P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                11
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                12
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                13
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                14
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                15
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                   16
2. L i n e a r e M ...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                17
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                18
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                19
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                20
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                21
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                22
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                 23
2. L i n e a r e M o ...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                24
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                25
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                26
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                27
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                28
 2. L i n e a r e M o ...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                29
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                30
 2. L i n e a r e M o ...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                31
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                32
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                33
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                34
       2. L i n e a r ...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                35
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                36
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                37
   2. L i n e a r e M ...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                38
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                39
2. L i n e a r e M o d...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                40
 2. L i n e a r e M o ...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                    41
2. L i n e a r e M...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                42
 2. L i n e a r e M o ...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                43
 2. L i n e a r e M o ...
P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09)                44
 2. L i n e a r e M o ...
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

Kap2 1

595 Aufrufe

Veröffentlicht am

Veröffentlicht in: Business, Kunst & Fotos
0 Kommentare
0 Gefällt mir
Statistik
Notizen
  • Als Erste(r) kommentieren

  • Gehören Sie zu den Ersten, denen das gefällt!

Keine Downloads
Aufrufe
Aufrufe insgesamt
595
Auf SlideShare
0
Aus Einbettungen
0
Anzahl an Einbettungen
2
Aktionen
Geteilt
0
Downloads
2
Kommentare
0
Gefällt mir
0
Einbettungen 0
Keine Einbettungen

Keine Notizen für die Folie

Kap2 1

  1. 1. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 11 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e 2. Lineare Modelle für Paneldaten Paneldaten: Information über die gleichen Untersuchungs- einheiten zu meheren Beobachtungszeitpunkten • Mikro-Panels: große Anzahl (N) von U-Einheiten (Individuen, Firmen) zu einigen wenigen Zeipunkten (T) z.B.: Sozio-Ökonomisches Panel, Unternehmensfragungen • Makro-Panels: relativ kleine Anzahl von U-Einheiten (Länder, Regionen) über einen relativ langen Zeitraum z.B.: OECD-Länderpanel, Regionenpanel, Branchenpanel • Pseudo-Panels: U-Einheiten sind über die Wellen nicht identisch bzw. andere Dimension als Zeit − Zeitreihen über Alterskohorten − Querschnittsdaten über Zwillinge
  2. 2. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 12 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e Vorteile von Paneldaten: • Kontrolle unbeobachteter zeitinvarianter individueller Unterschiede (Heterogenität), z.B. „ability bias“ • Präzisere Parameterschätzung durch Ausnutzung von Querschnitts- und Zeitreihenvariation; mehr Information • Modellierung dynamischer Anpassungprozesse; Ereignisanalysen; Vorher-Nachher Vergleiche etc. Nachteile von Paneldaten: • Mikro-Panels meist nur für kurze Zeiträume verfügbar relativ teuer zu erheben • hohe Panelsterblichkeit („sample attrition“) mit häufig nicht rein zufälligen Ausfällen Stichprobenselektion • Messfehler bei retrospektiv erhobenen Fragen
  3. 3. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 13 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e 2.1 Statische Modelle Grundmodell: y it = α i + β ′ xit + ε it α i := Individualeffekt, variiert über i, aber nicht über t E ( ε it xit ) , ∀ i , t := Annahme „strikter Exogenität“ Bei Gültigkeit der Annahme strikter Exogenität und: • αi = α, ∀i: OLS, erwartungstreu und effizient • αi ≠ α: E (α i xit ) = 0 : OLS, erwartungstreu aber ineffizient GLS konsistent und effizient „Random Effects“-Modell (αi ist Zufallsvariable) E (α i xit ) ≠ 0 : OLS, verzerrt „Fixed Effects“-Modell (αi ist „fixer Effekt“)
  4. 4. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 14 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e 2.1.1 „Fixed Effects“-Modell Traditionell werden αi als fixe Parameter (individual- spezifische Konstante) modelliert: (2.1) y i = i α i + X i β + ε i T Beobachtungen für Person i T ×1 T ×K n × T Beobachtungen für alle n Personen („balanced panel“) ⎡ y1 ⎤ ⎡i 0 ⋅ ⋅ 0 ⎤ ⎡ α1 ⎤ ⎡ X 1 ⎤ ⎡ ε1 ⎤ ⎢y ⎥ ⎢0 i ⋅ ⋅ 0 ⎥ ⎢α 2 ⎥ ⎢ X 2 ⎥ ⎢ε ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ (2.2) ⎢ ⋅ ⎥ = ⎢ ⋅ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥β + ⎢ ⎥ ⎢ ⋅ ⎥ ⎢ ⋅ ⋅ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢yn ⎥ ⎣ ⎦ ⎢0 ⎣ 0 ⋅ ⋅ i ⎥ ⎢α n ⎥ ⎢ X n ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ε n ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ nα1 ⎤ (2.3) y = ⎢ d1 d 2 ⋅ ⋅ dn X ⎥ ⎢ × ⎥+ε ( nT )×1 ⎣ ( nT )×1 ( nT )× K ⎢ β ⎥ ( nT )×1 ⎦ ⎣ K ×1 ⎦
  5. 5. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 15 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e (2.4) y = Dα + Xβ + ε , D = [d1 d2 ⋅ ⋅ dn ] ( nT )× n OLS mit n × T Beobachtungen und K + n zu schätzenden Parametern: LSDV („least squares dummy variable model“) Unter Standardannahmen haben OLS-Schätzer für α und β die üblichen Eigenschaften. Falls n sehr gross (wie bei Mikro-Panels) direkte Schätzung des LSDV (Inverse der Matrix [D X]‘[D X] !) nicht möglich: Transformation der Variablen, so dass fixe Individualeffekte eliminiert werden, mit Transformationsmatrix ( Übung) = I − D ( D′D ) D′ := Diagonalmatrix −1 (2.5) Md ( nT )×( nT ) mit Diagonalelement M 0 = I T − ii ′ / T Für beliebigen T × 1 Vektor zi gilt: M zi = zi − zi 0 := Abweichung der Beobachtung vom individuellen Mittelwert
  6. 6. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 16 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e OLS mit transformierten Daten: (2.6) y it − y i . = β ′ ( x it − x i . ) + ε it − ε i . ˆ = [ X ′M X ]−1 [ X ′M y ] (2.7) β d d Schätzung der individuellen Effekte: α i = yi . − β ′x i . ˆ ˆ (2.8) ˆ = [ D ′D ] D ′ y − Xβ α −1 ˆ ( ) ∑∑( ) n T Schätzung der Varianzen: 2 yit − α i − β′x it ˆ ˆ ∧ Var ( β ) = s [ X ′M d X ] , s = 2 −1 2 i =1 t =1 (2.9) nT − n − K ∧ s2 ⎡ ∧ ⎤ (2.10) Var (α i ) = ˆ + ⎢ x i′. Var ( β ) x i . ⎥ T ⎣ ⎦
  7. 7. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 17 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e F-Test auf fixe Effekte: H0: αi = α, ∀i; H1: αi ≠ α (2.11) F = ( Ru2 − Rr2 ) / ( n − 1) n −1, nT − n − K (1 − Ru2 ) / ( nT − n − K ) 2 mit: Rr := Bestimmtheitsmass unter H0 Ru2 := Bestimmtheitsmass unter H1 Erweiterungen: • Anstatt n Individual-Dummies auch Spezifikation mit (n – 1) Individual-Dummies und einer allgemeinen Konstanten • Modifikation falls T über i variiert („unbalanced panel“) Problem: nicht zufällige Ausfälle • Fixe Zeiteffekte: zweifache Transformation (Greene, S. 198) oder – üblicher – Zeitdummies
  8. 8. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 18 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e • Spezialfall: Schätzung erster Differenzen y it = α i + β ′x it + ε it y it − y i ,t −1 = β ′ ( x it − x i ,t −1 ) + ε it − ε i ,t −1 Erste-Differenzen Transformation eliminiert FE OLS-Schätzung des transformierten Modells: Δ y it = β ′Δ x it + Δ ε it , t = 2, 3,.., T T = 2: FE− und Δ−Schätzer sind identisch T > 2: − FE ist effizienter als Δ−Schätzer, falls εit nicht autokorreliert − Δ ist effizienter falls εit einem random walk folgt, da dann Δ ε it = ε it − ε i ,t −1 unkorreliert ist vgl. dazu Übung und dynamische Modelle und Übung
  9. 9. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 19 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e 2.1.2 „Pooled“-, „Within“- und „Between“-Schätzer Aus dem Regressionsmodell (mit αi = α, ∀i): (2.12) y it = α + β ′x it + ε it ergibt sich als Abweichung von den Gruppenmittelwerten: (2.13) y it − y i . = β ′ ( x it − x i . ) + ε it − ε i . und bezogen auf die Gruppenmittelwerte: (2.14) y i . = α + β ′x i . + ε i . Der Koeffizientenvektor β kann aus jeder der drei Gleichungen unter bestimmten Annahmen erwartungstreu geschätzt werden. Die Schätzer unterscheiden sich hinsichtlich der jeweils genutzten Information und damit der Effizienz der Schätzung.
  10. 10. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 20 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e Abweichungen von den Gesamtmittelwerten x , y n T (2.15) S g = xx( x − x )( x − x )′ ∑∑ it it i =1 t =1 n T (2.16) S xgy = ∑ ∑ ( x it − x )( yit − y ) i =1 t =1 Abweichungen von den Gruppenmittelwerten xi . , y i . n T (2.17) S = w ( x − x )( x − x )′ xx ∑∑ it i. it i. i =1 t =1 n T (2.18) S xy = ∑ ∑ ( x it − xi . )( yit − yi . ) w i =1 t =1 Abweichungen der Gruppenmittelwerte von Gesamtmittelwerten n (2.19) S b = T ( x − x )( x − x )′ xx ∑ i. i. i =1 n (2.20) S xy = ∑ T ( x i . − x )( yi . − y ) b i =1
  11. 11. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 21 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e (2.21) S xx = S xx + S xx , g w b S xgy = S xwy + S xy b Drei alternative Schätzer für β: • OLS (pooled) −1 −1 (2.22) β = ⎡ S ⎦ S ⎣ ⎤ = ⎡ S + S ⎤ ⎡ S xwy + S xy ⎤ g g g w b b xx xy ⎣ xx ⎦ ⎣ xx ⎦ • Within-Group (LSDV) −1 (2.23) β = ⎡ S ⎦ S xy ⎤ w w w ⎣ xx • Between-Group −1 b (2.24) β = ⎡ S xx ⎦ S xy ⎣ ⎤ b b Einsetzen von S xy = S xx β , S xy = S xx β in Formel für β : w w w b b b g −1 (2.25) β = F β + F β , F = ⎡ S + S ⎦ S xx = I − F b ⎤ g w w b b w w w b ⎣ xx xx OLS: gewichteter ∅ aus Within- und Between-Schätzer
  12. 12. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 22 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e 2.1.3 „Random Effects“-Modell (2.26) y it = α + β ′x it + ui + ε it , ui :=„random effect“ E ( ε it | x ) = E ( ui | x ) = 0 E ( ε it | x ) = σ ε2 , E ( ui2 | x ) = σ u2 2 (2.27) E ( ε it u j | x ) = 0, ∀ i , t , j ; E ( ui u j | x ) = 0, ∀ i ≠ j E ( ε it ε js | x ) = 0, ∀ t ≠ s ∨ i ≠ j E (ε it x it ) = 0, ∀ k , i , t E ( ui x it ) = 0, ∀ k , i , t wit = ui + ε it (Varianzkomponenten) (2.28) w = [ w , w ,..., w ]′ i i1 i2 iT (2.29) E ( wit | x ) = σ ε2 + σ u2 , E ( wit wis | x ) = σ u2 , t ≠ s 2
  13. 13. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 23 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e ( (2.30) E w i w i ′ = Ω ) ⎡σ ε2 + σ u 2 σ u2 σ u2 ⋅ ⋅ σ u2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ σ u2 σ ε2 + σ u2 σ u2 ⋅ ⋅ σ u2 ⎥ (2.31) Ω = ⎢ ⋅ ⋅ ⎥ ( T ×T ) ⎢ ⎥ ⎢ ⋅ ⋅ ⎥ ⎢ σu ⎣ 2 σ u2 σ u2 ⋅ ⋅ σ ε2 + σ u2 ⎥ ⎦ = σ ε2 I T + σ u i T i T 2 ′ Wegen Unabhängigkeit von i und j, ist die Kovarianzmatrix V für alle n×T Beobachtungen eine Diagnonalmatrix mit Element Ω : (2.32) V = In ⊗ Ω (Tn )×(Tn )
  14. 14. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 24 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e GLS-Schätzung β′ = ∑ ( X′V Xi ) ( ) n −1 GLS i -1 Xi′V -1 y i i =1 Praktisch: Transf. aller Variablen durch Pre-Multiplikation mit: 1 ⎡ θ ⎤ σε (2.33) Ω − 1/ 2 = ′ mit θ = 1 − ⎢ I − T ii ⎥ , σε ⎣ ⎦ T σ u + σ ε2 2 ⎡ zi1 − θ zi . ⎤ ⎢z −θ z ⎥ ⎢ i2 i. ⎥ ⎥ , mit zi := { y i , x i } − 1/ 2 1 (2.34) Ω zi = ⎢ ⋅ σε ⎢ ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ziT − θ zi . ⎦ ⎣ ⎥ Schätzung des transformierten Modells mit OLS analog zur FE-Schätzung (DVLS) mit θ = 1
  15. 15. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 25 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e Analog zum OLS-Schätzer ist der GLS-Schätzer ein (anders) gewichteter Durchschnitt aus Within- und Between-Schätzer: (2.35) ˆ ˆ ( β GLS = F w β w + I − F w β b , ) −1 σ ε2 ˆ w = ⎡S w + λ S b ⎤ S w , λ = = (1 − θ ) 2 F ⎣ xx xx ⎦ σ ε + Tσ u xx 2 2 λ ≠ 1: OLS ist ineffizient, da die relative Querschnitts- (between-group) und Längschnittvariation (within-group) nicht optimal berücksichtigt wird. Spezialfälle • λ = 1 ⇔ σu = 0 : 2 GLS = OLS • λ = 0 ⇔ σε = 0 : 2 DVLS ⇔T → ∞:
  16. 16. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 26 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e In der Praxis sind die Varianzkomponenten i.A. nicht bekannt, und müssen daher geschätzt werden FGLS-Schätzung (Feasible Generalised Least Squares) Schätzer für die Varianzkomponenten (Greene, 2008, S. 203ff.): n T ∑ ∑ (e − ei . ) 2 it σ ε2 = ˆ i =1 t =1 , nT − n − K (2.36) e it − e i . = y it − y i . − β w ′ ( x it − x i . ) σ ε2 e ′ e b σ ε2 ˆ ˆ σu = σb − ˆ 2 ˆ 2 = b − T n−K T (2.37) e ′ = ( e1 , e2 ,.., en ) := Residuen aus between Schätzung b Alternativ: Residuen aus pooled Schätzung (Greene, p. 204f.) Check the computer program!
  17. 17. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 27 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e LM-Test auf Random Effects (Breusch/Pagan-Test) H 0 : σ u = 0 ⇔ Corr ( wit , wis ) = 0; H 1 : σ u ≠ 0 2 2 ( ) 2 ⎡ n ⎤ 2 nT ⎢ ∑ i =1 ∑ t =1 T eit ⎥ (2.38) LM = − 1⎥ ~ χ12 2 (T − 1) ⎢ ∑ n ∑ T eit 2 ⎢ ⎣ i =1 t =1 ⎥ ⎦ eit := OLS Resid. Hausman-Test H 0 : E ( ui xit ) = 0, ∀ i , t ; H 1 : E ( ui xit ) ≠ 0 Unter H0: FE und RE sind konsistent, FE ist aber ineffizient Unter H1: FE ist konsistent, RE ist inkonsistent HT = ( β w − β GLS )′ Σ −1 ( β w − β GLS ) ~ χ K ˆ 2 (2.39) Σ = Var ( β w − β GLS ) = Var ( β w ) − Var ( β GLS ) ˆ wegen: Cov ⎡ ( β w − β GLS ) , β GLS ⎤ = 0 (Hausman) ⎣ ⎦ ⇒ Cov ⎡ β w , β GLS ⎦ = Var ( β GLS ) ⎣ ⎤
  18. 18. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 28 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e ********************************************************** Beispiel: Schätzung von Lohngleichungen mit Paneldaten Interpretation: • Koeffizienten von zeitkonstanten Variablen (educ, black, hispan) oder kollinearen (exper) Variablen sind im FE nicht schätzbar • Da der geschätzte Wert für θ näher bei 1 als bei 0 liegt, sind die RE-Koeff. näher bei den (schätzbaren) FE- als OLS-Koeff. • Interpretation des union-Koeff. FE-Schätzer kontrolliert aus konstanten Individualeffekten resultierende Selektivität • Unterschiede zw. FE und RE θˆ = 0, 643 bei Koeffizienten für married Anm.: Regr. enthalten Zeitdummies und union sind statistisch nicht Quelle: Wooldridge, 2003, S. 472. signifikant. **********************************************************
  19. 19. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 29 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e Erweiterungen • „Unbalanced Panels“ Verhältnis der Varianzkomponenten variiert über i: σε θi = 1 − Tiσ u + σ ε2 2 und Schätzformel für θ muss entsprechen angepasst werden; • Heteroskedastie σε E (ε 2 ) = σ εi , θi = 1 − 2 i T σ u + σ ε2i it 2 und Schätzung von σ u , σ ε2i (Greene, 2008, S. 212f.). ˆ2 ˆ • Autokorrelation - z.B.: ε it = ρε i ,t −1 + vit Schätzung von ρ und zweifache Transformation des Modells ( Übung)
  20. 20. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 30 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e RE-Ansatz von Mundlak (1978) Statt Annahme E ( u i | X i ) = 0, X i := [ x i1 , x i 2 ,..., x iT ] : E ( ui | X i ) = γ ′x i , Mittelwerte der x-Variable über alle Perioden. (Alternativ könnte der Indivdiualeffekt auch in Abhängigkeit kontemporärer Werte von xi und aller lags und leads modelliert werden (Chamberlain 1982, Wooldridge 2005; siehe unten bei Panelprobit-Modellen.) yit = β ′x it + γ ′x i + ε it + ( ui − E ( ui | X i ) ) (2.40) = β ′x it + γ ′xi + ε it + ui . Auf der Basis von (2.40) kann mittels eines Wald-Tests einfach zwischen FE und RE Spezifikationgetestet werden einfache Alternative zum Hausman-Test.
  21. 21. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 31 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e IV-Schätzung (Hausman / Taylor, 1981) yit = β ′x it + α ′x i + eit (2.41) = β1x 1it + β ′ x 2 it + α1x 3i + α ′ x 4 i + ui + ε it ′ 2 ′ 2 mit x 1it := K1 zeitvariierende exogene Variable x 2it := K2 zeitvariierende Variable, mit u korreliert x 3i := L1 zeitinvariante exogene V. x 4i := L2 zeitinvariante V., mit u korreliert β = ( β1 , β 2 ) , α = ( α 1 , α 2 ) E ( ui | x 1it , x 3i ) = 0, E ( ui | x 2 it , x 4 i ) ≠ 0 Var ( ui | x 1it , x 2 it , x 3i , x 4 i ) = σ u 2 Cov ( ε it , ui | x 1it , x 2 it , x 3i , x 4 i ) = 0, ∀ i , t Var ( ε it + ui | x 1it , x 2 it , x 3i , x 4 i ) = σ 2 = σ ε2 + σ u 2 Corr ( ε it + ui , ε is + ui | x 1it , x 2 it , x 3i , x 4 i ) = ρ = σ u / σ 2 , ∀ t ≠ s 2
  22. 22. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 32 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e Schätzidee: • Abweichungen von jeweiligen Gruppenmittelwerten sind gültige IV für x1t, x2t • Die Gruppenmittelwerte von x1t sind potenzielle IV für x4 • Die Varianzkomponenten für eine GLS-Schätzung können aus der FE-Schätzung des Modells gewonnen werden: (2.42) yit − yi = β1 ( x 1it − x1i ) + β′ ( x 2 it − x 2 i ) + ( ε it − ε i ) ′ 2 Mehrstufige Schätzung: 1. Berechne aus der Schätzgleichung (2.42) σ ε ˆ2 2. Berechne aus (2.42) die Gruppenmittelwerte der Residuen: ∗ eit = ei , t = 1,..., T ; i = 1,..., n IV-Schätzung mit diesem (nT)×1 Residuenvektor als abhängiger Variabler, x3, und IV x1 für x4: ⇒ α IV ˆ Notwendige Bedingung für Identifikation: K1 ≥ L2
  23. 23. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 33 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e 3. Die Residualvarianz aus der 2. Stufe ist ein konsistenter Schätzer für: σ = σ u + σ ε / T ∗2 2 2 σ u2 = σ ∗2 − σ ε2 / T , mit σ ε2 aus 1. Stufe ˆ ˆ ˆ ˆ σεˆ Gewicht für FGLS-Schätzung: θ ˆ =1− σ ε2 + T σ u2 ˆ ˆ 4. Variablentransformation mit θˆ w it = w it − θˆw i , % w it := {x 1it , x 2 it , x 3i , x 4 i } yit = yit − θˆ yi % IV: z it = ⎡ ( x 1it − x1i ) , ( x 2 it − x 2 i ) , x 3i , x1i ⎤ , ⎣ ⎦ alle nT Beobachtungen: nT × K +Z + L + K , mit K1 ≥ L2 ( 1 K2 1 1 ) (2.43) ( ) = ⎡ ( W ′Z ) ( Z ′Z ) (Z ⎦ ⎣ ′W ) ⎤ ⎡ ( W ′Z ) ( Z ′Z ) ( Z ′y ) ⎤ ' −1 −1 −1 ˆ ˆ β, α % % % % 2 SLS ⎣ ⎦
  24. 24. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 34 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e Hausman / Taylor, 1981 (x3) (x4) Hausman χ 32 = 7.8
  25. 25. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 35 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e 2.1.4 Random Coefficients Models (2.44) y i = x i β i + ε i , (including a constant) { T × ( K +1) E (εi | xi ) = 0 E ( ε′ε i | x i ) = σ ε2 I T , i (assume T > K) (2.45) βi = β + ui , { ( K +1)×1 E ( u i | x i ) = 0, E (u i u′ | x i ) = i Γ { ( K +1)×( K +1) (If only the constant term is random RE model specification) (2.46) y i = xi βi + ( ε i + xi u i ) , with Ωii = E[( y i − xi βi )( y i − xi βi )′ | xi ] = σ ε2 IT + xi Γx′ i
  26. 26. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 36 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e The GLS estimator is: n = ( X′ΩX ) X′Ω y = ∑ Wi βOLS , −1 −1 (2.47) ˆ β GLS ˆ i i =1 with Ω := block-diagonal matrix with diag. element Ωii −1 ⎡ ( ) −1 −1 ⎤ ⎡ −1 −1 n Wi = ⎢ ∑ Γ + σ ε2 ( x′xi ) ⎥ ⎣ Γ + σ ε ( x′ x i ) ⎤ 2 ⎣ i =1 i ⎦ i ⎦ According to Swamy (1971), an estimate of the matrix Γ may be obtained based on the estimated n OLS coefficient vectors; also see Greene (2008, p. 224). Efficient estimates of group specific (individual) coefficient vectors are weighted averages of the GLS estimator and the group specific OLS estimators (Greene, 2008, p. 224). The Random Coeff. model can be tested against the Pooled OLS model based on a χ2- test (Greene, 2008, p. 224).
  27. 27. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 37 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e Example: State-level productivity regressions Continental (48) U.S. states, 1970-1986, Cobb-Douglas production function: ln gspit = α + β1 ln pcit + β 2 ln hwyit + β 3 ln waterit + β 4 ln utilit + β 5 ln empit + β 6unemp + ui + ε it , where: gsp := gross state product p_cap := private capital hwy := highway capital water := water utility capital util := utility capital emp := employment unemp := unemployment rate Source: Greene (2008, S. 225)
  28. 28. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 38 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e Example cont.: Distribution of β2 coefficient - histogram Source: Greene (2008, S. 225) In theory, both estimators should be consistent under the maintained model assumptions!
  29. 29. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 39 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e 2.1.5 Models for Repeated Cross Sections Individual data from independent cross sections are treated as cohort data. A cohort is defined as group of units with fixed membership, i.e. an age cohort. In large successive samples (like the German Microcensus or the Income and Expenditure Survey), random samples of members of each cohort will be generated. Unit of regression analysis: time series of sample averages of cohorts (pseudo panels). Here we focus on static pseudo panel models. At the individual level, the model is: (2.48) yit = α i + x it β + ε it , with the usual strict exog. assumption E(xituis)=0, ∀ t,s; t=1,...T
  30. 30. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 40 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e Each unit belonging to some cohort, c, is assumed to be observed in one period only. The model for the cohort population is (* for population): (2.49) y = α + x β + ε , with * ct * c * ct yct = E ( yit | i belongs to c ) etc. * * ct Assuming a stationary population, the cohort fixed effect, α c , * x* is constant over time, but will be correlated with ct if the individual-level counterparts in (2.48) are correlated. Population means are not observed, but are estimated by cohort-time averages leading to the model: (2.50) yct = α c + x ct β + ε ct , c = 1,..., C ; t = 1,..., T Using these averages instead of unobserved population means Introduces measurement error in both dependent and explanatory variables.
  31. 31. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 41 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e Exkurs: Messfehler in erklärenden Variablen y i = β 0 + β 1 xi*1 + ui xi*1 := (unbeobachbarer) „wahrer“ Wert der Variablen xi1 := mit Fehler beobachteter Wert der Variablen ei1 = xi1 − xi*1 := Messfehler mit E ( e1 ) = 0, Var ( e1 ) = σ e1 , Cov ( x1 , e1 ) = 0 2 * Cov ( x1 , e1 ) = E ( x1e1 ) = E ( x1 e1 ) + E ( e12 ) = σ e21 * y = β 0 + β 1 x1 + ( u − β 1e1 ) mit Cov ( x1 , u − β 1e1 ) = − β 1Cov ( x1 , e1 ) = − β 1σ e2 1 ˆ OLS = β + Cov ( x1 , u − β 1e1 ) p lim β 1( ) Var ( x1 ) 1 ⎣ ( ( = β1 ⎡1 − σ e21 / σ x* + σ e21 ⎢ 2 1 )) ⎥ ⎦ 1 ⎣ x1 x1 ( ⎤ = β ⎡σ 2* / σ 2* + σ 2 ⎤ e1 ⎦ )
  32. 32. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 42 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e If measurement errors are small due to the large number of observations per cohort (nc = N/C ∞), they can be ignored (if there are no time effects in εit, see Verbeek 1992) (2.50) can be estimated by the FE-estimator (within- transformation of cohort means). If measurement errors cannot be neglected: • Measurement Error Estimator (Deaton, 1985) ⎛ yct − yct ⎞ iid ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ σ 00 σ ' ⎞ ⎞ * (2.51) ⎜ * ⎟ ~ N ⎜ ⎜ ⎟;⎜ ⎟⎟, ⎝ x ct − x ct ⎠ ⎝⎝0⎠ ⎝ σ' Σ ⎠⎠ with population means treated as unknown constants. These variances and covariances can be estimated consistently on the basis of the individual data for large N (or T, or both).
  33. 33. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 43 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e Estimation idea: Adjust the moments in the within estimator using estimated error variances to eliminate measurement error: −1 ⎛ 1 C T T −1 ˆ ⎞ βD = ⎜ ˆ ∑∑( x ct − x c )′ ( x ct − x c ) − Σ⎟ (2.52) ⎝ CT c =1 t =1 T ⎠ ⎛ 1 C T ′ ( y − y ) − T − 1σ ⎞ ×⎜ ∑ ∑ ( xct − xc ) ct c T ˆ ⎟ ⎝ CT c =1 t =1 ⎠ Note: In the Deaton article (T-1)/T :=1, irrelevant for large T. If nc ∞, measurement errors and both Σ and σ 0; Errors-in-variables estimator (2.52) is asymptotically equivalent to the within-estimator applied to cohort-time averages in (2.50): −1 ⎛ 1 C T ⎞ βW = ⎜ ˆ ∑∑( x ct − x c )′ ( x ct − x c ) ⎟ (2.53) ⎝ CT c =1 t =1 ⎠ ⎛ 1 C T ′ (y − y )⎞ ×⎜ ∑ ∑ ( xct − xc ) ct c ⎟ ⎝ CT c =1 t =1 ⎠
  34. 34. P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 44 2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e • IV Estimator (Moffitt, 1993, Collado, 1997) yct = yct + ξ ct * (2.53) x ct = xct + ζ ct * Inserting (2.53) into (2.49): yct − ξ ct = α c + ( x ct − ζ ct ) β + ε ct * * (2.54) yct = α c + x ct β + ω ct , ω ct = ε ct − ζ ct β + ξ ct * * First-differencing (2.54) eliminates the population cohort fixed effect: (2.55) Δ yct = Δ x ct β + Δ ω ct , t = 2,..., T Due to measurement error, E ( Δ x ct Δ ω ct ) ≠ 0 Potential IV: lagged levels of exogenous variables, x c ,t −1

×