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  1. 1. Investitionsrechnung Andreas Müller EEG, TU Wien 373.020 11. Jänner 2010
  2. 2. Motivation • Ein Teil der Energiewirtschaft betrifft Methoden der Wirtschaftlichkeitsrechnung Wi h f li hk i h • Energiewirtschaft ist häufig an wirtschaftsbezogenen Instituten angesiedelt und hat vielfach einen stärkeren Fokus auf Wirtschaft.
  3. 3. Inhalt der Vorlesung • Grundlagen der Entscheidungstheorie • I Investitionsrechnung: M h d i i h Methoden d des Umgangs mit Unsicherheiten bei Investitionen • Ü Übungsbeispiele
  4. 4. Entscheidungstheorie
  5. 5. Entscheidungstheorie • Die Entscheidungstheorie untersucht Entscheidungssituationen, in denen ein Einzelner eine Aktion zu wählen hat in Anbetracht einer häufig unsicheren Umwelt Umwelt. • Im Gegensatz da u u te suc t d e Spieltheorie Gege sat dazu untersucht die Sp e t eo e interaktive Entscheidungssituationen, bei denen das Ergebnis für ein Individuum vom Verhalten der anderen Teilnehmer abhängt. abhängt. • Entscheidungstheorie stellt eine gewisse vereinfachte Form der Spieltheorie dar und bedient sich z.T. der selben Themen.
  6. 6. Wichtige Begriffe der Entscheidungstheorie • Strategien S: Handlungsoptionen des Entscheiders s S Bestimmte Strategie aus den möglichen Handlungsoptionen. (z.B.: Baue Gaskraftwerk) • Umweltzustände Z: Möglichkeiten der Exogenen Parameter zZ Realisierung eines bestimmten Umweltzustandes (z.B.: Gaspreis i t teuer) ( B G i ist t ) • Auszahlungen: Erlöse oder Kosten • Auszahlungsfunktion  : verbindet die Strategien und Umweltweltzustände mit den Auszahlungen  z.B.: Erlös wenn folgendes eintrifft: Baue Gaskraftwerk und Gaspreis ist teuer G k ft k dG i i tt • Eintrittswahrscheinlichkeiten W: Wahrscheinlichkeiten mit denen bestimmte Umweltzustände eintreten.  n  w  W;   w i  1   i 1 
  7. 7. Wichtige Begriffe der Entscheidungstheorie • Entscheidung unter Ungewissheit – Der Entscheider kennt die Eintrittswahrscheinlichkeit der Umweltzustände und damit die Verteilung der Grundgesamtheit nicht nicht. • Entscheidung unter Risiko – Eintrittswahrscheinlichkeiten für die möglichen Umweltzustände aus Z sind bekannt. Wahrscheinlichkeiten werden als Wahrscheinlichkeitsverteilung w auf Z angegeben.  w(z)  1 zZ (Entscheider kennt die Verteilung der Grundgesamtheit)
  8. 8. Entscheidung unter Ungewissheit Klassische Entscheidungsregeln: • Maximin-Regel: Pessimistische Einstellung: Entscheider Maximin- geht davon aus, jeweils das die denkbar schlechteste Auszahlung zu erhalten und versucht d h d minimale hl h l d h daher die l Auszahlung zu maximieren. • Maximax-Regel: Optimistische Einstellung: Entscheider Maximax-Regel: geht davon aus, jeweils das die denkbar beste Auszahlung zu erhalten und versucht daher die maximale Auszahlung zu maximieren. • Hurwicz-Regel: Hurwicz-Regel wählt einen Mittelwert. Hurwicz- Hurwicz- Gewichtungsfaktor 0    1für die Höchste Auszahlung, 1  für die niedrigste Auszahlung Auszahlung.
  9. 9. Entscheidung unter Ungewissheit Klassische Entscheidungsregeln: • Laplace-Regel: Diese Regel unterstellt Laplace- Eintrittswahrscheinlichkeiten für die unterschiedlichen Umweltzustände (Gl h l d (Gleichverteilung) und wählt d l ) d hl die Alternative mit der höchsten Auszahlung.  Laplace-Regel mit gewichteter Risikofunktion: Die Laplace- Abweichungen vom Erwartungswert werden gewichtet berücksichtigt. berücksichtigt
  10. 10. Entscheidung unter Risiko Entscheidungsregeln: – BAYES-Regel: Eine naheliegende Lösung bietet die BAYES- Bayes- Bayes-Regel (seit 17. Jahrhundert): Wähle unter den möglichen S l h Strategien diejenige die unter d d Berücksichtigung der Eintrittswahrscheinlichkeiten von Umweltzuständen die größte Auszahlung bieten. max  w(z)(s, z) zZ – Nachteil der Bayes-Regel: Berücksichtigt keine Bayes- unterschiedlichen Risikopräferenzen.
  11. 11. Entscheidung unter Risiko Entscheidungsregeln: – Bernoulli-Prinzip: Keine Maximierung der Bernoulli-Prinzip: Auszahlungsfunktion sondern des erwarteten Nutzens. Auszahlungsfunktion wird in Nutzfunktion transferiert. hl f k d f k f max  w(z)u((s z)) (s, zZ u  Transformationsfunktion z B :ln Wurzel 2 ,... Transformationsfunktion,z.B.:ln,Wurzel, – John von Neumann und Oskar Morgenstern: Begründung der Rationalität des Bernoulli-Prinzips. g g Bernoulli- p Bernoulli ist rationell (Darstellungssatz von NM und MS ist gültig) wenn deren Axiomensystem (Ordnungsaxiom, Stetigkeitsaxiom und Unabhängigkeitsaxiom) gültig ist.
  12. 12. Entscheidung unter Risiko Risikoaversion und Risikoaffinität: Jensen- Jensen-Ungleichung: n 1 Erwarteter Nutzen: u   w i u(i )   u( w )dw e Nutzen i 1 0 n Erwartungswert:    w i i e i 1 N t en des Er art ngs ertes  u(e ) Nutzen Erwartungswertes ( u( e ) Risikoavers wenn u = konvex (u'<0): u e  u(e ) ( Risikofreudig wenn u = konkav (u'>0): (w)  90 (w)  100 (w)  110 u e  u(e )  e Gewinn, Auszahlung
  13. 13. Entscheidungstheorie Zusammenfassung: • Entscheidung unter Risiko: Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände sind bekannt • Entscheidung u e U s c e e sc e du g unter Unsicherheit: Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände sind NICHT bekannt • Bernoulli- Bernoulli-Prinzip ( p (Morgenstern und von Neumann): Berücksichtigung g ) g g von Risikopräferenzen durch Überführung der Auszahlungsfunktion in eine Nutzenfunktion • Risikoaversion: Bei gleicher mittleren Auszahlung wird diejenige Entscheidung bevorzugt, die di möglichen V l E h id b di die ö li h Verluste minimiert i i i • Risikoaffinität: Bei gleicher mittleren Auszahlung wird diejenige Entscheidung bevorzugt, die die möglichen Gewinne maximiert Vorausschau: V h • Risikopräferenz und der daraus folgende Gewinnaufschlag von Investoren wird über den Zinssatz abgebildet • Es gibt formale Methoden, wie sich ein solcher Zinssatz in Abhängigkeit vom Risiko beschreiben lässt
  14. 14. Investitionsrechnung
  15. 15. Methoden aus der VU: Energieökonomie • Statische Methoden – Unterschiedliche Zeitpunkte der Kapitalflüssen ändern deren Wert nicht – z.B.: Statische Amortisationsdauer – Bilden keine adäquate Berechnungsbasis für substantielle Investitionen • Dynamische Methoden – Unterschiedliche Zeitpunkte der Kapitalflüssen wird berücksichtigt – z.B.: Annuitätenmethode, Kapitalwertmethode, interner Zinsfuß Annuitätenmethode, – Alle drei Methoden basieren  CFt auf dem selben Berechnungsprinzip Wert t  0   1  i  t t  CF  C h fl Cash flows(Geldflüsse) (G ldflü ) i  Zinssatz
  16. 16. Inhalt • Zinssatz bei sicheren Zahlungsströmen: Steuern, Steuern WACC • Investitionsentscheidungstools zur Berücksichtigung des Risikos Im nachfolgendem wird immer mit inflationsbereinigten Größen operiert
  17. 17. Kapitalverzinsung • Nach der ökonomischen Theorie gilt g g grundsätzlich: Kapitalangebot entspricht der Kapitalnachfrage interner Zins ROI, Zeitpräferenz qS 20 Angebot der Sparer f(qS) 15 10 Nachfrage g(qI) 5 0 kumulierte Investition -5 Quelle: G. Erdmann, P. Zweifel (2007):Energieökonomik – Theorie und Anwendungen. Springer 2007 • In einem vollkommenen effizienten unverzerrten Markt vollkommenen, effizienten, Markt, entspricht qs = i (risikolose Marktzinssatz)= ROI (Return on investments = Erwartete Kapitalertrag eines Investors), • Investor versucht einen möglichst hohen Kapitalertrag zu lukrieren
  18. 18. Kapitalverzinsung • Kapitalsteuern Gewinnsteuer, geforderte Kapitalsteuern, Gewinnsteuer Kapitalrendite ROI (Return on Investment) – Unternehmen müssen Gewinn versteuern (Körperschaftssteuern, …), deshalb muss der ROI größer ( h f ) d h lb d O ß sein als der Marktzinssatz.  ROI 1  tax corp  i  i ROI  1  tax corp – Selbiges gilt für Spareinlagen i 1  tax sav   qs qs  von Sparern erwarteter Kapitalertrag Daher gilt in einem p g perfekten Markt mit Steuern: qs < i < ROI
  19. 19. Kapitalverzinsung • Kapitalkostensatz: Weighted average costs of capital Kapitalkostensatz: (WACC) – Zinssatz für Fremdkapital ist niedriger als der für Eigenkapital ( k l (u.a. wegen geringeren Risikos) k ) – Investitionen werden häufig mit Fremdkapital (unter Einhaltung einer bestimmten Eigenkapitalquote finanziert). EKap FKap WACC  ROI  i FK (1  tax corp ) GesKap GesKap EKap  Eigenkapital FKap  Fremdkapital i FK  Fremdkapitalzinssatz Im nachfolgendem wird auf Steuern nicht weiter eingegangen
  20. 20. Investitionsrechnung unter Risiko – Im Grunde sind im Allgemeinen die zukünftigen Eintrittswahrscheinlichkeiten nicht bekannt -> daher handelt es sich streng genommen bei Investitionsentscheidungen um Entscheidungen unter Unsicherheit. Unsicherheit. – Vorgehensweise ist aber üblicherweise die, dass Eintrittswahrscheinlichkeiten geschätzt werden. (Extrapolation der Vergangenheit, umfassende mathematische Modelle, Bauchgefühl) – Damit erfolgt eine Überführung des Problems von: Entscheidungen unter Unsicherheiten -> zu Entscheidungen unter Risiko
  21. 21. Investitionsrechnung unter Risiko ohne Handlungsoptionen • Wie lässt sich das Risiko unsicherer Zahlungsströme bei Investitionsentscheidungen berücksichtigen? 1. NPV-Sensitivitätsanalyse: Teste den NPV auf NPV- Veränderungen exogener Variablen (eventuell Szenarienanalyse) Szenarienanalyse) 2. Risikogerechter Kalkulationszinssatz: Ein dem Risiko gerechter Zinssatz (Ri ik ht Zi t (Risikoaufschlag) wird bei der Berechnung f hl ) i d b i d B h des NPVs zugrunde gelegt. 3. NPV-Monte-Carlo-Analyse: stochastische Eigenschaften der NPV-Monte-Carlo- relevanten V i bl l Variablen werden d fi i d definiert (V (Verteilung und il d Kovarianzen). Parameter werden zufällig gezogen und daraus der NPV mit risikolosem Zinssatz errechnet. Durch Erstellen von vielen ( t h ti h ) Szenarien kann eine Verteilung i l (stochastischen) S i k i V t il des NPV ermittelt werden. Investition wird durchgeführt wenn sich in einer genügend großen Anzahl von Szenarien (80%,90%, (80% 90% 95%) ein positiver NPV einstellt. einstellt
  22. 22. Investitionsrechnung unter Risiko mit Handlungsoptionen 1. Zustands- oder Entscheidungsbaum-Analyse: Alle Zustands- Entscheidungsbaum- Möglichen Zustandsräume, deren Wahrscheinlichkeiten und die Einflussmöglichkeiten werden abgebildet. Methoden der dynamischen Programmierung führen zu einer optimalen Entscheidung. Entscheidungsbaumanalyse stellt die Erweiterung der Zustandsbaumanalyse dar. Methode: Roll back-Verfahrens auf Basis des back- Optimalitätsprinzip von Bellman: Finden von bedingt- Bellman: bedingt- optimalen Teilpolitiken. 2. (Real-) Optionsbewertung: Der Wert des Projektes wird (Real- aus dem NPV und einer Optionsprämie zusammengesetzt.
  23. 23. Risikogerechter Kalkulationszinssatz (Investitionsrechnung unter Risiko ohne Handlungsoptionen) ( g g p )
  24. 24. Risikogerechter Zinsaufschlag • Erwartete Kapitalverzinsung bei unsicheren Zahlungsströmen N ROI   ROI k w k e k 1 2     ROI k  ROI w N 2 e k k 1 N  Summe der möglichen Realisierungen ROI k  Kapitalverzinsung bei Realisierung des Zustandes k w k  Eintrittswahrscheinlichkeit des Zustandes k • Wenn Varianz > 0 fordern risikoaverse Investoren einen Risikozuschlag  av  max  ROI e   2  – (Bernoulli-Kriterium) Auszahlungs- Bernoulli- Auszahlungs-  2  funktion wird in Nutzenfunktion  av  Investiere wenn:  ROIe   2   i umgewandelt und Maximiert  2  i  (risikofreier) Marktzinssatz av  0 ... Risikoaversionsfaktor
  25. 25. Risikogerechter Zinsaufschlag: CAPM • Preismodell für Kapitalgüter: CAPM (Capital Asset P i i (C it l A t Pricing Modell) M d ll) – Kapitalmarktgleichgewichtsmodell, das die Portfoliotheorie um die Frage erweitert, welcher Teil des Gesamtrisikos eines Investitionsobjekts nicht durch Risikostreuung (Diversifikation) zu beseitigen ist. – Erklärt, basierend auf der Idee der Portfolioduplizierung, Portfolioduplizierung, wie risikobehaftete Anlagemöglichkeiten im Kapitalmarkt zu bewerten sind (Modelle für den Risikozuschlagsfaktor). (Modelle Risikozuschlagsfaktor). – Modell inkludiert nur das systematische, nicht aber das y , unsystematische (diversifizierbare) Risiko COV    ROI k  ROIe  q Markt, j  q e Markt  w jk – Grundlage: j,k Nicht nur Risiko sondern (Markowitz,1952) auch Diversifikation q Markt  Marktzinssatz ( (= Kovarianzen COV) zwischen j, k  alternative Umweltzustände dem Investitionsobjekt und e  Erwartungswert dem Gesamtmarkt ist relevant. w  E int rittswahrscheinlichkeiten
  26. 26. Risikogerechter Zinsaufschlag: CAPM • CAPM (Capital Asset Pricing Modell) ROIe  i  COV e  Markt 2  q Markt  i   i    qeMarkt  i  COV   2 Markt i = risikofreier Zinssatz qeMarkt = erwartete Kapitalrendite des Gesamtmarktes  2 Markt = Varianz des Gesamtmarktes Voraussetzungen: vollkommener Kapitalmarkt, Risikoaversion und homogene Erwartungen der Anleger, normalverteilte Renditen. Anleger Renditen T NCFt e NPV   I0   e 1  i   q  i  t t 1 e Markt NCFe  Erwartete Nettoeinahmen (Net cash flows) q e Markt  Erwarteter Ertrag des Kapital - Gesamtmarktes i  risikofreier Zinssatz
  27. 27. Risikogerechter Zinsaufschlag: CAPM •Betha-Wert Betha- Keine Korrelation zwischen I Keine K   K i K l ti i h Investitionsobjekt und G titi bj kt d Gesamtmarkt t kt Perfekte Perfekte Korrelation  negative negative Korrelation, entspricht einer Versicherung Ertrag Risikozuschlag für i Marktrisiko Quelle: Wikipedia i CAPM erfordert hohe, teils unrealistische Voraussetzungen, das Modell konnte basierend auf empirischen Daten bislang nicht eindeutig falsifiziert werden. Empirisch schwer überprüfbar, da auf Kapitalmärkten kein Gleichgewichtszustand. Gaußsche Renditenverteilungen stehen im Widerspruch mit Beobachtungen.
  28. 28. Beispiel: CAPM • Ein Unternehmen überlegt sich ein Kraftwerk zu bauen. Investitionsvolumen zum Zeitpunkt Null beträgt 600 €/kW. Über 20 Jahre werden erwartete Netto- kW. Netto- Rückflüsse Deckungsbeitrag von 20 €/MWh bei 3500 Volllaststunden erwartet. Andere Unternehmen in der selben Branche erwirtschaften eine erwarteten Kapitalertrag von 10%, der risikolose Zinssatz beträgt 4%. Berechnen sie unter der Annahme dass die Korrelation der Rückflüsse der Investition mit dem Annahme, Marktwert der Konkurrenten (Betha) 60%, 100%, 140% beträgt, ob die (Betha) Investition durchgeführt werden sollte. • Unter der Annahme, dass das Betha 60% beträgt. Das Unternehmen hat die Möglichkeit, über einen Forward-Vertrag mit einem ausfallssicheren Forward- Handelspartner die zukünftigen Einnahmen abzusichern. Um welchen Betrag in €/Einheit wären Sie unter der A /Ei h it ä Si t d Annahme der Risikoneutralität bereit, diesen h d Ri ik t lität b it di Vertrag einzugehen?
  29. 29. Risikogerechter Zinsaufschlag: APM Asset- Asset-Pricing Methode (APM) • Eine Weiterentwicklungen der risiko-bezogenen Wirtschaftlichkeits- risiko- Wirtschaftlichkeits- rechnungen. rechnungen. • Ihr zufolge leiden klassische Methoden (CAPM) darunter, dass das Risiko von Investitionen mit einem einheitlichen Risikoaufschlag berücksichtigt wird. Cash-Flow-Komponenten haben aber unterschiedliches Risiko (z.B.: Cash-Flow- Fremdkapital Zinszahlungen versus Umsatzerlöse) • Bei APM wird je Cash-Flow Komponente mit einem angemessenen Cash- Risikodiskontsatz beaufschlagt, der die Eintauschbarkeit in einen beaufschlagt, risikofreien Titel berücksichtigt.
  30. 30. Investitionsrechnung unter Risiko mit Handlungsoptionen
  31. 31. (Handlungs- (Handlungs-) Optionen Was sind Optionen: • Optionen geben dem Inhaber das Recht aber nicht die Pflicht eine zuvor festgelegt Aktion zu einem zuvor ffestgelegten Preis innerhalb eines bestimmten l i i h lb i b i Zeitraums auszuführen. • Durch Handlungsoptionen kann ein zusätzlicher Wert u c a d u gsopt o e a e usät c e e t geschaffen werden Hat die Option bei der „Toy“-Bank Geld anlegen zu dürfen „Toy“ einen Wert? – Die „Toy“-Bank bietet für angelegtes Kapital eine Fixverzinsung „Toy“ von 5% an. Das Recht anlegen zu dürfen ist für eine gewisse Zeit ( (z.B.: ein Jahr) g ) gültig. Andere Banken bieten derzeit eine g Fixverzinsung für angelegtes Geld von 10% an.
  32. 32. (Handlungs- (Handlungs-) Optionen Beispiele für mögliche Handlungsoptionen (und deren Schaffung) i d S h ff ) in der E Energiewirtschaft: i i h f • Ein neues Kohlekraftwerk wird so gestaltet (und platziert), dass später CCS möglich wäre (CCS-ready). spä e ög c ä e (CCS-ready). eady) eady) • Ein neues Speicherkraftwerk wird so ausgeführt, dass später Pumpspeicherbertrieb möglich ist. • Eine unternehmenseigene St Ei t h i Stromerzeugungsanlagen wird mit l i d it Entnahme- Entnahme-Kondensationsturbine anstatt Gegendruckurbine ausgestattet. • Die Anbindung eines Offshore Windparks wird so ausgelegt, dass später weitere Windparks angeschlossen werden können. • Subventionen für eine neue unausgereifte und teure neue, Technologien X werden vergeben um damit diese später eventuell eingesetzt werden kann. • Feldversuch von Smart-Meters bevor ein flächendeckendes Smart- Austauschprogramm vorgenommen wird.
  33. 33. (Handlungs- (Handlungs-) Optionen • Wann haben (Handlungs-) Optionen (Handlungs- einen besonders hohen Wert: – Zukünftigen Randbedingungen (Wertentwicklung) unsicher ist – Investitions- oder Handlungsflexibilitäten Investitions- vorhanden sind – Wenn der NPV (net present value) in der Nähe (net value) von Null liegt (Graubereich)
  34. 34. Entscheidungsbaum- Entscheidungsbaum-Analyse • Darstellung aller möglichen Umweltzustände und Handlungsoptionen Berechnungsschritte: Ein Investor: Planungszeitraum von 2 Jahren. 1.) Erstelle Zustandsbaum, bereche NPV der Handlungsoptionen: H dl ti Endknoten und erstelle einen Entscheidungsbaum Im Zeitpunkt t=0: entweder eine kleine Anlage bauen (A) oder eine große Anlage mit doppelter Kapazität (2A) 2.) Finde bedingt Optimale Teilpolitiken (Strategien) errichten. Im Zeitpunkt t=1: 3 Möglichkeiten: entweder die Anlage mit einfacher Kapazität auf doppelte Kapazität erhöhen (A auf 2A), eine große Anlage auf einfache Kapazität verkleinern (2A Handlungsoptionen auf A) oder aber nichts zu tun (NT). Die zukünftige Entwicklung der Nachfrage ist unsicher und damit hängen die Rückflüsse aus dem Verkauf der Produkte Realisierungen von R li i nicht nur von den Entscheidungen des Investors über die exogenen Anlagenpolitik, sondern auch von der Nachfrageentwicklung Umweltzuständen ab. NPV können aber berechnet werden. Die Einschätzung des Investors über Mögliche Zustände die Entwicklung der Nachfrage: Quelle: Kopel, Flexible Planungsmethoden
  35. 35. Optionen • Wichtige Begriffe der Optionstheorie: – CALL-Option: Der Inhaber hat das Recht aber nicht die Pflicht CALL- einen Titel zu einem festgelegten Preis zu erwerben. erwerben. – PUT-O ti PUT-Option: Der Inhaber hat das Recht aber nicht die Pflicht D I h b h t d R ht b i ht di Pfli ht einen Titel zu einem festgelegten Preis zu verkaufen. verkaufen. Die Gegenseite muss akzeptieren. – Amerikanische Option: Das Optionsrecht darf in der gesamten Zeitspanne t<=T bis zum Verfallszeitpunkt T ausgeübt werden. – Europäische Option: Das Optionsrecht darf nur zum Verfallszeitpunkt T ausgeübt werden. – (Deep) in the money, at the money, near the money, ( p) y, y, y, (deep) out of the money: Gibt an, ob der Ausübungspreis (Strike, Exercise price) kleiner, größer oder gleich als/wie der Markpreis des zugrunde liegenden Titels (Underlying) p g g ( y g) ist. – Eventuell werden Caps, Floors definiert: Begrenzungen
  36. 36. Optionen: Wert der Option Verteilung der zukünftigen Wertentwicklung eines bestimmten Titels Wahrscheinlichkeit Wert des Titels ist Log-Normalverteilt Put Option Call Option Wert der Option Optionswert CALL Strike eT Strike eT Wert des Underlyings S (Marktwert, in EUR) Aufgeld einer Option ist maximal, wenn der Preis des Underlyings at the Money ist innerer Wert der Option Aufgeld Preis des Underlyings U d l i Out of the Money Ausübungs- In the Money preis eT (Strike) Quelle: G. Erdmann, P. Zweifel (2007):Energieökonomik – Theorie und Anwendungen. Springer 2007
  37. 37. Real- Real-Optionen • Bewertung von unternehmerischen Handlungsoptionen • Marktwert einer Realoption lässt sich barwertorientiert oder optionspreistheoretisch fundieren. Die Methoden liefern i.R. p p aber unterschiedliche Resultate. • Barwertorientierte Ermittlung: Ermittlung des Wertes des Investitionsobjektes mit und ohne Handlungsoptionen -> Differenz ergibt den Wert der Handlungsoption. -> Problem: unterschiedliche Ausnutzung der Handlungs- Handlungs- optionen erfordert unterschiedliche, risikogerechte ti f d t t hi dli h i ik ht Kapitaldiskontsätze • Optionspreistheoretische Ermittlung: Versuch, die p p g , Zahlungsströme durch Duplikationsportefeuilles aus sichern Kapitalveranlagen bzw. Verschuldungen und Teilen des Zahlungsstroms abzubilden. ->Problem des Duplikationsportefeuilles
  38. 38. Formale Optionsbewertung • (geschlossenes) Modell von Black und Scholes 1973 – Annahmen: • Law of one Price: Keine Abitragemöglichkeiten • Ausübung nur am Verfallszeitpunkt: Europäische Option • Nur eine Unsicherheitsquelle: Keine Rainbow-Optionen • Nur ein riskantes Asset: keine Compount-Option • Es werden keine Dividenden ausbezahlt • Marktpreis und Unsicherheiten sind beobachtbar, Varianz bleibt konstant • Ausübungspreis ist konstant • Wertentwicklung entspricht einer geometrischen Brownschen Bewegung (Wiener P (Wi Prozess) ) – Marktpreisentwicklung folgt einem Wiener Prozess (GBM) dp t  dt  dz pt   Drift   Pr eisvolatilität (Stan dabweichung) – Wert der Option entspricht der Lösung einer stochastischen DGL (Ito-Integral) (Ito-
  39. 39. Formale Optionsbewertung • Preisänderungen zwischen Gegenwartswert t und zukünftigem Wert zum Zeitpunkt T sind dann log-normal log- Verteilt mit Erwartungswert Annahmen:  2  p  ln p t       T  t  e T  2  S tan dartabweichung e   T  t T • Wert einer Europäischen Call Option zum Zeitpunkt t für Ausübungszeitpunkt T>t CALL t (T)  p t N(d1 )  eT e  i(T  t ) N(d 2 ) p t  Wert der Investition (Spotmarktpreis, NPV) p   2  eT  Ausübungspreis, Investitionskosten ln  t    i   T  t   eT   2  i  Risikofreier Zinssatz d1   Tt   jährliche Volatilität, Risiko des Projektes d 2  d1   T  t CALL t (T) Wert der Option im Zeitpunkt t N(d)  Summenhäufigkeitsfunktion der für den Ausübungszeitpunkt T Standard Normalverteilung
  40. 40. Beispiel: formale Bewertung nach Black-Scholes Black- • Einem kleinen, lokalen Stromversorger vertraglich angeboten, seinen eigenen Ausgleichsenergiebedarf an ein anderes Unternehmen auszulagern. Die dafür zu tätigen Investitionskosten werden mit 100 €/kW (risikoadäquater Zinssatz: 10%, Abschreibungsdauer 10 Jahre, Fälligkeit der Investitionssumme erst in 10 Jahren) angeboten. Durch die Bereitstellung von Ausgleichsenergie kann sich das Unternehmen erwartungsgemäß Deckungsbeiträge (DB = Erlös minus variable Kosten) von 5 € /MWh vermeiden, die Volatilität (Risiko) beträgt 35%. Die jährliche Betriebszeit, zu welcher Ausgleichsenergie in diesem Umfang reduziert wird, beträgt 2000 Stunden pro Jahr. Der risikofreie Zinssatz beträgt 4%. • Die firmeninternen Finanzanalysten sehen die Voraussetzungen zur Anwendung der Optionswertberechnung nach Black-Scholes gegeben. Welchen Wert in Black- €/(kW x Jahr) hat die Option, das Kraftwerk auch zur Bereitstellung von /(kW Option Regelenergie betreiben zu können.
  41. 41. Beispiel: formale Bewertung nach Black-Scholes Black- 30 Optionswert 25 Wert des Underlyings Wert des Underlyings 20 15 €/MWh 10 Wert € 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 ‐5 Wert der Investition (vermiedene DB) €/MWh ‐10
  42. 42. Real-Optionen: Real-Optionen Numerische Ansätze
  43. 43. Real- Real-Optionen: unterschiedliche Ansätze • Klassischer Ansatz – Keine Arbitrage, basierend auf Marktdaten • Duplikationsportefeuille, Standardmethoden z.B.: Black-Scholes • Subjective Approach – Keine Arbitrage, Wert des Assets basiert auf Schätzungen • Duplikationsportefeuille Standardmethoden z.B.: Black Scholes Duplikationsportefeuille, z B : Black-Scholes • Market Dissclaimer Approach (MAD) – Das Projekt selbst ohne Handlungsmöglichen wird als Duplikationsasset herangezogen, subjektive Wert- und D lik ti th bj kti Wert- W t d Risikoeinschätzung. Wesentliche Annahme: Ausreichende Korrelation zwischen dem Projekt und seinen Zahlungsströmen • Erstellen eines CF Models, NPV basierend auf CAPM f • (Schätzen der Unsicherheiten, Monte Carlo) • Aufbauend auf der Verteilung der NPVs Risikoneutraler Binominal g Baum und Berechnung des Projektwertes
  44. 44. Real- Real-Optionen • Revised Classic Approach – 2 unterschiedliche Typen von Investitionen • Dominanz des allgemeinen oder projektspezifischen Risikos • Real-Optionen oder Entscheidungsbaum-Analyse • Integrated Approach – Spaltet das Projekt in 2 Elemente auf: Solche mit projektspezifischen und solche mit allgemeinen Risiken.
  45. 45. Real- Real-Optionen • MAD-Approach: Vorgehensweise MAD- 1. Erstellen eines CF Models (Cash-Flow) (Cash- 2. Evaluierung von risikoadjustiertem Zinssatzes und NPV des Projektes ohne Handlungsoptionen j g p 3. Berechnung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten 4. Berechnung der Entscheidungen und den Wert des Optionsrechtes sowie den NPV im Roll-back Verfahren Roll-
  46. 46. Real- Real-Optionen: Beispiel • Investitionsmöglichkeit: Option die Entscheidung zu Verzögern (=> CALL Option) Projektdaten, Laufzeit 1 Jahr, Option 1 Jahr gültig Einnahmen Eintrittswahr- Eintrittswahr- Investition Nettoeinahmen wenn Entscheidung scheinlichkeit Entscheidung jetzt verzögern Up state 170 50% 115 55 Max(55,0) Down state 65 50% 115 -50 Max(-50,0) Max(- Es existiert ein Duplikationswertpapier mit selben Betha: Wert jetzt 20, Betha: Wert nächste Jahr im Upstate 34, Wert im Downstate 13, Risikoloser Zinssatz i =8%
  47. 47. Real- Real-Optionen: Beispiel 1.) CF-Modell (mit Zeitwert der Zahlungsströme) CF- Einnahmen: 170 Investitionen: 115 wu = 50% wd = 50% Einnahmen: 65 Investitionen: 115
  48. 48. Real- Real-Optionen: Beispiel 2.) Evaluierung von risikoadjustiertem Zinssatzes und NPV des ) g j Projektes ohne Handlungsoptionen Zinssatz ohne Handlungsmöglichkeiten z.B.: Zinssatz ohne Handlungsmöglichkeiten schätzen über Duplikationswertpapier V  Wert w u Vu,DWP  w d Vd,DWP VDWP  DWP  Duplikations  Wertpapier 1 k u  Zus tan d Upstate k  17,5%  Risikobehafter Zinssatz d  Zus tan d Downstate Berechnung des PV der Zahlungsströme 0.5 170  0.5  65 PVEinnahmen   100 1.175 115 PVAusgaben   106.48 1.08 1 08 NPV  6.48
  49. 49. Real- Real-Optionen: Beispiel 2.) Evaluierung von risikoadjustiertem Zinssatzes und NPV des ) g j Projektes ohne Handlungsoptionen Zinssatz ohne Handlungsmöglichkeiten z.B.: Zinssatz ohne Handlungsmöglichkeiten schätzen über Duplikationswertpapier V  Wert w u Vu,DWP  w d Vd,DWP VDWP  DWP  Duplikations  Wertpapier 1 k u  Zus tan d Upstate k  17,5%  Risikobehafter Zinssatz d  Zus tan d Downstate Berechnung des PV der Zahlungsströme 0.5 170  0.5  65 PVEinnahmen   100 1.175 115 PVAusgaben   106.48 1.08 1 08 NPV  6.48
  50. 50. Real- Real-Optionen: Beispiel 3.) Berechnung der Risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten (bedingte Wahrscheinlichkeiten) Vu ,P Vd ,P u ,d  VP VP  (1  i)  d  p   ud  Vp  W ert der Einnahmen aus dem Projekt im Zeitpunkt t ohne Handlungsflexibilitäten Vu ,p  W ert der Einnahmen aus dem Projekt im Zeitpunkt t+1 im upstate p j p p Vd ,p  W ert der Einnahmen aus dem Projekt im Zeitpunkt t+1 im downstate p  risikoneutrale W ahrscheinlichkeiten (bedingte W ahrscheinlichkeiten) 170 u u= 1 7 1.7 100 d  65 / 100  0.65  (1  0.08)  0.65  p   0.409  1.7  0.65 .7  Pr obe : p170  (1  p)65 PV  100  (1  i) i  8%
  51. 51. Real- Real-Optionen: Beispiel 4.) Berechnung der Entscheidungen und den Wert des Optionsrechtes sowie den NPV im Roll-back Verfahren Roll- Vu O=MAX(uVP-eT;0)=max(170-115;0) u,O MAX(uV e ;0) max(170 115;0) = 55 =>Exercise Call p = 40,9% Vp  p 1-p = 59,1% Vd O=MAX(dVP-eT;0)=max(65-115;0) d,O ( ) ( ) = 0 =>Don‘t Exercise Call pVuO  (1  p)VdO 0, 409  55  (1  0, 409)0 V0,O    20 8 20,8 1 i 1  0, 08 NPV  NPVohneFlexibilitäten  WertderFlexibilität NPV  6.48  20,8  14,374
  52. 52. Real- Real-Optionen 2-Perioden 2- Beispiel Zeitwert Baum eines Projektes (wird mit risikoadjustiertem WACC des Projektes ohne Handlungsoptionen erstellt) Risikoloser Zinssatz i = 3% erstellt), u2VP=144 wu=60% u=1,2;Vu,t=1=uVP=120 wu=60% 1-wu=40% NPVP=100 udVP=100 wu=60% 1-wu=40% d=1/1,2; Vd,t=1=dVP=83,33 1-wu=40% d2VP=69,44 69 44 2-Jährige Amerikanische CALL-Option, Ausübungspreis eT= 95
  53. 53. Real- Real-Optionen 2-Perioden 2- Beispiel 1) Berechnung des hinterlegten WACC H int erlegter WACC : w u 2144  2w u (1  w u )100  (1  w u ) 2 69, 44 PV  100  (1  WACC) 2 WACC  5,33% 2) Berechnung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten (1  i)  d (1  3%)  0,833 p   0,53722 u d 1, 2  0,833 1  p  0, 46278 Pr obe : p 2120  2p(1  p)100  (1  p) 2 69, 44 PV  100  (1  i) 2 i  3%
  54. 54. Real- Real-Optionen 2-Perioden 2- Beispiel Risikoneutraler Entscheidungsbaum der Call-Option A V =MAX(u2V -e ;0)=max(144- uu,O P T MAX(uVP-eT;Vu,O)= 95;0) = 49 =>Exercise Call max(120-95; 27,8) p=53,7% = 27,8 =>Hold D p=53,7% 1-p VO =15,67 F B Vdu,O=MAX(udVP-eT,0)=max(100- 95;0) = 5 =>Exercise Call p=53,7% 1-p E MAX(dVP-eT;Vd,O)= max(83,33-95; 2,61) = 2,61 =>Hold 1-p Vdd,O=MAX(d²VP-eT,0)=max(69,4- , 95;0) = 0 =>Don‘t Exercise Call t0 C NPVmitFlexibilität  NPVohne  V0, O , D: pVuuO  (1  p)VudO  100  15, 67  115, 67 Vu,O  1 i
  55. 55. Literatur und Weiterführendes: • Erdmann G Zweifel P : Energieökonomik Springerverlag, G., P.: Energieökonomik, Springerverlag 2008. • Realoptionen in der Unternehmenspraxis, Springerverlag, 2001. • Copeland T.,Antikarov V.: Real Options, a practitioner’s guide. Texere guide Texere, 2007 • Schwartz et al.: Real Options and Investment under Uncertainty • Werner T.: Investitionen, Unsicherheit und Realoptionen, Dt. Univ.-Verl., 2000. Univ.- • Stephan Kopel, u.a: Vorlesungen a.d. TU, Inst. Industrielle Stephan, Kopel u a: a d TU Inst Betriebswirtschaftslehre und Wettbewerb.
  56. 56. Übungsbeispiele

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