1) A distribuição F de Fisher-Snedecor é usada para comparar variâncias de amostras. 2) Ela é definida como a razão entre as estimativas das variâncias amostrais divididas por seus respectivos graus de liberdade. 3) A distribuição F é usada para construir intervalos de confiança para o quociente entre variâncias populacionais e testar hipóteses sobre a igualdade ou desigualdade entre essas variâncias.

1. Distribuição F de Fisher-Snedecor
Denomina-se variável F com ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ graus
de liberdade e indica-se por ‫ܨ‬௩భ ,௩మ ou
F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ), a função definida por:
మ
ఞభ /௩భ మ
ఞభ ௩మ
F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = మ = మ .
ఞమ /௩మ ఞమ ௩భ
Onde ‫ݒ‬ଵ e ‫ݒ‬ଶ são, respectivamente, os
ଶ ଶ
graus de liberdade de ߯ଵ e ߯ଶ e estas
duas ߯ ଶ são independentes.
ଶ ∑೙(௫೔ ି௫̅ )మ ଶ ∑೙(௫೔ ି௫̅ )మ
Como ܵ = భ
e ߯௡ିଵ = భ
௡ିଵ ఙమ
temos
‫1−݊= ݒ‬
ௌమ మ
ఞೡ
‫.ݒ‬ ܵଶ = ߪ ଶ . ߯௩
ଶ → =
ఙమ ௩
Substituindo-se na definição, temos:

2. మ
ఞభ /௩భ మ మ
௦భ ⁄ఙభ మ
௦భ మ
ఙమ ଶ
F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = మ = మ మ = మ . మ onde ‫ݏ‬ଵ ,
ఞమ /௩మ ௦మ ⁄ఙమ ௦మ ఙభ
ଶ
‫ݏ‬ଵ são estimativas independentes de
ଶ ଶ
ߪଵ ݁ ߪଶ
ଵ ௩మ (௩భ ିଶ)
F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = , ‫ܨ‬௠௔௫ = .
୊(௩మ ,௩భ ) ௩భ (௩మ ାଶ)
௩మ
‫ߤ = ) ܨ( ܧ‬ி = (௩ se ݊ > 2
మ ିଶ)
మ
ଶ௩మ (௩భ ା௩మ ିଶ)
ଶ(
ܸ‫= ) ܨ ߪ = ) ܨ(ܴܣ‬ se ݊ > 4
୴భ (௩మ ିଶ)మ (௩మ ିସ)
Uso de Tabelas
Exemplos:
1)Determ. ‫ܨ‬ఈ , tal que ܲ(‫ܨ ≥ )02,6( ܨ‬ఈ ) =
5%
2)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≥ )51,6( ܨ‬ఈ ) = 0,05
3)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≤ )02,01( ܨ‬ఈ ) =
0,95
4)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≤ )01,8( ܨ‬ఈ ) = 0,01

3. 5)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≥ )02,01( ܨ‬ఈ ) =
0,95
I.C. para um Quociente de Variâncias
ࡼሼ‫ܨ‬ଵ ≤ ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) ≤ ‫ܨ‬ଶ ሽ = ૚ − ߙ
ఈ
‫ܨ‬ଵ : ࡼሼ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) ≤ ‫ܨ‬ଵ ሽ =
૛
ఈ
‫ܨ‬ଶ : ࡼሼ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) > ‫ܨ‬ଶ ሽ =
૛
మ
௦భ మ
ఙమ మ
௦భ
Como ‫ݒ( ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = మ . మ →‫ܨ‬ଵ ≤ మ .
௦మ ఙభ ௦మ
మ
ఙమ
మ ≤ ‫ܨ‬ଶ
ఙభ
మ
௦మ మ
ఙమ మ
௦మ
మ . ‫ܨ‬
௦భ ଵ ≤ మ
ఙభ
≤ మ . ‫ܨ‬ଶ
௦భ
Invertendo-se a
మ
௦భ ଵ మ
ఙభ మ
௦భ ଵ
relação, → మ. ≤ మ ≤ మ. logo o IC
௦మ ிమ ఙమ ௦మ ிభ
మ
ఙభ
para మ é:
ఙమ
మ
௦భ ଵ మ
ఙభ మ
௦భ ଵ
ࡼቄ మ. ≤ మ ≤ మ. ቅ = ૚ − ߙ
௦మ ிమ ఙమ ௦మ ிభ
ଶ ଶ
com ‫ݏ‬ଵ ≥ ‫ݏ‬ଶ

4. Exemplos:
1)De duas populações normais levantou-
se amostras de tamanhos 9 e 11,
ଶ ଶ
obtendo-se ‫ݏ‬ଵ = 7,14 e ‫ݏ‬ଶ = 3,21.
Construir um IC para o quociente das
variâncias das duas populações ao nível
de 10%.
2) De duas populações normais levantou-
se amostras de tamanhos 10 e 16,
ଶ ଶ
obtendo-se ‫ݏ‬ଵ = 5,22 e ‫ݏ‬ଶ = 16,9.
Construir um IC para o quociente das
variâncias das duas populações ao nível
de 10%.
T.H. para Quociente de Variâncias

5. మ
ఙభ
‫ܪ‬଴ : మ =݇
ఙమ
మ
ఙభ మ
ఙభ మ
ఙభ
‫ܪ‬ଵ : మ ≠݇ ou మ >݇ ou మ <݇
ఙమ ఙమ ఙమ
మ
௦భ మ
ఙమ మ
௦భ ଵ
‫ܨ‬௖௔௟௖ = మ
௦మ
.ቂఙమ ቃ = మ
௦మ
.௞
భ ௛
బ
Exemplos:
1)De duas populações normais levantou-
se amostras com as seguintes
características :
Pop. A: ݊௔ =21, ∑ ‫ݔ‬௔ = 100, ∑ ‫ݔ‬௔ ଶ = 496
Pop. B: ݊௕ =9, ∑ ‫ݔ‬௕ = 45, ∑ ‫ݔ‬௕ ଶ = 273
Ao nível de 10%, testar as hipóteses :
మ
ఙభ
‫ܪ‬଴ : మ =1
ఙమ
మ
ఙభ
‫ܪ‬ଵ : ఙమ ≠1
మ
2)Deseja-se testar ao nível de 5% se
duas populações têm as mesmas

6. variâncias. Os dados obtidos nas
amostras são:
ଶ
݊ଵ =10 ‫ݏ‬ଵ = 5,22
ଶ
݊ଶ =21 ‫ݏ‬ଶ = 16,99. Qual a conclusão?
3)De duas populações normais A e B
extraíu-se amostras obtendo-se:
ଶ
Pop. A : ݊஺ୀ 13, ∑ ‫ݔ‬஺ = 91, ∑ ‫ݔ‬஺ = 697
ଶ
Pop. B : ݊஻ୀ 9, ∑ ‫ݔ‬஻ = 63, ∑ ‫ݔ‬஻ = 497
a) Determinar um IC para o quociente
das variáveis, ao nível de 2%
b) Ao mesmo nível, testar as hipóteses;
ଶ ଶ
‫ܪ‬଴ : ߪଵ = ߪଶ
ଶ ଶ
‫ܪ‬ଵ : ߪଵ ≠ ߪଶ
4)Deseja-se avaliar dois analistas quanto
à precisão na analise de uma certa
substância que contém carbono. A é

7. experiente e B é novo na empresa com
experiência na área desconhecida. Os
resultados (desvios dos teores reais de
carbono) obtidos foram:
A: -10, 16, -8, 9, 5, -5, 5, -11, 25, 25, 22,
16, -3, 40, 0, -5, 16, 30, 14, 22, 22
B: -8, -3, 20, 22, 3, 5, 10, 14, -21, 22, 8.
Em vista desses resultados, pode-se
concluir que os dois analistas têm a
mesma experiência no trabalho, ao nível
de 10%?
5) A variabilidade no levantamento de
impurezas de uma certa substância
depende da duração do processo usado.
Levantaram-se duas amostras, uma
utilizando o processo 1 e outra o 2 de
tamanhos 26 e 13 respectivamente,
ଶ ଶ
obtendo-se ܵଵ = 1,04 e ܵଶ = 0,51.

8. a) determinar um IC para o quociente das
variâncias, ao nível de 10%.
b) testar as hipóteses a 5%:
ଶ ଶ
‫ܪ‬଴ : ߪଵ = ߪଶ
ଶ ଶ
‫ܪ‬ଵ : ߪଵ > ߪଶ