Determinantes Hessianos y Jacobianos

1. Formas Cuadráticas: una digresión a h h b Advirtamos dos cosas: primero, ab-h 2 debe ser positivo en ambos casos; segundo, como prerrequisito para que ab-h 2 sea positivo, el producto ab debe ser positivo, de manera tal que automáticamente a y b deben de tener el mismo signo algebraico.

2. El determinante de la matriz de coeficientes 2 x 2 nos da la clave del criterio:

3. d 2 Z= f xx dx 2 +2f xy dxdy+f yy dy 2 En el caso particular de una forma cuadrática el discriminante será un determinante con derivadas parciales de segundo orden como elementos. Este determinante se llama determinante Hessiano o simplemente hessiano. Hessiano por…Por Ludwig Otto Hesse, matemático alemán del siglo XIX (1811-1874).

4. Pasos para encontrar un determinante hessiano:

5. Método de los multiplicadores de Lagrange La esencia del método de los multiplicadores de Lagrange es convertir un problema de extremo restringido en una forma tal que pueda seguir apreciándose la condición de primer orden del problema de extremo libre.

6. Debido a Joseph L. Lagrange, el matemático francés (1736-1813), uno de los más geniales creadores de la ciencia matemática.

7. Determinante hessiano orlado Como en el caso del extremo libre, posible expresar la condición de segundo orden en la forma de determinante. En lugar de determinante hessiano H , en el caso del extremo restringido encontraremos lo que se conoce con el nombre de determinante hessiano orlado.

8. Al prepararnos para desarrollar esta idea analicemos primero las condiciones del carácter absoluto del signo de la forma cuadrática de dos variables sujeta a una restricción lineal, por ejemplo: q= au 2 +2huv+bv 2 sujeto a α u+ β v=0 Puesto que la restricción implica v=-( α / β )u, podemos volver a expresar ‘’q’’ como una función de una única variable:

9. q= au 2 +2huv+bv 2 _ λ ( α u+ β v) Es evidente que ‘’q’’ será definida positiva(negativa) si y solo si la expresión encerrada por los paréntesis es positiva(negativa).