1. 1
Semantiky programovacıch jazyku
´ ´ ˚
Doporuc ´ literatura
ˇena
• Glynn Winskel: The Formal Semantics of Programming Languages
• Matthew Hennesy: The Semantics of Programming Languages
• PDF a PS soubor teto prezentace je dostupny na
´ ´
http://www.fi.muni.cz/usr/kucera/teach.html

2. 2
Definice programovacıho jazyka
´
• Syntaxe definuje „spravne utvorene“ programy (akceptovane prekladac
´ ˇ ˇ ´ ´ ˇ ˇem).
lexikalnı jednotky (klıc ´ slova, identifikatory, konstanty, operatory, . . . )
´ ´ ´ ˇova ´ ´
frazova struktura (urc
´ ´ ˇuje jake posloupnosti lexikalnıch jednotek jsou „pr´pustne“
´ ´ ´ ˇı ´

3. 2
Definice programovacıho jazyka
´
• Syntaxe definuje „spravne utvorene“ programy (akceptovane prekladac
´ ˇ ˇ ´ ´ ˇ ˇem).
lexikalnı jednotky (klıc ´ slova, identifikatory, konstanty, operatory, . . . )
´ ´ ´ ˇova ´ ´
frazova struktura (urc
´ ´ ˇuje jake posloupnosti lexikalnıch jednotek jsou „pr´pustne“
´ ´ ´ ˇı ´
• Semantika popisuje chovanı programu (co program „dela“)
´ ´ ´ ˇ ´
neformalnı (uc
´ ´ ˇebnice programovacıch jazyku)
´ ˚
formalnı („matematicka“)
´ ´ ´

4. 3
´ ˇel
Uc a pouzitelnost formalnı semantiky
ˇ ´ ´ ´
• Korektnost implementace
prekladac (co musı splnovat, aby byl „spravny“?)
ˇ ˇ ´ ˇ ´ ´
optimalizator (jake upravy kodu jsou „pr´pustne“?)
´ ´ ´ ´ ˇı ´

5. 3
´ ˇel
Uc a pouzitelnost formalnı semantiky
ˇ ´ ´ ´
• Korektnost implementace
prekladac (co musı splnovat, aby byl „spravny“?)
ˇ ˇ ´ ˇ ´ ´
optimalizator (jake upravy kodu jsou „pr´pustne“?)
´ ´ ´ ´ ˇı ´
• Verifikace programu
˚
vlastnosti programu (jak je vyjadrit, jak dokazat ze dany program ma danou vlastnost?)
˚ ´ ˇ ´ ˇ ´ ´
ekvivalence programu (co znamena, ze se dva programy „chovajı stejne“?)
˚ ´ ˇ ´ ˇ
systemy, ktere jsou paralelnı, distribuovane, pracujı s realnym c
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ˇasem, nebo jsou r´zene
ˇı ´
udalostmi, nelze „ladit“!
´
X := X + 1 X := X + 1

6. 3
´ ˇel
Uc a pouzitelnost formalnı semantiky
ˇ ´ ´ ´
• Korektnost implementace
prekladac (co musı splnovat, aby byl „spravny“?)
ˇ ˇ ´ ˇ ´ ´
optimalizator (jake upravy kodu jsou „pr´pustne“?)
´ ´ ´ ´ ˇı ´
• Verifikace programu
˚
vlastnosti programu (jak je vyjadrit, jak dokazat ze dany program ma danou vlastnost?)
˚ ´ ˇ ´ ˇ ´ ´
ekvivalence programu (co znamena, ze se dva programy „chovajı stejne“?)
˚ ´ ˇ ´ ˇ
systemy, ktere jsou paralelnı, distribuovane, pracujı s realnym c
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ˇasem, nebo jsou r´zene
ˇı ´
udalostmi, nelze „ladit“!
´
X := X + 1 X := X + 1
• Navrh programovacıch jazyku
´ ´ ˚

7. 4
Zakladnı „styly“ semantik programovacıch jazyku
´ ´ ´ ´ ˚
• Operac ´ semantika definuje jak se program provadı
ˇnı ´ ´ ´

8. 4
Zakladnı „styly“ semantik programovacıch jazyku
´ ´ ´ ´ ˚
• Operac ´ semantika definuje jak se program provadı
ˇnı ´ ´ ´
• Denotac ´ semantika definuje co program poc´ta
ˇnı ´ ˇı ´

9. 4
Zakladnı „styly“ semantik programovacıch jazyku
´ ´ ´ ´ ˚
• Operac ´ semantika definuje jak se program provadı
ˇnı ´ ´ ´
• Denotac ´ semantika definuje co program poc´ta
ˇnı ´ ˇı ´
• Axiomaticka semantika umoznuje odvodit vlastnosti programu
´ ´ ˇˇ

10. 5
Abstraktnı syntax programovacıch jazyku
´ ´ ˚
• Abstraktnı syntakticka rovnice: rovnice tvaru
´ ´
X ::= at1 | · · · | atn | op1(α(1,1), . . . , α(1,n1)) | · · · | opm(α(m,1), . . . , α(m,nm))
kde
at1, · · · , atn jsou atomy.
op1, · · · , opm jsou operace (ktere mohou mıt i nulovou aritu – pak jde o konstanty).
´ ´
α(i,j) je bud’ X nebo atom (opakovane vyskyty jsou rozliseny indexy).
´ ´ ˇ
Pro kazdy atom ati je dana jeho syntakticka domena (mnozina) Ai.
ˇ ´ ´ ´ ´ ˇ

11. 5
Abstraktnı syntax programovacıch jazyku
´ ´ ˚
• Abstraktnı syntakticka rovnice: rovnice tvaru
´ ´
X ::= at1 | · · · | atn | op1(α(1,1), . . . , α(1,n1)) | · · · | opm(α(m,1), . . . , α(m,nm))
kde
at1, · · · , atn jsou atomy.
op1, · · · , opm jsou operace (ktere mohou mıt i nulovou aritu – pak jde o konstanty).
´ ´
α(i,j) je bud’ X nebo atom (opakovane vyskyty jsou rozliseny indexy).
´ ´ ˇ
Pro kazdy atom ati je dana jeho syntakticka domena (mnozina) Ai.
ˇ ´ ´ ´ ´ ˇ
• Pr´klad:
ˇı
X ::= num | ω | X0+X1 | X0−X1
Syntaktickou domenou atomu num jsou dekadicke zapisy celych c´sel, ω je konstanta.
´ ´ ´ ´ ˇı

12. 6
Syntakticke stromy
´
• Uvazme abstraktnı syntaktickou rovnici
ˇ ´
X ::= at1 | · · · | atn | op1(α(1,1), . . . , α(1,n1)) | · · · | opm(α(m,1), . . . , α(m,nm))
• Mnozina syntaktickych stromu pro X je definovana induktivne:
ˇ ´ ˚ ´ ˇ
Je-li a prvek syntakticke domeny nektereho z atomu at1, · · · , atn, je strom s jedinym uzlem
´ ´ ˇ ´ ˚ ´
a syntakticky strom pro X vysky 0.
´ ´ˇ
Je-li op konstanta, je strom s jedinym uzlem op syntakticky strom pro X vysky 0.
´ ´ ´ˇ
Je-li op operace arity n ≥ 1 s argumenty α1, · · · , αn, je strom s korenem op a n naslednıky,
ˇ ´ ´
kde i-ty naslednık je bud’
´ ´ ´
∗ koren syntaktickeho stromu pro X, je-li αi = X,
ˇ ´
∗ prvek syntakticke domeny atomu at, je-li αi = at.
´ ´
take syntaktickym stromem pro X vysky k + 1, kde k je maximum z vysek naslednıku korene
´ ´ ´ˇ ´ˇ ´ ´ ˚ ˇ
(prvky syntaktickych domen atomu majı vysku 0).
´ ´ ˚ ´ ´ˇ

13. 6
Syntakticke stromy
´
• Uvazme abstraktnı syntaktickou rovnici
ˇ ´
X ::= at1 | · · · | atn | op1(α(1,1), . . . , α(1,n1)) | · · · | opm(α(m,1), . . . , α(m,nm))
• Mnozina syntaktickych stromu pro X je definovana induktivne:
ˇ ´ ˚ ´ ˇ
Je-li a prvek syntakticke domeny nektereho z atomu at1, · · · , atn, je strom s jedinym uzlem
´ ´ ˇ ´ ˚ ´
a syntakticky strom pro X vysky 0.
´ ´ˇ
Je-li op konstanta, je strom s jedinym uzlem op syntakticky strom pro X vysky 0.
´ ´ ´ˇ
Je-li op operace arity n ≥ 1 s argumenty α1, · · · , αn, je strom s korenem op a n naslednıky,
ˇ ´ ´
kde i-ty naslednık je bud’
´ ´ ´
∗ koren syntaktickeho stromu pro X, je-li αi = X,
ˇ ´
∗ prvek syntakticke domeny atomu at, je-li αi = at.
´ ´
take syntaktickym stromem pro X vysky k + 1, kde k je maximum z vysek naslednıku korene
´ ´ ´ˇ ´ˇ ´ ´ ˚ ˇ
(prvky syntaktickych domen atomu majı vysku 0).
´ ´ ˚ ´ ´ˇ
• U syntaktickych stromu rozlisujeme poradı naslednıku.
´ ˚ ˇ ˇ ´ ´ ´ ˚

14. 6
Syntakticke stromy
´
• Uvazme abstraktnı syntaktickou rovnici
ˇ ´
X ::= at1 | · · · | atn | op1(α(1,1), . . . , α(1,n1)) | · · · | opm(α(m,1), . . . , α(m,nm))
• Mnozina syntaktickych stromu pro X je definovana induktivne:
ˇ ´ ˚ ´ ˇ
Je-li a prvek syntakticke domeny nektereho z atomu at1, · · · , atn, je strom s jedinym uzlem
´ ´ ˇ ´ ˚ ´
a syntakticky strom pro X vysky 0.
´ ´ˇ
Je-li op konstanta, je strom s jedinym uzlem op syntakticky strom pro X vysky 0.
´ ´ ´ˇ
Je-li op operace arity n ≥ 1 s argumenty α1, · · · , αn, je strom s korenem op a n naslednıky,
ˇ ´ ´
kde i-ty naslednık je bud’
´ ´ ´
∗ koren syntaktickeho stromu pro X, je-li αi = X,
ˇ ´
∗ prvek syntakticke domeny atomu at, je-li αi = at.
´ ´
take syntaktickym stromem pro X vysky k + 1, kde k je maximum z vysek naslednıku korene
´ ´ ´ˇ ´ˇ ´ ´ ˚ ˇ
(prvky syntaktickych domen atomu majı vysku 0).
´ ´ ˚ ´ ´ˇ
• U syntaktickych stromu rozlisujeme poradı naslednıku.
´ ˚ ˇ ˇ ´ ´ ´ ˚
• Je mozne definovat i systemy syntaktickych rovnic, kde mnozina syntaktickych stromu urc ´
ˇ ´ ´ ´ ˇ ´ ˚ ˇena
jednou rovnicı definuje syntaktickou domenu atomu jine rovnice.
´ ´ ´

15. 7
Pr´klad definice abstraktnı syntaxe
ˇı ´
• X ::= num | X0+X1 | X0−X1
Syntaktickou domenou atomu num jsou dekadicke zapisy celych c´sel.
´ ´ ´ ´ ˇı

16. 7
Pr´klad definice abstraktnı syntaxe
ˇı ´
• X ::= num | X0+X1 | X0−X1
Syntaktickou domenou atomu num jsou dekadicke zapisy celych c´sel.
´ ´ ´ ´ ˇı
• Y ::= color(X0, X1, X2) | Y0#Y1 | Y0&Y1
Syntaktickou domenou atomu X je mnozina vsech syntaktickych stromu pro X.
´ ˇ ˇ ´ ˚

17. 7
Pr´klad definice abstraktnı syntaxe
ˇı ´
• X ::= num | X0+X1 | X0−X1
Syntaktickou domenou atomu num jsou dekadicke zapisy celych c´sel.
´ ´ ´ ´ ˇı
• Y ::= color(X0, X1, X2) | Y0#Y1 | Y0&Y1
Syntaktickou domenou atomu X je mnozina vsech syntaktickych stromu pro X.
´ ˇ ˇ ´ ˚
+ &
− # color
8
1 4 color color 1 2 4
2 + 4 3 + 7
− 3 8
8
1 4

18. 8
Konkretnı syntax programovacıch jazyku
´ ´ ´ ˚
Urc
ˇuje, jak jednoznac ˇ zapisovat syntakticke stromy jako retezce symbolu.
ˇne ´ ˇ ˇ ˚

19. 8
Konkretnı syntax programovacıch jazyku
´ ´ ´ ˚
Urc
ˇuje, jak jednoznac ˇ zapisovat syntakticke stromy jako retezce symbolu.
ˇne ´ ˇ ˇ ˚
• Aritmeticke vyrazy
´ ´
+
−
8
1 4
Zapis 1 − 4 + 8 nenı jednoznac ´.
´ ´ ˇny

20. 8
Konkretnı syntax programovacıch jazyku
´ ´ ´ ˚
Urc
ˇuje, jak jednoznac ˇ zapisovat syntakticke stromy jako retezce symbolu.
ˇne ´ ˇ ˇ ˚
• Aritmeticke vyrazy
´ ´
+
−
8
1 4
Zapis 1 − 4 + 8 nenı jednoznac ´.
´ ´ ˇny
prefixova notace:
´ + − 148

21. 8
Konkretnı syntax programovacıch jazyku
´ ´ ´ ˚
Urc
ˇuje, jak jednoznac ˇ zapisovat syntakticke stromy jako retezce symbolu.
ˇne ´ ˇ ˇ ˚
• Aritmeticke vyrazy
´ ´
+
−
8
1 4
Zapis 1 − 4 + 8 nenı jednoznac ´.
´ ´ ˇny
prefixova notace:
´ + − 148
postfixova notace:
´ 841 − +

22. 8
Konkretnı syntax programovacıch jazyku
´ ´ ´ ˚
Urc
ˇuje, jak jednoznac ˇ zapisovat syntakticke stromy jako retezce symbolu.
ˇne ´ ˇ ˇ ˚
• Aritmeticke vyrazy
´ ´
+
−
8
1 4
Zapis 1 − 4 + 8 nenı jednoznac ´.
´ ´ ˇny
prefixova notace:
´ + − 148
postfixova notace:
´ 841 − +
zavorky:
´ (1 − 4)+8

23. 8
Konkretnı syntax programovacıch jazyku
´ ´ ´ ˚
Urc
ˇuje, jak jednoznac ˇ zapisovat syntakticke stromy jako retezce symbolu.
ˇne ´ ˇ ˇ ˚
• Aritmeticke vyrazy
´ ´
+
−
8
1 4
Zapis 1 − 4 + 8 nenı jednoznac ´.
´ ´ ˇny
prefixova notace:
´ + − 148
postfixova notace:
´ 841 − +
zavorky:
´ (1 − 4)+8
• Volitelna else klauzule pr´kazu if − then − else
´ ˇı

24. 8
Konkretnı syntax programovacıch jazyku
´ ´ ´ ˚
Urc
ˇuje, jak jednoznac ˇ zapisovat syntakticke stromy jako retezce symbolu.
ˇne ´ ˇ ˇ ˚
• Aritmeticke vyrazy
´ ´
+
−
8
1 4
Zapis 1 − 4 + 8 nenı jednoznac ´.
´ ´ ˇny
prefixova notace:
´ + − 148
postfixova notace:
´ 841 − +
zavorky:
´ (1 − 4)+8
• Volitelna else klauzule pr´kazu if − then − else
´ ˇı
zavorky
´

25. 8
Konkretnı syntax programovacıch jazyku
´ ´ ´ ˚
Urc
ˇuje, jak jednoznac ˇ zapisovat syntakticke stromy jako retezce symbolu.
ˇne ´ ˇ ˇ ˚
• Aritmeticke vyrazy
´ ´
+
−
8
1 4
Zapis 1 − 4 + 8 nenı jednoznac ´.
´ ´ ˇny
prefixova notace:
´ + − 148
postfixova notace:
´ 841 − +
zavorky:
´ (1 − 4)+8
• Volitelna else klauzule pr´kazu if − then − else
´ ˇı
zavorky
´
klıc ´ slovo fi
´ ˇove

26. 9
Odvozovacı systemy, dukazy a dokazatelna tvrzenı
´ ´ ˚ ´ ´
• Odvozovacı system je dan konec
´ ´ ´ ˇnou mnozinou schemat axiomu a odvozovacıch pravidel tvaru
ˇ ´ ˚ ´
predpoklad1 · · · predpokladn
ˇ ˇ
podmınky
´
zaver
´ ˇ
• Dukaz je konec ´ strom, jehoz listy jsou instance axiomu a vnitrnı uzly instance pravidel.
˚ ˇny ˇ ˚ ˇ ´
• Tvrzenı α je dokazatelne, jestlize existuje dukaz s korenem α.
´ ´ ˇ ˚ ˇ
• Dukazove stromy je zvykem psat „korenem dolu“ (tj. „obracene“ nez syntakticke stromy).
˚ ´ ´ ˇ ˚ ´ ˇ ˇ ´

27. 10
Odvozovacı system vyrokove logiky
´ ´ ´ ´

28. 10
Odvozovacı system vyrokove logiky
´ ´ ´ ´
• Abstraktnı syntax formulı vyrokove logiky:
´ ´ ´ ´
ϕ ::= vyrok | ϕ0→ϕ1 | ¬ϕ
´
´ ´ ´ ˇetna mnozina atomickych vyroku {A, B, C . . .}.
kde syntakticka domena atomu vyrok je spoc ´ ˇ ´ ´ ˚

29. 10
Odvozovacı system vyrokove logiky
´ ´ ´ ´
• Abstraktnı syntax formulı vyrokove logiky:
´ ´ ´ ´
ϕ ::= vyrok | ϕ0→ϕ1 | ¬ϕ
´
´ ´ ´ ˇetna mnozina atomickych vyroku {A, B, C . . .}.
kde syntakticka domena atomu vyrok je spoc ´ ˇ ´ ´ ˚
• Schemata axiomu odvozovacıho systemu vyrokove logiky
´ ˚ ´ ´ ´ ´
ϕ → (ψ → ϕ)
(ϕ → (ψ → ξ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → ξ))
(¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ)

30. 10
Odvozovacı system vyrokove logiky
´ ´ ´ ´
• Abstraktnı syntax formulı vyrokove logiky:
´ ´ ´ ´
ϕ ::= vyrok | ϕ0→ϕ1 | ¬ϕ
´
´ ´ ´ ˇetna mnozina atomickych vyroku {A, B, C . . .}.
kde syntakticka domena atomu vyrok je spoc ´ ˇ ´ ´ ˚
• Schemata axiomu odvozovacıho systemu vyrokove logiky
´ ˚ ´ ´ ´ ´
ϕ → (ψ → ϕ)
(ϕ → (ψ → ξ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → ξ))
(¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ)
• Odvozovacı pravidlo modus ponens
´
ϕ ϕ→ψ
ψ

31. 10
Odvozovacı system vyrokove logiky
´ ´ ´ ´
• Abstraktnı syntax formulı vyrokove logiky:
´ ´ ´ ´
ϕ ::= vyrok | ϕ0→ϕ1 | ¬ϕ
´
´ ´ ´ ˇetna mnozina atomickych vyroku {A, B, C . . .}.
kde syntakticka domena atomu vyrok je spoc ´ ˇ ´ ´ ˚
• Schemata axiomu odvozovacıho systemu vyrokove logiky
´ ˚ ´ ´ ´ ´
ϕ → (ψ → ϕ)
(ϕ → (ψ → ξ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → ξ))
(¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ)
• Odvozovacı pravidlo modus ponens
´
ϕ ϕ→ψ
ψ
• Pr´klad: A → A je dokazatelna formule.
ˇı ´
A → ((A → A) → A) (A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A))
A → (A → A) (A → (A → A)) → (A → A)
A→A

32. 11
Indukce k vysce stromu
´ˇ
• Bud’ M (nejaka) mnozina stromu konec ´ vysky a V (nejaka) vlastnost, ktera je pro kazdy
ˇ ´ ˇ ˚ ˇne ´ ˇ ˇ ´ ´ ˇ ´
strom T ∈ M bud’ pravdiva nebo nepravdiva.
´ ´

33. 11
Indukce k vysce stromu
´ˇ
• Bud’ M (nejaka) mnozina stromu konec ´ vysky a V (nejaka) vlastnost, ktera je pro kazdy
ˇ ´ ˇ ˚ ˇne ´ ˇ ˇ ´ ´ ˇ ´
strom T ∈ M bud’ pravdiva nebo nepravdiva.
´ ´
• Tvrzenı o indukci k vysce stromu: Necht’ je splnena nasledujıcı podmınka:
´ ´ˇ ˇ ´ ´ ´ ´
Pro kazde n ∈ N0:
ˇ ´
Je-li V je pravdiva pro kazde T ∈ M vysky mens´ nez n, pak V je pravdiva pro kazde
´ ˇ ´ ´ˇ ˇı ˇ ´ ˇ ´
T ∈ M vysky prave n.
´ˇ ´ ˇ
Pak V je pravdiva pro vsechny stromy z M.
´ ˇ

34. 11
Indukce k vysce stromu
´ˇ
• Bud’ M (nejaka) mnozina stromu konec ´ vysky a V (nejaka) vlastnost, ktera je pro kazdy
ˇ ´ ˇ ˚ ˇne ´ ˇ ˇ ´ ´ ˇ ´
strom T ∈ M bud’ pravdiva nebo nepravdiva.
´ ´
• Tvrzenı o indukci k vysce stromu: Necht’ je splnena nasledujıcı podmınka:
´ ´ˇ ˇ ´ ´ ´ ´
Pro kazde n ∈ N0:
ˇ ´
Je-li V je pravdiva pro kazde T ∈ M vysky mens´ nez n, pak V je pravdiva pro kazde
´ ˇ ´ ´ˇ ˇı ˇ ´ ˇ ´
T ∈ M vysky prave n.
´ˇ ´ ˇ
Pak V je pravdiva pro vsechny stromy z M.
´ ˇ
• Strukturalnı indukce: indukce k vysce (syntaktickeho) stromu, kde M je mnozina vsech
´ ´ ´ˇ ´ ˇ ˇ
syntaktickych stromu urc ´ danou abstraktnı syntaktickou rovnicı.
´ ˚ ˇena ´ ´

35. 11
Indukce k vysce stromu
´ˇ
• Bud’ M (nejaka) mnozina stromu konec ´ vysky a V (nejaka) vlastnost, ktera je pro kazdy
ˇ ´ ˇ ˚ ˇne ´ ˇ ˇ ´ ´ ˇ ´
strom T ∈ M bud’ pravdiva nebo nepravdiva.
´ ´
• Tvrzenı o indukci k vysce stromu: Necht’ je splnena nasledujıcı podmınka:
´ ´ˇ ˇ ´ ´ ´ ´
Pro kazde n ∈ N0:
ˇ ´
Je-li V je pravdiva pro kazde T ∈ M vysky mens´ nez n, pak V je pravdiva pro kazde
´ ˇ ´ ´ˇ ˇı ˇ ´ ˇ ´
T ∈ M vysky prave n.
´ˇ ´ ˇ
Pak V je pravdiva pro vsechny stromy z M.
´ ˇ
• Strukturalnı indukce: indukce k vysce (syntaktickeho) stromu, kde M je mnozina vsech
´ ´ ´ˇ ´ ˇ ˇ
syntaktickych stromu urc ´ danou abstraktnı syntaktickou rovnicı.
´ ˚ ˇena ´ ´
• Indukce k vysce odvozenı: indukce k vysce (dukazoveho) stromu, kde M je mnozina vsech
´ˇ ´ ´ˇ ˚ ´ ˇ ˇ
dukazu daneho odvozovacıho systemu.
˚ ˚ ´ ´ ´

36. 12
Abstraktnı syntaxe jazyka IMP
´

37. 12
Abstraktnı syntaxe jazyka IMP
´
• Zakladnı syntakticke domeny
´ ´ ´ ´
Num = {0, 1, −1, 2, −2, . . .}
Bool = {tt, ff}
Var = {A, B, C, . . .}

38. 12
Abstraktnı syntaxe jazyka IMP
´
• Zakladnı syntakticke domeny
´ ´ ´ ´
Num = {0, 1, −1, 2, −2, . . .}
Bool = {tt, ff}
Var = {A, B, C, . . .}
• Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
a ::= n | X | a0+a1 | a0−a1 | a0∗a1
kde n ∈ Num a X ∈ Var.

39. 12
Abstraktnı syntaxe jazyka IMP
´
• Zakladnı syntakticke domeny
´ ´ ´ ´
Num = {0, 1, −1, 2, −2, . . .}
Bool = {tt, ff}
Var = {A, B, C, . . .}
• Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
a ::= n | X | a0+a1 | a0−a1 | a0∗a1
kde n ∈ Num a X ∈ Var.
• Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
b ::= t | a0=a1 | a0≤a1 | not b | b0 and b1 | b0 or b1
kde t ∈ Bool a a0, a1 ∈ Aexp.

40. 12
Abstraktnı syntaxe jazyka IMP
´
• Zakladnı syntakticke domeny
´ ´ ´ ´
Num = {0, 1, −1, 2, −2, . . .}
Bool = {tt, ff}
Var = {A, B, C, . . .}
• Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
a ::= n | X | a0+a1 | a0−a1 | a0∗a1
kde n ∈ Num a X ∈ Var.
• Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
b ::= t | a0=a1 | a0≤a1 | not b | b0 and b1 | b0 or b1
kde t ∈ Bool a a0, a1 ∈ Aexp.
• Pr´kazy Com
ˇı
c ::= skip | X := a | c0;c1 | if b then c0 else c1 | while b do c
kde X ∈ Var, a ∈ Aexp a b ∈ Bexp.

41. 13
Operac ´ semantika
ˇnı ´
• Programum v danem jazyce je prirazen prechodovy system, ktery popisuje vypoc ´ procesy
˚ ´ ˇˇ ˇ ´ ´ ´ ´ ˇetnı
jednotlivych programu.
´ ˚
• Prechodovy system: trojice (S, A, →), kde
ˇ ´ ´
S je mnozina konfiguracı (ne nutne konec ´ !)
ˇ ´ ˇ ˇna
A je mnozina akcı
ˇ ´
→⊆S×A×S je prechodova relace
ˇ ´

42. 13
Operac ´ semantika
ˇnı ´
• Programum v danem jazyce je prirazen prechodovy system, ktery popisuje vypoc ´ procesy
˚ ´ ˇˇ ˇ ´ ´ ´ ´ ˇetnı
jednotlivych programu.
´ ˚
• Prechodovy system: trojice (S, A, →), kde
ˇ ´ ´
S je mnozina konfiguracı (ne nutne konec ´ !)
ˇ ´ ˇ ˇna
A je mnozina akcı
ˇ ´
→⊆S×A×S je prechodova relace
ˇ ´
• Jednotlive „typy“ operac ´ semantiky se lis´ definicı mnoziny konfiguracı a prechodove relace
´ ˇnı ´ ˇı ´ ˇ ´ ˇ ´
SMC stroj: Stack – Memory – Control stack
λ-kalkul
SOS: Strukturalnı Operac ´ Semantika
´ ´ ˇnı ´

43. 14
SOS semantika IMP prvnıho typu („big step“)
´ ´
• Stav je zobrazenı σ : Var → Z, mnozina vsech stavu se znac´ Σ.
´ ˇ ˇ ˚ ˇı
• Cılem je definovat prechodovy system, kde
´ ˇ ´ ´
mnozina konfiguracı je Σ,
ˇ ´
mnozina akcı je Com,
ˇ ´
c
prechodova relace odpovıda „vyslednemu efektu“ programu, tj. σ → σ prave kdyz vypoc
ˇ ´ ´ ´ ´ ´ ˚ ´ ˇ ˇ ´ ˇet
programu c zahajeny ve stavu σ skonc´ a prejde do stavu σ .
´ ´ ˇı ˇ

44. 14
SOS semantika IMP prvnıho typu („big step“)
´ ´
• Stav je zobrazenı σ : Var → Z, mnozina vsech stavu se znac´ Σ.
´ ˇ ˇ ˚ ˇı
• Cılem je definovat prechodovy system, kde
´ ˇ ´ ´
mnozina konfiguracı je Σ,
ˇ ´
mnozina akcı je Com,
ˇ ´
c
prechodova relace odpovıda „vyslednemu efektu“ programu, tj. σ → σ prave kdyz vypoc
ˇ ´ ´ ´ ´ ´ ˚ ´ ˇ ˇ ´ ˇet
programu c zahajeny ve stavu σ skonc´ a prejde do stavu σ .
´ ´ ˇı ˇ
• Za tımto uc
´ ´ ˇelem definujeme odvozovacı systemy pro tri relace:
´ ´ ˇ
→A ⊆ Aexp × Σ × Z; prvky zapisujeme ve tvaru a, σ →A n.
→B ⊆ Bexp × Σ × T; prvky zapisujeme ve tvaru b, σ →B t.
→C ⊆ Com × Σ × Σ; prvky zapisujeme ve tvaru c, σ →C σ .
Indexy A, B, C budou obvykle vynechany.
´

45. 14
SOS semantika IMP prvnıho typu („big step“)
´ ´
• Stav je zobrazenı σ : Var → Z, mnozina vsech stavu se znac´ Σ.
´ ˇ ˇ ˚ ˇı
• Cılem je definovat prechodovy system, kde
´ ˇ ´ ´
mnozina konfiguracı je Σ,
ˇ ´
mnozina akcı je Com,
ˇ ´
c
prechodova relace odpovıda „vyslednemu efektu“ programu, tj. σ → σ prave kdyz vypoc
ˇ ´ ´ ´ ´ ´ ˚ ´ ˇ ˇ ´ ˇet
programu c zahajeny ve stavu σ skonc´ a prejde do stavu σ .
´ ´ ˇı ˇ
• Za tımto uc
´ ´ ˇelem definujeme odvozovacı systemy pro tri relace:
´ ´ ˇ
→A ⊆ Aexp × Σ × Z; prvky zapisujeme ve tvaru a, σ →A n.
→B ⊆ Bexp × Σ × T; prvky zapisujeme ve tvaru b, σ →B t.
→C ⊆ Com × Σ × Σ; prvky zapisujeme ve tvaru c, σ →C σ .
Indexy A, B, C budou obvykle vynechany.
´
c
• Pak jiz lze definovat: σ → σ
ˇ ⇐⇒ c, σ → σ

46. 15
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
a, σ → n „aritmeticky vyraz a se ve stavu σ vyhodnotı na n ∈ Z“
´ ´ ´

47. 15
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
a, σ → n „aritmeticky vyraz a se ve stavu σ vyhodnotı na n ∈ Z“
´ ´ ´
• n, σ → n

48. 15
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
a, σ → n „aritmeticky vyraz a se ve stavu σ vyhodnotı na n ∈ Z“
´ ´ ´
• n, σ → n
• X, σ → σ(X)

49. 15
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
a, σ → n „aritmeticky vyraz a se ve stavu σ vyhodnotı na n ∈ Z“
´ ´ ´
• n, σ → n
• X, σ → σ(X)
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n = n0 + n1
a0 + a1 , σ → n

50. 15
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
a, σ → n „aritmeticky vyraz a se ve stavu σ vyhodnotı na n ∈ Z“
´ ´ ´
• n, σ → n
• X, σ → σ(X)
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n = n0 + n1
a0 + a1 , σ → n
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n = n0 − n1
a0 − a1 , σ → n
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n = n0 ∗ n1
a0 ∗ a1 , σ → n

51. 16
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
b, σ → t „pravdivostnı vyraz b se ve stavu σ vyhodnotı na t ∈ T“
´ ´ ´

52. 16
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
b, σ → t „pravdivostnı vyraz b se ve stavu σ vyhodnotı na t ∈ T“
´ ´ ´
• tt, σ → true
• ff, σ → false

53. 16
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
b, σ → t „pravdivostnı vyraz b se ve stavu σ vyhodnotı na t ∈ T“
´ ´ ´
• tt, σ → true
• ff, σ → false
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0=n1
a0 = a1, σ → true
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0=n1
a0 = a1, σ → false

54. 16
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
b, σ → t „pravdivostnı vyraz b se ve stavu σ vyhodnotı na t ∈ T“
´ ´ ´
• tt, σ → true
• ff, σ → false
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0=n1
a0 = a1, σ → true
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0=n1
a0 = a1, σ → false
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0≤n1
a0 ≤ a1, σ → true
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0>n1
a0 ≤ a1, σ → false

55. 16
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
b, σ → t „pravdivostnı vyraz b se ve stavu σ vyhodnotı na t ∈ T“
´ ´ ´
b, σ → false
• tt, σ → true •
not b, σ → true
• ff, σ → false b, σ → true
•
not b, σ → false
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0=n1
a0 = a1, σ → true
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0=n1
a0 = a1, σ → false
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0≤n1
a0 ≤ a1, σ → true
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0>n1
a0 ≤ a1, σ → false

56. 16
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
b, σ → t „pravdivostnı vyraz b se ve stavu σ vyhodnotı na t ∈ T“
´ ´ ´
b, σ → false
• tt, σ → true •
not b, σ → true
• ff, σ → false b, σ → true
•
not b, σ → false
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0=n1
a0 = a1, σ → true b0, σ → t0 b1, σ → t1
• t0=true ∧ t1=true
b0 and b1, σ → true
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0=n1
a0 = a1, σ → false b0, σ → t0 b1, σ → t1
• t0=false ∨ t1=false
b0 and b1, σ → false
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0≤n1
a0 ≤ a1, σ → true
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0>n1
a0 ≤ a1, σ → false

57. 16
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
b, σ → t „pravdivostnı vyraz b se ve stavu σ vyhodnotı na t ∈ T“
´ ´ ´
b, σ → false
• tt, σ → true •
not b, σ → true
• ff, σ → false b, σ → true
•
not b, σ → false
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0=n1
a0 = a1, σ → true b0, σ → t0 b1, σ → t1
• t0=true ∧ t1=true
b0 and b1, σ → true
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0=n1
a0 = a1, σ → false b0, σ → t0 b1, σ → t1
• t0=false ∨ t1=false
b0 and b1, σ → false
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0≤n1
a0 ≤ a1, σ → true b0, σ → t0 b1, σ → t1
• t0=true ∨ t1=true
b0 or b1, σ → true
a0 , σ → n 0 a1 , σ → n 1
• n0>n1
a0 ≤ a1, σ → false b0, σ → t0 b1, σ → t1
• t0=false ∧ t1=false
b0 or b1, σ → false

58. 17
Pr´kazy Com
ˇı
c, σ → σ „pr´kaz c aktivovany ve stavu σ skonc´ ve stavu σ “
ˇı ´ ˇı

59. 17
Pr´kazy Com
ˇı
c, σ → σ „pr´kaz c aktivovany ve stavu σ skonc´ ve stavu σ “
ˇı ´ ˇı
• skip, σ → σ

60. 17
Pr´kazy Com
ˇı
c, σ → σ „pr´kaz c aktivovany ve stavu σ skonc´ ve stavu σ “
ˇı ´ ˇı
• skip, σ → σ
a, σ → n
•
X := a, σ → σ[n/X]

61. 17
Pr´kazy Com
ˇı
c, σ → σ „pr´kaz c aktivovany ve stavu σ skonc´ ve stavu σ “
ˇı ´ ˇı
• skip, σ → σ
a, σ → n
•
X := a, σ → σ[n/X]
c0, σ → σ c1, σ → σ
•
c0; c1, σ → σ

62. 17
Pr´kazy Com
ˇı
c, σ → σ „pr´kaz c aktivovany ve stavu σ skonc´ ve stavu σ “
ˇı ´ ˇı
• skip, σ → σ
a, σ → n
•
X := a, σ → σ[n/X]
c0, σ → σ c1, σ → σ
•
c0; c1, σ → σ
b, σ → true c0, σ → σ b, σ → false c1, σ → σ
•
if b then c0 else c1, σ → σ if b then c0 else c1, σ → σ

63. 17
Pr´kazy Com
ˇı
c, σ → σ „pr´kaz c aktivovany ve stavu σ skonc´ ve stavu σ “
ˇı ´ ˇı
• skip, σ → σ
a, σ → n
•
X := a, σ → σ[n/X]
c0, σ → σ c1, σ → σ
•
c0; c1, σ → σ
b, σ → true c0, σ → σ b, σ → false c1, σ → σ
•
if b then c0 else c1, σ → σ if b then c0 else c1, σ → σ
b, σ → false b, σ → true c, σ → σ while b do c, σ →σ
•
while b do c, σ → σ while b do c, σ → σ

64. 18
Pr´klad dukazoveho stromu v SOS semantice 1. typu
ˇı ˚ ´ ´
Uvazme program while A ≤ 2 do A := A + C
ˇ

65. 18
Pr´klad dukazoveho stromu v SOS semantice 1. typu
ˇı ˚ ´ ´
Uvazme program while A ≤ 2 do A := A + C
ˇ
• Stav σ je definovan takto: σ(A) = 1, σ(C) = 2, a pro A = B = C je σ(B) = 10. Pak
´
while A ≤ 2 do A := A + C, σ → σ[3/A], nebot’
A, σ → 1 C, σ → 2 A, σ[3/A] → 3 2, σ[3/A] → 2
A, σ → 1 2, σ → 2 A + C, σ → 3 A ≤ 2, σ[3/A] → false
A ≤ 2, σ → true A := A + C, σ → σ[3/A] while A ≤ 2 do A := A + C, σ[3/A] → σ[3/A]
while A ≤ 2 do A := A + C, σ → σ[3/A]

66. 18
Pr´klad dukazoveho stromu v SOS semantice 1. typu
ˇı ˚ ´ ´
Uvazme program while A ≤ 2 do A := A + C
ˇ
• Stav σ je definovan takto: σ(A) = 1, σ(C) = 2, a pro A = B = C je σ(B) = 10. Pak
´
while A ≤ 2 do A := A + C, σ → σ[3/A], nebot’
A, σ → 1 C, σ → 2 A, σ[3/A] → 3 2, σ[3/A] → 2
A, σ → 1 2, σ → 2 A + C, σ → 3 A ≤ 2, σ[3/A] → false
A ≤ 2, σ → true A := A + C, σ → σ[3/A] while A ≤ 2 do A := A + C, σ[3/A] → σ[3/A]
while A ≤ 2 do A := A + C, σ → σ[3/A]
• Stav σ = σ[0/C]. Dukazovy strom s korenem tvaru while A ≤ 2 do A := A + C, σ
˚ ´ ˇ → σ
sestrojit nelze (pro zadne σ ).
ˇ´ ´

67. 19
SOS semantika prvnıho typu je deterministicka
´ ´ ´
Veta 1.
ˇ
1. Pro kazde a ∈ Aexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno n ∈ Z takove, ze a, σ → n.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
2. Pro kazde b ∈ Bexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno t ∈ T takove, ze b, σ → t.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
3. Pro kazde c ∈ Com a σ ∈ Σ existuje nejvyse jedno σ ∈ Σ takove, ze c, σ → σ .
ˇ ´ ´ˇ ´ ˇ

68. 19
SOS semantika prvnıho typu je deterministicka
´ ´ ´
Veta 1.
ˇ
1. Pro kazde a ∈ Aexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno n ∈ Z takove, ze a, σ → n.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
2. Pro kazde b ∈ Bexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno t ∈ T takove, ze b, σ → t.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
3. Pro kazde c ∈ Com a σ ∈ Σ existuje nejvyse jedno σ ∈ Σ takove, ze c, σ → σ .
ˇ ´ ´ˇ ´ ˇ
Dukaz. 1. a 2. indukcı ke strukture a a b, 3. indukcı k vysce odvozenı c, σ → σ .
˚ ´ ˇ ´ ´ˇ ´

69. 19
SOS semantika prvnıho typu je deterministicka
´ ´ ´
Veta 1.
ˇ
1. Pro kazde a ∈ Aexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno n ∈ Z takove, ze a, σ → n.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
2. Pro kazde b ∈ Bexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno t ∈ T takove, ze b, σ → t.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
3. Pro kazde c ∈ Com a σ ∈ Σ existuje nejvyse jedno σ ∈ Σ takove, ze c, σ → σ .
ˇ ´ ´ˇ ´ ˇ
Dukaz. 1. a 2. indukcı ke strukture a a b, 3. indukcı k vysce odvozenı c, σ → σ .
˚ ´ ˇ ´ ´ˇ ´
ad 1.
• a ≡ n. Pak n, σ → n dle definice.

70. 19
SOS semantika prvnıho typu je deterministicka
´ ´ ´
Veta 1.
ˇ
1. Pro kazde a ∈ Aexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno n ∈ Z takove, ze a, σ → n.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
2. Pro kazde b ∈ Bexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno t ∈ T takove, ze b, σ → t.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
3. Pro kazde c ∈ Com a σ ∈ Σ existuje nejvyse jedno σ ∈ Σ takove, ze c, σ → σ .
ˇ ´ ´ˇ ´ ˇ
Dukaz. 1. a 2. indukcı ke strukture a a b, 3. indukcı k vysce odvozenı c, σ → σ .
˚ ´ ˇ ´ ´ˇ ´
ad 1.
• a ≡ n. Pak n, σ → n dle definice.
• a ≡ X. Pak X, σ → σ(X) dle definice.

71. 19
SOS semantika prvnıho typu je deterministicka
´ ´ ´
Veta 1.
ˇ
1. Pro kazde a ∈ Aexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno n ∈ Z takove, ze a, σ → n.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
2. Pro kazde b ∈ Bexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno t ∈ T takove, ze b, σ → t.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
3. Pro kazde c ∈ Com a σ ∈ Σ existuje nejvyse jedno σ ∈ Σ takove, ze c, σ → σ .
ˇ ´ ´ˇ ´ ˇ
Dukaz. 1. a 2. indukcı ke strukture a a b, 3. indukcı k vysce odvozenı c, σ → σ .
˚ ´ ˇ ´ ´ˇ ´
ad 1.
• a ≡ n. Pak n, σ → n dle definice.
• a ≡ X. Pak X, σ → σ(X) dle definice.
• a ≡ a0 + a1. Podle indukc ´ho predpokladu existuje prave jedno n0 takove, ze a0, σ → n0,
ˇnı ˇ ˇ ´ ˇ
a prave jedno n1 takove, ze a1, σ → n1. Proto a0 + a1, σ → n, kde n = n0 + n1.
´ ˇ ´ ˇ

72. 19
SOS semantika prvnıho typu je deterministicka
´ ´ ´
Veta 1.
ˇ
1. Pro kazde a ∈ Aexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno n ∈ Z takove, ze a, σ → n.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
2. Pro kazde b ∈ Bexp a σ ∈ Σ existuje prave jedno t ∈ T takove, ze b, σ → t.
ˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ
3. Pro kazde c ∈ Com a σ ∈ Σ existuje nejvyse jedno σ ∈ Σ takove, ze c, σ → σ .
ˇ ´ ´ˇ ´ ˇ
Dukaz. 1. a 2. indukcı ke strukture a a b, 3. indukcı k vysce odvozenı c, σ → σ .
˚ ´ ˇ ´ ´ˇ ´
ad 1.
• a ≡ n. Pak n, σ → n dle definice.
• a ≡ X. Pak X, σ → σ(X) dle definice.
• a ≡ a0 + a1. Podle indukc ´ho predpokladu existuje prave jedno n0 takove, ze a0, σ → n0,
ˇnı ˇ ˇ ´ ˇ
a prave jedno n1 takove, ze a1, σ → n1. Proto a0 + a1, σ → n, kde n = n0 + n1.
´ ˇ ´ ˇ
• a ≡ a0 − a1. Podobne.
ˇ
• a ≡ a0 ∗ a1. Podobne.
ˇ

73. 20
ad 3. Indukcı k vysce odvozenı ukazeme, ze pokud pro dane c a σ existuje (nejake) σ takove,
´ ´ˇ ´ ´ˇ ˇ ´ ˇ ´ ´
ze c, σ → σ , je toto σ urc
ˇ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne

74. 20
ad 3. Indukcı k vysce odvozenı ukazeme, ze pokud pro dane c a σ existuje (nejake) σ takove,
´ ´ˇ ´ ´ˇ ˇ ´ ˇ ´ ´
ze c, σ → σ , je toto σ urc
ˇ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
Necht’ c, σ → σ je koren dukazoveho stromu vysky n ∈ N0. Uvaz´me mozne tvary c.
ˇ ˚ ´ ´ˇ ´ ˇı ˇ ´

75. 20
ad 3. Indukcı k vysce odvozenı ukazeme, ze pokud pro dane c a σ existuje (nejake) σ takove,
´ ´ˇ ´ ´ˇ ˇ ´ ˇ ´ ´
ze c, σ → σ , je toto σ urc
ˇ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
Necht’ c, σ → σ je koren dukazoveho stromu vysky n ∈ N0. Uvaz´me mozne tvary c.
ˇ ˚ ´ ´ˇ ´ ˇı ˇ ´
• skip, σ → σ.

76. 20
ad 3. Indukcı k vysce odvozenı ukazeme, ze pokud pro dane c a σ existuje (nejake) σ takove,
´ ´ˇ ´ ´ˇ ˇ ´ ˇ ´ ´
ze c, σ → σ , je toto σ urc
ˇ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
Necht’ c, σ → σ je koren dukazoveho stromu vysky n ∈ N0. Uvaz´me mozne tvary c.
ˇ ˚ ´ ´ˇ ´ ˇı ˇ ´
• skip, σ → σ.
• c ≡ X := a. Pak koren X := a, σ → σ ma naslednıka a, σ → n a platı σ = σ[n/X].
ˇ ´ ´ ´ ´
Podle 1. existuje prave jedno takove n, proto σ je urc
ˇ´ ˇ ´ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne

77. 20
ad 3. Indukcı k vysce odvozenı ukazeme, ze pokud pro dane c a σ existuje (nejake) σ takove,
´ ´ˇ ´ ´ˇ ˇ ´ ˇ ´ ´
ze c, σ → σ , je toto σ urc
ˇ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
Necht’ c, σ → σ je koren dukazoveho stromu vysky n ∈ N0. Uvaz´me mozne tvary c.
ˇ ˚ ´ ´ˇ ´ ˇı ˇ ´
• skip, σ → σ.
• c ≡ X := a. Pak koren X := a, σ → σ ma naslednıka a, σ → n a platı σ = σ[n/X].
ˇ ´ ´ ´ ´
Podle 1. existuje prave jedno takove n, proto σ je urc
ˇ´ ˇ ´ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
• c ≡ c0; c1. Pak koren c0; c1, σ → σ ma naslednıky c0, σ → σ a c1, σ
ˇ ´ ´ ´ → σ . Podle
indukc ´ho predpokladu je σ i σ urc
ˇnı ˇ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne

78. 20
ad 3. Indukcı k vysce odvozenı ukazeme, ze pokud pro dane c a σ existuje (nejake) σ takove,
´ ´ˇ ´ ´ˇ ˇ ´ ˇ ´ ´
ze c, σ → σ , je toto σ urc
ˇ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
Necht’ c, σ → σ je koren dukazoveho stromu vysky n ∈ N0. Uvaz´me mozne tvary c.
ˇ ˚ ´ ´ˇ ´ ˇı ˇ ´
• skip, σ → σ.
• c ≡ X := a. Pak koren X := a, σ → σ ma naslednıka a, σ → n a platı σ = σ[n/X].
ˇ ´ ´ ´ ´
Podle 1. existuje prave jedno takove n, proto σ je urc
ˇ´ ˇ ´ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
• c ≡ c0; c1. Pak koren c0; c1, σ → σ ma naslednıky c0, σ → σ a c1, σ
ˇ ´ ´ ´ → σ . Podle
indukc ´ho predpokladu je σ i σ urc
ˇnı ˇ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
• c ≡ if b then c0 else c1. Pak koren if b then c0 else c1, σ → σ ma bud’ naslednıky b, σ →
ˇ ´ ´ ´
true a c0, σ → σ , nebo b, σ → false a c1, σ → σ . Podle 2. nastava prave jedna z techto
´ ´ ´ ˇ ˇ
moznostı, proto je σ urc
ˇ ´ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne

79. 20
ad 3. Indukcı k vysce odvozenı ukazeme, ze pokud pro dane c a σ existuje (nejake) σ takove,
´ ´ˇ ´ ´ˇ ˇ ´ ˇ ´ ´
ze c, σ → σ , je toto σ urc
ˇ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
Necht’ c, σ → σ je koren dukazoveho stromu vysky n ∈ N0. Uvaz´me mozne tvary c.
ˇ ˚ ´ ´ˇ ´ ˇı ˇ ´
• skip, σ → σ.
• c ≡ X := a. Pak koren X := a, σ → σ ma naslednıka a, σ → n a platı σ = σ[n/X].
ˇ ´ ´ ´ ´
Podle 1. existuje prave jedno takove n, proto σ je urc
ˇ´ ˇ ´ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
• c ≡ c0; c1. Pak koren c0; c1, σ → σ ma naslednıky c0, σ → σ a c1, σ
ˇ ´ ´ ´ → σ . Podle
indukc ´ho predpokladu je σ i σ urc
ˇnı ˇ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
• c ≡ if b then c0 else c1. Pak koren if b then c0 else c1, σ → σ ma bud’ naslednıky b, σ →
ˇ ´ ´ ´
true a c0, σ → σ , nebo b, σ → false a c1, σ → σ . Podle 2. nastava prave jedna z techto
´ ´ ´ ˇ ˇ
moznostı, proto je σ urc
ˇ ´ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne
• c ≡ while b do c. Pak koren while b do c, σ → σ ma bud’ jedineho naslednıka b, σ → false
ˇ ´ ´ ´ ´
a σ = σ, nebo tri naslednıky b, σ → true, c, σ → σ a while b do c, σ → σ . Podle
ˇ ´ ´
2. nastava prave jedna z techto moznostı. V prvnım pr´pade jsme hotovi ihned; v druhem
´ ´ ´ ˇ ˇ ˇ ´ ´ ˇı ˇ ´
pouzijeme indukc ´ predpoklad podle nehoz je σ a σ urc
ˇ ˇnı ˇ ˇ ˇ ˇeno jednoznac ˇ .
ˇne

80. 21
Semanticka ekvivalence vyrazu a pr´kazu (I)
´ ´ ´ ˚ ˇı ˚
• Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
def
a0 ∼ a1 ⇐⇒ (∀n ∈ Z ∀σ ∈ Σ : a0, σ → n ⇐⇒ a1, σ → n)

81. 21
Semanticka ekvivalence vyrazu a pr´kazu (I)
´ ´ ´ ˚ ˇı ˚
• Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
def
a0 ∼ a1 ⇐⇒ (∀n ∈ Z ∀σ ∈ Σ : a0, σ → n ⇐⇒ a1, σ → n)
• Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
def
b0 ∼ b1 ⇐⇒ (∀t ∈ T ∀σ ∈ Σ : b0, σ → t ⇐⇒ b1, σ → t)

82. 21
Semanticka ekvivalence vyrazu a pr´kazu (I)
´ ´ ´ ˚ ˇı ˚
• Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
def
a0 ∼ a1 ⇐⇒ (∀n ∈ Z ∀σ ∈ Σ : a0, σ → n ⇐⇒ a1, σ → n)
• Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
def
b0 ∼ b1 ⇐⇒ (∀t ∈ T ∀σ ∈ Σ : b0, σ → t ⇐⇒ b1, σ → t)
• Pr´kazy Com
ˇı
def
c0 ∼ c1 ⇐⇒ (∀σ, σ ∈ Σ : c0, σ → σ ⇐⇒ c1, σ → σ )

83. 22
Pr´klad ekvivaletnıch programu
ˇı ´ ˚
Dokazeme, ze
´ˇ ˇ while b do c ∼ if b then (c; while b do c) else skip

84. 22
Pr´klad ekvivaletnıch programu
ˇı ´ ˚
Dokazeme, ze
´ˇ ˇ while b do c ∼ if b then (c; while b do c) else skip
• while b do c, σ → σ ⇒ if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ

85. 22
Pr´klad ekvivaletnıch programu
ˇı ´ ˚
Dokazeme, ze
´ˇ ˇ while b do c ∼ if b then (c; while b do c) else skip
• while b do c, σ → σ ⇒ if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ
Jsou dve moznosti:
ˇ ˇ
...
b, σ → false
.
while b do c, σ → σ

86. 22
Pr´klad ekvivaletnıch programu
ˇı ´ ˚
Dokazeme, ze
´ˇ ˇ while b do c ∼ if b then (c; while b do c) else skip
• while b do c, σ → σ ⇒ if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ
Jsou dve moznosti:
ˇ ˇ
... ...
b, σ → false b, σ → false skip, σ → σ
. Pak ale take
´
while b do c, σ → σ if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ

87. 22
Pr´klad ekvivaletnıch programu
ˇı ´ ˚
Dokazeme, ze
´ˇ ˇ while b do c ∼ if b then (c; while b do c) else skip
• while b do c, σ → σ ⇒ if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ
Jsou dve moznosti:
ˇ ˇ
... ...
b, σ → false b, σ → false skip, σ → σ
. Pak ale take
´
while b do c, σ → σ if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ
... ... ...
b, σ → true c, σ → σ while b do c, σ →σ
.
while b do c, σ → σ

88. 22
Pr´klad ekvivaletnıch programu
ˇı ´ ˚
Dokazeme, ze
´ˇ ˇ while b do c ∼ if b then (c; while b do c) else skip
• while b do c, σ → σ ⇒ if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ
Jsou dve moznosti:
ˇ ˇ
... ...
b, σ → false b, σ → false skip, σ → σ
. Pak ale take
´
while b do c, σ → σ if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ
... ... ...
b, σ → true c, σ → σ while b do c, σ →σ
. Pak ale take
´
while b do c, σ → σ
... ...
... c, σ → σ while b do c, σ →σ
b, σ → true c; while b do c, σ → σ
if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ

89. 22
Pr´klad ekvivaletnıch programu
ˇı ´ ˚
Dokazeme, ze
´ˇ ˇ while b do c ∼ if b then (c; while b do c) else skip
• while b do c, σ → σ ⇒ if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ
Jsou dve moznosti:
ˇ ˇ
... ...
b, σ → false b, σ → false skip, σ → σ
. Pak ale take
´
while b do c, σ → σ if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ
... ... ...
b, σ → true c, σ → σ while b do c, σ →σ
. Pak ale take
´
while b do c, σ → σ
... ...
... c, σ → σ while b do c, σ →σ
b, σ → true c; while b do c, σ → σ
if b then (c; while b do c) else skip, σ → σ
• Opac ´ implikace se ukaze podobne.
ˇna ´ˇ ˇ

90. 23
Operac ´ semantika IMP druheho typu („small step“)
ˇnı ´ ´
• Cılem je definovat prechodovy system, kde
´ ˇ ´ ´
mnozina konfiguracı je Com × Σ,
ˇ ´
mnozina akcı je {τ},
ˇ ´
τ
ˇ ´ ´ ´ ´ ˇtu“ programu, tj. c, σ → c , σ prave kdyz
prechodova relace odpovıda „kroku vypoc ˚ ´ ˇ ˇ
program c prejde ze stavu σ vykonanım jedne instrukce do stavu σ a z tohoto stavu se dale
ˇ ´ ´ ´ ´
provadı program c .
´ ´

91. 23
Operac ´ semantika IMP druheho typu („small step“)
ˇnı ´ ´
• Cılem je definovat prechodovy system, kde
´ ˇ ´ ´
mnozina konfiguracı je Com × Σ,
ˇ ´
mnozina akcı je {τ},
ˇ ´
τ
ˇ ´ ´ ´ ´ ˇtu“ programu, tj. c, σ → c , σ prave kdyz
prechodova relace odpovıda „kroku vypoc ˚ ´ ˇ ˇ
program c prejde ze stavu σ vykonanım jedne instrukce do stavu σ a z tohoto stavu se dale
ˇ ´ ´ ´ ´
provadı program c .
´ ´
• Definujeme odvozovacı systemy pro tri relace:
´ ´ ˇ
→A ⊆ (Aexp × Σ) × (Aexp × Σ); prvky zapisujeme ve tvaru a, σ →A a , σ .
→B ⊆ (Bexp × Σ) × (Bexp × Σ); prvky zapisujeme ve tvaru b, σ →B b , σ .
→C ⊆ (Com × Σ) × (Com × Σ); prvky zapisujeme ve tvaru c, σ →C c , σ .
Indexy A, B, C budou obvykle vynechany.
´

92. 23
Operac ´ semantika IMP druheho typu („small step“)
ˇnı ´ ´
• Cılem je definovat prechodovy system, kde
´ ˇ ´ ´
mnozina konfiguracı je Com × Σ,
ˇ ´
mnozina akcı je {τ},
ˇ ´
τ
ˇ ´ ´ ´ ´ ˇtu“ programu, tj. c, σ → c , σ prave kdyz
prechodova relace odpovıda „kroku vypoc ˚ ´ ˇ ˇ
program c prejde ze stavu σ vykonanım jedne instrukce do stavu σ a z tohoto stavu se dale
ˇ ´ ´ ´ ´
provadı program c .
´ ´
• Definujeme odvozovacı systemy pro tri relace:
´ ´ ˇ
→A ⊆ (Aexp × Σ) × (Aexp × Σ); prvky zapisujeme ve tvaru a, σ →A a , σ .
→B ⊆ (Bexp × Σ) × (Bexp × Σ); prvky zapisujeme ve tvaru b, σ →B b , σ .
→C ⊆ (Com × Σ) × (Com × Σ); prvky zapisujeme ve tvaru c, σ →C c , σ .
Indexy A, B, C budou obvykle vynechany.
´
τ
• Pak jiz lze definovat:
ˇ c, σ → c , σ ⇐⇒ c, σ →C c , σ

93. 24
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
• n, σ – konec ´ konfigurace
ˇna

94. 24
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
• n, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• X, σ → σ(X), σ

95. 24
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
• n, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• X, σ → σ(X), σ
• n0 + n1, σ → m, σ , kde m = n0 + n1

96. 24
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
• n, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• X, σ → σ(X), σ
• n0 + n1, σ → m, σ , kde m = n0 + n1
a0 , σ → a0 , σ
•
a0 + a1 , σ → a0 + a1 , σ

97. 24
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
• n, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• X, σ → σ(X), σ
• n0 + n1, σ → m, σ , kde m = n0 + n1
a0 , σ → a0 , σ
•
a0 + a1 , σ → a0 + a1 , σ
a1 , σ → a1 , σ
•
n + a1 , σ → n + a1 , σ

98. 24
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
• n, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• X, σ → σ(X), σ
• n0 + n1, σ → m, σ , kde m = n0 + n1
a0 , σ → a0 , σ
•
a0 + a1 , σ → a0 + a1 , σ
a1 , σ → a1 , σ
•
n + a1 , σ → n + a1 , σ
• podobne pro „−“ a „∗“
ˇ

99. 24
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
• n, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• X, σ → σ(X), σ
• n0 + n1, σ → m, σ , kde m = n0 + n1
a0 , σ → a0 , σ
•
a0 + a1 , σ → a0 + a1 , σ
a1 , σ → a1 , σ
•
n + a1 , σ → n + a1 , σ
• podobne pro „−“ a „∗“
ˇ
Pr´klad:
ˇı
• Necht’ σ(X) = 1, σ(Y) = 2

100. 24
Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
• n, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• X, σ → σ(X), σ
• n0 + n1, σ → m, σ , kde m = n0 + n1
a0 , σ → a0 , σ
•
a0 + a1 , σ → a0 + a1 , σ
a1 , σ → a1 , σ
•
n + a1 , σ → n + a1 , σ
• podobne pro „−“ a „∗“
ˇ
Pr´klad:
ˇı
• Necht’ σ(X) = 1, σ(Y) = 2
• (X + 3) ∗ Y, σ → (1 + 3) ∗ Y, σ → 4 ∗ Y, σ → 4 ∗ 2, σ → 8, σ

101. 25
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
• tt, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• ff, σ – konec ´ konfigurace
ˇna

102. 25
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
• tt, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• ff, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• n0=n1, σ → tt, σ , je-li n0=n1
• n0=n1, σ → ff, σ , je-li n0=n1
a0 , σ → a0 , σ
•
a0 = a1 , σ → a0 = a1 , σ
a1 , σ → a1 , σ
•
n = a1 , σ → n = a1 , σ

103. 25
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
• tt, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• ff, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
• n0=n1, σ → tt, σ , je-li n0=n1
• n0=n1, σ → ff, σ , je-li n0=n1
a0 , σ → a0 , σ
•
a0 = a1 , σ → a0 = a1 , σ
a1 , σ → a1 , σ
•
n = a1 , σ → n = a1 , σ
• podobne pro „≤“
ˇ

104. 25
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
• tt, σ – konec ´ konfigurace
ˇna • not tt, σ → ff, σ , not ff, σ → tt, σ
b, σ → b , σ
• ff, σ – konec ´ konfigurace
ˇna •
not b, σ → not b , σ
• n0=n1, σ → tt, σ , je-li n0=n1
• n0=n1, σ → ff, σ , je-li n0=n1
a0 , σ → a0 , σ
•
a0 = a1 , σ → a0 = a1 , σ
a1 , σ → a1 , σ
•
n = a1 , σ → n = a1 , σ
• podobne pro „≤“
ˇ

105. 25
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
• tt, σ – konec ´ konfigurace
ˇna • not tt, σ → ff, σ , not ff, σ → tt, σ
b, σ → b , σ
• ff, σ – konec ´ konfigurace
ˇna •
not b, σ → not b , σ
• n0=n1, σ → tt, σ , je-li n0=n1 • t1 and t2, σ → tt, σ je-li t1=tt a t2=tt
• n0=n1, σ → ff, σ , je-li n0=n1 • t1 and t2, σ → ff, σ je-li t1=ff nebo t2=ff
a0 , σ → a0 , σ b0, σ → b0, σ
• •
a0 = a1 , σ → a0 = a1 , σ b0 and b1, σ → b0 and b1, σ
a1 , σ → a1 , σ b1, σ → b1, σ
• • t ∈ {tt, ff}
n = a1 , σ → n = a1 , σ t and b1, σ → t and b1, σ
• podobne pro „≤“
ˇ

106. 25
Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
• tt, σ – konec ´ konfigurace
ˇna • not tt, σ → ff, σ , not ff, σ → tt, σ
b, σ → b , σ
• ff, σ – konec ´ konfigurace
ˇna •
not b, σ → not b , σ
• n0=n1, σ → tt, σ , je-li n0=n1 • t1 and t2, σ → tt, σ je-li t1=tt a t2=tt
• n0=n1, σ → ff, σ , je-li n0=n1 • t1 and t2, σ → ff, σ je-li t1=ff nebo t2=ff
a0 , σ → a0 , σ b0, σ → b0, σ
• •
a0 = a1 , σ → a0 = a1 , σ b0 and b1, σ → b0 and b1, σ
a1 , σ → a1 , σ b1, σ → b1, σ
• • t ∈ {tt, ff}
n = a1 , σ → n = a1 , σ t and b1, σ → t and b1, σ
• podobne pro „≤“
ˇ • podobne pro „or“
ˇ

107. 26
Pr´kazy Com
ˇı
• skip, σ – konec ´ konfigurace
ˇna

108. 26
Pr´kazy Com
ˇı
• skip, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
a, σ → a , σ
• X := n, σ → skip, σ[n/X]
X := a, σ → X := a , σ

109. 26
Pr´kazy Com
ˇı
• skip, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
a, σ → a , σ
• X := n, σ → skip, σ[n/X]
X := a, σ → X := a , σ
c0, σ → c0, σ
• skip; c, σ → c, σ
c0; c1, σ → c0; c1, σ

110. 26
Pr´kazy Com
ˇı
• skip, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
a, σ → a , σ
• X := n, σ → skip, σ[n/X]
X := a, σ → X := a , σ
c0, σ → c0, σ
• skip; c, σ → c, σ
c0; c1, σ → c0; c1, σ
• if tt then c0 else c1, σ → c0, σ if ff then c0 else c1, σ → c1, σ

111. 26
Pr´kazy Com
ˇı
• skip, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
a, σ → a , σ
• X := n, σ → skip, σ[n/X]
X := a, σ → X := a , σ
c0, σ → c0, σ
• skip; c, σ → c, σ
c0; c1, σ → c0; c1, σ
• if tt then c0 else c1, σ → c0, σ if ff then c0 else c1, σ → c1, σ
b, σ → b , σ
•
if b then c0 else c1, σ → if b then c0 else c1, σ

112. 26
Pr´kazy Com
ˇı
• skip, σ – konec ´ konfigurace
ˇna
a, σ → a , σ
• X := n, σ → skip, σ[n/X]
X := a, σ → X := a , σ
c0, σ → c0, σ
• skip; c, σ → c, σ
c0; c1, σ → c0; c1, σ
• if tt then c0 else c1, σ → c0, σ if ff then c0 else c1, σ → c1, σ
b, σ → b , σ
•
if b then c0 else c1, σ → if b then c0 else c1, σ
• while b do c, σ → if b then (c; while b do c) else skip, σ

113. 27
Semanticka ekvivalence vyrazu a pr´kazu (II)
´ ´ ´ ˚ ˇı ˚
• Pro kazde k ∈ N0 definujeme (induktivne) relaci →k ⊆ (Com × Σ) × (Com × Σ):
ˇ ´ ˇ
→0 = idCom×Σ
→i+1 = →i ◦ →

114. 27
Semanticka ekvivalence vyrazu a pr´kazu (II)
´ ´ ´ ˚ ˇı ˚
• Pro kazde k ∈ N0 definujeme (induktivne) relaci →k ⊆ (Com × Σ) × (Com × Σ):
ˇ ´ ˇ
→0 = idCom×Σ
→i+1 = →i ◦ →
S∞
• Dale definujeme →∗=
´ k=0 →k

115. 27
Semanticka ekvivalence vyrazu a pr´kazu (II)
´ ´ ´ ˚ ˇı ˚
• Pro kazde k ∈ N0 definujeme (induktivne) relaci →k ⊆ (Com × Σ) × (Com × Σ):
ˇ ´ ˇ
→0 = idCom×Σ
→i+1 = →i ◦ →
S∞
• Dale definujeme →∗=
´ k=0 →k
• Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
def
a0 ≈ a1 ⇐⇒ (∀n ∈ Z ∀σ ∈ Σ : a0, σ →∗ n, σ ⇐⇒ a1, σ →∗ n, σ )

116. 27
Semanticka ekvivalence vyrazu a pr´kazu (II)
´ ´ ´ ˚ ˇı ˚
• Pro kazde k ∈ N0 definujeme (induktivne) relaci →k ⊆ (Com × Σ) × (Com × Σ):
ˇ ´ ˇ
→0 = idCom×Σ
→i+1 = →i ◦ →
S∞
• Dale definujeme →∗=
´ k=0 →k
• Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
def
a0 ≈ a1 ⇐⇒ (∀n ∈ Z ∀σ ∈ Σ : a0, σ →∗ n, σ ⇐⇒ a1, σ →∗ n, σ )
• Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
def
b0 ≈ b1 ⇐⇒ (∀t ∈ T ∀σ ∈ Σ : b0, σ →∗ t, σ ⇐⇒ b1, σ →∗ t, σ )

117. 27
Semanticka ekvivalence vyrazu a pr´kazu (II)
´ ´ ´ ˚ ˇı ˚
• Pro kazde k ∈ N0 definujeme (induktivne) relaci →k ⊆ (Com × Σ) × (Com × Σ):
ˇ ´ ˇ
→0 = idCom×Σ
→i+1 = →i ◦ →
S∞
• Dale definujeme →∗=
´ k=0 →k
• Aritmeticke vyrazy Aexp
´ ´
def
a0 ≈ a1 ⇐⇒ (∀n ∈ Z ∀σ ∈ Σ : a0, σ →∗ n, σ ⇐⇒ a1, σ →∗ n, σ )
• Pravdivostnı vyrazy Bexp
´ ´
def
b0 ≈ b1 ⇐⇒ (∀t ∈ T ∀σ ∈ Σ : b0, σ →∗ t, σ ⇐⇒ b1, σ →∗ t, σ )
• Pr´kazy Com
ˇı
def
c0 ≈ c1 ⇐⇒ (∀σ, σ ∈ Σ : c0, σ →∗ skip, σ ⇐⇒ c1, σ →∗ skip, σ )

118. 28
Ekvivalence SOS semantik 1. a 2. typu
´
Lema 2.
1. Jestlize a, σ →k a , σ , pak a
ˇ a1, σ →k a a1 , σ a n a, σ →k n a , σ pro
kazde
ˇ ´ ∈ {+, −, ∗}.

119. 28
Ekvivalence SOS semantik 1. a 2. typu
´
Lema 2.
1. Jestlize a, σ →k a , σ , pak a
ˇ a1, σ →k a a1 , σ a n a, σ →k n a , σ pro
kazde
ˇ ´ ∈ {+, −, ∗}.
2. Jestlize a, σ →k a , σ , pak X := a, σ →k X := a , σ
ˇ

120. 28
Ekvivalence SOS semantik 1. a 2. typu
´
Lema 2.
1. Jestlize a, σ →k a , σ , pak a
ˇ a1, σ →k a a1 , σ a n a, σ →k n a , σ pro
kazde
ˇ ´ ∈ {+, −, ∗}.
2. Jestlize a, σ →k a , σ , pak X := a, σ →k X := a , σ
ˇ
3. Jestlize c, σ →k c , σ , pak c; c1, σ →k c ; c1, σ .
ˇ

121. 28
Ekvivalence SOS semantik 1. a 2. typu
´
Lema 2.
1. Jestlize a, σ →k a , σ , pak a
ˇ a1, σ →k a a1 , σ a n a, σ →k n a , σ pro
kazde
ˇ ´ ∈ {+, −, ∗}.
2. Jestlize a, σ →k a , σ , pak X := a, σ →k X := a , σ
ˇ
3. Jestlize c, σ →k c , σ , pak c; c1, σ →k c ; c1, σ .
ˇ
4. Jestlize b, σ →k b , σ , pak if b then c0 else c1, σ →k if b then c0 else c1, σ
ˇ

122. 28
Ekvivalence SOS semantik 1. a 2. typu
´
Lema 2.
1. Jestlize a, σ →k a , σ , pak a
ˇ a1, σ →k a a1 , σ a n a, σ →k n a , σ pro
kazde
ˇ ´ ∈ {+, −, ∗}.
2. Jestlize a, σ →k a , σ , pak X := a, σ →k X := a , σ
ˇ
3. Jestlize c, σ →k c , σ , pak c; c1, σ →k c ; c1, σ .
ˇ
4. Jestlize b, σ →k b , σ , pak if b then c0 else c1, σ →k if b then c0 else c1, σ
ˇ
Dukaz. Indukcı ke k.
˚ ´

123. 28
Ekvivalence SOS semantik 1. a 2. typu
´
Lema 2.
1. Jestlize a, σ →k a , σ , pak a
ˇ a1, σ →k a a1 , σ a n a, σ →k n a , σ pro
kazde
ˇ ´ ∈ {+, −, ∗}.
2. Jestlize a, σ →k a , σ , pak X := a, σ →k X := a , σ
ˇ
3. Jestlize c, σ →k c , σ , pak c; c1, σ →k c ; c1, σ .
ˇ
4. Jestlize b, σ →k b , σ , pak if b then c0 else c1, σ →k if b then c0 else c1, σ
ˇ
Dukaz. Indukcı ke k.
˚ ´
ad 1., prvnı implikace.
´
• Baze (k = 0): a0, σ →0 a0, σ
´ ⇐⇒ a0 = a0 ⇐⇒ a 0 + a 1 , σ →0 a 0 + a 1 , σ