3. ตัวอย่าง จงหาผลหารและเศษ เมื่อหาร 2 x 2 - 7 x + 3 ด้วย x + 2 วิธีทำ ใช้วิธีการหารสังเคราะห์ 2 - 7 3 -2 2 - 4 + - 11 22 25 ผลหาร 2 x - 11 เศษ 25
4. การเท่ากันในระบบจำนวน 1. สมบัติการสะท้อน เช่น a = a 2. สมบัติการสมมาตร เช่น ถ้า a = b แล้ว b = a 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c 4. สมบัติของการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a c = b c
5. การบวกและการคูณในระบบจำนวนจริง บทนิยาม ในระบบจำนวนจริง เรียกจำนวนจริงที่บวกกับจำนวนจริง จำนวนใดก็ตามได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงจำนวนนั้นว่า เอกลักษณ์การบวก ถ้า z เป็นเอกลักการบวกแล้ว z + a = a = a + z โดยที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ บทนิยาม ในระบบจำนวนจริง อินเวอร์สการบวก ของจำนวนจริง a ( ใช้แทนด้วยสัญลักษณ์ - a ) หมายถึงจำนวนจริงที่บวกกับ a แล้วได้ ศูนย์ กล่าวคือ a + (-a) = 0 = (-a) + a
7. การลบและการหารจำนวนจริง บทนิยาม เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ a - b = a + (-b) ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนจริง 1. a (b - c) = ab - ac 2. (a - b)c = ac - bc 3. (- a) (b - c) = - ab + ac บทนิยาม เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า จะได้
10. ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem) เมื่อ p(x) คือพหุนาม โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนจริงซึ่ง พหุนาม p (x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ p ( c) = 0 ตัวอย่าง จงแสดงว่า x - 2 เป็นตัวประกอบ x 3 - 5x 2 + 2x + 8 วิธีทำ จะได้ p( 2 ) = ( 2 ) 3 - 5( 2 ) 2 + 2( 2 ) + 8 = 0 ให้ p(x) = x 3 - 5x 2 + 2x + 8 ดังนั้น x - 2 เป็นตัวประกอบของ x 3 - 5x 2 + 2x + 8
11. ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ เมื่อ p(x) คือพหุนาม โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนจริงซึ่ง ถ้า เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็มซึ่ง และ ห . ร . ม . ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว m จะเป็นตัวประกอบของ k จะเป็นตัวประกอบของ
12. สมบัติการไม่เท่ากัน บทนิยาม สมาชิกของ R + เรียกว่า จำนวนจริงบวก และ ถ้า เราเรียก a ว่า จำนวนลบ บทนิยาม a < b หมายความว่า a > b หมายความว่า สมบัติไตรวิภาค ( trichotomy property) ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว a = b , a < b และ a > b จะเป็นเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง
13. ทฤษฎีบทที่ 1 สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c ทฤษฎีบทที่ 2 สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c c เป็นจำนวนใดๆ ทฤษฎีบท 3 จำนวนบวกและจำนวนลบเปรียบเทียบกับ 0 a เป็นจำนวนบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 a เป็นจำนวนลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0
14. ทฤษฏีบทที่ 4 สมบัติของการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์ กรณี 1 ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc กรณี 2 ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc ทฤษฏีบทที่ 5 สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b ทฤษฏีบทที่ 6 สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ กรณี 1 ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b กรณี 2 ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b