1. 1 MATEMATICA DISCRETA UNIDAD Nº 3 3º parte Relaciones yDigrafosTEORIA Bibliografía: Estructuras de Matemáticas Discretas para Computación. Kolman y Busby. Cap VII
2. RELACIONES DE ORDEN Sea R definida en A. Se dice que R es una relación de orden parcialsi y solo si se cumplen las siguientes propiedades 1) R es reflexiva : R es antisimétrica 3) R es transitiva: 2
3. Sobre la propiedad antisimétrica Se dice que R es antisimétrica si y solo si (1) Por la Ley de la Contrarecíproca podemos escribir una definición equivalente. R es antisimétrica si y solo si (2) “Si dos elementos de A se relacionan entre sí mediante R, entonces estos elementos son iguales”. (2) “Si dos elementos son distintos, entonces no deben estar relacionados entre si” . Observe que la antisimetría permite la presencia de pares del tipo (x,x) Observe también que la antisimetría no es la negación de la simetría 3
4. a b c En el grafo significará que entre elementos distintos hay flechas únicas o ninguna flecha y que algunos o todos los elementos pueden tener lazos. En la matriz se encontrara que 4
5. En lugar de usar R para representar a la relación de orden, usaremos el símbolo por analogía con el orden usual. Entonces se escribirá Se lee o Al par ( A , ) se le llama CPO (Conjunto Parcialmente Ordenado) Podemos expresar la definición del siguiente modo: El par ( A , ) es un CPO si y solo si se cumple que: 1) 2) 3) 5
6. b a c d Ejercicios para el aula Probar que las siguientes relaciones son de orden a) ( A , ) donde A = { a , b , c , d } y su grafo esta dado por 6 b) ( B , ) donde B = { x,y,z} y la matriz correspondiente es
7. Demostrar que ( N , ) es un conjunto parcialmente ordenado, donde se define como sigue: a b a|b (relación de divisibilidad). 7 d) Demostrar que (P(S), ) es un CPO , donde S es un conjunto cualesquiera y P(S) es el conjunto potencia de S
8. Demostrar que los siguientes digrafosno representan a relaciones de orden y x z u t 8 Ejercicios para el aula r m n q p
9. Si es una relación de orden parcial, se denotará con al orden parcial inverso. Se define del siguiente modo: a b b a Teorema Si (A, ) es un CPO , se cumple que ( A, ) es también un CPO. ( A, ) se llama orden parcial dual de (A, ) 9 Orden parcial inverso
11. b a c d Son ordenes lineales los ejemplos ya vistos: 1 a y 1b Observe que todo par de elementos son comparables 11
12. 32 1 16 6 2 8 5 3 4 4 2 1 La relación de divisibilidad puede generar un orden parcial o un orden lineal, todo depende del conjunto donde este definida. En A = {1,2,3,4,5,6} es un orden parcial pues no 2|3 ni 3|2 En A = {x / x es divisor de 32} es un orden lineal pues cualquier par de elementos que se tomen de A están relacionados 12
13. Ejercicio para el aula Confeccionar el grafo dirigido de la relación de inclusión ( ) definida en el conjunto potencia de S Si S = { a,b} Si S = {a,b,c} Determine si la relación es de orden parcial o total 13
14. Respuesta de b) El grafo correspondiente es S {a,b} {b,c} {a,c} {b} {a} {c} 14
