.


Urge que los docentes del área de matemáticas nos reunamos para diseñar un plan de acción que
permita mejorar los resultados en las pruebas ICFES en el desarrollo de las competencias
interpretativa, argumentativa y propositiva.
Es indispensable que los docentes del área de matemáticas se fundamenten más sobre la tipología
de problemas que se plantean en las pruebas de estado.
Concienciar a estudiantes, padres de familia y a nosotros mismos docentes del área de
matemáticas, en la necesidad de mejorar los resultados por competencias en las pruebas ICFES a
corto, mediano y largo plazo.

• Metas para mejorar los resultados en la prueba por competencias:

A corto plazo, realizar un buen trabajo de preparación en la prueba de competencias en
matemáticas, de tal manera que para el periodo 2006 - 2008:

En la competencia interpretativa: disminuya el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel I
(BAJO), al porcentaje global que presentó el Departamento de Sucre en el año 2005, (36.00%);
aumente el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel II (MEDIO), al porcentaje global que
presentó el Municipio de Sincelejo en el año 2005, (62.64%), y finalmente, aumente el
porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel III (ALTO), a un 1.36%.

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En la competencia argumentativa: se mantenga los resultados obtenidos en cada uno de los
niveles, es decir, 24.63% en BAJO, 73.89% en MEDIO y 1.48% en ALTO.
En la competencia propositiva: se mejoren nuestros resultados en por lo menos a los resultados
globales alcanzados por los estudiantes en la nación, es decir, 29.65% en el nivel BAJO,
68.19% en el nivel MEDIO y 1.22% en el nivel ALTO.

A mediano plazo, fortalecer el trabajo de preparación para las pruebas de estado desde el trabajo en
el aula, de tal manera que:

Los estudiantes, desde la competencia interpretativa, sean capaces de abordar situaciones
problema no rutinarias que le exijan interpretaciones que permitan modelar, por medio de
expresiones matemáticas, las situaciones planteadas. Para ello requieren distintas
interpretaciones y reinterpretaciones de los datos, relaciones, expresiones y afirmaciones que se
presentan en las situaciones de manera explícita o implícita.
Los estudiantes, desde la competencia argumentativa, sean capaces de abordar con éxito
problemas que implican el establecimiento de condiciones de suficiencia y necesidad para
elaborar argumentos.
Los estudiantes, desde la competencia propositiva, sean capaces de abordar situaciones
problema que impliquen una reorganización de las situaciones para determinar las nuevas
condiciones, con las cuales se puedan optimizar procedimientos, métodos o resultados. Estas
situaciones pueden exigir también dar razones de por qué surgen esas nuevas condiciones.

Así, para el periodo 2009 - 2012, se espera que:

En la competencia interpretativa: disminuya a un 35.00%, el porcentaje de estudiantes ubicados
en el nivel I (BAJO); aumente a un 63.40%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel II
(MEDIO), y finalmente, aumente a 1.60%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel III
(ALTO).
En la competencia argumentativa: mejore los resultados obtenidos en cada uno de los niveles, a
los siguientes porcentajes: 23.63% en BAJO, 74.67% en MEDIO y 1.70% en ALTO.
En la competencia propositiva: disminuya a un 28.15%, el porcentaje de estudiantes ubicados
en el nivel I (BAJO), aumente a un 70.45%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel II
(MEDIO), y que aumente a un 1.40%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel III
(ALTO).

A largo plazo, fortalecer aún más el trabajo de preparación para las pruebas de estado, desde cada
una las actividades académicas y científicas que promueva la institución ( olimpiadas, foros,
encuentros, congresos y trabajos de investigación en el aula), de tal manera que para el periodo
2013 – 2016:

En la competencia interpretativa, las tendencias sean: a disminuir por debajo del 25.00%, el
porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel I (BAJO); a disminuir por debajo del 70.00%, el
porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel II (MEDIO), y finalmente, a aumentar por encima
del 5.00%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel III (ALTO).
En la competencia argumentativa, las tendencias sean: mejorar los resultados obtenidos en
cada uno de los niveles, a los siguientes porcentajes: por debajo del 20.00% en el nivel I
(BAJO), por debajo del 70.00% en el nivel II (MEDIO) y por encima del 10.00% en el nivel III
(ALTO).
En la competencia propositiva, las tendencias sean: a disminuir por debajo del 28.00%, el
porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel I (BAJO), a disminuir por debajo del 65.00%, el
porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel II (MEDIO), y que aumente por encima del 7.00%,
el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel III (ALTO).
El ideal hacia futuro sería posicionar a la institución, en la prueba por competencias en
matemáticas, en la escala de ALTO. Esto se conseguiría con un buen trabajo coordinado de
todos los niveles que maneja la escuela.

2.) Por desempeño en cada uno de los componentes del área de Matemáticas.

El área de matemáticas en las pruebas de estado se distribuye en cuatro grupos:

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Grupo 1: conteo
Grupo 2: medición
Grupo 3: variación
Grupo 4: aleatoriedad

Cada grupo de preguntas hace los siguientes énfasis:

CONTEO: Se refiere a los diferentes sentidos en la construcción del concepto de número.
Aborda la conceptualización de diferentes sistemas numéricos, con las operaciones, relaciones y
propiedades que han permitido su caracterización y su complejización desde los naturales hasta los reales,
a partir de la identificación y uso, utilizando formas de representación propias.

MEDICION: Se refiere a los conceptos de medida, métrica, espacio y las relaciones que entre éstos se
pueden generar a partir de las experiencias con la medida, las formas geométricas y las diferentes
aplicaciones de la métrica. Consideran el manejo que hace el estudiante de las formas, las mediciones
asociadas a ellas, sus movimientos y las condiciones invariantes en ellas.

VARIACION: Se refiere al concepto de variable y los diferentes conceptos y relaciones en los que está
involucrada. Se consideran elementos de análisis de la variable teniendo en cuenta su naturaleza, el tipo de
regularidad que establece, sus posibilidades de modelación en diferentes contextos, el uso de las variables
en las diferentes clases de funciones, el manejo y uso de diferentes formas de representación y su análisis.

ALEATORIEDAD: Se refiere al manejo de datos, el uso de descripciones y representaciones gráfica, el uso
de conceptos relacionados con la descripción de datos: medidas de tendencia central (media, mediana y
moda).se consideran, además, los diferentes aspectos que caracterizan procesos de conteo como arreglos,
permutaciones y combinaciones, y la interpretación y uso de probabilidades asociadas a eventos.

Los resultados por grupos de preguntas se interpretan a partir de las siguientes categorías de desempeño:

SA: Desempeño relativo significativamente alto: El desempeño en este grupo de preguntas es
significativamente superior al de los demás grupos de preguntas. Puede considerarse como una fortaleza.

A: Desempeño relativo alto: Se evidencia una tendencia a manejar este grupo con mayor dominio que los
otros grupos de preguntas.

M: Desempeño relativo medio: El manejo de este grupo de preguntas es promedio con relación a los demás
grupos de preguntas.

B: Desempeño relativo bajo: Se evidencia una tendencia a manejar este grupo de preguntas con menos
dominio que los otros grupos de preguntas.

SB: Desempeño relativo significativamente bajo: El desempeño en este grupo de preguntas es
significativamente bajo en relación con los demás grupos de preguntas. Puede considerarse una debilidad.

Con base en los elementos expuestos anteriormente, los resultados de la institución fueron los siguientes:

PRUEBA COMPONENTES
Desempeño en CONTEO MEDICION VARIACION ALEATORIEDAD
Matemáticas SA M B SB

En conteo el desempeño de los estudiantes fue significativamente alto (SA) en comparación con los
demás grupos de preguntas, esto quiere decir, que en este grupo de preguntas presentamos
algunas fortalezas.
En medición el desempeño de los estudiantes fue promedio (M) en relación con los demás grupos
de preguntas, es decir, los resultados no fueron trascendentes de manera general.
En variación y aleatoriedad los desempeños de los estudiantes fuero bajo (B) y significativamente
bajo (SB) respectivamente, en contraste con los demás grupos de preguntas, es decir, no hay
evidencias de un dominio conceptual en estos grupos de preguntas. Podemos afirmar que en estos
grupos de preguntas tenemos debilidades.

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Es de gran importancia que los docentes del área se reúnan para revisar la estructural curricular del
programa de matemáticas en cada uno de los grupos de grados, especialmente, en lo relacionado
con la distribución de cada una de las componentes que se evalúan en las pruebas ICFES.
Es indispensable que los docentes del área realicen jornadas pedagógicas, con invitados
especiales, con la intencionalidad de discutir y de establecer consensos, en torno a las siguientes
inquietudes: ¿Cuáles son las causas por la que los estudiantes de la escuela fallan al resolver
pruebas que involucran grupos de preguntas relacionados con la medición, la variación y la
aleatoriedad? ¿Qué acciones de tipo metodológico deben emprenderse para hacia el futuro mejorar
los resultados en estos grupos de preguntas?
Es urgente que establezca un programa de capacitación y actualización en matemáticas, que gire en
torno a las siguientes temáticas: Fundamentos de Variación en Matemáticas, Aleatoriedad y
Procesos Estocásticos, fundamentos de Geometría y Medición y Didáctica de las Matemáticas.

• Metas para mejorar estos resultados: frente a los resultados obtenidos se espera que:

Para los años 2006 - 2008, mejorar los niveles de desempeño en variación y aleatoriedad a la
categoría de MEDIO (M); en medición subir a la categoría de ALTO (A), y sostener la categoría
SIGNIFICATIVAMENTE ALTO (SA) en conteo.
Para los años 2009 – 2012, mejorar los niveles de desempeño en medición, variación y
aleatoriedad a la categoría de ALTO (A), y seguir sosteniendo la categoría de
SIGNIFICATIVAMENTE ALTO (SA) en conteo.
Para los años 2013 y siguientes se aspira a tener un equilibrio en los resultados, y mejorar los
niveles de desempeño a la categoría de SIGNIFICATIVAMENTE ALTO (SA).

3.) Puntaje en la prueba de núcleo común en matemáticas.

Estos resultados se presentan en una escala que oscila entre 0 y 100 puntos aproximadamente, los
cuales representan la competencia en la prueba de Matemática.

De manera general los resultados son valorados con la siguiente escala:

RANGO DE PUNTAJE PUNTAJE DE LA PRUEBA
BAJO ≤ 30
MEDIO 31 – 70
ALTO ≥ 70

• Resultados alcanzados por los estudiantes:

TABLA 1.

INTERVALOS NIVEL PORCENTAJES
0 - 30 BAJO 2,46
30 - 70 MEDIO 97,54
70 - 100 ALTO 0

Dividiendo el nivel medio en tres subniveles, tal como se muestra en la tabla 2, los resultados
específicos fueron:

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TABLA 2
NIVEL INTERVALOS PORCENTAJES
30 - 45 50,25
MEDIO 45 - 55 42,36
55 - 70 4,93

Teniendo en cuenta los resultados que se muestran en las tablas 1 y 2, se puede concluir que:

El 97.54% de los estudiantes de la escuela fueron valorados en el nivel MEDIO.

De estos, el 92.61% de los estudiantes obtuvieron puntajes por debajo de la media nacional (55
puntos).

Tan solo un 4.93% de los estudiantes alcanzaron puntajes por encima de la media nacional de 55
puntos.

Los estudiantes que se ubican en el nivel MEDIO, son capaces de desenvolverse competentemente
en ciertos contextos, pero no en otros, sólo consiguen abordar algunos aspectos básicos de la
matemática escolar. Las situaciones a las que se enfrentan contenían elementos no rutinarios que le
exigían relacionar diferente información o condiciones para reorganizarlas, así como el abordaje de
diferentes formas de representarla y hacer traducciones entre ellas y, de igual manera, exigía el
establecimiento de estrategias en las cuales se encontraban elementos tanto nocionales como
conceptuales.


Es indispensable que avancemos a ambientes de aprendizaje que permita en los estudiantes
tener la capacidad de desenvolverse adecuadamente en diversos contextos que le posibiliten
trabajar los elementos básicos de la matemática escolar.
Para lograr lo anterior es necesario que las situaciones que se aborden sean no rutinarias,
requieran relacionar y conectar mayor cantidad de información y/o condiciones, establecer
estrategias, como la generalización y la inferencia, que involucren conceptualizaciones más
formales.

• Metas para mejorar estos resultados:

En el periodo 2006-2008 preparar a los estudiantes para aumentar a un 3.00% el porcentaje de
estudiantes valorados en el nivel ALTO, y aumentar a un 30.00% el porcentaje de estudiantes
valorados en el nivel MEDIO con resultados por encima de la media nacional de 55 puntos.
En el periodo 2009 – 2012, realizar un trabajo de preparación mucho más fuerte, ateniente a
aumentar a un 5.00% el porcentaje de estudiantes valorados en el nivel ALTO, y aumentar a un
40.00% el porcentaje de estudiantes valorados en el nivel MEDIO con resultados por encima de la
media nacional de 55 puntos.
En los años 2013 y siguientes, mejorar el trabajo de preparación a niveles más altos, tratando de
que aumente por encima del 10.00% el porcentaje de estudiantes valorados en el nivel ALTO, y
aumentar a un 60.00% el porcentaje de estudiantes valorados en el nivel MEDIO con resultados
por encima de la media nacional de 55 puntos.

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2. OBJETIVOS DEL ÁREA

2.1 Generales:
Son objetivos generales de la educación básica:
a) Propiciar una formación general mediante el acceso, de manera crítica y creativa, al conocimiento
científico y tecnológico.
b) Desarrollar las habilidades comunicativas para leer, comprender, escribir, escuchar, hablar y expresarse
correctamente.
c) Ampliar y profundizar en el razonamiento lógico y analítico para la interpretación y solución de los
problemas de la ciencia, la tecnología y de la vida cotidiana.

2.2 Específicos:
Son objetivos específicos del nivel preescolar:
b) El crecimiento armónico y equilibrado del niño, de tal manera que facilite la motricidad, el aprestamiento y
la motivación para la lecto-escritura y para las soluciones de problemas que impliquen relaciones y
operaciones matemáticas.
c) El desarrollo de la creatividad, las habilidades y destrezas propias de la edad, como también de su
capacidad de aprendizaje.

Los cinco (5) primeros grados de la educación básica que constituyen el ciclo de primaria, tendrán
como objetivos específicos los siguientes:
c) El desarrollo de las habilidades comunicativas básicas para leer, comprender, escribir, escuchar, hablar y
expresarse correctamente en lengua.
d) El desarrollo de la capacidad para apreciar y utilizar la lengua como medio de expresión estética.
e) El desarrollo de los conocimientos matemáticos necesarios para manejar y utilizar operaciones simples de
cálculo y procedimientos lógicos elementales en diferentes situaciones, así como la capacidad para
solucionar problemas que impliquen estos conocimientos.
g) La asimilación de conceptos científicos en las áreas de conocimiento que sean objeto de estudio, de
acuerdo con el desarrollo intelectual y la edad.

Los cuatro (4) grados subsiguientes de la educación básica que constituyen el ciclo de secundaria,
tendrán como objetivos específicos los siguientes:
a) El desarrollo de la capacidad para comprender textos
c) El desarrollo de las capacidades para el razonamiento lógico, mediante el dominio de los sistemas
numéricos, geométricos, métricos, lógicos, analíticos, de conjuntos de operaciones y relaciones, así como
para su utilización en la interpretación y solución de los problemas de la ciencia, de la tecnología y los de la
vida cotidiana.

Son objetivos específicos de la educación media académica:
c) El desarrollo de las habilidades comunicativas básicas para leer, comprender, escribir, escuchar, hablar y
expresarse correctamente en lengua castellana.
c) El desarrollo de las capacidades para el razonamiento lógico, mediante el dominio de los sistemas
numéricos, geométricos, métricos, lógicos, analíticos, de conjuntos de operaciones y relaciones, así como
para su utilización en la interpretación y solución de los problemas de la ciencia, de la tecnología y los de la
vida cotidiana.

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3. JUSTIFICACIÓN

En este espacio es bueno analizar el por qué la Matemática aparece en los diferentes currículos, desde el
nivel básico hasta el universitario; es decir, es necesario hacer un breve análisis que justifique las razones
por las cuales se enseña Matemática en los diferentes niveles.

Con frecuencia se dice que la Matemática es la reina de las ciencias ya que todas necesitan de su autoridad
para que la de cada una se reconozca. Pero enfocándolo desde otro punto de vista también podemos decir
que es su doncella porque a todas sirve en sus desarrollos. Verdaderamente, es la reina de las ciencias
porque, una característica que la diferencia del resto es "la posibilidad de vida independiente". Es decir, su
sangre azul radica en el hecho de su capacidad de existir en cualquiera de los mundos posibles sin más
necesidad que el desarrollo de las habilidades llamadas de orden superior del intelecto humano.

Entre las razones por las cuales en todos los currículos se enseña la Matemática podemos citar las
siguientes:

a). Su intrínseca facultad para desarrollar capacidades de razonamiento: Luis Vives, s. XVI, expresó:
"es una asignatura para manifestar la agudeza de la mente".

b). Su utilidad, tanto para la vida cotidiana como para el aprendizaje de otras disciplinas necesarias
para el desarrollo personal y profesional.

c). La Matemática posee el asombroso poder de explicar cómo funcionan las cosas, por qué son
como son: Es realmente asombrosa la capacidad de la Matemática para explicar el mundo que nos rodea,
desde las cónicas de Apolonio de Pérgamo (s. III a. C), que asombrosamente describen las órbitas de los
planetas alrededor del sol, con éste como uno de los focos de cada una de las cónicas descrita por los
planetas, ciertamente Kepler quedó asombrado ante esta coherencia. Los logaritmos creados por John
Neper con la única intención de simplificar los cálculos, dieron lugar a la función logaritmo, la cual interviene
el la descripción de innumerables fenómenos del mundo objetivo. Como un ejemplo, la curva de la concha
de un caracol es una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica especialmente perfecta en la naturaleza
puede encontrarse en la concha de una jibia primitiva llamada Nautilus. En el caracol, la espiral logarítmica
es una expresión pacífica de crecimiento exponencial.

El descubrimiento de Neptuno por John Couch Adams, quien con lápiz y papel, demostró en 1846 su
existencia a partir de las alteraciones sufridas en la órbita de Urano. Adams realizó los cálculos adecuados y
señaló las coordenadas del objeto que alteraba la órbita de Urano, y a los expertos sólo les quedó enfocar
sus telescopios. De forma análoga a los ejemplos citados la Matemática describe tantos y tantos fenómenos
del mundo que nos rodea, que nos permite pensar que este mundo está construido matemáticamente, y nos
posibilita comprender el por qué del pensamiento místico de René Descartes. La perfección del pensamiento
matemático ha llevado a considerarlo en muchas etapas de la historia de la humanidad como instrumento de
comunión con la divinidad y con las fuerzas ocultas del mundo.

d). Son necesarias para desarrollar habilidades laborales y dar respuesta a cuestiones científicas y
tecnológicas: Existe una razón de orden práctico para su presencia en la formación de personas, a muy
distinto nivel, la cual está en el hecho de que es realmente impredecible cuando una persona puede
necesitar cierta formación caracterizada por el pensamiento matemático.

e). La potencia de la Matemática como medio de comunicación: Hay un lenguaje común para todas las
civilizaciones técnicas, por muy diferentes que sean, y éste es el lenguaje de la ciencia y la Matemática. La
razón está en que las leyes de la Naturaleza son idénticas en todas partes. Así, las naves exploratorias
Voyager, que desde 1977 buscan vidas inteligentes fuera de nuestro planeta, llevan ejemplos de
Matemáticas en la información sobre la vida en la Tierra.

Es indudable que existen diferentes opiniones sobre las razones por las cuales se debe incluir la Matemática
en los diferentes niveles de los currículos escolares, aunque a nivel mundial se asumen acuerdos
importantes al respecto, como es el caso de la ICMI, Comisión Internacional para la Instrucción

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Matemática, la cual, en un simposio celebrado en Kuwait en 1986, acordó cuatro razones básicas para
enseñar Matemática y sus correspondientes consecuencias curriculares, estas son:

a) Desarrollo de la potencia crítica que capacita a la gente para manejar la masa de datos con la que
constantemente somos bombardeados: Como consecuencia, se deriva la introducción de nociones
estadísticas en todos los currículos de los niveles obligatorios.

b) La existencia de una certeza verificable ausente en otros aspectos de la existencia humana: Dos
consecuencias se derivan de este hecho:

b.1 Suministra al alumnado las suficientes Matemáticas como para convencerse de que existe algo que es
verdad fuera de toda duda.

b.2 La enseñanza debe realizarse de forma que capacite y anime al alumnado a llegar a sus propias
convicciones.

c) El placer inherente de la creación matemática: La afirmación de la naturaleza artística de la
matemática puede sonar extraña en muchos oídos. Si arte es la producción por parte del hombre de un
objeto bello, esperamos que esta afirmación resulte justificada al término de las notas que siguen. Desde
que se empezó a analizar lo que es arte y belleza aparece explícito esta aseveración. Para los pitagóricos, la
armonía, uno de los ingredientes de la belleza, va unida al número en la constitución ontológica de todo el
universo. Aristóteles mismo se expresa así en su Metafísica (Libro XII cap.III, v. 9): "Las formas que mejor
expresan la belleza son el orden, la simetría, la precisión. Y las ciencias matemáticas son las que se ocupan
de ellas especialmente".

d) El papel auxiliar de las Matemáticas, en crecimiento continuo y exponencial.

Como se puede apreciar, los puntos a y c de los acuerdos del ICME, aportan otras dos razones para la
enseñanza de la Matemática. Lo que quiere decir, que en una forma u otra, no hay duda de la necesidad de
la presencia de la Matemática en los currículos escolares, aunque también es una conclusión definitiva, que
el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática, se debe desarrollar en aras de satisfacer las razones
por la que esta materia aparece en el currículo.

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4. MARCO TEÓRICO

4.1 HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

4.1.1 Introducción

La matemática representa el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de
las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. Es
una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad, y aunque actualmente está estructurada y
organizada, esta operación llevó muchísimo tiempo. En el pasado las matemáticas eran consideradas
como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en
la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las
matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que
produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica — ciencia
que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada
en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y
teoremas más complejos.

Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En
realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad. Ya la encontramos en los diseños
prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres (donde se pueden encontrar evidencias del
sentido geométrico y del interés en figuras geométricas). Los sistemas de cálculo primitivos estaban
basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos (prestar atención como cuentan los
niños), lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son
los números 5 y 10.

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en
Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas
y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración
decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema
utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como
unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así
sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las
centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era
el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (Œ), junto con la fracción ’, para expresar todas las
fracciones. Por ejemplo, " era la suma de las fracciones ‚ y ~. Utilizando este sistema, los egipcios fueron
capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales.
En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios,
y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un
círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se
obtiene utilizando la constante pi (3,14).

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban
tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al
1 y una marca en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados
por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin
embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía
dado por su posición en el número completo. Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba
tan útil como el sistema decimal (base 10).

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron
encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de
encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados

11

utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo
tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon
no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de
cuadrados.

4.1.2 Las matemáticas en Grecia

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación
más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de
definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI
a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los
números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos
sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de
Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos,
que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares
eran iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de
la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas
bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la
duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos
problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la
regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos
tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.

A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de
medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable. Esto
significa que no existen dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado
y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3...), no pudieron expresar
numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, Ã, es lo que hoy
se denomina número irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la
proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida
en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos
de Euclides. Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre
áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.

Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió
tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus Elementos contienen la
mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como
la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la
geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede
comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo, Apolonio de Perga.
Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente
pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las
cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían
como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida
aparece en los trabajos de Arquímedes. También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de
ciertos cuerpos sólidos flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo
XVII, al desarrollo del cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las
cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el
estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René Descartes
en el siglo XVII.

Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla. Los
escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición aritmética y de

12

medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes
geómetras. Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición,
aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras
para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones
se denominan diofánticas y se estudian en el análisis diofántico.

4.1.3 Las matemáticas aplicadas en Grecia

En paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo
estudios de óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides y
Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos. A principios del siglo II a.C., los astrónomos
griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo,
compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio determinado, estas tablas daban
la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado
incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la
trigonometría. En la primera versión de estas tablas — las de Hiparco, hacia el 150 a.C.— los arcos
crecían con un incremento de 7 °, de 0° a 180° En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la
.
maestría griega en el manejo de los números había avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de
incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de un círculo con incrementos de y° que, aunque
expresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.

Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se
introdujo un teorema — que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría — para calcular las
longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las
herramientas necesarias para resolver problemas de astronomía esférica, y para desarrollar el sistema
astronómico que sería utilizado hasta la época del astrónomo alemán Johannes Kepler.

Las Matemáticas en la Edad Madia: En Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de
estudiar las obras de estos matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos
trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin embargo,
los primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el mundo
árabe.

4.1.4 La Época de Oro: Las matemáticas en el mundo islámico

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la
península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites
de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias
extranjeras". Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los
califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de
matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes
comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos árabes
ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las
fracciones decimales. En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de
extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El
matemático árabe Al-Jwârizmî (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros
es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para
polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron
las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de
las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-
Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de
Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la
publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

13

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras
otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Los países
europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el
gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos
clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media.
Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del
siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente
en fuentes árabes para sus estudios.

4.1.5 Las Matemáticas en Europa

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobre problemas
del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un
descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la
resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático
italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los
números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y
superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a
finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del
XIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos.
El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de
ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior,
incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde la era de
Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático
escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir,
dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado
la vida.

La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época medieval, es un
buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad
clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en
la teoría de números. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen soluciones de la
n n n
ecuación a + b = c con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como
último teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.

En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue la
publicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento de la geometría
analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la
geometría de las curvas (Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó). El Discurso
del método, junto con una serie de pequeños tratados con los que fue publicado, ayudó y fundamentó
los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. El segundo acontecimiento que afectó a la
geometría fue la publicación, por el ingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la
geometría proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el científico y
filósofo francés Blaise Pascal, su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la
aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con
los trabajos del matemático francés Jean Victor Poncelet.

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la probabilidad
a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar,
el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés
Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue

14

publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el
francés Abraham De Moivre, en su Doctrina del azar de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo
para avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes
compañías de seguros.

Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el
descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se
basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los
estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann
van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried
Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema
de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.

Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en
sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al
mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques
Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Gaspard Monge la geometría
descriptiva. Joseph Louis Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la
mecánica en su gran obra Mecánica analítica (1788), en donde se pueden encontrar las famosas
ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al estudio de
las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo
Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-
1825), que le valió el sobrenombre de ‘el Newton francés’.

El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre
el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo,
mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas
disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto
matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo
adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton estaba basada en la
cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era
completamente algebraica y basada en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran
inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue
resuelto hasta el siglo posterior.

En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del
cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin
embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la
definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán
Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los
números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y
Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más
importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle — estudiado por
primera vez en el siglo XVIII — fue el de definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el
matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L.
Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del
cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en esta materia. A principios
del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos
números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy,
Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann. Otro importante avance del análisis fue el
estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas
se conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras
como en las aplicadas. Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a series de
Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La
teoría de Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como "enfermedad de la

15

que las matemáticas se curarán pronto", forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y
recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.

Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no
euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que
pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo
de la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y
publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János
Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su
descubrimiento de las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han
encontrado también aplicaciones en física.

Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su juventud muestran
que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos en teoría de números, un área
en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era moderna. En su tesis
doctoral presentó la primera demostración apropiada del teorema fundamental del álgebra. A menudo
combinó investigaciones científicas y matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al
mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría
de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez
que desarrollaba sus investigaciones topográficas.

De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental por Gauss fue la
transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al
estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante en esa dirección fue la invención
del álgebra simbólica por el inglés George Peacock. Otro avance destacado fue el descubrimiento de
sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos sistemas se
encuentran las cuaternas del matemático irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del
matemático y físico estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones
del matemático alemán Hermann Günther Grassmann. Otro paso importante fue el desarrollo de la
teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para
generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.

Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para estudiar la geometría, el
matemático alemán Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo XIX.
Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado
Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica de ecuaciones diferenciales mediante
grupos continuos de transformaciones conocidas como grupos de Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha
aplicado a una forma general de la geometría conocida como topología.

También los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados durante el siglo
XIX, sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre las leyes del
pensamiento (1854) y por Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo, hacia finales del siglo, se
descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. El matemático inglés Bertrand Russell
encontró una de estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto. Los matemáticos
resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos lo bastante restrictivas como para eliminar
todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían aparecer otras paradojas —es decir,
sin demostrar si estas teorías son consistentes. Hasta nuestros días, sólo se han encontrado
demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B es consistente entonces la teoría A también lo
es). Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en 1931 por el lógico estadounidense
Kurt Gödel, según la cual en cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser
útil a las matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro
del sistema.

4.1.6 Las Matemáticas en el Siglo XX

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán
David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y

16

Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su
clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática en colaboración con
otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos
que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Estos
problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez
que aparecen noticias de que otro de los “problemas de Hilbert” ha sido resuelto, la comunidad
matemática internacional espera los detalles con impaciencia.

A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la
invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro.
Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el
siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de
realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones (programa)
escritas en tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue
hasta la invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación
programable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de
las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de
investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa
herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el
álgebra abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas
matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los
cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes
para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores.
Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la
Universidad de Illinois (Estados Unidos).

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que
eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque
la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann
siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que
incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

4.2 FILOSOFÍA DE LAS MATEMATICAS

¿De dónde provienen las concepciones acerca del conocimiento matemático escolar?

La historia da cuenta de siglos y siglos de diversas posiciones y discusiones sobre el origen y la naturaleza
de las matemáticas; es decir, sobre si las matemáticas existen fuera de la mente humana o si son una
creación suya; si son exactas e infalibles o si son falibles, corregibles, evolutivas y provistas de significado
como las demás ciencias.

4.2.1 El Platonismo

Éste considera las matemáticas como un sistema de verdades que han existido desde siempre e
independientemente del hombre. La tarea del matemático es descubrir esas verdades matemáticas, ya que
en cierto sentido está “sometido” a ellas y las tiene que obedecer. Por ejemplo, si construimos un triángulo
de catetos c, d y de hipotenusa h, entonces irremediablemente encontraremos que: h2 = c2 + d2.

El Platonismo reconoce que las figuras geométricas, las operaciones y las relaciones aritméticas nos
resultan en alguna forma misteriosas; que tienen propiedades que descubrimos sólo a costa de un gran
esfuerzo; que tienen otras que nos esforzamos por descubrir pero no lo conseguimos, y que existen otras
que ni siquiera sospechamos, ya que las matemáticas trascienden la mente humana, y existen fuera de ella
como una “realidad ideal” independiente de nuestra actividad creadora y de nuestros conocimientos previos.

17

4.2.2 El Logicismo

Esta corriente de pensamiento considera que las matemáticas son una rama de la Lógica, con vida propia,
pero con el mismo origen y método, y que son parte de una disciplina universal que regiría todas las formas
de argumentación. Propone definir los conceptos matemáticos mediante términos lógicos, y reducir los
teoremas de las matemáticas, los teoremas de la Lógica, mediante el empleo de deducciones lógicas.

Prueba de lo anterior es la afirmación de que “La Lógica matemática es una ciencia que es anterior a las
demás, y que contiene las ideas y los principios en que se basan todas las ciencias” (DOU, 1970: 59),
atribuida a Kurt Gödel (1906) y que coincide, en gran medida, con el pensamiento aristotélico y con el de la
escolástica medieval. Claro que hay que tener en cuenta que para los antiguos, la Lógica era más un arte
que una ciencia: un arte que cultiva la manera de operar válidamente con conceptos y proposiciones; un
juego de preguntas y respuestas; un pasatiempo intelectual que se realizaba en la Academia de Platón y en
el Liceo de Aristóteles, en el que los contendientes se enfrentaban entre sí mientras el público aplaudía los
ataques y las respuestas.

Esta corriente reconoce la existencia de dos Lógicas que se excluyen mutuamente: la deductiva y la
inductiva. La deductiva busca la coherencia de las ideas entre sí; parte de premisas generales para llegar a
conclusiones específicas. La inductiva procura la coherencia de las ideas con el mundo real; parte de
observaciones específicas para llegar a conclusiones generales, siempre provisorias, que va refinando a
través de experiencias y contrastaciones empíricas.

Una de las tareas fundamentales del Logicismo es la “logificación” de las matemáticas, es decir, la reducción
de los conceptos matemáticos a los conceptos lógicos. El primer paso fue la reducción o logificación del
concepto de número. En este campo se destaca el trabajo de Gottlob Frege (1848-1925) quien afirma
“...espero haber hecho probable que las leyes aritméticas son juicios analíticos y por tanto a priori. Según
ello, la aritmética no sería más que una lógica más desarrollada; todo teorema aritmético sería una ley lógica
aunque derivada. Las aplicaciones de la aritmética a la explicación de los fenómenos naturales serían un
tratamiento lógico de los hechos observados; computación sería inferencia. Las leyes numéricas no
necesitan, como pretende Baumann, una confirmación práctica para que sean aplicables al mundo externo,
puesto que en el mundo externo, la totalidad del espacio y su contenido, no hay conceptos, ni propiedades
de conceptos, ni números. Por tanto las leyes numéricas no son en realidad aplicables al mundo externo: no
son leyes de la naturaleza. Son, sin embargo, aplicables a los juicios, los cuales son en verdad cosas de la
naturaleza: son leyes de las leyes de la naturaleza...”.

Frege hizo grandes aportes a lo que hoy conocemos como Lógica matemática: cálculo proposicional,
reglas para el empleo de los cuantificadores universales y existenciales, y el análisis lógico del método de
prueba de inducción matemática. Frege defendía una concepción logicista, según la cual los objetos de las
matemáticas son abstractos, eternos e independientes de nuestra mente (por lo tanto a Frege se le
considera realista). Él pensaba que tenemos acceso a esos objetos (tales como los números y las
colecciones de números) a través de la lógica. Por ejemplo, el cero se puede definir como el conjunto de
todos aquellos individuos que no son idénticos a sí mismos. En efecto, para Frege el concepto de
identidad es un concepto lógico. El proyecto logicista fracasa debido a la paradoja de las clases que no
son miembros de sí mismas
R= { C / C es un conjunto y C ∉ C }
La pregunta es: ¿ R ∈ R ? Al contestar ya sea de manera afirmativa o negativa nos encontramos en
ambos casos frente a una contradicción.

El Logicismo, lo mismo que otras teorías sobre fundamentos de las matemáticas, tiene que afrontar el
delicado reto de evitar caer en las paradojas, sin que haya conseguido una solución plenamente
satisfactoria, después de un siglo de discusiones y propuestas alternativas. Entre los problemas que
reaparecen en la discusión sobre filosofía de las matemáticas, está el de la logificación o aritmetización del
continuo de los números reales: ¿Se puede entender lo continuo (los reales) a partir de lo discreto
(aritmética de los naturales)?

4.2.3 ¿Puede la matemática reducirse a la lógica?

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Según Carnap, la tesis central del logicismo consiste en la idea de que las Matemáticas son reducibles a la
Lógica y que en realidad no son más que una parte de la Lógica. Los orígenes del logicismo se encuentran
en Leibniz y en su distinción entre las verdades de la razón y las verdades de hecho. Las verdades de la
Razón –mismas que las demostraciones matemáticas ponen en juego– están subordinadas al principio de
no contradicción, “en virtud del cual juzgamos como falso aquello que encierra una contradicción y como
verdadero aquello que se opone a lo falso”. Pero es sobre todo al final del siglo XIX y al principio del siglo XX
que el logicismo encontró un mayor apoyo con los trabajos de Russell, Frege Whitehead. Apoyar o refutar la
tesis del logicismo requiere comprender que la ciencia matemática se encuentra en un movimiento dialéctico
entre las exigencias de la lógica formal y de la psicología (intuición). A su vez, esta comprensión permite
evaluar el status como ciencia de lo que hoy es conocido con el nombre de Matemáticas. Es evidente que el
logicismo puede compensar la debilidad e incluso la ausencia de ciertos conceptos asociados a
representaciones intuitivas. Así por ejemplo, la noción de continuidad permaneció durante más de veinte
siglos asociada a la intuición de las magnitudes y, con ella, a ejemplos y consideraciones en física como en
el caso de Aristóteles. Sin embargo esto respondía al hecho preciso de que no existía una definición
rigurosa de continuidad. Esta aproximación intuitiva produjo errores importantes, principalmente la creencia
de que toda función continua es derivable. De esta forma, aquello que permaneció atado al deseo de ver, o
de hacer ver, dejó de lado la complejidad de la teoría puramente conceptual que hoy es totalmente
aceptada. Leibniz afirmaba ya que “dado que nosotros no podemos conocer intuitivamente las cosas, sólo
nos queda calcularlas con la ayuda de un lenguaje bien formado”.

El conocimiento ciego, enteramente apoyado en la asociación rigurosa de símbolos, permite el control de
proposiciones que eventualmente deduciremos, pero es sobre todo una fuente de invención porque extiende
los límites de la representación. La Matemática como parte de la Lógica, es entonces el gran lenguaje
unificador capaz de describir los fenómenos más complejos; resta saber si este lenguaje tiene perspectivas
de ser siempre útil y si no existe un exceso de vocabulario vinculado con la aparición de nuevas teorías
matemáticas que parecen ser poco aplicables e incluso irreales. Cierto, la sobreestimación de la lógica
alimenta la crítica sobre la importancia científica de algunas teorías matemáticas. La desconfianza
engendrada por el logicismo está motivada por el hecho de que esta postura por sí misma no puede
garantizar el deslizamiento frecuentemente anhelado: de la verdad formal a la verdad material, de la
constatación de la no contradicción de un discurso a la afirmación de la existencia de aquello que se habla.
Es precisamente en este punto donde se corre el riesgo de desacreditar nuevas teorías para las cuales no
es fácil encontrar en el momento actual una analogía con el mundo real. Ahora bien, el certificado de
realidad objetiva que confiere importancia y legitima las teorías matemáticas no se encuentra en la correcta
discursiva y es necesario buscarlo de alguna otra forma. Para Brouwer, por ejemplo, las importantes
paradojas a las cuales dieron lugar las tentativas de axiomatización de las matemáticas son interpretadas
como los síntomas de una corriente formalista que favorece la organización interna de los discursos y
menosprecia al espíritu creador del matemático. “Es verdad que las matemáticas son del todo
independientes del mundo material, pero existir en matemáticas quiere decir ser construido por la intuición”.
Se le puede reprochar a Brouwer su simplismo y su sobrevaloración de la intuición constructiva como único
edificador de lo posible. Algunos podrían argumentar que la realidad objetiva va más allá de nuestras
simples construcciones mentales y que la misión del matemático no se puede circunscribir a una esfera tan
limitada. No obstante, el verdadero valor de la crítica de Brouwer consiste en hacer ver que las Matemáticas
deben reposar sobre algún modelo que sirva de testigo a nuestras afirmaciones. La necesidad de este
referente es incontestable ante la convicción de que los argumentos y las deducciones formales no surgen
por mera aleatoriedad. “Debe existir un sentido común entre los axiomas reunidos el cual permite el
razonamiento y que en ausencia del mismo, se cae en proposiciones completamente independientes y
encerradas en la dificultad combinatoria leibniziana”.

Negar este principio equivale a afirmar que el matemático está desprovisto de voluntad, que es equiparable
a un demostrador automático de teoremas cuya única función consiste en yuxtaponer proposiciones y que,
en última instancia, su trabajo carece de valor pues no existe una conciencia del mismo. En este sentido
podemos afirmar que las Matemáticas no se pueden encerrar en la Lógica y que deben buscar el uso de un
lenguaje favorable a aquellos presentimientos que más tarde serán concretizados en forma de teoremas. En
un principio, estos presentimientos son vagos pero existen (pues ya han dejado una huella en la mente de
quien los intenta expresar) y su vaguedad consiste en la falta de familiaridad con los mismos; la necesidad
de actualización psicológica es entonces inevitable. Por tal motivo no es raro observar que la axiomatización
tiene siempre un doble referencial: uno exterior del cual toma prestado el nombre de sus objetos y uno
interior que consiste en la descripción matemática a través de ciertas propiedades. De esta forma opera no
sólo la Geometría (cuyas figuras son todo salvo datos empíricos pero que están perfectamente claros en la

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mente del geómetra que los usa a la vez como referente lingüístico y punto de apoyo para sus
demostraciones) sino la Matemática en general. Como alguien bien dijo: “casi todos los matemáticos son
realistas de lunes a viernes y formalistas el fin de semana”.

4.2.4 El Formalismo

Esta corriente reconoce que las matemáticas son una creación de la mente humana y considera que
consisten solamente en axiomas, definiciones y teoremas como expresiones formales que se ensamblan a
partir de símbolos, que son manipulados o combinados de acuerdo con ciertas reglas o convenios
preestablecidos. Para el formalista las matemáticas comienzan con la inscripción de símbolos en el papel; la
verdad de la matemática formalista radica en la mente humana pero no en las construcciones que ella
realiza internamente, sino en la coherencia con las reglas del juego simbólico respectivo. En la actividad
matemática, una vez fijados los términos iniciales y sus relaciones básicas, ya no se admite nada impreciso
u oscuro; todo tiene que ser perfecto y bien definido. Las demostraciones tienen que ser rigurosas, basadas
únicamente en las reglas del juego deductivo respectivo e independiente de las imágenes que asociemos
con los términos y las relaciones.

Una nueva concepción matemática se expresa a través del formalismo de Hilbert, quien se propuso
llevar a cabo un programa que tenía dos objetivos principales. El primero consistía en formalizar todas las
áreas de las matemáticas, es decir, en elaborar sistemas formales a partir de los cuales se pudieran
desarrollar las matemáticas. La estrategia de Hilbert fue la de formalizar primero la aritmética para así
poder lograr su segundo objetivo: mostrar que dicho sistema era consistente. De acuerdo al formalismo, el
objeto de estudio de las matemáticas lo constituyen los sistemas deductivos, los cuales consisten de
símbolos y reglas para su manipulación. En la década de los años treinta, el matemático Kurt Gödel
demostró que la aritmética no “puede probar su propia consistencia”, lo cual dio fin al programa de Hilbert.

4.2.5 El Intuicionismo

Considera las matemáticas como el fruto de la elaboración que hace la mente a partir de lo que percibe a
través de los sentidos y también como el estudio de esas construcciones mentales cuyo origen o comienzo
puede identificarse con la construcción de los números naturales.

Puede decirse que toda la matemática griega, y en particular la aritmética, es espontáneamente intuicionista,
y que la manera como Kant concebía la aritmética y la geometría es fundamentalmente intuicionista, por
más que el Intuicionismo como escuela de filosofía de las matemáticas se haya conformado sólo a
comienzos del siglo XX.

El principio básico del Intuicionismo es que las matemáticas se pueden construir; que han de partir de lo
intuitivamente dado, de lo finito, y que sólo existe lo que en ellas haya sido construido mentalmente con
ayuda de la intuición.

El fundador del Intuicionismo moderno es Luitzen Brouwer (1881-1968), quien considera que en
matemáticas la idea de existencia es sinónimo de constructibilidad y que la idea de verdad es sinónimo de
demostrabilidad. Según lo anterior, decir de un enunciado matemático que es verdadero equivale a afirmar
que tenemos una prueba constructiva de él. De modo similar, afirmar de un enunciado matemático que es
falso significa que si suponemos que el enunciado es verdadero tenemos una prueba constructiva de que
caemos en una contradicción como que el uno es el mismo dos.

Los intuicionistas elaboran una nueva concepción de acuerdo a la cual los objetos de estudio de las
matemáticas son construcciones mentales y por lo tanto ya no son objetos eternos, pues existen sólo en la
medida en que son pensados. Esta escuela admite que existen proposiciones matemáticas que no son ni
falsas ni verdaderas, limitando así el alcance del principio del tercero excluido. Como una gran cantidad de
demostraciones en matemáticas dependen de la aceptación del principio del tercero excluido, el rechazo
de dicho principio reduce en gran medida lo que para los intuicionistas constituyen las matemáticas.

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En la concepción "intuicionista" de L.E.J. Brouwer, la matemática debe fundamentarse, en lo posible, al
margen de toda consideración filosófica. Pero si uno considera los objetos matemáticos, por ejemplo, los
números naturales, como algo dado independientemente de que se les piense o no, tal consideración pre-
supone una idea de existencia que es, ella misma, fruto de una concepción filosófica particular. La existencia
de una entidad ideal "tres" (algo que como tal no es observable en el mundo real, es algo muy distinto de la
existencia de entidades reales como pueden ser "tres naranjas".

Por esta razón, Brouwer cree que los objetos matemáticos son creados (construidos) por la actividad mental
del matemático. Si con todo se admitiera la existencia transcendente de las entidades matemáticas, tal
presuposición, lo mismo que la de su construcción humana, no debe desempeñar papel alguno en las
demostraciones matemáticas.

Brouwer desarrolló esta concepción en estrecho contacto con los trabajos del grupo de G. Mannoury sobre
los "significs" (en la red de comunicacación metateórica de Lady Welby). Esto tuvo lugar en los años
siguientes a su famoso ataque a la presunta validez universal del principio "tertium non datur" (1908). Y
donde radicalizó la crítica a Cantor (1904) - en la misma línea seguida por los miembros de la Escuela de
Paris (H. Poincaré; É. Borel; H.L. Lebesque; R.-L. Baire - es decir, los llamados "semiintuicionistas" -, es
decir, cuestionando la ingenua teoría de conjuntos según la cual existiría un infinito actual.

En el modo de ver (observar) del matemático, la matemática no va más allá de los objetos construidos por
él; es por tanto algo objetivo, en la medida en que cualquier otro también puede comprender las
descripciones de dichas construcciones o puede reconstruirlas él mismo llegando a los mismos resultados.
La peculiar "existencia" de los objetos matemáticos con sus particulares propiedades sólo es demostrable a
través de la re-construcción de dichos objetos.

Desde la perspectiva "constructivista" de Brouwer, las entidades matemáticas deben ser observadas al
margen de la forma habitual de concebir la verdad. Los criterios de verdad a aplicar en esta consideración
serán pues distintos de los de la vida cotidiana en que tenemos que admitir ciertos principios, como el de no-
contradicción o el del "tertium non datur". La peculiar existencia de una entidad matemática sólo puede ser
objeto de inferencia si se indica la forma - reproducible por cualquier otro observador constructor - de su
construcción. Dado que las proposiciones matemáticas no se refieren a un reino de la realidad objetiva
independiente del observador que las construye-intuye, la negación de una afirmación sólo podrá
demostrarse por el hecho de que la construcción presupuesta en tal proposición lleva a una contradicción,
diríamos, operativa, es decir, con la misma actividad constructiva. Pero en la medida en que ni se realiza la
construcción, ni se deriva de ella una contradicción, no se podrá afirmar nada sobre ella.

Como escribía más tarde Arendt Heyting: "un aserto matemático afirma el hecho de que se ha efectuado una
cierta construcción. Es bien claro que la construcción no se había llevado a cabo antes de efectuarse [...]
Todos los matemáticos, incluyendo los intuicionistas, abrigan la convicción de que en algún sentido las
matemáticas se ocupan de verdades eternas; pero cuando se trata de definir precisamente este sentido,
queda uno prendido en un laberinto de dificultades metafísicas. El único modo de evitarlas es desterrarlas de
las matemáticas. Es lo que quería (yo) decir al afirmar que estudiamos las construcciones matemáticas
como tales y que para este estudio es inadecuada la lógica clásica".

Formulado de otra forma: "En el estudio de las construcciones mentales matemáticas 'existir' debe ser
sinónimo de 'ser construido' ".

Brouwer se oponía así radicalmente tanto al Logicismo (de Frege y Russell) como al Formalismo (de
Hilbert).

La Lógica no puede decir nada sobre la fundamentación de la matemática, pues ella misma utiliza ya
conceptos matemáticos, es, en el fondo, mera aplicación de la matemática.

Y el construccionismo de Brouwer se aparta del Formalismo por la finalidad de su modo de observar:
mientras que los formalistas, partiendo de lo cuestionable de muchos métodos de demostración, intentan
salvar al menos en su forma el contenido de la matemática, Brouwer intenta elaborar de una forma lo más
pura posible las inferencias matemáticas. Para los formalistas, el lenguaje matemático constituye el objeto

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central de su trabajo; para Brouwer, tal lenguaje formal es un mero medio para su comunicación sobre la
realidad última de la matemática. Por esta razón se opuso al intento de formalizar el mismo Intuicionismo en
la obra de su discípulo Heyting (1930) que intentó reducir esta concepción que, para él, era al fin y al cabo
filosófica, a un mero cálculo lógico.La matemática no era para Brouwer una teoría (un conjunto o sistema de
conceptos, teoremas etc.), sino una actividad, un modo de proceder - hoy hubiera probablemente dicho: un
"programa" de operaciones mentales - ante todo de dos básicas: la intuición primordial del enumerar (añadir
unidad a unidad), y la del medir (que él consideraba como una repetición de la operación de la subdivisión
de unidades). Es decir, la matemática no sería sino la forma metódica de proceder en experiencias internas.

El programa de Intuicionismo matemático, por ejemplo, comprenden la Aritmética y el Análisis, no como
sistemas axiomáticos (como en el enfoque formalista), sino como teorías quasi-empíricas (de experiencia
interna). Y en ese proceder constructivo nunca es posible llegar a un aseguramiento total de la exactitud de
lo inferido a partir de los elementos formales del lenguaje matemático. Más que 'en el papel', la certeza
matemática se da 'en el espíritu' (de su constructor, del que piensa según el programa de operaciones
matemáticas).

Esta idea - diametralmente opuesta a la de los formalistas y logicistas - induce (lo mismo que en el
Intuicionismo filosófico) el malentendido de que sería posible una construcción de los objetos matemáticos
independientemente de las operaciones realizadas en la dimensión sintáctica, en su representación en el
lenguaje matemático.

Pero, precisamente a partir del esfuerzo de Heyting por formalizar el Intuicionismo matemático, la
concepción intuicionista es ella misma representable en tal sintáctica formalizada.

La realización de este programa intuicionista llevó, por un lado, a cierto empobrecimiento pues abandonaba
ciertas formas de demostración, y por otro lado enriqueció la reflexión filosófica sobre la matemática al
posibilitar introducir nuevos "conceptos" que no podían antes ser configurados de forma lógica, como es el
caso del una sucesión siempre incompleta, pero que puede proseguirse de forma indefinida.

Este intuicionismo ha sido "formalizado" él mismo en lenguaje lógico-matemático

Conviene aclarar que el Intuicionismo no se ocupa de estudiar ni de descubrir las formas como se realizan
en la mente las construcciones y las intuiciones matemáticas, sino que supone que cada persona puede
hacerse consciente de esos fenómenos. La atención a las formas como ellos ocurren es un rasgo
característico de otra corriente de los fundamentos de las matemáticas: el Constructivismo, al cual nos
referimos enseguida.

4.2.6 El Constructivismo

Está muy relacionado con el Intuicionismo pues también considera que las matemáticas son una creación de
la mente humana, y que únicamente tienen existencia real aquellos objetos matemáticos que pueden ser
construidos por procedimientos finitos a partir de objetos primitivos. Con las ideas constructivistas van muy
bien algunos planteamientos de Georg Cantor (1845-1918): “La esencia de las matemáticas es su libertad.
Libertad para construir, libertad para hacer hipótesis” (Davis, Hersh,1988: 290).

El Constructivismo matemático es muy coherente con la Pedagogía Activa y se apoya en la Psicología
Genética; se interesa por las condiciones en las cuales la mente realiza la construcción de los conceptos
matemáticos, por la forma como los organiza en estructuras y por la aplicación que les da; todo ello tiene
consecuencias inmediatas en el papel que juega el estudiante en la generación y desarrollo de sus
conocimientos. No basta con que el maestro haya hecho las construcciones mentales; cada estudiante
necesita a su vez realizarlas; en eso nada ni nadie lo puede reemplazar.

En matemáticas, muchos enunciados “existenciales” tales como “Existe un número primo mayor que 100
tal que…” sólo se han podido demostrar por lo que se conoce como “prueba por reducción al absurdo” (es
decir, la demostración de dichos enunciados consiste en asumir que son falsos y mostrar que esto lleva a
una contradicción), la cual depende del principio del tercero excluido. El constructivismo, que es una

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variante del intuicionismo, admite como demostraciones válidas de enunciados existenciales, únicamente
aquellas que exhiben o nos dicen cómo construir el o los objetos cuya existencia afirman dichos
enunciados.

4.2.7 Constructivismo y Formalismo: dos formas diferentes de ver la Matemática

En las próximas líneas hablaremos de dos tendencias que han coexistido a lo largo de la historia de las
Matemáticas y que a lo largo de ella han aparecido enfrentadas la una con la otra, hablamos del
constructivismo y del formalismo.

Desde la época de Aristóteles y Platón se ha creído que las matemáticas existen con independencia del
conocimiento humano y que son una verdad absoluta, y así, el trabajo de los matemáticos era el descubrir
esa verdad, en lo que personalmente estoy de acuerdo. Pero antes de dar ninguna opinión veamos como se
desarrolló esta idea a lo largo de la historia.

El embrollo viene cuando algunos matemáticos niegan esta idea de matemáticas independientes del
conocimiento humano. Así, un matemático alemán llamado Leopold Kronecker escribió: "Dios creó los
números enteros y todo lo demás es obra del hombre". Según el, el trabajo de los matemáticos ya no es
descubrir, sino inventar. Esta es la principal idea de la llamada matemática constructivista, que afirma que
para probar la existencia de un objeto matemático existe es necesario mostrar como puede construirse. El
filósofo Immanuel Kant afirmó en el s.XVII que la razón última de veracidad en la matemática residía en el
hecho de que sus nociones puedan ser construidas por la mente humana.

Sobre todo, la idea matemática que ha producido mayor controversia en la historia de las matemáticas ha
sido la noción de infinito.

Ya los griegos procedieron con extrema cautela en lo concerniente al infinito. Euclides, al referirse a rectas
se refería a segmentos cuya longitud la podemos hacer todo lo larga que queramos, y esta es la noción de
infinito potencial. Podemos pensar también que existen en verdad rectas infinitamente largas que es la
noción de infinito actual y es metafísicamente muy distinta a la anterior.

Esta noción de infinito actual no es utilizada por los matemáticos hasta bien entrada la era moderna de la
matemática que comienza en el s.XVII cuando René Descartes y Pierre de Fermat introducen las
coordenadas cartesianas produciendo un cambio fundamental en el desarrollo de las matemáticas: los
objetos empiezan a ser números y no longitudes.

Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollan a partir de ese cambio el cálculo diferencial, que
maneja números infinitamente pequeños pero distintos de cero.

Pero este descubrimiento produjo serias discusiones con los matemáticos de la época y pasó algún tiempo
hasta que estos vieron su innegable utilidad y comenzaron a aceptarlo, aunque dudando de su base
filosófica.

Aun así, toda esta controversia produjo a finales del s.XIX una de las teorías más importantes (y porqué no
decirlo, más discutidas) de la historia de las matemáticas: la teoría de conjuntos, que fue desarrollada sobre
todo por el matemático Georg Cantor.

Cantor definió los conjuntos como colecciones de objetos reales o abstractos. Idea que tuvo grandes
consecuencias sobre la noción de infinito, ya que hay conjuntos que por su naturaleza son infinitos actuales,
como por ejemplo *.

El estudio de estos objetos condujo a Cantor a la conclusión de que igual que varía la cardinalidad de los
conjuntos finitos, también varía la de los conjuntos infinitos, por ejemplo, * y * no tienen la misma
cardinalidad ya que * es "más infinito" que *. Cantor demostró también que para cada conjunto infinito, existe
otro de mayor cardinalidad. Y aunque ahora nos parezca extraño, muchos matemáticos de la época
encontraron absurda la noción de conjunto infinito como ente individual.

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No obstante, todavía produjo más escándalo las aplicaciones que Cantor dio a los conjuntos infinitos. Una
de ellas fue el procedimiento que ideó para demostrar que existen infinitos números transcendentes, esto es,
números que no verifican ninguna ecuación de la forma: anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0=0 con ai" "i

Demostró primero que el conjunto de los números algebraicos (los que si verifican alguna de las ecuaciones
anteriores) es infinito numerable y luego supuso que el conjunto de los números trascendentales también es
infinito numerable, pero como es infinito no numerable, llegó a una contradicción.

Esta forma de demostración por reducción al absurdo fue criticada por Kronecker y sus seguidores ya que
demostraba existencia sin construcción, y según ellos, para establecer la existencia de un objeto era
necesaria la construcción de este, es decir, era necesario un procedimiento por el cual el objeto fuese
construido al menos en principio, aunque no era necesario que tal procedimiento fuese llevado a la práctica,
lo único que pedía era que la construcción fuese llevada a cabo en un número finito de pasos y que en cada
paso no hubiese ninguna duda de como se procedería en el paso siguiente. No hace falta decir que Cantor
no cumplía ninguno de estos requisitos en su demostración ya que no generaba en ella ningún número
trascendental.

La demostración que dio Cantor fue la primera de las llamadas demostraciones de pura existencia. El
establecía la existencia de los números trascendentales demostrando que la no existencia nos llevaba a una
contradicción. Estas demostraciones por reducción al absurdo eran aceptadas por todos los matemáticos si
se trataban de conjuntos finitos ya que se podía mostrar cualquier objeto inspeccionando todos los
miembros del conjunto, pero esto no es posible para un conjunto infinito como el de los números
trascendentales y este es el motivo por el cual muchos matemáticos no aceptaban la demostración de
Cantor.

Pero entonces apareció el bueno de David Hilbert y lo hizo todavía más difícil, ya que en 1889 publicó una
demostración de pura existencia en la que demostraba la existencia de ciertos objetos que nadie ha visto
jamás y de los que no se tiene la menor idea de construirlos.

Tras la muerte del Kronecker en 1891, la teoría de conjuntos fue produciendo valiosos resultados, y la lucha
que mantenían los matemáticos constructivistas contra los métodos de Cantor y luego Hilbert se fue
haciendo cada vez más débil hasta que apareció en escena el matemático L.E.J. Brouwer. Este opinaba que
había que hacer distinción entre la existencia real, constructiva y la existencia pura o de lo contrario las
matemáticas llegarían a carecer de significado.

Brouwer no negaba la posibilidad de demostrar la existencia de objetos que no pueden se construidos, el
afirmaba que si les damos la misma validez que a los objetos reales, es decir, finitamente construidos,
entonces las matemáticas serian inciertas. Según el, no podemos aplicar la ley aristotélica del tercero
excluido a los conjuntos infinitos.

A partir de 1900, según se reorganizaba las matemáticas sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos
aparecieron algunas paradojas que indicaban que los fundamentos teórico-conjuntistas de las matemáticas
debían de tener defectos y, según Brouwer, estos defectos eran debidos a la introducción por parte de
Cantor de objetos ideales. Brouwer propuso que todas las matemáticas hasta entonces fuesen reconstruidas
según procedimientos constructivistas. A esta corriente se la denominó intuicionismo.

Muchos matemáticos, incluidos algunos seguidores de Brouwer eran susceptibles a esta nueva corriente ya
que daba el traste con todo lo descubierto hasta entonces.

Hilbert ideó otro plan llamado formalismo. Según el, aunque los objetos ideales carecieran de significado, de
estos se podrían deducir objetos y teoremas que si tuviesen significado. El sistema ideado por Hilbert
requería presentar la matemática como un sistema formal axiomático utilizando las reglas de la lógica, así,
todo razonamiento que pudiera provocar paradojas quedaría al descubierto. Con todo esto, Hilbert introdujo
la llamada teoría de la demostración (o también metamatemática).

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