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 Torsion

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  1. 1. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences Torsion 1. Einführung 1.1 Allgemeines Eine Torsionsbeanspruchung liegt dann vor, wenn sich der Querschnitt eines Balkens entlang seiner unterschiedlich stark verdreht. Das kann nur dann Schwerachse geschehen, wenn z.B. die Vertikalbelastung auf einen Balken nicht durch den Schubmittelpunkt geht. Je nach Querschnitt können Schubmittelpunkt (M) und SchwerpunktQuerschnitts verschieden (S) eines sein! Bild: Querschnitte Die Torsionsbelastung (Torsionsmoment) eines Querschnitts ergibt sich somit als Moment Vertikalbelastung mal dem Hebelarm zum Schubmittelpunkt. Eine stabile aus der Lagerung kann nur gewährleistet werden, wenn am Auflager zusätzlich eine Querschnittsverdrehung wird durch ein verhindert wird. Dies Gabellage sichergestellt (siehe folgende sog. r Bilder). Bild: Torsionsbelastung eines Einfeldträgers unter Gleichstreckenlast Je nach der Geometrie des Querschnitts können infolge Torsion sowohl Schubspannungen als auch Längsspannungen entstehen. nur Schubspannungen existieren, Wenn man von spricht St. Venant´scher Torsion (reiner Torsion) dann . Längsspannungen können nur entstehen, wenn freie Verformung in Längsrichtung nicht ist, das ist die eine Wölbkrafttorsion (Verwölbung = Verschiebung in Längsrichtung infolge Torsion) sog. möglich . Bild: Stab mit übertrieben dargestellter Verwölbung Torsion.doc 11.02.09 Seite 1
  2. 2. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences Als nahezu wölbfrei erweisen sich Kompaktquerschnitte wie z.B. und geschlossenen Rechteckquerschnitte insbesondere wenn sie dickwandig sind. Hohlquerschnitte, Bild: Nahezu wölbfreie Querschnitte Offensichtlic nicht wölbfrei sind offene Querschnitte mit mindestens 2 Flanschen . Hier h wird das Torsionsmoment hauptsächlich durch Wölbkräfte aufgenommen, da der Hebelarm bei der Kreisflusstorsion zu klein ist. Bild: Profile mit Wölbkrafttorsion Wölbfrei sind Quadrat-, Kreis- und , außerdem dünnwandige Kreisringquerschnitte Querschnitte, die sich aus 2 Rechtecken zusammensetzen lassen . Die Zusammenhänge reiner Torsion können gemäß der technischen bei folgendermaßen berechnet Mechanik werden: d T Änderung der ´= = Ed (1.1) Querschnittsverdrehung: d G· I T x T Max. Schubspannung infolge t = Ed (1.2) Torsion: T W T Die Querschnittswerte T und W T können aus Tafelwerken entnommen I werden. Torsion.doc 11.02.09 Seite 2
  3. 3. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences 1.2 Torsion im Stahlbetonbau Die Aufnahme von Torsionsmomenten Ed ist nur dann nachzuweisen, wenn sie für T Gleichgewicht erforderlich ist das Gleichgewichtstorsion ). Der Nachweis umfasst dann sowohl ( den Grenzzustand der Tragfähigkeit als auch den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit. Wenn Torsion in statisch unbestimmten Tragwerken nur zur Erfüllung der Verträglichkeitsbedingungen auftritt, dann spricht man Verträglichkeitstorsion . In von diesem Fall ist es im Allgemeinen nicht erforderlich, die Torsion im Grenzzustand der Tragfähigkeit zu berücksichtigen. Dies liegt hauptsächlich darin begründet, dass sich die Torsionssteifigkeit durch Rissbildung stark reduziert (um ca. 70%). Dafür ist dann eine konstruktive Bewehrung in Form von Bügeln und Längsbewehrung vorzusehen. Zur Vermeidung übermäßiger Rissbildung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit erforderlich werden, die Torsion in die Nachweise mit allerdings kann es einzubeziehen. Der Fall a im folgenden Bild zeigt ein solches Beispiel: Ohne Torsionsmoment (= gelenkige ist das Gleichgewicht nicht gefährdet, es ergibt sich nur eine etwas Lagerung) größere Durchbiegung der Decke. Im Fall b kann das Torsionsmoment offensichtlich auf keinen Fall entfallen, da dann der Kragarm einstürzen würde, d.h. hierbei handelt es sich Gleichgewichtstorsion . um Bild: Gleichgewichts- und Verträglichkeitstorsion Da im Stahlbetonbau meist dickwandige Querschnitte verwendet werden, ist die Wölbbehinderung relativ klein. Die trotzdem noch auftretenden Längsspannungen infolge Wölbbehinderung werden durch die Rissbildung zusätzlich noch stark abgebaut. Da immer konstruktive Maßnahmen (z.B. Anordnung einer Mindestbewehrung) ergriffen werden, braucht Wölbkrafttorsion in der Regel im Stahlbetonbau nicht rechnerisch die nachgewiesen zu werden. Torsion.doc 11.02.09 Seite 3
  4. 4. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences Versuche mit bewehrten Stahlbetonbalken unter Torsion haben gezeigt, dass sich Vollquerschnitte wie Hohlquerschnitte verhalten, d.h. das Innere des Vollquerschnitts kann rechnerisch unberücksichtigt bleiben, da es kaum zur Tragwirkung beiträgt. Näherungsweise kann mit gedachten Hohlquerschnitt mit konstanter Schubspannungsverteilung einem gerechnet werden. Bild: Schubspannungen vor und nach der Rissbildung Der Kraftfluss nach der Rissbildung kann analog zur Bemessung auf Querkraft mit Hilfe Fachwerks modelliert werden (Zugstreben durch Stahl, Druckstreben durch eines Beton). Allerdings ist in diesem Fall räumliches Fachwerk erforderlich, dessen Zug- ein Druckstreben entsprechend den Hauptspannungen geneigt sein und müssen: Bild: Fachwerk für Torsion mit schrägen Zugstreben. Torsion.doc 11.02.09 Seite 4
  5. 5. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences Da gegenüberliegende Zugstreben gegenläufig sind, wäre eine praktische Ausführung sehr umständlich. Deshalb werden die Zugkräfte in 2 Komponenten zerlegt, eine in Achsrichtung und eine senkrecht dazu. Diese Komponenten werden durch Längs- und Bügelbewehrung aufgenommen . Bild: Bügel- und Längsbewehrung für die Zugstreben infolge Torsion Eine Seite des Hohlquerschnitts kann dann wie eine Wand betrachtet werden, die durch Querkräfte belastet ist: Man nennt sie deshalb Schubwand. Bild: Ausbildung von Schubwänden bei Torsionsbelastung Die Bemessung der einzelnen Schubwände des gedachten Hohlquerschnitts erfolgt im Prinzip genauso wie die Bemessung auf Querkraft. Folgende Unterschiede sind zu beachten : - Das Fachwerk ist räumlich, d.h. auch die horizontalen Bügelschenkel werden voll benötigt. Das bedeutet, dass Bügel zugfest geschlossen werden müssen ! die - Die Zugkräfte auf gegenüberliegenden Seiten sind entgegengerichtet, in d.h. Kombination mit Querkraft wird die Belastung einer Seite , die der erhöht anderen Seite - Da Zug- und! Druckstreben wendelförmig um den Querschnitt herumlaufen, ist vermindert außer er d Bügel- immer eine Längsbewehrung , die in Kombination auch Biegung erforderlich zur Biegezugbewehrung hinzuaddiert werden muss mit . In der Biegedruckzone kann die Torsionslängsbewehrung entsprechend reduziert werden. Torsion.doc 11.02.09 Seite 5
  6. 6. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences 2 Nachweise für Torsion nach DIN 1045-1 2.1 Nachweis für reine Torsion Der Nachweis des Grenzzustandes der Tragfähigkeit erfolgt analog aller anderen Nachweise: Das infolge der Belastungen einwirkende Torsionsmoment muss kleiner oder dem Bauteilwiderstand bleiben, der sich aus den Zug- und Druckstreben gleich ergibt: Widerstand T =T (2.1.1) Widerstand T =T (2.1.2) Ed Rd ,max Ed Rd ,sy Druckstrebe: Zugstrebe: 2.1.1 Herleitung der Bemessungsformeln Wie oben schon allgemein erläutert, wird die Torsionstragfähigkeit anhand eines räumlichen Fachwerkmodells ermittelt. Grundlage ist ein echter oder gedachter Hohlquerschnitt mit der Wandstärke eff . Die Mittellinie des Hohlquerschnitts geht durch die Schwerpunkte t der Ecklängsbewehrung (vgl. Bild unten), wobei eff natürlich nicht größer als eine t Wandstärke werden echte darf. Bild: Querschnitt für Torsion Die folgenden geometrischen Größen werden definiert: Kernquerschnitt A k = von der Mittellinie des Hohlquerschnitts umschlossenen Kernumfang u k = Fläche Länge aller Mittellinien Am Beispiel Rechteckquerschnitt (siehe Bild oben) ergibt Kernquerschnitt sich: A = b · d (2.1.3) k k k : Kernumfang: u = 2 · (b + d ) (2.1.4) k k k b d Mit dem T = 2 · (t ·t · d )· k + 2 · (t ·t · b )· k Torsionsmoment: Ed Ed eff k 2 Ed eff k 2 T T folgt die t =2 Rd = Rd mit = 2 Rd in kN/m (2.1.5) Schubspannung: Rd · A ·t t Rd ·A k eff eff k t ist die Schubspannung, ist der Schubfluss in den Schubwänden des Rd Rd Querschnitts . Die Ermittlung von Schubfluss und Schubspannung gilt allgemein für Querschnitte mitalle Querschnittsgrößen den k und t eff . A Damit ergibt sich Schubkraft in einer vertikale Wand des Rechteckquerschnitts die T n zu: T V = 2 · d = Rd · d . und damit allgemein V = 2 · z = Rd · z (2.1.6) Rd Rd k k ·A Rd Rd i i ·A k k zi ist hierbei die Länge der Schubwand i , gemessen zwischen den Schwerpunkten Eckstäbe. der Torsion.doc 11.02.09 Seite 6
  7. 7. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences Für den Nachweis der Zug- und Druckstreben ist es ausreichend, das Krafteck eines Knotens in einer Schubwand zu betrachten: Bild: Krafteck aus der vertikalen Schubwand und räumliches Fachwerkmodell Höhe einer h = d · cos (2.1.7) c k Druckstrebe: Abzudeckende Schubkraft V = · d (2.1.8) Rdv Rd k vertikal: Abzudeckende Schubkraft V = · d · cot (2.1.9) Rdh Rd k horizontal: Druckstrebenkraft F =s · h · t (2.1.10) cd cd c eff : Stahlzugkraft F =a · f · d (2.1.11) sdh sl yd k horizontal: Stahlzugkraft F =a · f · ( d · cot ) (2.1.12) sdv sw yd k vertikal: V = : mit (2.1.8)(2.1.10) 0 V = F · sin ·d =s ·h ·t · sin Rdv cd Rd k cd c eff ·d ·d T ·2 daraus folgt: s = Rd k = Rd k = Rd =a · f cd h ·t · sin d · cos · t · sin 2 · A · t · sin(2 ) c cd c eff k eff k eff Daraus ergibt sich Querschnittswiderstand aufgrund der Druckstrebenfestigkeit (= der maximal aufnehmbare Torsionsmoment das Rd ): T a ·f · 2· A · t T =a ·f · A ·t · sin(2 ) = c ,red cd k eff (2.1.13) Rd , max c ,red cd k eff cot + tan a = 0,75 · = 1,0 für Normalbeton c 1 1 a = 7 ·a allgemei 0, c,red c n a = a für Kastenquerschnitte mit Bewehrung an den Innen- und c,red c Außenseiten der Wände Bei einem idealisierten Hohlkasten liegt die Bügelbewehrung an den Wandaußenseiten, wodurch eine ungleichmäßige Spannungsverteilung entsteht, da die Druckstrebe exzentrisch verläuft. Die ausnutzbare Betondruckspannung ist deshalb gegenüber zur Zugstrebe der Querkraftbemessung auf 70 % reduziert. Dagegen kann sich die Druckkraft bei echten Hohlkastenkonstruktionen zentrisch in eine beidseitig angeordnete Bügelbewehrung darf dann ohne Reduktion nachgewiesen einhängen und werden. Torsion.doc 11.02.09 Seite 7
  8. 8. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences Abzudeckende Schubkraft V = · d (2.1.8) Rdv Rd k vertikal: Abzudeckende Schubkraft V = · d · cot (2.1.9) Rdh Rd k horizontal: Stahlzugkraft F =a · f · d (2.1.11) sdh sl yd k horizontal: Stahlzugkraft F =a · f · ( d · cot ) (2.1.12) sdv sw yd k vertikal: Für die Berechnung des Querschnittswiderstandes infolge Stahlversagen gibt es 2 öglichkeiten M : 1) Berechnung mit der Bügelbewehrung: mit (2.1.8)(2.1.12) und (2.1.6) T V =: 0 V =F ·d = a · f · (d · cot ) Rd ,sy =a ·f · cot Rdv sdv Rd k sw yd k 2· A sw yd k daraus folgt: T = 2· A · f · a · cot (2.1.14) Rd , sy k yd sw T Umstellung für Bemessung : a = Ed (2.1.15) die sw 2 ·· A · f cot k yd in cm²/m je Schubwand 2) Berechnung mit der Längsbewehrung mit (2.1.9)(2.1.11) und (2.1.6) T · cot H =: 0 V =F · d · cot =a · f ·d Rd ,sy =a · f Rdh sdh Rd k sl yd k 2· A sl yd k daraus folgt: T = 2· A · f · a · tan (2.1.16) Rd , sy k yd sl T Umstellung für Bemessung : a = Ed (2.1.17) die sl 2 ·· A · f tan k yd in cm²/m Umfang u k Gesamtlängsbewehrung auf u k: A = a · u (2.1.18) sl sl k Durch gleichsetzen der beiden Lösungen für Rd,sy ergibt a = a · cot2 (2.1.19) sl sw T sich: Wie man sieht ist für einen Druckstrebenneigungswinkel von 45° die Längsbewehrung gleich der Bügelbewehrung. Torsion.doc 11.02.09 Seite 8
  9. 9. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences Der Druckstrebenneigungswinkel ist genau wie bei der Bemessung auf Querkraft auf einen bestimmten Bereich zu begrenzen. Hierbei sind nur die Querschnittsbreite w und der b innere Hebelarm z durch die Breite und die Länge der Schubwand zu ersetzen: 1,2 - 1,4 · s f 0,58 = cot T = cd cd = k (2.1.20) 1- V V Rd ,c Ed k = 3,0 für Normalbeton, d.h. 18,4° 60T = ° = k = 2,0 für Leichtbeton, 26,6° = T = ° 60 d.h. Der Betontraganteil Rd,c in der Schubwand wird analog zur Querkraft wie folgt V berechnet: · s V = ·ß · 0,10 · f 13 · 1 + 1,2 cd · t · z (2.1.21) Rd ,c 1 ct ck efffi cd ß = 2,4 = 1,0 für Normalbeton ct 1 N s = Ed Betonlängsspannung im Schwerpunkt des cd A Querschnitts c N Bemessungswert der Längskraft des Querschnitts infolge Ed äußeren Einwirkungen oder Vorspannung (Druck < 0). Die Querkraft VEd ist hierbei die Querkraft in einer Schubwand nach 2.1.6 . Torsion.doc 11.02.09 Seite 9
  10. 10. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences 2.1.2 Zusammengesetzte Querschnitte Querschnitte von komplexer Form wie z.B. T-Querschnitte können in Teilquerschnitte (meist Rechtecke) aufgeteilt werden. Die Gesamttorsionstragfähigkeit berechnet sich dann aus der Summe der Tragfähigkeit der Einzelelemente. Praktisch bedeutet dies, dass das angreifende Torsionsmoment auf die einzelnen Teilquerschnitte verteilt wird, die dann getrennt nachgewiesen werden können. Die Aufteilung darf im Verhältnis der Steifigkeiten des ungerissenen Zustandes erfolgen: I T =T · T ,i Ed ,i Ed I T ,i Bild: Aufteilung des Schubflusses in Einzelschubflüsse Torsion.doc 11.02.09 Seite 10
  11. 11. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences 2.2 Nachweis für kombinierte Beanspruchung aus Querkraft und Torsion Der Nachweis für eine kombinierte Beanspruchung aus Querkraft und Torsion erfolgt wie bei reiner Torsion für die ungünstigste Schubwand des Hohlquerschnitts. Die ebenfalls in Schubwand wirkende Querkraft setzt sich jetzt aus 2 Anteilen der zusammen: T V ·t V =V +V = Ed ·z + Ed eff (2.2.1) Ed ,T + V Ed ,T Ed ,V 2· A i b k w Mit dieser Querkraft ist eine Bemessung durchzuführen, die Bewehrung ist zu der ermittelte aus der Querkraftbemessung zu addieren Bewehrung . Der gewählte Druckstrebenneigungswinkel gilt sowohl für den Nachweis der Querkraft wie auch für den Nachweis der Torsion. Der Nachweis der Druckstrebentragfähigkeit erfolgt für jeden Teilquerschnitt wie folgt: 2 2 T V Für Ed + Ed = 1(2.2.2) Kompaktquerschnitte: T V Rd ,max Rd ,max T V Für Ed + Ed = 1(2.2.3) Kastenquerschnitte: T V Rd ,max Rd ,max Für die Querkraftbeanspruchung steht die gesamte bw zur Verfügung, dagegen Stegbreite die Torsionsdruckspannungen lediglich im dürfen t eff angesetzt werden. Randbereich bei den Kompaktquerschnitten Umlagerungsmöglichkeiten, dieDamit verbleiben die Interaktions- Kompaktquerschnitte ausnutzt. Diese Umlagerungsmöglichkeiten sind gleichung für bei Hohlkastenquerschnitten nicht mehr gegeben, da die Druckspannungen infolge Torsion und Querkraft gemeinsam in dem Wandquerschnitt wirken. Aus diesem Grund ist die zweite Interaktionsgleichung konservativer aufgebaut. Vereinfachungsmöglichkeit : Die Bewehrung für Torsion allein kann mit einem Druckstrebenneigungswinkel von 45° ermittelt werden und muss dann wie gehabt zur ermittelten Querkraftbewehrung aufaddiert werden. Torsion.doc 11.02.09 Seite 11
  12. 12. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences 2.3 Entfall der Bemessung für Querkraft und Torsion Bei geringer Torsions- bzw. geringer Querkraft+Torsions-Beanspruchung darf unter gewissen Umständen auf einen rechnerischen Nachweis der Bewehrung verzichtet werden. sicher zu stellen, dass im ungerissenen Querschnitt (Zustand I) die Dazu ist näherungsweise ermittelten Schubspannungen infolge Torsion t ˜ 4.5 ·T / b2 · z nicht () größer T Ed w mit als die Schubspannungen infolge Querkraft t = V ( ) · z und / b werden bei Q Ed w mit kombinierter Beanspruchung infolge Torsion+Querkraft darf es nicht zu einem Versagen infolge Schrägrissbildung ( =V ) kommen. Rd ,ct Für einen näherungsweise rechteckigen Vollquerschnitt ist außer der Mindestbewehrung und Torsionsbewehrung erforderlich, wenn die folgenden keine Querkraft- Bedingungen eingehalten sind: V ·b Für Torsion: T = Ed w (2.3.1) Ed 4,5 4,5 · T Für Querkraft + Torsion: V · 1+ = Ed V (2.3.2) Ed V ·b Rd ,ct Ed w Torsion.doc 11.02.09 Seite 12
  13. 13. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences 2.4 Konstruktive Anforderungen Die Torsionsbewehrung ist in Form rechtwinkligen Bewehrungsnetzes aus Bügeln eines Längsstäben auszuführen. und Bügel sind hierbei zugfest zu schließen . Die Der Längsabstand der Bügel muss den Anforderungen für die Querkraftbewehrung genügen (vgl. Kap. Querkraft). Zusätzlich darf Längsabstand der Torsionsbügel den Wert u k /8 der überschreiten nicht . Die Längsstäbe sollten gleichmäßig über den Umfang innerhalb der Bügel verteilt werden, jedem Knickpunkt der Bügel mindestens ein Längsstab vorhanden sein muss. wobei in Der Abstand der Längsstäbe darf 35 cm nicht überschreiten . u Höchstabstände: s = k bzw. s =s s = 35c (2.4.1) w 8 w w,V l m Bild: Beispiele für eine Torsionsbewehrung Bei Verträglichkeitstorsion darf im Grenzzustand der Tragfähigkeit auf einen rechnerischen Torsionsbeanspruchung verzichtet werden. Hinsichtlich Nachweis der der Gebrauchstauglichkeit, insbesondere um eine übermäßige Rissbildung zu vermeiden und angemessene Robustheit zu gewährleisten, sollte eine konstruktive Bewehrung in eine Form geschlossenen Bügeln und einer über den Umfang verteilen von Längsbewehrung vorgesehen werden. Diese Forderung ist in der DIN 1045-1, 10.4.1 (2) als Anwendungsregel gekennzeichnet. Das heißt, es darf davon abgewichen werden, es ist jedoch eine vom Prinzip gleichwertige Lösung zu gewährleisten. Die in diesem Kapitel beschriebenen Regeln sollten jedoch als Mindestgrundlage zur Sicherstellung konstruktiven der Gebrauchstauglichkeit auch bei nicht nachzuweisender Verträglichkeitstorsion angewendet werden. Torsion.doc 11.02.09 Seite 13

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