O documento discute as tarefas de exploração e investigação na aprendizagem da matemática, definindo tipos de tarefas, etapas de uma investigação matemática, e desafios para professores e alunos.

1. ESCOLA SECUNDÁRIA
DE CALDAS DAS
TAIPAS
Oficina de Formação
As tarefas de exploração e investigação no ensino
e na aprendizagem da Matemática
2.ª Sessão

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Tarefas Matemáticas
Ponte (2005) considera quatro tipos de tarefas matemáticas.
Desafio reduzido
Exercício Exploração
Fechado Aberto
Problema Investigação
Desafio elevado

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Os programa de Matemática e a APM recomendam, que os alunos
estejam envolvidos em atividades que promovam o desenvolvimento
do pensamento matemático e não apenas na aprendizagem
mecânica de regras e procedimentos.
O programa de Matemática A (DES, 2001) destaca a importância das
tarefas a selecionar, as quais deverão contribuir para o
desenvolvimento do pensamento científico, levando o estudante a
intuir, conjeturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o reforço
das atitudes de autonomia e de cooperação.
Aprender Matemática não é simplesmente compreender a
Matemática já feita, mas ser capaz de descobrir, de explorar e de
investigar (Braumann, 2002).
A importância da realização de investigações matemáticas pelos
alunos tem vindo a ser defendida por vários autores (e.g., Ernest,
1996; Mason, 1996; Ponte et al., 2003; Santos et al., 2002) por
favorecer o envolvimento dos alunos na sua aprendizagem.

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Conclusões de alguns estudos empíricos
Segurado (1997) num estudo com alunos do 6.º ano:
• As tarefas de exploração e investigação proporcionam aos alunos
um contexto rico em desafios e que os alunos se sentiram
motivados e empenhados na sua realização.
• A realização deste tipo de tarefas desenvolve nos alunos processos
de raciocínio necessários à compreensão e construção da
Matemática.
• Os alunos com o decorrer da experiência melhoraram a capacidade
de comunicação matemática, assumindo a argumentação um lugar
de destaque.
• No final do estudo, os alunos participantes alteraram, de algum
modo, as suas conceções em relação à Matemática.

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Rocha (2003) durante um estudo com alunos do 7.º ano, conclui que:
• De um modo geral, o envolvimento dos alunos em atividades de
investigação matemática conduziu a mudanças significativas nas
suas conceções e atitudes. A definição de Matemática apresentada
pelos alunos passou a ter em conta aspetos como o pensamento
matemático e o processo de descoberta, deixando de a reduzir a
um corpo de conhecimento construído e acabado.
• Os alunos aprenderam a valorizar os processos em detrimento dos
resultados.
• Os alunos consideram-se mais autónomos em relação ao professor
e valorizaram o processo de construção de conhecimento no qual
estavam envolvidos.
Fonseca (1999) num estudo com alunos do 8.º ano:
• Um ambiente de sala de aula onde se valorize uma metodologia de
trabalho em pequeno grupo e se privilegie a resolução de
problemas e a realização de investigações matemáticas favorece o
“fazer Matemática”. Promove a comunicação, a cooperação e a
autonomia dos alunos.

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Fonseca (2000) no seu estudo com alunos do 10.º ano:
• Houve uma evolução dos alunos a vários níveis do discurso na sala
de aula. Passaram a envolver-se mais nas investigações, tornaram-
se mais autónomos , passaram a valorizar tanto as respostas como
os processos utilizados e a considerar várias hipóteses de resposta
para uma questão.
Azevedo (2009) num estudo com alunos do 10.º ano:
• A realização de tarefas de exploração e investigação contribuiu
para desenvolver nos alunos capacidades importantes como a
identificação de regularidades, a formulação, teste e justificação de
conjeturas e para o desenvolvimento da capacidade de
comunicação matemática.
• As discussões e reflexões sobre as tarefas permitem a clarificação
de pensamentos intuitivos e alargam o tipo de estratégias dos
alunos.

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Etapas de uma investigação
Na realização de investigações matemáticas identificam-se quatro
etapas.
Exploração inicial
e a formulação de
questões
Formulação de
Etapas de
conjeturas
uma
investigação Teste e
reformulação de
conjeturas
Justificação e
prova

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Dinâmica de uma aula com tarefas de natureza
exploratória e investigativa
Uma aula com tarefas abertas tem características próprias, podendo,
de certa forma, ser influenciada por diversos fatores. Alguns deles
relacionados com a forma como a aula é planeada.
O professor ao construir/adaptar a tarefa deve ponderar diferentes
aspetos, tais como:
(1) o conteúdo matemático;
(2) os conhecimentos necessários para a realiza da tarefa;
(3) as características e especificidades do grupo turma,
nomeadamente experiências anteriores, capacidades e conhecimentos
prévios dos alunos;
(4) os recursos e materiais de apoio que podem ser usados;
(5) o currículo e alguns constrangimentos de espaço e tempo.

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Outros aspetos a ter em conta:
• O grau de estrutura da tarefa;
• O tipo de linguagem utilizada na redação dos enunciados das
tarefas. Por exemplo:
“indica se existem características comuns…” e “ investiga se existem
características comuns…”
O professor para além da seleção e adaptação das tarefas a propor
aos alunos tem que tomar um conjunto variado de opções
relacionadas com questões da organização e gestão da sala de aula.
Por exemplo:
• o modo como os alunos vão trabalhar na aula, se individualmente
se em pequenos grupos;
• a constituição dos grupos;
• a forma como a tarefa vai ser apresentada;
• o momento em que haverá trabalho em grande grupo e o modo
como vão ser confrontados os processos usados.

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De acordo com vários autores a estrutura de uma aula com tarefas de
natureza exploratória e investigativa envolve três fases:
Introdução da tarefa
Desenvolvimento da tarefa
Discussão dos resultados

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Introdução da tarefa
Momento extremamente importante, dele pode depender tudo o
resto, embora deva ser curto, de modo que os alunos não percam o
interesse pela tarefa.
Método misto
A introdução da tarefa Por escrito
Oralmente
É relevante que os alunos sejam informados sobre o papel que o
professor pretende desempenhar. Eles devem saber que o professor
os pode apoiar, mas que o desenvolvimento da atividade depende
principalmente da sua iniciativa.

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Desenvolvimento da tarefa
Deve haver o cuidado para que a aula se centre na atividade do
aluno, nas suas ideias e pesquisas.
Ao professor cabe-lhe compreender como se vai processando o
trabalho dos alunos. Apoiá-los sempre que seja necessário, tendo
contudo o cuidado de não dar as respostas.
Mesmo quando os alunos seguem caminhos que não os levarão ao
sucesso, o professor deve-lhes dar tempo para que seja a
experiência a mostrar-lhes o erro. Porém, é relevante que o professor
não deixe que uma exploração que leva ao erro se prolongue por
muito tempo, poderá provocar desmotivação.
É fundamental que os alunos se sintam à vontade, que interajam
entre si e que lhes seja dado tempo para colocarem questões,
exprimirem as suas ideias e discutirem com os colegas.

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Discussão dos resultados
Os momentos de discussão:
• são propícios para promover a reflexão acerca do trabalho
realizado e para a partilha.
• permitem clarificar ideias e desenvolver nos alunos capacidades
de comunicação matemática e de argumentação.
• permitem que os alunos estabeleçam conexões entre este tipo de
trabalho e outros conhecimentos pessoais sobre a aprendizagem
da disciplina. Muitas vezes, durante a fase de discussão, são
descobertas novas relações e formuladas novas conjeturas.

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Nestes momentos ao professor cabe-lhe o papel de moderador e
orientador. Ele deve garantir que sejam comunicados os resultados e
os processos encontrados e deve estimular os alunos a
questionarem-se mutuamente e a procurar convencer os outros do
valor dos seus argumentos.
A altura para realizar a discussão dos resultados pode ser variável.
Tanto quanto possível, deve rematar a atividade, ou ser realizada
imediatamente depois. No entanto, por vezes existe necessidade de
proporcionar momentos de discussão durante a realização da tarefa.

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Dilemas e dificuldades dos professores
• Dosear o apoio a prestar aos alunos (apoiar os alunos sem dar as
respostas).
• Estabelecer o que será razoável pedir aos alunos para justificar ou
provar as suas conjeturas.
• Fazer sentir aos alunos a necessidade da prova e em definir os
limites entre o que carece de prova e o que pode ser aceite como
evidente.
• Estimular e sustentar a participação dos alunos e gerir as suas
intervenções é uma tarefa que se reveste de grande complexidade.
• Estimular o espírito crítico dos alunos (muitas vezes os alunos não
se preocupam em contestar e argumentar, assumindo que se algo
está incorrecto, o professor logo dirá).

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• Os diferentes ritmos de trabalho dos alunos ( o professor não pode
esperar pelos mais demorados todo tempo necessário. Se o fizer
corre o risco de haver uma dispersão por parte dos alunos e de
perder o controlo da aula).
• As limitações de tempo e a extensão dos programas curriculares
podem influenciar uma decisão, que de algum modo entra em
contradição com o significado de investigar ( o professor enfrenta o
dilema de dar oportunidade ou não que as ideias que surgiram
sejam discutidas).

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Fonseca (2002) ao apresentar algumas reflexões sobre um estudo
que envolveu alunos dos 2.º e 3.º anos do curso de Matemática e
Ciências da Natureza, nas disciplinas de Geometria e de
Transformações Geométricas refere que a metodologia utilizada numa
aula que envolve este tipo de atividade é:
• matematicamente difícil por não ser possível antecipar todas as
dificuldades que os alunos possam vir a ter.
• Pedagogicamente difícil, por ser necessário decidir quando
intervir e como intervir, que sugestões dar aos alunos quando
surgem situações de impasse – esperar mais algum tempo ou
lançar alguma questão que os ajude a prosseguir, assim como
gerir o tempo necessário para a realização da tarefa.
• Pessoalmente difícil, pelo facto de por vezes o professor se sentir
na posição de não saber, o que é desconfortável e pouco usual.

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A autora refere que nem sempre actuou como pretendia fazê-lo.
Quando os alunos a questionavam, em vez de dar uma resposta
metacognitiva, por vezes dava a sua opinião, para além do
desejável.
Uma aula que envolve a exploração de tarefas abertas impõe novos
desafios quer a professores quer a alunos, contudo, a solução não é
voltar para a “zona de conforto” do paradigma do exercício, mas sim
actuar no novo ambiente, no qual o desafio é enfrentar o grau de
incerteza que o caracteriza.

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As dificuldades dos alunos na realização de
explorações e investigações
Diversos trabalhos empíricos têm mostrado que os alunos apresentam
dificuldades nos vários processos da actividade investigativa.
Exploração Entender a investigação como um todo tendem a dar
inicial resposta alínea a alínea sem as relacionar entre si.
Os alunos não formulam explicitamente questões, nem as
Formulação
de questões discutem com detalhe.
Os alunos revelam dificuldades em entender o estatuto
Formulação de uma conjetura, tendem a considerá-la como
de conjeturas conclusão.

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Teste de Não existe na maior parte dos alunos uma preocupação
conjeturas forte em testar e refinar as suas conjeturas.
Justificação Os alunos por si sentem pouca necessidade de justificar
e prova e provar as suas conjecturas.
Os alunos inicialmente tendem a valorizar os produtos
Comunicação relativamente aos processos, reduzindo-se os seus
do trabalho registos à enumeração de descobertas, sem a
realizado apresentação de procedimentos nem justificação.

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Mas, os alunos para além das dificuldades, também revelam
capacidades:
(1) no uso de estratégias geométricas e na integração destas com
estratégias aritméticas e algébricas para chegar a conjeturas;
(2) no uso de estratégias de generalização para alcançar
conjecturas;
(3) no uso de estratégias de raciocínio que indicam uma notável
flexibilidade intelectual.
O que sugere que quanto maior atenção for dada a este tipo de
trabalho na sala de aula, maior será o progresso esperado.

22. ESCOLA SECUNDÁRIA
DE CALDAS DAS
TAIPAS
Oficina de Formação
As tarefas de exploração e investigação no ensino
e na aprendizagem da Matemática
2.ª Sessão