TP2 04/03/2008 Problema_2

1. Apresentação do exercício proposto
Elaborado por: Luís Gomes
Marisa Patrão

2. Enunciado
A água escoa horizontalmente para fora de um tubo através de um rasgo de
3
3.175mm, como mostra a figura a seguir representada. A vazão total é de 0.028 m/s
e a velocidade varia linearmente com o máximo numa extremidade do rasgo e
zero na outra. O valor da massa volúmica do fluído é de 998.8452kg/m3 .
Determinar o momento em relação ao eixo do tubo vertical resultante do
escoamento pelo rasgo.
x
u u máx 1
1.8288

3. Para a resolução deste problema, tivemos que recorrer à equação integral de
conservação de quantidade de movimento angular.

A sua dedução começa a partir da segunda lei de Newton. O vector posição ( r )
de uma massa elementar (dm) em relação a um referencial de inércia:
 D 
dF dmV
Dt

A equação anterior multiplicada por r , permite obter o balanço do momento,
em relação à origem do sistema de eixos:
   D 
r dF r dmV
Dt

4. Em que,
D      D   D 
r dmV V dmV r dmV r dmV
Dt Dt Dt
Esta simplificação acontece porque representa o produto vectorial de
dois vectores paralelos. Então,
  D  
r dF r dmV
Dt
Considerando a equação, para um sistema finito:
  D   D  
r dF r dmV r V dm
Sist. Sist. Dt Dt Sist.

5. Ou designando por M sist a soma dos momentos resultantes da distribuição das
forças de superfície M s e das forças de campo M c :

   DH
M sist Ms Mc
Dt
Com
  
H dv r V dv
sist sist

Em que o H corresponde a uma propriedade extensiva, neste caso é a quantidade
de movimento angular com   .
r V

DH  
dv V n dA
DT t vc sc

6. Com a equação anterior, teremos a equação integral de conservação de
quantidade de movimento angular:
       
Ms Mc r V dv r V V n dA
t vc sc
Cálculo da velocidade máxima, através da sua variação com o comprimento do
rasgo(equação dada no problema) :
x
u u máx 1
1.8288
L
x
l* u máx 1 dx Q
0 L

8. 1.8288
x
0.003175 u máx 1
1.8288
dx 0.0282
0
u máx 9.7547m / s
Agora podemos voltar à equação integral de conservação da quantidade de
movimento angular:
1.8288 x x
M 0.003175* 998.8452 x 0.6096 u máx 1 * umáx 1 dx
0 1.8288 1.8288

9. 1.8288 x
M 3.171 ( x 0.6096)[9.7547 * (1 )]2 dx
0 1.8288
1.8288 x x 2
M 3.171 9.7547 x * (1 )]2 58 * (1 ) dx
0 1.8288 1.8288
1.8288
M 3.171 95.154 x 104.06x 2 28.45 x 3 58 63.43x 17.34 x 2 dx
0
1.8288
M 3.171 28.45 x 3 86.72 x 2 31.724 x 58 dx
0

10. M 3.171 7.1125x 4 28.907 x 3 15.862 x 2 58 x 1.8288
0
M 3.171 79.56 176.81 53.05 106.07
M 196.2 N .m