202

8e Conférence Internationale de MOdélisation et SIMulation - MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
« Evaluation et optimisation des systèmes innovants de production de biens et de services »

PROPOSITION D’UNE PROCEDURE DE DETERMINATION DE TEMPS
UNITAIRE DE PIECES DECOUPEES

Hind EL HAOUZI1+2, Philippe THOMAS1, André THOMAS1
(1)
Centre de Recherche en Automatique de Nancy (CRAN-UMR 7039), Nancy-Université, CNRS
ENSTIB 27 rue du merle blanc, B.P. 1041
88051 Epinal cedex 9 France
(2)
Trane company, route de Champagne, 88130 Charmes
hind.elhaouzi@cran.uhp-nancy.fr.

RESUME : L’entreprise TRANE est un groupe industriel qui fabrique des appareils de réfrigération. Dans ses
processus de production elle utilise une cellule de découpe de pièces en tôle qu’elle doit gérer au mieux pour deux
raisons : c’est un goulot d’étranglement et le rendement matière est, compte tenu du coût du métal, un objectif
prioritaire. Les enjeux sont tels qu’il est donc devenu crucial de trouver le meilleur compromis entre performance
(délai) et taux de chutes. Pour ce faire, il est impératif de connaitre les temps unitaires de chaque pièce car ceux-ci sont
des paramètres des modèles de calcul des boucles kanban utilisées pour gérer les flux. Nous présenterons ici une
méthode de programmation linéaire et une méthode s’appuyant sur de l’analyse statistique de données utilisées pour
calculer les temps par pièce et dégager les paramètres du processus qui peuvent influencer d'une manière significative
le temps estimé. Ces méthodes sont étendues par l’adjonction d’une méthode récursive afin d’affiner les résultats en
prenant en compte toutes les nouvelles données disponibles. Forte de ces informations, l’entreprise pourra en
perspective installer un nouveau système de pilotage de flux qui consiste à instrumenter des étiquettes kanban via des
puces RFID pour une optimisation dynamique (en ligne) du temps, du taux de chutes et des flux.

MOTS-CLES : outils statistiques, PL, bin packing, récursivité, approches adaptatives

produits constatée entre temps. La première étape de ce
1 INTRODUCTION projet consiste donc à connaître les temps de passage de
chacune des pièces sur les machines pour pouvoir recal-
Dans le cadre de sa démarche d’amélioration continue, culer les paramètres des boucles kanban. Or, les pièces
l’entreprise TRANE a pour but d’intégrer ses processus ne sont pas poinçonnées seules mais imbriquées 1 en-
métier de bout en bout (automatisation de procédés ma- sembles en fonction du plan de production pour des ob-
nuels, rationalisation de processus et amélioration des jectifs évidents de rendement matière. Cette opération
délais de commande), pour ainsi trouver des moyens d’imbrication repose sur des algorithmes différents, se-
d'automatiser la réponse aux différentes opportunités de lon les technologies machines, pour optimiser en particu-
marché (inventaire en temps réel et prévisionnel, produc- lier les taux de chutes et le temps de découpe. Nous al-
tion juste à temps). lons voir dans la suite de l’article l’impact de cette opé-
ration sur la détermination des temps unitaires.
Dans ce contexte, le projet de centralisation sur le site de
Golbey de l’ensemble des moyens de production tôlerie Les temps de passage sur les machines sont enregistrés
(cellule de production) des deux usines françaises a été pour des tôles complètes. La difficulté est donc
initié, soit environ 25 poinçonneuses-grignoteuses et d’extrapoler les temps des pièces à partir des temps des
presses-plieuses. L’objectif de l’opération a été tôles en créant et en mettant au point l’algorithme adé-
d’optimiser les flux par épaisseur pour mieux équilibrer quat pour traiter le système de données. Notons que
les charges, rationaliser les en-cours en travaillant à la l’entreprise possède une base de données (BdD) portant
commande et non par lots figés. Cette cellule de produc- sur 5 années d’exploitation et donc suffisante pour ima-
tion devant alimenter les deux usines de Charmes et giner en extraire des données crédibles.
Golbey, une gestion des approvisionnements a été mise
en place en s’appuyant sur le système kanban. Un pre- L’objectif de ce papier est donc de montrer quelles mé-
mier bilan a mis en évidence que des améliorations de ce thodes ont été mises en place pour déterminer ces temps
système devaient être envisagées, en particulier en instal-
lant un mode de gestion par kanbans dynamiques, le sys- 1
L’imbrication consiste à trouver le rangement le plus
tème initial montrant des limites du fait de la réduction économique possible pour un ensemble de pièces sur la
des temps de cycle de fabrication et de la variété des feuille de tôle.

MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie

automatiquement. La mise en place d’une procédure que sont les calculs des temps par pièce sur les machines
récursive d’adaptation des temps estimés a été néces- traditionnelles et sur la machine SALVA. Pour dégager
saire. Pour ce faire, l’historique des données disponible a les facteurs influents sur ces temps unitaires (comprendre
permis de mettre en place une première estimation. Ces la relation entre le temps de la tôle et les temps des
temps estimés ont été utilisés pour produire de nouvelles pièces unitaires), il nous a paru nécessaire d’étudier
pièces et donc ont permis de récolter de nouvelles don- l’opération de l’imbrication pour les deux types de
nées, L’exploitation de ces nouvelles données a ensuite machines : machines traditionnelles et machine SALVA.
permis d’affiner les résultats obtenus et même, d’adapter
les temps estimés à une éventuelle dérive du processus Ligne
d’assemblage A
Ligne
d’assemblage B
pouvant être due à des évolutions, à l’usure…

Ces temps, une fois connus, seront implémentés dans un Poinçonneuse 1 Poinçonneuse 3 Poinçonneuse 5
Peinture

système de simulation à événements discrets qui permet- Poinçonneuse 2 Poinçonneuse 4 Poinçonneuse 6

tra d’évaluer des solutions de dimensionnement des bou- Ligne
Panneauteuse 1

P
cles kanban pré-déterminées par calculs (Tardif et Maa- d’assemblage C Panneauteuse 2 A
N
seidvaag, 2001). SALVAGNINI
.
N
E
. A
Poinçonneuse S4 . U
Tôle . T
La suite du texte est organisée comme suit : une descrip- (flan) E
A
Ligne U
tion détaillée du processus et de la cellule concernée Panneauteuse P4
d’assemblage D Panneauteuse 14 S
E

nécessaire à la compréhension du problème. Dans une Panneauteuse 15
S

troisième partie, l’opération d’imbrication sera détaillée Ligne
Ligne
d’assemblage E
puis suivra une description de l’approche proposée pour d’assemblage F

les machines classiques de découpe. Dans la partie sui- Figure 1 : La cellule Front-END
vante une méthode spécifique à la machine SALVA (in-
cluant une optimisation spécifique de débit pour le ren-
dement matière) sera présentée. Nous conclurons en dé-
crivant les apports pour les perspectives de notre projet
avant de conclure.
Figure 2 : Processus concerné par l’imbrication et le
2 DESCRIPTION DES PROCESSUS découpage/poinçonnage des pièces.
CONCERNES :
3 L’OPERATION DE L’IMBRICATION ET SON
Comme nous l’avons introduit précédemment, la cellule IMPACT SUR LE TEMPS
de découpe doit :
– alimenter les lignes d’assemblage de Charmes et de Dans la littérature, nous retrouvons cette notion
Golbey en tôlerie (soit environ 6 lignes d’imbrication sous le nom du Bin Packing. En effet, le
d’assemblage), Bin Packing consiste, comme son nom l’indique, à
– fabriquer 5000 à 6000 pièces / jour pour 3000 types ranger m articles dans n boites de manière à minimiser le
différents, nombre de boites utilisées. Le problème classique se
définit en une dimension, mais il existe de nombreuses
– assurer une génération de programme dynamique variantes en deux ou trois dimensions. En pratique, les
selon les charges machines et le taux de chute (plu- utilisateurs sont souvent contraints par le matériel de
sieurs gammes), découpe disponible, i.e. la façon de procéder pour la
– gérer plusieurs formats et épaisseurs des tôles. réalisation d'un plan de découpe est différente. Les
contraintes les plus souvent rencontrées sont (T. Saadi,
La figure 1 décrit cette cellule nommée « Front End ». A 2008) :
partir des besoins exprimés dynamiquement par le – la contrainte guillotine : l’outil de coupe doit aller
kanban et le calcul de besoins nets, l’imbrication est d’un bord à l’autre du rectangle ou de la bande à
réalisée avec un objectif de maximisation de rendement découper. Ce type de découpe est aussi appelé dé-
matière. La tôle sera alors découpée en pièces, coupe de bout à bout. On parle aussi du niveau de
poinçonnées, puis pliées (Figure 2) sur une seule guillotine. Il s’agit d’une constante K qui limite le
machine complexe « SALVA » ou sur des machines nombre de changements de la découpe,
traditionnelles (ALMA) en fonction des capacités – la contrainte d’orthogonalité : La découpe prend en
disponibles de celles-ci. considération l'orientation des pièces.
Les temps unitaires réels par pièces sont donc résultants
de la fabrication effective des pièces sur les machines. 3.1 Le cas de SALVA :
Nous verrons ultérieurement que le système déjà en
place n’est capable de fournir que le temps par tôle. La machine SALVA est une ligne flexible de poinçon-
Cette description met en évidence les points sensibles nage-cisaillage-panneautage qui supporte 66 outils


(poinçons) différents : la découpe se fait essentiellement Extractions de toutes les pièces par tôle :
par 2 cisailles. Cette machine comporte également un – extraire toutes les tôles lancées en production de
magasin de 12 formats de tôle. L’analyse réalisée sur le ORACLE et CINCOM (respectivement les ERP de
logiciel a permis de formaliser le type de découpe utilisé. Charmes et de Golbey),
Il s’agit de Two-dimensional Rectangular Multiple Stock – relever les caractéristiques géométriques de cha-
Size Cutting Stock Problem (Cintra, et al., 2007), avec la cune d’elles (longueur, largeur, nombre de plis,
contrainte guillotine (figure 3), un niveau de guillotine nombre de rotations, etc…).
non limité et la contrainte d’orthogonalité.
Décomposer chaque tâche réalisée sur chaque ma-
chine :
– définir la cartographie du process
– trouver les tâches qui sont affectées à chaque tôle
ou chaque chariot. Exemple (Tirer chariot de l'IPK
(stock d’en-cours géré par kanban), appel du pro-
gramme, charger tôle sur machine, …),
Figure 3 : Exemple d’imbrication réalisée pour la – trouver les tâches qui ne sont réalisées que quelques
machine SALVA fois par jour. Exemple (Changement d'outils, chan-
gement de paquet de tôles, trier le dossier, …),
Partant de ce résultat, plusieurs facteurs peuvent influer
sur les temps unitaires. Naturellement la géométrie de la – préparer des feuilles de saisie.
pièce, l’orientation de la pièce (dépendante de la solution
proposée par le logiciel), format de la tôle, les pièces Calcul des temps :
« voisines », le temps pour dégager la pièce (temps de – mesurer la capabilité (Minitab),
chute)… Ceci rend une analyse statistique pour la – chronométrer les tâches,
détermination du temps très difficile (voire infaisable).
– procéder à l’analyse des données (Minitab),
3.2 Le cas ALMA : – calculer les temps.

Pour cette machine, le logiciel propose une solution avec L’étape de calcul des temps sera différente pour les ma-
une découpe non-guillotine (voir la figure 4) et sans la chines traditionnelles et la machine SALVA.
contrainte d’orthogonalité. En plus le déchargement
manuel des tôles découpées vers le processus aval (poste 4 METHODE DE CALCUL DE TEMPS SUR
de pliage) impose de garder une certaine distance entre UNE MACHINE TRADITIONNELLE :
les pièces à découper pour l’opération de « dégrapage ».
La machine pouvant donner les temps par tôle, la pre-
mière étape a été de vérifier si les temps observés réel-
lement correspondaient bien aux temps par tôle que le
logiciel calculait. Pour cela des chronométrages ont été
réalisés. Puis pour faire l’analyse comparative des don-
nées issues de l’échantillon de temps observés, un test de
normalité a permis de confirmer l’hypothèse nulle « les
données observées suivent bien une loi normale » de
dispersion compatible (voir Figure 5).
Figure 4 : Exemple d’imbrication réalisée pour une des
machines traditionnelles. Probability Plot of Temps ALMA; Temps Réel
Normal - 95% CI
99
Au vu de cette première analyse, il nous a semblé que les Variable
Temps A LMA

facteurs influents sont essentiellement liés à la géométrie 95

90
Temps Réel

Mean StDev N AD P

de la pièce (chaque pièce a ses propres chutes et est donc 80
6.831 1.161 50 0.493 0.208
6.899 1.140 50 0.418 0.317

indépendante des autres) et donc une approche statistique 70
Percent

60
50
s’appuyant sur la mesure des découpes à réaliser, pourra 40
30
être envisageable. 20

10

5
3.3 Approche générique de calcul
1
3 4 5 6 7 8 9 10 11
Data
Quelque soit la machine utilisée, le processus de déter-
mination des temps commence par les mêmes étapes : Figure 5 : test de normalité


Un test de correspondance des valeurs deux à deux (Fi-
gure 6) a été réalisé pour confirmer la pertinence de la
distribution :

Figure 6 : test de correspondance

Pour ce test T, la moyenne des temps théoriques ALMA
est de 6,831 min quand celle des temps réellement mesu-
rés est de 6,899 min.

Le test T nous donne une valeur de P = 0,036 (inférieur
donc a 0,05), on rejette donc l’hypothèse nulle H0 : « Les
valeurs Alma et celles mesurées sont différentes ». Les
temps Alma sont donc acceptables à 95%, ces données
ont alors été utilisées pour calculer les temps machine.

En supposant que le modèle soit linéaire on a utilisé une
régression simple pour formuler un premier modèle
(Voir encadré ci-dessous). Cette régression nous donne
un modèle caractérisé par un R² = 82,1%, ce qui est cor- Figure 7 : Analyse de surface de réponse
rect dans le sens où un R² > 80% est généralement ac-
ceptable. Pour autant dans l’entreprise et sur les autres Erreur model
machines, les modèles sont caractérisés par un R² > 90%.
LSL Tar get USL
P rocess D ata W ithin
LSL -0.15 O v erall
T arget 0
U SL 0.15
Le modèle linéaire obtenu est donc le suivant : S am ple M ean -0.00274423
S am ple N 1195
S tDev (Wit hin) 0.0981485

Temps = 5,09 + 0,000033 Longueur + 0,000068 Largeur + 0,00665 S tDev (O verall) 0.0970922

Chanfreins + 0,0111 Encoches + 0,0149 Deformations +
0,000005 Evid. rect. + 0,000013 Evid. circ. + 0,00479 Trous
+ 0,0216 Formes simples + 0,000637 Evid. pré-def.

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
Avec: S = 0,944161 R-Sq = 82,1% R-Sq(adj) = 81,9% O bserv ed Performance E xp. Within P erformance E xp. O v erall P erf orm ance
P P M < LS L 59414.23 P P M < LS L 66763.57 P P M < LS L 64676.47
P P M > US L 58577.41 P P M > US L 59823.50 PPM > U SL 57837.80
P P M Total 117991.63 P P M T otal 126587.07 P P M T otal 122514.26

Malgré la cohérence de ces résultats, on a cherché à ob-
tenir un modèle plus précis sans pour autant ajouter des Figure 8 : test de validation des données calculées
facteurs.
Ce graphique montre la répartition des erreurs (ratio
temps calculé/ temps réel, exprimé en pourcentage) sur
Ces résultats ont été raffinés par une régression de type
une semaine de production. Cette répartition est normale,
surface de réponse (voir figure 7), puis par l’usage d’un
la moyenne est de -0,27%. On peut voir également que le
modèle « Full quadratic » qui utilise tous les facteurs ² et
modèle admet 117 991 défauts par million
toutes les interactions. Il a suffi alors de supprimer de
d’opportunités. Concrètement, cela signifie que le pour-
l’analyse, les termes dont la valeur de P est supérieure à centage d’erreur à la pièce est compris entre -15% et
0,05 et de relancer l’analyse. En répétant cette opération 15% dans 88,3% des cas, ce qui est très largement accep-
une ou deux fois, le modèle a été purgé des facteurs non table pour l’usage escompté.
influents.
5 METHODE DE CALCUL DE TEMPS SUR LA
Pour contrôler la prédictibilité du modèle, nous avons MACHINE SALVA :
éprouvé le système de calcul sur une semaine complète
de production (figure 8). Sur cette machine, trois opérations sont possibles. Dans
un premier temps, la tôle subit une opération de poin-
çonnage (la plaque est percée aux endroits prévus), puis


elle est découpée en plusieurs pièces (opération de dé- où Tj représente le temps de découpe de la tôle ou de
coupe). Une opération de pliage est ensuite appliquée sur l’imbrication j (parmi les m imbrications archivées dans
chacune des pièces. Plusieurs pièces peuvent donc être la BdD), tij représente le temps de découpe de la pièce i
fabriquées à partir d’une seule tôle. Comme nous l’avons de la tôle j quand aij représente la quantité de pièces i
dit précédemment un logiciel propre à la machine traite présentes dans la tôle j.
les données d’ORACLE et de CINCOM (les deux ERP)
relatives aux relances Kanban (OF) afin d’optimiser la Extraire les temps de découpe
position des pièces sur la tôle et ainsi de réduire au des tôles et les données
d’imbrication de la BdD
mieux les chutes.

Exprimer pour chaque tôle
l’équation linéaire (1)

Figure 9 : Le fichier d’extraction des temps de Résoudre les équations à 1
production issus de la machine seule inconnue directement
résolvables (2)

Le logiciel permet aussi d’obtenir les temps de chaque
opération sur la machine. Ce sont des temps globaux,
dans le sens où ce sont des temps par tôle et non par Déterminer les moyennes des
temps des pièces obtenus (3)
pièce. Ces données sont consignées dans des fichiers
texte, listant l’ensemble des opérations pour une période,
avec pour chaque opération, la liste des pièces fabriquées Simplifier les équations non
(voir la figure 9). Plusieurs années de production sont résolues en exploitant les temps
ainsi archivées et exploitables pour extraire de la con- de pièces précédemment
trouvés (4)
naissance de ces données.

Dans ce cadre, une première approche intuitive pourrait oui Existe-t-il des
être d’essayer d’exploiter des stratégies d’extraction de équations à 1
connaissance basées sur l’intelligence artificielle telles inconnue ?
que réseaux de neurones, réseaux Bayésiens, logique non
floue… Cependant, du fait du grand nombre de pièces
traitées et de leur diversité, de la grande variabilité rela- Fin
tive aux types de données disponibles pour chaque pièce Figure 10 : Algorithme de détermination des temps
(figure 13), et de la grande dispersion statistique de ces
données due majoritairement à la réalisation de Dans cette équation,(1) les Tj et aij sont connus et nous
l’imbrication, ces approches ne semblent pas les plus cherchons à déterminer les tij inconnus. Nous obtenons
pertinentes. donc un système à m équations (m tôles) et n inconnues
(n types de pièces). Nous pouvons tirer de la figure 9 un
5.1 Détermination hors ligne des temps exemple de ces équations :
Nous allons maintenant exploiter les informations dispo-
1 * 12700026001_a05.S4+6 * 12700030001_a04.S4+
nibles dans la base de données (BdD). Cette BdD con-
6 * 12700031001_a05.S4 = 6 minutes 55 secondes
tient toutes les informations relatives à la découpe d’une
tôle, c'est-à-dire, le temps mis pour découper la tôle con-
sidérée mais aussi, le type et le nombre de pièces placées Une fois tout ce système d’équations écrit, nous recher-
dans la tôle lors de la phase d’imbrication. De ces don- chons toutes les équations directement résolvables, c'est-
nées, nous souhaitons extraire les temps de découpe de à-dire toutes les équations à une seule inconnue tij, ce qui
chaque type de pièce. Pour cela, nous avons mis en place revient à dire toutes les tôles ne comprenant qu’un seul
l’algorithme décrit par la figure 10. type de pièce :
Tj
tij = (2)
Pour débuter, nous allons commencer par extraire toutes aij
les informations relatives à la découpe des tôles présen- Pour une même pièce i, nous avons utilisé l équations
tes dans la BdD que nous allons modéliser sous forme correspondant à l tôles incluant uniquement des pièces i.
d’équations linéaires : De ce fait, nous pouvons déterminer un temps moyen
n
pour la pièce i :
∑ a .t
i =1
ij ij = Tj avec j = 1,L , m (1)


l Le modèle ne permet pas de trouver le temps pour toutes
∑t
j =1
ij les pièces pour plusieurs raisons :
ti = (3) 1. pour n inconnues nous avons en entrée m équations
l avec m # n,
Nous pouvons maintenant utiliser les k temps ti connus 2. le temps consacré à la chute pour dégager les pièces
pour simplifier les équations non résolues dont les tôles n’est pas pris en compte,
associées comprennent des pièces dont le temps moyen 3. la propagation des erreurs n’est pas bien maitrisée,
est connu : 4. les pièces révisées ou légèrement modifiées sont
considérées comme différentes.
n −k k

∑ aij .tij + ∑ ahj .ti = T j
i =1 h =1
avec j = 1,L , m ' (4) L’analyse de ces résultats sur minitab est schématisée
dans la figure 11. Nous constatons que les temps ne sui-
vent pas une loi normale (P<0,005) et que la moyenne
où m’ est le nombre d’équations non encore résolues et k est de 86 secondes (l’expert avait estimé celle-ci à 60s)
le nombre de temps moyen déjà trouvés. Parmi les m’ avec un écart type grand.
équations restantes certaines ne comprennent plus
qu’une seule inconnue. Nous pouvons alors les résoudre, Il est donc possible d’améliorer cette détermination des
trouver d’autres temps moyen ti qui simplifient d’autres temps en prenant en compte les points 1 à 4 précédem-
équations (4) et en bouclant ainsi sur ces différentes éta- ment cités.
pes jusqu’à ce qu’il n’existe plus d’équations résolva-
bles. Nous aurons ainsi estimé tous les temps détermina- 5.2 Amélioration du modèle
bles.
La source la plus importante d’erreur dans l’approche de
L’outil de calcul développé a été utilisé pour un jeu de détermination des temps précédemment décrite est due à
données d’une année composé de 12 fichiers mensuels et la non prise en compte des temps de chute. En effet, la
représentant plus de 22000 imbrications comportant près chute, qui peut représenter une proportion importante de
de 3000 pièces. Sur la base de ce jeu de données, l’outil la tôle à découper, doit être éliminée par grignotage
a permis de déterminer le temps d’environ 76% des piè- (opération d’usinage par coupe alternative de la tôle), ce
ces produites par la machine. qui ne peut pas se faire instantanément.

nombre de la pièce 5715 4599 temps par tôle scrap*surfacetôle
Histogram of tem par piece
ps 1 126 4,469162957
Normal 2 139 4,290297793
Mean 86,06 3 146 4,111432629
1400 StDev 249,1 4 158 3,932567465
N 2088
1200 5 162 3,753702301
6 173 3,574837137
1000 7 183 3,395971973
8 190 3,217106809
Frequency

800 9 205 3,042289842
10 223 2,861982217
600
11 226 2,678045174
400
12 234 2,519932836
13 244 2,335995793
200 Tableau 1 : Extrait du tableau de 24 imbrications d’une
même pièce
0
-2400 -1600 -800 0 800 1600 2400 3200
tem par piece
ps
Afin d’estimer le temps de chute moyen en seconde par
m2, nous avons réalisé des tests d’imbrication sur 3 types
Probability Plot of temps par piece
Normal de pièces parmi les plus représentatives en positionnant
99,99
Mean 86,06
de 1 à 24 fois la même pièce dans une tôle, le reste de la
StDev
N
249,1
2088
tôle constituant la chute. En exemple, le tableau 1 pré-
99 AD
P-Value
313,045
<0,005
sente les 24 imbrications réalisées en plaçant pour cha-
95
que tôle de 1 à 24 fois la pièce n° 5 715 4599. En suppo-
80
sant que le modèle soit linéaire, comme sur les machines
Percent

50
traditionnelles, on a utilisé une régression simple pour
20
formuler un premier modèle :
5
1
ttotal = 243 + 5, 2.n pièce − 28.schute

 (5)
 S = 3,94664 R − Sq = 00, 7% R − Sq (adj ) = 99, 7
0,01
-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 
temps par piece

Figure 11 : Analyse des résultats du modèle de calcul de
la machine Salva


où n pièce représente le nombre de pièces identiques (Tmax ≥ Tmoy + β .Tmoy )
présentent dans la tôle et schute représente la surface de la 

si et alors rejet (9)

(Tmin ≤ Tmoy − β .Tmoy )
chute dans la tôle.
Cette régression nous donne un modèle caractérisé par 
un coefficient de corrélation R² = 99,7%, ce qui est très
bon. où Tmax = max(Tj) ; Tmin=min(Tj) et Tmoy = moyenne(Tj)
avec j = 1…h, et h est le nombre de tôles réalisant la
Cependant, partant du constat que le temps total de la même imbrication. β est un pourcentage choisi par ex-
tôle est constitué uniquement du temps de chute addi- pertise (ici 15%). Si une décision de rejet est prise, toutes
tionné du temps consacré à la fabrication des pièces, les équations associées à l’imbrication considérée sont
nous avons décidé de modifier le modèle en utilisant une rejetées.
régression passant par l’origine. Ceci permet de partager
le bruit entre les chutes et les pièces. Ce type d’approche Une étape préliminaire à la mise en place de l’algorithme
est utilisé dans de nombreux problèmes pratiques, lors- de la figure 10 va donc être de supprimer toutes les équa-
que l’on étudie la relation qui peut exister entre 2 quanti- tions rejetées du système d’équations. Une fois ce travail
tés Y et X, et que nous savons que si X = 0 alors Y = 0 fait, l’algorithme se déroule de manière identique en
elle est aussi utilisé pour les systèmes d’étalonnage. remplaçant l’équation (1) par (8) ce qui conduit à rem-
placer (2) par :
Cette approche a conduit à la construction de 3 modèles
T j − ( scrap j .S j ) .tc
en fonction des 3 types de pièces considérées :
tij = (10)
ttotal1 = 14,5.n pièce1 + 24, 7.schute aij


ttotal2 = 27,3.n pièce2 + 25, 7.schute (6)
 La détermination des temps moyens ti se fait toujours
ttotal3 = 34,9.n pièce3 + 26,8.schute
 par . Il est possible de déterminer également l’écart type
du temps de découpe de la pièce i :
où n piècei est le nombre de pièces de type i placées dans
2

∑( )
l
la tôle, et schute est la surface de la chute dans la tôle.
tij − ti
j =1
Nous considérons ces modèles (6) comme acceptable σi = (11)
l
étant donné que les coefficients de corrélation obtenus
sont du même ordre de grandeur que ceux obtenus pour De manière à éviter la prise en compte de valeurs aber-
(5). Ceci nous permet de déterminer un temps moyen par rantes, il est possible de tester l’appartenance de toute
m2 de chute :
donnée tij à l’intervalle [ −3σ ; +3σ ] et d’écarter cette
tc = 25sec/ m 2 (7) donnée pour le calcul de ti si tij n’appartient pas à
l’intervalle.
La prise en compte de ce temps de chute permet de rem-
placer l’équation (1) par Pour l’étape suivante de l’algorithme, il est nécessaire de
remplacer l’équation (4) par :
∑ a .t + ( scrap .S ) .t
n

ij ij j j c = Tj avec j = 1,L , m (8)
i =1 n −k
.ti = T j − ( scrap j .S j ) .tc
k

∑ a .t + ∑ a
i =1
ij ij
h =1
hj (12)
où scrapj représente le pourcentage de perte dans la tôle
(chute) quand Sj représente la surface de la tôle.
avec j=1, … m’ et où m’ est toujours le nombre
La deuxième source d’erreur importante est la grande d’équations non encore résolues, k est le nombre de
dispersion du temps de découpe des tôles pour des im- temps moyen déjà trouvés. Tout le reste de l’algorithme
brications identiques. En effet, un certain nombre reste identique.
d’incidents peuvent intervenir sur la machine rendant
certains temps de tôle aberrants. La difficulté est que les Avec les améliorations apportées, le modèle, permet
incidents à l’origine de cette dispersion ne sont pas con- maintenant, de trouver 80% des temps de pièces. Il est
nus. De ce fait, il est nécessaire d’éliminer toutes les capable de détecter un certain nombre de données aber-
équations, qui pour une même imbrication, conduisent à rantes selon plusieurs critères qui peuvent être définis
des temps de tôle trop variable. Le rejet d’une imbrica- par l’utilisateur.
tion se fait par la relation :
Les graphiques de la figure 12 montrent une distribution
des temps avec une répartition très représentative. Ce-


pendant le critère (P <0,005) ne confirme toujours pas temps devant eux même servir à affiner l’estimation des
l’hypothèse nulle « les données observées suivent bien temps de pièce précédemment trouvés. L’approche la
une loi normale », ce qui signifie qu’il existe encore des plus simple pour réaliser cela est de compiler les nouvel-
données aberrantes qui n’ont pas été détectées, et qui les données avec les anciennes et de recommencer
remettent en cause la validité de tous les résultats. Ce l’ensemble de la procédure. Cependant, une telle appro-
phénomène devrait s’estomper dans le temps avec le che serait rapidement vouée à l’échec du fait de
volume de données (voir paragraphe suivant), ce qui l’explosion du nombre de données à traiter simultané-
semble se dessiner dans la figure 13, puisque, comme ment. Pour éviter cela, il est possible de mettre en place
attendu, plus nous disposons de données pour évaluer un une démarche récursive.
temps de pièce particulier, plus ce dernier sera cohérent
et les temps de pièce incohérents trouvés (temps de dé- De plus, un des éléments extrêmement important pour la
coupe négatifs par exemple) sont toujours associés à des qualité de l’estimation des temps de découpe de pièces
populations très petites. est la bonne détermination du temps de chute tc . Ainsi,
toute nouvelle imbrication peut donc servir non seule-
His togr a m of te mps N
Nor m al ment à affiner les temps de découpe des pièces, mais
400 M ean
S tD ev
65,27
58,97
aussi à affiner le temps de chute.
N 2069

300 En présence des données relatives à une nouvelle imbri-
cation, deux cas peuvent donc apparaitre :
Frequency

200
– soit, une ou plusieurs des pièces de l’imbrication ne
possèdent pas encore de temps moyen ti . Dans ce
100
cas, il est nécessaire d’appliquer la procédure dé-
0
crite au paragraphe 5.2,
- 400 - 300 -200 -100 0 100 200
t e mps N – soit, toutes les pièces de l’imbrication possèdent dé-
P robability P lot of temps N
jà une temps moyen estimé ti . Dans ce cas, cette
Norm a l
imbrication peut être utilisée pour raffiner le temps
99,99
M ean
S tD ev
65,27
58,97 de chute tc et les temps de découpe ti .
N 2069
99 AD 29,154
P - Valu e <0,005
95

80
Percent

50

20 Exprimer l’équation linéaire
5 Pour la tôle (8)
1 Tôle suivante

0,01
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300
non Est-ce que
t e mpsN
le ti de toutes les pièces
Figure 12 : Analyse des résultats du modèle amélioré de est connu?
la machine Salva oui

Déterminer le temps de chute
S ca tte r plot of te mps N v s nb_ V
pour la tôle (13)
300

200

100 Raffiner le temps de
0 chute moyen tc (14)
tempsN

-100

-200
Déterminer le temps de
-300
découpe de la pièce i tij (10)
-400

-500
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
nb_V Raffiner le ti
de la pièce i (15-16)
Figure 13 : Analyse des temps par pièce selon le nombre
Pièce suivante
d’observations
non
5.3 Récursivité tous les ti sont
améliorés ?

La réalisation de la détermination des temps de pièce est oui

une tâche lourde, et par nature, jamais finie. En effet, ces Figure 14 : Algorithme récursif de détermination des
temps sont destinés à améliorer l’exploitation de la ma- temps tc et ti
chine SALVA, et donc, à réaliser de nouvelles imbrica-
tions et à obtenir de nouveaux temps. Ces nouveaux


La procédure pour améliorer de manière récursive les tc 5.4 Adaptabilité
et ti est décrite par l’algorithme présenté figure 14. Les algorithmes présentés dans les paragraphes précé-
dents nous permettent d’exploiter la connaissance pré-
La première étape consiste à déterminer l’équation li- sente dans les BdD et d’améliorer cette connaissance au
néaire de la tôle j par (8). Ensuite, si tous les ti ne sont fur et à mesure que de nouvelles données sont disponi-
pas déjà estimés, il est nécessaire de le faire, et on appli- bles. Cependant, la machine SALVA, comme toutes les
que l’algorithme de la figure 10 avant de passer à la tôle installations industrielles, est un système évolutif. Elle
vieillit, elle s’use, elle est réparée, elle subit des modifi-
suivante. Si, par contre, tous les ti sont déjà estimés, cations plus ou moins importantes… De même, les piè-
alors cette imbrication peut être employée pour améliorer ces que cette machine produit peuvent évoluer. Certaine,
l’estimation des temps connus. Il va alors être nécessaire peuvent disparaître de la production, d’autres être nou-
de déterminer le temps de chute tc de la tôle j : vellement conçue, d’autre enfin présenter des plans légè-
rement modifiés.
n
T j − ∑ ti Toutes ces évolutions peuvent être prises en compte lors
tc j = i =1
(13) de l’évaluation récursive des temps. Cependant, quand
( scrap .S )
j j l’estimation d’un temps moyen ti est déjà basée sur 999
imbrications passées par exemple, de l’équation (15),
Ce temps de chute tc j peut alors être utilisé pour amélio- nous voyons tout de suite qu’une nouvelle imbrication ne
rer le temps de chute moyen tc de manière récursive : va jouer que pour 1/1000ème dans l’évolution du ti
considéré ce qui rend toute adaptation à une évolution du
processus illusoire.
tc (k ) = tc (k − 1) +
1
(
tc − tc (k − 1)
k j
) (14)
Pour éviter ce phénomène, nous proposons d’introduire
dans les équations (14), (15) et (16), un facteur d’oubli
où k-1 est le nombre de tôles ayant permis de construire inspiré des stratégies d’apprentissages.
l’estimation tc avant l’utilisation de l’imbrication consi-
dérée. Ce facteur d’oubli doit avoir pour but de favoriser la
partie évolution de l’équation au détriment de la partie
Une fois cette étape réalisée, nous pouvons, pour chaque mémorisation de l’historique. Dans les algorithmes
pièce i présente dans l’imbrication, effectuer le même d’apprentissage de type Recursive Prediction Error
travail que pour le temps de chute. Il faut tout d’abord (RPE) (Chen et al., 1990), le facteur d’oubli est attaché à
déterminer le temps tij par (10). On peut noter que dès cet l’adaptation de la matrice de variance-covariance de telle
sorte que cette matrice ne deviennent jamais trop petite
instant, on peut utiliser le nouveau tc trouvé à l’étape
et qu’elle autorise toujours une évolution des paramètres.
précédente. Une fois le temps tij déterminé, il ne nous L’adjonction du facteur d’oubli dans l’équation (14) est
reste plus qu’à améliorer le ti moyen : obtenue en introduisant un terme multiplicatif λ(k) :

ti (k ) = ti (k − 1) +
1
k
(
tij − ti (k − 1) ) (15) tc (k ) = tc (k − 1) +
1
( t − t (k − 1)
λ (k ).k c j c
) (17)

où k-1 est le nombre de tôles ayant permis de construire Ce terme λ(k) doit être choisi dans l’intervalle ]0;1]
l’estimation ti de la pièce i considérée avant l’utilisation pour permettre un phénomène d’oubli. Quand λ(k) = 1,
de l’imbrication considérée. Pour compléter la connais- nous retrouvons un système sans oubli.
sance que l’on a du temps de découpe de la pièce i, nous
pouvons également en déterminer le nouvel écart type Afin de ne pas avoir d’impact quand peu de données sont
σi(k) : utilisées il faut donc construire un facteur d’oubli proche
de 1 quand k est petit et au contraire, pour faciliter
l’adaptation quand beaucoup de données ont déjà été
σ i2 (k ) = σ i2 (k − 1) +
k
(ε (k ) − σ i2 (k − 1) )
1 2
(16) utilisées, il est nécessaire d’avoir un facteur d’oubli qui
s’éloigne de 1. Pour les algorithmes RPE, certains au-
teurs préconisent l’utilisation d’une forme exponentielle
avec ε (k ) = tij − ti (k − 1) qui est l’erreur de prédiction. en exploitant l’équation :

α (k ) = α (0).α (k − 1) + (1 − α (0)) (18)


Cette équation à une évolution exactement contraire à données nécessaires au réajustement temps réel des pa-
l’évolution recherchée ici. De ce fait, nous proposons ramètres de production.
d’utiliser comme facteur d’oubli la fonction :
Cet article a donc pu montrer une étape du projet consis-
tant à déterminer de manière automatique les temps par
λ (k ) = 1 + α (0) − α (k ) (19)
pièce sur les différentes machines d’une cellule de pro-
duction.
La figure 15 présente 3 exemples d’évolution de facteur
d’oubli en fonction de 3 valeurs initiales de α. REMERCIEMENT :
1
α(0)=0,99 Nous remercions M. François Bertrand pour son travail
0.98
sur la partie calcul des temps pour les machines tradi-
0.96 tionnelles dans le cadre de son contrat d’apprentissage à
α(0)=0,95
0.94 l’entreprise Trane.
0.92
α(0)=0,90
0.9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 k BIBLIOGRAPHIE
Figure 15 : Evolution du facteur d’oubli λ(k) pour 3
valeurs de α(0) : 0,99 ; 0,95 ; 0,90 Chen, S., S.A. Billings and P.M. Grant, 1990. Non linear
system identification using neural networks.
Afin d’éviter que des imbrications ne prennent trop International Journal of Control, 51(6), p. 1191-
d’importance ponctuellement dans la détermination des 1214.
temps moyen, l’ensemble de la procédure d’affinage
récursif des temps devra être menée sur un ensemble Cintra, G.F., F.K. Miyazawa , Y. Wakabayashi and E.C.
d’imbrications collectées à la suite d’une journée ou Xavier (2007). Algorithms for two dimensional cut-
d’une semaine de travail et non au fil de l’eau. ting stock and strip packing problems using dynamic
programming and column generation.
6 APPORTS POUR LES PERSPECTIVES DE
L’ENTREPRISE ET CONCLUSION : Bayard D. (1996). Savoir organisationnel, savoir
théorique et situation :le contrôle statistique sur
Après comparaison entre les temps calculés et les temps échantillons Entreprises et Histoire, 13, p. 67-81.
réels, l’entreprise a conclu à des résultats plutôt convain-
cants. Les deux modèles montrent, dans le temps, le Bayard D. (1996). Savoir organisationnel, savoir théori-
même comportement à l'égard des différents facteurs. que et situation :le contrôle statistique sur échantillons
Connaissant désormais les temps opératoires par pièce Entreprises et Histoire, 13, p. 67-81.
tout au long du processus de production, un modèle de
EL Haouzi, H. (2008). Approche méthodologique pour
simulation va pouvoir être implémenté. Celui-ci permet-
l’intégration des systèmes contrôlés par le produit
tra d’évaluer des solutions de dimensionnements des
dans un environnement de JàT. Thèse de Doctorat,
boucles kanban. En effet, dans la suite du projet,
Université Henri Poincaré Nancy I, France.
l’objectif est de mettre en place un système de kanban
dynamique. A savoir, en fonction de la demande réelle, Grappin, R (1976) Guide pour l'évaluation des méthodes
des capacités effectives de production, etc… le nombre d'analyses de routine I.N.R.A., Station Expérimentale
de kanbans dans les boucles ainsi que le nombre de piè- Laitière - 39800 Poligny .
ces par kanban seront calculés et évalués par simulation.
Ce seront les kanbans qui, par l’usage de tags de type Klein, T., 2008. Le Kanban Actif pour Assurer
RFID, porteront eux même les informations conjonctu- l’Interopérabilité Décisionnelle Centralisée /
relles liées aux événements de production. Ils communi- Distribuée. Thèse de Doctorat, Université Henri
queront au système central ces informations et si néces- Poincaré Nancy I, France.
saire, les paramètres des boucles kanban seront redéfinis.
Deux expériences dans ce domaine ont déjà été menées Nations, U, (1994). Industrial Commodity Statistics
dans notre équipe de recherche (El Haouzi. H 2008) Yearbook (ISBN: 9210612094).
(Klein. T, 2008).
D’une manière générale, l’objectif de l’entreprise est Tardif, V. and L. Maaseidvaag, 2001. An Adaptive
d’utiliser le plus possible ces technologies de Approach to Controlling Kanban Systems. European
l’information sans fil et de les associer soit aux produits, Journal of Operation Research, 132, p. 411-424.
soit à des éléments du système physique associés aux
produits afin de mettre en permanence à disposition des
décideurs (localement ou dans le système central) des

202

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