Rama Ch8

Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng
Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 8: Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi

CHÖÔNG 8

Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi
Trong vieäc tính toaùn caùc giaù trò öôùc löôïng bình phöông toái thieåu thoâng thöôøng (OLS) cuõng
nhö caùc giaù trò öôùc löôïng thích hôïp cöïc ñaïi (MLE), chuùng ta ñaõ thieát laäp giaû thuyeát cho
raèng caùc soá haïng sai soá ui coù phaân phoái gioáng nhau vôùi trò trung bình baèng khoâng vaø
phöông sai σ2nhö nhau (Xem Giaû Thuyeát 3.5 cuûa Chöông 3 ñaõ phaùt bieåu raèng Var(ui|xt =
σ2 cho taát caû caùc t). Giaû thuyeát phöông sai baèng nhau ñöôïc hieåu laø phöông sai cuûa sai soá
khoâng ñoåi (coù nghóa laø phaân taùn nhö nhau). Phöông sai σ2laø moät ñaïi löôïng ño löôøng möùc
ñoä phaân taùn cuûa caùc soá haïng sai soá t, xung quanh giaù trò trung bình zero. Moät caùch töông
ñöông, ñoù laø moät ñaïi löôïng ño löôøng möùc ñoä phaân taùn cuûa giaù trò bieán phuï thuoäc quan saùt
ñöôïc (Y) xung quanh ñöôøng hoài qui β1 + β2X2 +… +βkXk. Phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi
coù nghóa laø möùc ñoä phaân taùn nhö nhau cho taát caû caùc quan saùt.
Tuy nhieân, trong nhieàu tröôøng hôïp thoâng thöôøng coù lieân quan ñeán nhöõng döõ lieäu
cheùo, giaû thuyeát naøy coù theå sai. Ví duï, giaû söû nhö chuùng ta tieán haønh ñieàu tra moät maãu
ngaãu nhieân caùc hoä gia ñình vaø thu ñöôïc thoâng tin veà toång chi phí tieâu duøng cuûa töøng hoä
gia ñình vaø thu nhaäp cuûa hoï trong moät naêm cho tröôùc. Nhöõng hoä gia ñình vôùi möùc thu
nhaäp thaáp khoâng coù nhieàu linh ñoäng trong chi tieâu. Phaàn lôùn thu nhaäp seõ taäp trung vaøo
caùc nhu caàu caên baûn chaúng haïn nhö thöùc aên, choã ôû, quaàn aùo, vaø ñi laïi. Do vaäy, maãu hình
chi tieâu giöõa nhöõng hoä gia ñình coù thu nhaäp thaáp nhö theá seõ khoâng khaùc nhau nhieàu laém.
Maët khaùc, nhöõng gia ñình giaøu coù coù söï linh ñoäng raát lôùn trong chi tieâu. Moät vaøi gia ñình
laø nhöõng ngöôøi tieâu duøng lôùn; nhöõng ngöôøi khaùc coù theå laø nhöõng ngöôøi tieát kieäm nhieàu vaø
ñaàu tö nhieàu vaøo baát ñoäng saûn, thò tröôøng chöùng khoaùn, …. Ñieàu naøy haøm yù raèng tieâu duøng
thöïc coù theå khaùc nhieàu so vôùi möùc thu nhaäp trung bình. Hay noùi caùch khaùc, raát coù khaû
naêng nhöõng hoä gia ñình coù thu nhaäp cao coù möùc ñoä phaân taùn xung quanh giaù trò tieâu duøng
trung bình lôùn hôn nhöõng hoä gia ñình coù thu nhaäp thaáp. Trong tröôøng hôïp nhö theá, bieåu
ñoà phaân taùn giöõa tieâu duøng vaø thu nhaäp seõ chæ ra nhöõng ñieåm cuûa maãu gaàn vôùi ñöôøng hoài
qui hôn cho nhöõng hoä gia ñình thu nhaäp thaáp nhöng nhöõng ñieåm phaân taùn roäng hôn cho
nhöõng hoä gia ñình thu nhaäp cao (xem Hình 8.1). Hieän töôïng nhö vaäy ñöôïc goïi laø phöông
sai cuûa sai soá thay ñoåi (coù nghóa laø phaân taùn khoâng nhö nhau). Hình 3.A.2 trong Phuï luïc
Chöông 3 coù moät ñoà thò veà phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi trong toång theå.
Ví duï thöù hai xeùt ñeán moät maãu ngaãu nhieân cuûa nhöõng thaønh phoá maø chuùng ta seõ lieân
heä möùc ñoä toäi phaïm thöôøng gaëp cuûa nhöõng thaønh phoá ñoù vôùi soá löôïng nguoàn löïc saün coù
cuûa töøng thaønh phoá trong vieäc choáng toäi phaïm. Chuùng ta coù theå kyø voïng raèng söï phaân taùn
cuûa nhöõng ñieåm quan saùt ñöôïc coù theå phaân taùn roäng hôn ñoái vôùi nhöõng thaønh phoá lôùn hôn
khi so saùnh vôùi nhöõng thaønh phoá nhoû hôn. ÔÛ ñaây moät laàn nöõa giaû thuyeát veà phöông sai
cuûa sai soá khoâng ñoåi coù theå bò vi phaïm.
Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi cuõng xuaát hieän khi söû duïng döõ lieäu nhoùm thay vì söû
duïng döõ lieäu caù nhaân. Ví duï, chuùng ta coù theå khoâng coù döõ lieäu cuûa töøng coâng ty nhöng

Ramu Ramanathan 1 Thuïc Ñoan/Haøo Thi


thay vaøo ñoù chuùng ta coù theå söû duïng döõ lieäu trung bình cuûa ngaønh. Trong tröôøng hôïp naøy,
moâ hình coù theå laø Yt = α + β X t + ut , vôùi nhöõng thanh ngang bieåu thò giaù trò trung bình
cho ngaønh coâng nghieäp thöù t. Phöông sai cuûa soá haïng sai soá giôø ñaây seõ laø Var( ut ) =
σ2/nt, vôùi nt laø soá löôïng coâng ty trong ngaønh coâng nghieäp thöù t. Bôûi vì soá löôïng coâng ty coù
theå khaùc nhau, neân phöông sai cuûa caùc soá haïng sai soá cuõng seõ khaùc nhau, do ñoù daãn ñeán
hieän töôïng phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi.

Hình 8.1 Moät Ví Duï Veà Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi

Tieâu duøng

Thu nhaäp

Trong chöông naøy, chuùng ta nôùi loûng giaû thuyeát phöông sai cuûa sai soá coù giaù trò
khoâng ñoåi vaø giaû thuyeát coù phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi. Chính thöùc hôn, chuùng ta hieäu
chænh Giaû Thuyeát 3.5 nhö sau:

GIAÛ THUYEÁT 3.5a

ut laø moät bieán ngaãu nhieân vôùi E(ut|Xt) = 0 vaø Var(ut | Xt) = E( ut2 | Xt) = σ t2 , vôùi t = 1, 2, …,
n.

Do ñoù, moãi quan saùt coù moät phöông sai sai soá khaùc nhau. Taát caû caùc giaû thuyeát khaùc
veà soá haïng nhieãu ngaãu nhieân vaãn ñöôïc giöõ laïi. Hình 3.A.2 minh hoïa moät bieåu dieãn ba
chieàu veà phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi vaø Hình 3.A.1 cuõng minh hoïa bieåu dieãn ba chieàu
veà phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi.



Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi cuõng coù theå xuaát hieän trong döõ lieäu chuoãi thôøi gian.
Vaán ñeà naøy seõ ñöôïc thaûo luaän trong chöông keá tieáp.

VÍ DUÏ 8.1
DATA3-11 cho bieát möùc löông haøng naêm vaø soá naêm coù baèng tieán só cuûa 222 giaùo sö töø
baûy tröôøng ñaïi hoïc. Chuùng ta thaáy raèng moâ hình loâgarít-wage laø moâ hình thích hôïp ñoái
vôùi moâ hình tieàn coâng (wages) vaø tieàn löông (salaries). Ñoà thò trong Hình 8.2 bieåu dieãn
loâgarít cuûa tieàn löông ñoái vôùi soá naêm nhaän ñöôïc baèng tieán só töông öùng. Chuùng ta löu yù
ñoä roäng xung quanh quan heä ñöôøng thaúng trung bình laø khoâng ñoàng daïng, daãn ñeán vi
phaïm giaû thuyeát thoâng thöôøng veà phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi cuûa caùc soá haïng sai
soá. Ñieàu ñaùng chuù yù ôû ñaây laø phöông sai xung quanh quan heä trung bình coù ñieàu kieän
môùi ñaàu taêng khi soá naêm taêng nhöng sau ñoù giaûm daàn. Khoâng coù gì ngaïc nhieân caû, bôûi vì
möùc löông hieän thôøi cuûa caùc tieán só khaù caïnh tranh treân thò tröôøng vieäc laøm vaø do vaäy
chuùng ta khoâng theå mong ñôïi nhöõng cheânh leäch cao veà möùc löông. Tuy nhieân, möùc
löông cuûa nhöõng giaùo sö trong bieân cheá coù theå khaùc nhau nhieàu phuï thuoäc vaøo naêng löïc
vaø uy tín cuûa hoï. Sau moät soá naêm, möùc löông taêng theo chieàu höôùng oån ñònh vaø do ñoù
phöông sai coù khaû naêng giaûm bôùt. Chuùng ta seõ ñi saâu vaøo ví duï naøy moät caùch chi tieát hôn
trong Phaàn 8.2 veà vieäc kieåm ñònh phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi.

Hình 8.2 Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi Trong Loâgarít-Salary

Loâgarít cuûa tieàn löông

Soá naêm coù baèng Tieán Só

Giaû söû chuùng ta boû qua phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi vaø söû duïng thuû tuïc OLS ñeå
öôùc löôïng caùc tham soá. Tính chaát cuûa chuùng laø gì? Chuùng coù bò thieân leäch, khoâng hieäu
quaû hay khoâng nhaát quaùn khoâng? Nhöõng kieåm ñònh thoáng keâ coù tieáp tuïc coøn hieäu löïc hay
khoâng? Coù moät thuû tuïc naøo ñoù maø coù löu yù moät caùch roõ raøng ñeán phöông sai cuûa sai soá



thay ñoåi vaø cho ra nhöõng giaù trò öôùc löôïng toát hôn? Nhöõng vaán ñeà naøy laàn löôït seõ ñöôïc ñeà
caäp ngay sau ñaây.

8.1 Caùc Keát Quaû Cuûa Vieäc Boû Qua Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi

Ñaàu tieân chuùng ta nghieân cöùu ñeán nhöõng quan heä cuûa vieäc söû duïng thuû tuïc OLS ñeå öôùc
löôïng caùc heä soá hoài qui khi coù söï hieän dieän phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi. Moâ hình laø

Yt = β1 + β2Xt2 + … + β kXtk + ut

vôùi Var (ut|xt) = σ t2 vaø t = 1, 2, …, n. Thay ñoåi duy nhaát laø caùc phöông sai cuûa sai soá seõ
khaùc nhau ñoái vôùi nhöõng giaù trò t khaùc nhau vaø nhöõng giaù trò naøy chöa bieát.

Taùc Ñoäng Leân Tính Chaát Cuûa Caùc Öôùc Löôïng

Nhöõng chöùng minh cuûa Tính Chaát 3.1 vaø 3.2 (phaùt bieåu raèng caùc öôùc löôïng OLS laø
khoâng thieân leäch vaø nhaát quaùn) chæ phuï thuoäc vaøo Giaû Thuyeát 3.3 vaø 3.4 (maø ut coù giaù trò
trung bình baèng khoâng vaø khoâng töông quan vôùi Xt) vaø khoâng phuï thuoäc vaøo Giaû Thuyeát
3.5 hay 3.5a. Do vaäy, caùc tính chaát cuûa söï khoâng thieân leäch vaø söï nhaát quaùn khoâng bò vi
phaïm do vieäc boû qua hieän töôïng phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi vaø söû duïng OLS ñeå öôùc
löôïng α vaø β. Tuy nhieân, trong khi chöùng minh ñònh lyù Gauss-Markov, chuùng ta ñaõ söû
duïng giaû thuyeát cho raèng Var (ut|xt) = σ 2 nhaèm laøm cöïc tieåu phöông sai cuûa moät keát hôïp
tuyeán tính giöõa caùc giaù trò Y. Bôûi vì giaû thuyeát ñoù khoâng coøn ñuùng nöõa, neân khoâng theå
khaúng ñònh raèng öôùc löôïng OLS hieäu quaû hôn. Ñieàu naøy coù nghóa laø öôùc löôïng OLS hieän
giôø laø khoâng hieäu quaû. Coù theå tìm moät öôùc löôïng tuyeán tính khoâng thieân leäch khaùc maø
coù giaù trò phöông sai thaáp hôn öôùc löôïng OLS. Phaàn phuï luïc cuûa chöông naøy minh hoïa
ñieàu naøy ñoái vôùi moâ hình hoài qui tuyeán tính ñôn.

Taùc Ñoäng Leân Caùc Kieåm Ñònh Giaû Thuyeát

Coù theå thaáy raèng (xem Phuï Luïc 8.A) caùc phöông sai vaø ñoàng phöông sai öôùc löôïng cuûa
caùc öôùc löôïng OLS cho caùc giaù trò βi laø thieân leäch vaø khoâng nhaát quaùn khi phöông sai
cuûa sai soá thay ñoåi hieän höõu nhöng bò boû qua (xem Kmenta, 1986, tr. 276–279). Do ñoù,
caùc kieåm ñònh giaû thuyeát khoâng coøn giaù trò nöõa.

Taùc Ñoäng Leân Vieäc Döï Baùo

Chuùng ta vöøa chöùng toû raèng caùc öôùc löôïng OLS vaãn khoâng thieân leäch. Töø ñoù daãn ñeán
caùc döï baùo döïa treân nhöõng giaù trò öôùc löôïng naøy cuõng seõ khoâng thieân leäch. Nhöng vì lyù
do caùc öôùc löôïng laø khoâng hieäu quaû, neân caùc döï baùo cuõng seõ khoâng hieäu quaû. Noùi caùch



khaùc, ñoä tin caäy cuûa nhöõng döï baùo naøy (ño löôøng baèng phöông sai cuûa chuùng) seõ keùm
hôn moät öôùc löôïng thay theá khaùc coù hieäu quaû hôn.
Keát quaû nhaän ñöôïc trong phaàn naøy ñöôïc toùm taét trong Tính Chaát 8.1.

Tính Chaát 8.1 Neáu ta boû qua phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi giöõa nhöõng soá haïng nhieãu ngaãu
nhieân trong moät moâ hình hoài qui vaø söû duïng thuû tuïc OLS ñeå öôùc löôïng caùc tham
soá, thì caùc tính chaát sau coù hieäu löïc:
a. Caùc öôùc löôïng vaø döï baùo döïa treân caùc öôùc löôïng ñoù vaãn khoâng thieân leäch vaø
nhaát quaùn
b. Öôùc löôïng OLS khoâng coøn laø BLUE vaø seõ khoâng hieäu quaû. Caùc döï baùo cuõng
seõ khoâng hieäu quaû
c. Phöông sai vaø ñoàng phöông sai öôùc löôïng cuûa caùc heä soá hoài qui seõ thieân leäch
vaø khoâng nhaát quaùn, vaø do ñoù caùc kieåm ñònh giaû thuyeát (töùc laø kieåm ñònh t vaø
F) khoâng coøn hieäu löïc)

8.2 Kieåm Ñònh Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi

Bôûi vì chuùng ta bieát raèng phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi laøm maát hieäu löïc cuûa caùc keát
quaû kieåm ñònh, neân ta seõ mong muoán kieåm ñònh moät caùch chính thöùc vieäc phöông sai
cuûa sai soá thay ñoåi coù hieän höõu hay khoâng. Trong phaàn naøy, chuùng ta giôùi thieäu caùc kieåm
ñònh ñöôïc söû duïng phoå bieán nhaát ñoái vôùi phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi.
Tuy nhieân, tröôùc khi ñi vaøo thöïc hieän baát kyø kieåm ñònh chính thöùc naøo, khaù laø höõu
ích khi kieåm tra nhöõng phaàn dö cuûa moâ hình baèng caùi nhìn beà ngoaøi ñeå coù ñöôïc moät caûm
giaùc töï tìm xem phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi coù hieän höõu hay khoâng. Thöïc hieän vieäc
naøy baèng caùch bieåu dieãn treân ñoà thò bình phöông cuûa caùc phaàn dö coù ñöôïc töø vieäc aùp
duïng OLS vaøo moâ hình ñang xem xeùt. Söû duïng bình phöông caùc phaàn dö OLS bôûi vì
)
trong moät moâ hình hoài qui, phaàn dö ut laø moät giaù trò öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa soá
haïng sai soá toång theå ut, ngay caû ñoái vôùi söï hieän dieän cuûa phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi.
Do ñoù, moät giaù trò öôùc löôïng deã nhaän thaáy, maëc duø khoâng hoaøn haûo, cuûa phöông sai sai
soá σ t2 = E( ut2 | xt) laø ut2 . Noùi caùch khaùc, caùc phaàn dö bình phöông coù theå ñöôïc söû duïng
ˆ
ñeå öôùc löôïng σ t2 . Tieáp ñeán chuùng ta theå hieän chuùng treân ñoà thò theo moät bieán maø bieán
naøy ñöôïc nghi ngôø laø nguyeân nhaân gaây ra phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi. Neáu moâ hình
coù nhieàu bieán giaûi thích, ta coù theå veõ ut2 theo töøng bieán naøy hoaëc toát hôn laø veõ chuùng
ˆ
)
theo Yt , laø giaù trò thích hôïp cuûa bieán phuï thuoäc söû duïng giaù trò öôùc löôïng OLS. Tuy
nhieân, ta neân thaáy raèng kyõ thuaät ñoà thò naøy chæ coù tính gôïi yù veà phöông sai cuûa sai soá
thay ñoåi vaø khoâng thay theá ñöôïc kieåm ñònh chính thöùc.

VÍ DUÏ 8.2



Söû duïng boä döõ lieäu DATA3-11 ñaõ ñöôïc ñeà caäp trong Ví Duï 8.1, chuùng ta thu ñöôïc moâ
hình loâgarít bình phöông sau ñaây (xem Phaàn Thöïc Haønh Maùy Tính 8.1 ñeå kieåm tra laïi
keát quaû trong phaàn naøy):

ln (SALARY) = 3,809365 + 0,043853 YEARS – 6,273475e-04 YEARS2
(92,15) (9,08) (-5,19)

R 2 = 0,532 d.f. = 219

Giaù trò trong ngoaëc ñôn laø trò thoáng keâ t, cho thaáy coù yù nghóa raát cao. Soá haïng bình
phöông cho pheùp coù khaû naêng xaûy ra lôïi nhuaän bieân giaûm daàn theo kinh nghieäm. Heä soá
aâm yù nghóa maïnh cuûa YEARS2 uûng hoä giaû thuyeát naøy. Ñoái vôùi vieäc kieåm tra baèng ñoà thò
khaû naêng phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi, chuùng ta thu ñöôïc bình phöông caùc phaàn dö
cuûa phöông trình vaø bieåu dieãn chuùng theo kinh nghieäm. Töø Hình 8.3 cho thaáy caùc phaàn
dö bình phöông coù xu höôùng taêng leân theo soá naêm roài sau ñoù giaûm daàn, moät daïng maãu
hình ñaõ ñöôïc giaûi thích trong Ví Duï 8.1. Maëc duø khoâng ñöa ra ôû ñaây (thöïc hieän Phaàn
Thöïc Haønh 8.1 cho ñieàu naøy), ñoà thò phaàn dö bình phöông theo giaù trò döï baùo cuûa
ln(SALARY) cho thaáy moät söï taêng nhieàu hôn roõ reät cuûa phöông sai. Do ñoù coù moät baèng
chöùng coù tính gôïi yù veà phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi trong moâ hình. Trong phaàn keá tieáp,
seõ tieán haønh moät kieåm ñònh chính thöùc ñoái vôùi vieäc naøy.

Hình 8.3 Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi Cuûa Caùc Phaàn Dö Trong Ví Duï 8.2

Phaàn dö bình phöông

Soá naêm coù baèng Tieán Só



Kieåm Ñònh Nhaân Töû Larrange (LM) Ñoái Vôùi Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi
Coù moät soá kieåm ñònh ñoái vôùi phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi vaø chuùng khaùc nhau veà
nguyeân taéc vaø naêng löïc kieåm ñònh. Trong nhöõng kieåm ñònh ñoù, phöông phaùp kieåm ñònh
LM trôû neân phoå bieán trong nhöõng naêm gaàn ñaây. Bôûi vì kieåm ñònh thoáng keâ naøy deã tính
toaùn vaø noù coù theå bao quaùt ñöôïc nhieàu phöông aùn. Trong phaàn naøy, chuùng ta thaûo luaän
kieåm ñònh LM ñoái vôùi phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi theo ba phöông aùn giaû thuyeát veà
nguyeân nhaân gaây ra phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi. Ñaët moâ hình laø

Yt = β1 + β2Xt2 + β3Xt3 + … + βkXtk + ut (8.1)

vôùi phöông sai sai soá laø σ t2 = E( ut2 | xt). Neáu chuùng ta khoâng chæ roõ daïng cuûa αt, thì seõ coù
n, σ vaø k heä soá hoài qui ñeå öôùc löôïng, töùc laø, n + k tham soá ñeå öôùc löôïng. Chæ vôùi n quan
saùt, ñaây laø nhieäm vuï khoâng thöïc hieän ñöôïc. Do ñoù chuùng ta caàn thieát phaûi ñôn giaûn hoùa
nhöõng giaû thuyeát veà phöông sai sai soá. Ba phöông aùn sau ñaây bao quaùt haàu heát caùc
tröôøng hôïp ñaõ thaûo luaän trong lyù thuyeát:
σ t2 = α1 + α2Zt2 + α3Zt3 + … + αpZtp (8.2a)
σt = α1+ α2Zt2 + α3Zt3 + … + αpZtp (8.2b)
ln( σ t2 ) = α1 + α2Zt2 + α3Zt3 + … + αpZtp (8.2c)

ñieàu naøy töông ñöông vôùi

σ t2 = exp (α1 + α2Zt2 + α3Zt3 + … + αpZtp)

vôùi exp vieát taét cuûa haøm muõ, p laø soá heä soá chöa bieát, vaø caùc giaù trò Z laø caùc bieán vôùi
nhöõng giaù trò ñaõ bieát (moät vaøi hoaëc taát caû caùc Z coù theå laø caùc giaù trò X trong moâ hình).
Chuùng ta tham khaûo nhöõng phöông trình naøy nhö nhöõng phöông trình phuï cho phöông
sai cuûa sai soá. Kieåm ñònh Breusch-Pagan (Breusch vaø Pagan, 1979) söû duïng bieåu thöùc
(8.2a), Kieåm ñònh Glesjer (Glesjer, 1969) söû duïng bieåu thöùc (8.2b) vaø kieåm ñònh
Harvey-Godfrey (Harvey, 1976, vaø Godfrey, 1978) söû duïng bieåu thöùc (8.2c). Kieåm
ñònh cuoái cuøng ñöôïc goïi laø phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi boäi bôûi vì phöông sai sai soá
ñöôïc xaùc ñònh nhö tích soá cuûa moät soá caùc soá haïng. Kieåm ñònh Park (Park, 1966) laø moät
tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa kieåm ñònh Harvey-Godfrey vaø khoâng ñöôïc ñeà caäp ñeán moät caùch
rieâng reõ ôû ñaây. Deã thaáy raèng giaû thuyeát khoâng cuûa phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi coù p –
1 raøng buoäc vaø ñöôïc cho bôûi α2 = α3 = … = αp = 0. Theo giaû thuyeát khoâng phöông sai seõ
khoâng ñoåi, coù nghóa laø phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi khoâng toàn taïi. Löu yù raèng trong taát
caû caùc bieåu thöùc treân, chuùng ta giaû ñònh raèng caùc bieán ñaõ bieát Z chòu traùch nhieäm ñoái vôùi
phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi.
Bôûi vì chuùng ta khoâng bieát σt, neân chuùng ta söû duïng giaù trò öôùc löôïng coù ñöôïc töø
vieäc aùp duïng OLS vaøo Phöông Trình (8.1). Do ñoù, chuùng ta seõ söû duïng ut2 cho σ t2 , ut
ˆ ˆ



(giaù trò tuyeät ñoái cuûa ut) cho σt vaø ln( ut2 ) cho ln( σ t2 ). Caùc böôùc tieán haønh kieåm ñònh LM
ˆ
nhö sau:
Böôùc 1 Hoài qui Y theo moät soá haïng khoâng ñoåi, X2, X3, … , vaø Xk, vaø nhaän ñöôïc giaù trò
öôùc löôïng OLS cuûa caùc heä soá β.
Böôùc 2 Tính toaùn phaàn dö ut = Yt - β 1 - β 2Xt2 - β 3Xt3 - … - β kXtk.
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Böôùc 3a Bình phöông caùc phaàn dö vaø hoài qui ut2 theo moät soá haïng khoâng ñoåi, Zt2,
ˆ
Zt3,…, vaø Ztp, vaø nhaän ñöôïc giaù trò öôùc löôïng OLS cho caùc heä soá α. Ñaây chính
laø hoài qui phuï töông öùng vôùi Phöông Trình (8.2a).
Böôùc 3b Tính toaùn giaù trò tuyeät ñoái vaø hoài qui ut theo moät soá haïng khoâng ñoåi, Zt2,
ˆ
Zt3,…, vaø Ztp, vaø nhaän ñöôïc giaù trò öôùc löôïng OLS cho caùc heä soá α. Ñaây chính
laø hoài qui phuï töông öùng vôùi Phöông Trình (8.2b).
Böôùc 3c Laáy loâgarít cuûa bình phöông caùc phaàn dö vaø hoài qui ln( ut2 ) theo moät soá haïng
ˆ
khoâng ñoåi, Zt2, Zt3,…, vaø Ztp, vaø nhaän ñöôïc giaù trò öôùc löôïng OLS cho caùc heä soá
α. Ñaây chính laø hoài qui phuï töông öùng vôùi Phöông Trình (8.2c).
Böôùc 4 Tính toaùn kieåm ñònh thoáng keâ LM = nR2, vôùi n laø soá quan saùt ñöôïc söû duïng
trong vieäc öôùc löôïng hoài qui phuï vaø R2 laø R2 chöa hieäu chænh töø hoài qui naøy.
Böôùc 5 Tính giaù trò p = Prob( χ p−1 >LM), ñoù laø phaàn dieän tích ôû phía beân phaûi cuûa LM
2

trong phaân phoái Chi bình phöông vôùi baäc töï do df laø p – 1.
Böôùc 6 Baùc boû H0: αi = 0 vôùi (i = 2, 3, …, p) vaø keát luaän raèng phöông sai cuûa sai soá
thay ñoåi coù yù nghóa neáu giaù trò p nhoû hôn möùc yù nghóa. Hoaëc laø, tra baûng Chi
bình phöông ñoái vôùi baäc töï do df laø p -1 cho giaù trò tôùi haïn χ p−1 (α), vôùi α laø
2

möùc yù nghóa. Baùc boû H0 neáu LM > χ p−1 (α). Neáu khoâng baùc boû kieåm ñònh, thì
2

khoâng coù baát kyø baèng chöùng naøo uûng hoä phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi.
Trong tröôøng hôïp naøy, OLS laø thuû tuïc öôùc löôïng ñöôïc chaáp nhaän.

Trò thoáng keâ nR2 ñöôïc ñeà caäp ñeán ôû ñaây khoâng phaûi laø trò thoáng keâ kieåm ñònh ñöôïc
ñöa ra bôûi nhöõng taùc giaû ñaàu tieân cuûa nhöõng kieåm ñònh naøy. Ví duï, kieåm ñònh Glesjer
khoâng phaûi laø moät kieåm ñònh Wald. Harvey ñöa ra moät kieåm ñònh tæ leä thích hôïp (xem
Phuï Luïc Chöông 6 veà kieåm ñònh tæ leä thích hôïp). Caùc kieåm ñònh Breusch-Pagan vaø kieåm
ñònh Godfrey kieán nghò moät nöûa toång bình phöông hoài qui (ñònh nghóa trong Chöông 3)
veà hoài qui phuï laø moät kieåm ñònh thoáng keâ, maø noù coù phaân phoái gioáng nhö χ p−1 . Nhö
2

Engle (1984) ñaõ chæ ra, bôûi vì taát caû caùc kieåm ñònh naøy laø nhöõng kieåm ñònh maãu lôùn, cho
neân taát caû kieåm ñònh ñeà xuaát bôûi nhieàu taùc giaû khaùc nhau ñeàu töông ñöông veà maët thao
taùc vôùi kieåm ñònh nhaân töû Lagrange vöøa ñöôïc ñeà caäp ôû treân. Bôûi vì phaân phoái chính xaùc
cuûa nhöõng kieåm ñònh thoáng keâ naøy chöa ñöôïc bieát (ñaëc bieät laø vôùi côõ maãu nhoû), do vaäy
chuùng khaùc nhau veà naêng löïc cuûa kieåm ñònh. Kieåm ñònh bieát roõ nguyeân nhaân gaây neân
phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi caøng chính xaùc, thì naêng löïc cuûa kieåm ñònh ñoù caøng cao.
Do kieåm ñònh LM gaàn töông ñöông vôùi nhöõng kieåm ñònh khaùc (töùc laø, daønh cho nhöõng



côõ maãu lôùn), trò thoáng keâ nR2 laø thích hôïp nhaát vaø noù laø kieåm ñònh ñeà nghò ñöôïc söû duïng.
Ngöôøi ñoïc vôùi nhöõng kieán thöùc veà ñaïi soá ma traän ñöôïc khuyeán khích nghieân cöùu chi tieát
hôn nhöõng vaán ñeà veà kieåm ñònh vaø öôùc löôïng ñoái vôùi söï hieän dieän cuûa phöông sai cuûa
sai soá thay ñoåi trong nhöõng baøi baùo ñaàu tieân cuûa caùc taùc giaû ñaõ trích daãn trong baøi. Cuõng
neân tham khaûo Chöông 12 quyeån saùch cuûa Green (2000) coù moät toùm taét xuaát saéc veà
nhöõng vaán ñeà naøy.

VÍ DUÏ 8.3
Trong Ví Duï 8.1, chuùng ta ñaõ söû duïng moâ hình bình phöông-loâgarít veà löông cuûa nhöõng
giaùo sö vôùi döõ lieäu laáy töø DATA3-11 vaø minh hoïa baèng ñoà thò söï hieän dieän cuûa phöông
sai cuûa sai soá thay ñoåi, vôùi caùc phöông sai sai soá luùc ñaàu taêng theo soá naêm töø khi hoï laáy
ñöôïc baèng Tieán só vaø sau ñoù giaûm daàn. Ñieàu naøy gôïi yù nhöõng moâ hình bình phöông cho
caáu truùc sai soá sau ñaây:

(a) Breusch-Pagan: σ t2 = α1 + α2YEARSt + α3 YEARS2
t

(b) Glesjer: σ t = α1 + α2YEARSt + α3 YEARS2t

(c) Harvey-Godfrey: ln( σ t ) = α1 + α2YEARSt + α3 YEARSt
2 2

Giaû thuyeát khoâng veà phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi töông ñöông vôùi H0: α2 = α3 = 0. Töø
Phaàn Thöïc Haønh Maùy Tính 8.2 vaø Baûng 8.1, chuùng ta thaáy raèng caùc trò thoáng keâ kieåm
ñònh LM töông öùng laø 16,587, 28,923, vaø 35,303. Töø baûng chi-bình phöông, giaù trò tôùi
haïn vôùi baäc töï do df laø 2 vaø möùc yù nghóa 0,001 laø 13,816. Taát caû trò thoáng keâ cuûa kieåm
ñònh LM ñeàu lôùn hôn giaù trò naøy, vaø do vaäy chuùng ta baùc boû giaû thuyeát khoâng cho taát caû
caùc tröôøng hôïp vaø keát luaän raèng coù phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi. Nhö Baûng 8.1 cho
bieát, daáu cuûa giaù trò α2 öôùc löôïng laø daáu döông vaø daáu cuûa giaù trò α3 öôùc löôïng laø daáu aâm
trong caû ba kieåm ñònh, khaúng ñònh raèng maãu hình ñoà thò cuûa vieäc ñaàu tieân phöông sai
taêng daàn vaø sau ñoù giaûm daàn.

Kieåm Ñònh Goldfeld-Quandt
Goldfeld vaø Quandt (1965) ñöa ra moät kieåm ñònh khaùc döïa treân khaùi nieäm cho raèng neáu
phöông sai cuûa sai soá laø nhö nhau cho taát caû caùc quan saùt (töùc laø, neáu chuùng coù tính chaát
phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi), thì phöông sai cho moät phaàn cuûa maãu cuõng seõ töông töï
nhö phöông sai cho moät phaàn khaùc cuõng cuûa maãu ñoù. Do vaäy ta coù theå kieåm ñònh söï
baèng nhau giöõa nhöõng phöông sai cuûa sai soá baèng vieäc söû duïng moät kieåm ñònh F. Kieåm
ñònh trôû thaønh moät tæ soá cuûa hai phöông sai maãu. Chia maãu cuûa nhöõng quan saùt thaønh ba
phaàn, vaø loaïi boû nhöõng quan saùt ôû giöõa. Tieáp ñeán moâ hình seõ ñöôïc öôùc löôïng cho töøng
caëp quan saùt vaø tính toaùn phöông sai phaàn dö. Nhöõng böôùc chính thöùc thöïc hieän kieåm
ñònh Goldfeld-Quandt nhö sau:



Baûng 8.1 Keát Quaû Rieâng Phaàn Cuûa Caùc Kieåm Ñònh LM Trong Ví Duï 8.3 Söû Duïng DATA3-
11

[Ñaàu tieân laáy hoài qui cuûa ln(SALARY) theo moät haèng soá, YEARS, vaø YEARS2. Tieáp theo phaùt ra
caùc bieán: usq = ut2 , absuhat = ut , vaø lnusq = ln( ut2 ). Hoài qui phuï cho ba kieåm ñònh LM ñöôïc cho
ˆ ˆ ˆ
döôùi ñaây, baét ñaàu baèng kieåm ñònh Breusch-Pagan. Giaû thuyeát khoâng laø giaû thuyeát maø caùc heä soá cuûa
YEARS vaø YEARS2 ñeàu baèng khoâng.]

Dependent variable: usq
VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2 Prob (t > | T|)
0) const -0.0111 0.0135 -0.823 0.411484
2) YEARS 0.0061 0.0016 3.866 0.000146 ***
4) YRS2 -0.0001288 0.0000394 -3.271 0.001246 ***

Unadjuste R-squared 0.075 Adjusted R-squared 0.066
Chi-square(2): area to the right of (LM =) 16.586551 = 0.000250

[Giaù trò p thaáp cho bieát bôûi vì khaû naêng baùc boû moät giaû thuyeát ñuùng laø thaáp, neân chuùng ta coù theå baùc
boû moät caùch an toaøn giaû thuyeát khoâng veà phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi vaø keát luaän raèng coù phöông
sai cuûa sai soá thay ñoåi moät caùch yù nghóa. Tieáp ñeán laø hoài qui phuï cho kieåm ñònh Glesjer.]

Dependent variable: absuhat
0) Const 0.0312 0.0241 1.296 0.196278
2) YEARS 0.0144 0.0028 5.118 0.000001 ***
4) YRS2 -0.0002975 0.0000704 -4.227 0.000035 ***


[Giaù trò p thaáp nhö vaäy cho bieát söï hieän höõu cuûa phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi. Tieáp theo laø hoài qui
phuï ñoái vôùi kieåm ñònh Harvey-Godfrey cuõng vôùi giaù trò p thaáp, cho bieát söï hieän höõu cuûa phöông sai
cuûa sai soá thay ñoåi]

Dependent variable: lnusq
0) Const -6.5627 0.3592 -18.268 0.000000 ***
2) YEARS 0.2356 0.0420 5.614 0.000000 ***
4) YRS2 -0.0048 0.0011 -4.548 0.000009 ***




Böôùc 1 Xaùc ñònh moät bieán (VD laø Z) maø phöông sai cuûa sai soá σ t2 quan heä vôùi noù. Ví
duï, giaû ñònh raèng σ t2 nghi ngôø quan heä ñoàng bieán vôùi Zt. Saép ñaët laïi boä döõ
lieäu theo giaù trò taêng daàn cuûa Zt (Zt coù theå laø moät trong nhöõng giaù trò X trong
hoài qui, chaúng haïn nhö thu nhaäp hay daân soá).
Böôùc 2 Chia maãu coù n quan saùt thaønh n1 ñaàu tieân vaø n2 cuoái cuøng, do vaäy loaïi boû taát
caû caùc quan saùt ôû phaàn giöõa töø n1 + 1 ñeán n - n2. Soá quan saùt ñöôïc loaïi boû laø
tuøy yù vaø thöôøng thöôøng laø giöõa moät phaàn saùu hoaëc moät phaàn ba. Löu yù raèng
n1 vaø n2 phaûi lôùn hôn soá heä soá ñöôïc öôùc löôïng
Böôùc 3 Öôùc löôïng nhöõng hoài qui rieâng bieät cho caùc quan saùt töø 1 ñeán n1 vaø töø n – n2
+ 1 ñeán n.
Böôùc 4 Thu ñöôïc toång bình phöông sai soá nhö sau:
n1 n
ESS1 = ∑ ut2 vaø ESS2 =
ˆ
t =1
∑u
ˆ
t = n − n2 +1
2
t

Töø Tính Chaát 4.1c chuùng ta bieát raèng ESS/ σ t2 tuaân theo phaân phoái chi-bình
phöông. Töø Phaàn 2.7, chuùng ta bieát raèng tæ soá giöõa hai giaù trò chi-bình phöông
ñoäc laäp chính laø moät phaân phoái F. Ñieàu naøy gôïi yù cho böôùc keá tieáp.
Böôùc 5 Tính toaùn

σ 2 ESS2 /(n2 − k )
ˆ2
Fc = =
σ 12 ESS1 /(n1 − k )
ˆ
vôùi k laø soá heä soá hoài qui bao goàm luoân caû soá haïng haèng soá. Theo giaû thuyeát
khoâng veà phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi, giaù trò Fc tuaân theo phaân phoái F
vôùi baäc töï do df laø n2 – k vaø n1 – k. Neáu Fc > F*, ñieåm naèm treân phaân phoái F
maø dieän tích veà phía beân phaûi laø 5 phaàn traêm, thì baùc boû giaû thuyeát khoâng veà
phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi vaø keát luaän raèng coù phöông sai cuûa sai soá
thay ñoåi. [Löu yù: Neáu Fc < 1, thì söû duïng 1/Fc. Bôûi vì giaû thuyeát thay theá
thöôøng laø σ 2 > σ 12 .]
2

VÍ DUÏ 8.4
Ñoái vôùi döõ lieäu tieàn löông maø chuùng ta ñang söû duïng ôû ñaây, ñaàu tieân saép xeáp laïi döõ lieäu
theo traät töï taêng daàn theo YEARS vaø keá ñeán öôùc löôïng moâ hình bình phöông-loâgarít cho
75 quan saùt ñaàu tieân vaø quan saùt cuoái cuøng, loaïi boû 72 quan saùt ôû giöõa. Töø keát quaû trong
Phaàn Thöïc Haønh Maùy Tính 8.3 ta coù ñöôïc

σ 12 = 0,015416
ˆ σ 2 = 0,050608
ˆ2 Fc = 3,283



Theo giaû thuyeát khoâng veà phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi, Fc tuaân theo phaân phoái F vôùi
baäc töï do df laø 72 cho töû soá vaø cuøng baäc töï do nhö vaäy cho maãu soá. Giaù trò F* tôùi haïn ñoái
vôùi möùc 1 phaàn traêm naèm giöõa 1,53 vaø 1,84 (xem Baûng A.4a). Do vaäy, kieåm ñònh thoáng
keâ roõ raøng coù yù nghóa, ñieàu naøy gôïi yù raèng chuùng ta neân baùc boû giaû thuyeát khoâng vaø
khaúng ñònh laïi nhöõng keát quaû tröôùc ñaây.

Kieåm Ñònh Cuûa White

Kieåm ñònh Goldfeld-Quandt khoâng höõu ích nhö nhöõng kieåm ñònh LM bôûi vì noù khoâng
theå töông thích vôùi nhöõng tröôøng hôïp maø coù nhieàu bieán keát hôïp gaây neân phöông sai cuûa
sai soá thay ñoåi, nhö trong Phöông Trình (8.2a), (8.2b), vaø (8.2c). Cuõng baèng caùch boû ñi
nhöõng quan saùt ôû giöõa, chuùng ta ñaõ loaïi ra nhöõng thoâng tin coù giaù trò. Ta thaáy raèng kieåm
ñònh Breusch-Pagan laø nhaïy caûm vôùi baát kyø vi phaïm naøo leân giaû thuyeát tieâu chuaån.
(Xem Koenker, 1981, veà vieäc thay ñoåi kieåm ñònh cuûa hoï ñoái vôùi söï hieän höõu cuûa tính
khoâng chuaån taéc.) Taát caû nhöõng kieåm ñònh tröôùc kia ñeàu yeâu caàu moät kieán thöùc tröôùc ñoù
veà caùi maø coù theå gaây neân phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi. White (1980) ñaõ ñöa ra moät
kieåm ñònh tröïc tieáp veà phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi maø noù raát gaàn vôùi kieåm ñònh
Breusch-Pagan nhöng laïi khoâng giaû ñònh baát kyø kieán thöùc naøo tröôùc ñoù veà phöông sai
cuûa sai soá thay ñoåi. Kieåm ñònh cuûa White cuõng laø moät kieåm ñònh LM maãu lôùn vôùi löïa
choïn ñaëc bieät cho caùc giaù trò Z, nhöng noù khoâng phuï thuoäc vaøo giaû thuyeát chuaån taéc. Vì
nhöõng lyù do naøy, kieåm ñònh naøy ñöôïc ñeà nghò hôn taát caû caùc kieåm ñònh tröôùc. Ta cuõng coù
theå tieán haønh taát caû caùc kieåm ñònh vaø xem keát quaû naøo laø vöõng chaéc. Caùc böôùc thöïc hieän
kieåm ñònh White veà phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi ñöôïc moâ taû theo moâ hình sau. Vieäc
môû roäng nhöõng moâ hình toång quaùt hôn thì khoâng phöùc taïp laém.

Yt = β1 + β2Xt2 + β3Xt3 + ut (8.3)

σ t2 = α1 + α 2 X t 2 + α 3 X t 3 + α 4 X t22 + α 5 X t23 + α 6 X t 2 X t 3 (8.4)

Böôùc 1 Öôùc löôïng (8.3) baèng thuû tuïc OLS vaø nhaän ñöôïc β1 , β 2 , vaø β 3 .
ˆ ˆ ˆ
Böôùc 2 Tính toaùn phaàn dö ut = Yt - β1 - β 2 Xt2 - β 3 Xt3, vaø laáy bình phöông phaàn dö
ˆ ˆ ˆ ˆ
ñoù.
Böôùc 3 Hoài qui phaàn dö ut2 theo moät heä soá khoâng ñoåi, Xt2, Xt3, X t22 , X t23 , vaø Xt2Xt3.
ˆ
Ñaây laø hoài qui phuï töông öùng vôùi (8.4)
Böôùc 4 Tính toaùn trò thoáng keâ nR2, vôùi n laø côõ maãu vaø R2 laø R-bình phöông chöa hieäu
chænh töø hoài qui phuï cuûa Böôùc 3
Böôùc 5 Baùc boû giaû thuyeát khoâng cho raèng α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = 0 neáu nR2 > χ 5 (α),
2

ñieåm α phaàn traêm cao hôn trong phaân phoái chi-bình phöông vôùi baäc töï do df
laø 5.



Maëc duø kieåm ñònh naøy laø moät kieåm ñònh vôùi côõ maãu lôùn, noù khaù höõu ích ñoái vôùi côõ
maãu töø 30 trôû leân. Neáu khoâng baùc boû giaû thuyeát khoâng, Phöông trình (8.4) trôû thaønh σ t2
= α1, haøm yù raèng caùc phaàn dö laø phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi. Kieåm ñònh cuûa White
ñöôïc deã daøng toång quaùt hoaù trong tröôøng hôïp hoài qui boäi vôùi nhieàu hoài qui. Trong tröôøng
hôïp naøy, ñoái vôùi Böôùc 1, chuùng ta hoài qui Y theo moät haèng soá (maø noù phaûi hieän höõu) vaø
cuõng nhö nhieàu hoài qui, töùc laø caàn nhöõng giaù trò X. Roài chuùng ta nhaän ñöôïc nhöõng phaàn
dö töø moâ hình naøy vaø bình phöông chuùng thaønh ut2 . Chuùng ta hoài qui phaàn dö bình
ˆ
phöông theo taát caû caùc bieán trong böôùc ñaàu tieân, coäng vôùi bình phöông cuûa taát caû caùc
bieán ñoäc laäp, coäng vôùi tích soá cheùo giöõa caùc caëp hoài qui. Cuoái cuøng, chuùng ta tính toaùn
trò thoáng keâ nR2 vaø baùc boû hieän töôïng phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi neáu nR2 > χ 2 (α)
vôùi möùc yù nghóa laø α vaø baäc töï do töông ñöông vôùi soá heä soá hoài qui trong hoài qui phuï vôùi
ut2 laø bieán phuï thuoäc, loaïi tröø haèng soá. Löu yù raèng baäc töï do khaùc vôùi baäc töï do nhaän
ˆ
ñöôïc khi söû duïng kieåm ñònh LM ñeå kieåm ñònh nhöõng bieán bò loaïi boû.
Caàn phaûi caån troïng trong vieäc thöïc hieän Böôùc 3, ñaëc bieät laø neáu moät vaøi bieán giaûi
thích laø nhöõng bieán giaû. Neáu Xt2 laø moät bieán giaû, thì X t22 ñoàng nhaát vôùi Xt2 vaø do vaäy
khoâng neân tính ñeán moät caùch rieâng bieät, neáu khoâng chaéc chaén seõ xaûy ra hieän töôïng ña
coäng tuyeán vaø khoâng theå chaïy ñöôïc hoài qui phuï. Thöù hai, neáu Phöông Trình (8.3) coù
nhieàu bieán giaû, Böôùc 3 seõ goàm raát nhieàu bieán (bôûi vì nhöõng soá haïng bình phöông vaø
nhöõng soá haïng tích cheùo nhau). Do vaäy khaû naêng soá bieán trong hoài qui phuï vöôït quaù soá
quan saùt, vaø laøm cho Böôùc 3 khoâng theå thöïc hieän ñöôïc. Trong tröôøng hôïp toång quaùt, vôùi
k bieán giaûi thích, bao goàm caû soá haïng haèng soá, hoài qui phuï seõ coù k(k + 1)/2 soá haïng. Soá
quan saùt phaûi lôùn hôn soá soá haïng naøy vaø vì vaäy n>k(k + 1)/2 laø moät ñieàu kieän caàn thieát.
Neáu baäc töï do coù theå laø moät vaán ñeà, thì moät phöông aùn ñôn giaûn duøng ñeå hoài qui ut2 theo
ˆ
moät haèng soá, Yt , vaø Yt 2 , vôùi Yt laø giaù trò thích hôïp cuûa Yt khi söû duïng giaù trò öôùc löôïng
ˆ ˆ ˆ
OLS. Bôûi vì Yt phuï thuoäc vaøo taát caû caùc X vaø Yt 2 coù taát caû caùc bình phöông vaø tích soá
ˆ ˆ
cheùo giöõa caùc X, neân thuû tuïc naøy laø moät phöông aùn thích hôïp ñeå giaûi quyeát vaán ñeà baäc töï
do df.

VÍ DUÏ 8.5
Ñoái vôùi moâ hình bình phöông-loâgarít söû duïng tröôùc ñaây, caùc bieán bình phöông seõ laø
YEARS2 vaø YEARS4 vaø bieán tích soá cheùo laø YEARS3. Do ñoù, phöông trình phuï cho moâ
hình naøy laø

σ t2 = α1 + σ2YEARS + σ3YEARS2 + α4YEARS3 + α5YEARS4

Hoài qui phaàn dö bình phöông coù ñöôïc töø vieäc aùp duïng OLS vaøo moâ hình bình phöông-
loâgarít theo moät haèng soá vaø theo soá muõ cuûa YEARS, R2 chöa hieäu chænh = 0,09 vaø n =
222 (xem Phaàn Thöïc Haønh Maùy Tính 8.4). Do ñoù, LM = nR2 = 19,98. Giaû thuyeát khoâng
laø αi = 0 vôùi i = 1, 2, …, 5. Döôùi giaû thuyeát naøy, LM coù phaân phoái chi-bình phöông vôùi



baäc töï do df laø 4 vaø möùc yù nghóa 0,001 laø 18,467, nhoû hôn LM. Do vaäy, ôû ñaây chuùng ta
cuõng baùc boû hieän töôïng phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi.

8.3 Caùc Thuû Tuïc Öôùc Löôïng

Neáu giaû thuyeát veà phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi bò baùc boû, chuùng ta gaëp phaûi vaán ñeà
trong vieäc coá gaéng tìm ra nhöõng thuû tuïc öôùc löôïng thay theá maø noù toát hôn thuû tuïc bình
phöông toái thieåu thoâng thöôøng. Trong phaàn naøy, chuùng ta thaûo luaän moät soá phöông phaùp
öôùc löôïng.

Öôùc Löôïng Ma Traän Ñoàng Phöông Sai Nhaát Quaùn Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi
(HCCM)

Trong Tính Chaát 8.1, ñaõ ñeà caäp ñeán caùc phöông sai öôùc löôïng cuûa giaù trò öôùc löôïng OLS
bò thieân leäch vaø khoâng nhaát quaùn, vaø do vaäy nhöõng suy luaän thoáng keâ seõ khoâng coøn hieäu
löïc nöõa. Tuy nhieân, neáu coù theå thu ñöôïc nhöõng giaù trò öôùc löôïng nhaát quaùn ñoái vôùi caùc
phöông sai öôùc löôïng, thì vaãn coù theå coù nhöõng suy luaän coøn hieäu löïc ñoái vôùi nhöõng côõ
maãu lôùn. White (1980) ñöa ra moät phöông phaùp ñeå coù ñöôïc nhöõng öôùc löôïng nhaát quaùn
cuûa phöông sai vaø ñoàng phöông sai cuûa öôùc löôïng OLS, maø oâng ta goïi laø Öôùc Löôïng Ma
Traän Ñoàng Phöông Sai Nhaát Quaùn Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi (HCCM).
Messer vaø White (1984) cho thaáy coù theå coù ñöôïc moät öôùc löôïng HCCM baèng caùch söû
duïng keát hôïp caùc hoài qui thoâng thöôøng. Vieäc naøy ñaõ ñöôïc môû roäng bôûi MacKinnon vaø
White (1985), hoï ñaõ nghieân cöùu ba phöông phaùp khaùc nhau ñeå coù ñöôïc giaù trò öôùc löôïng
HCCM. Hoï keát luaän töø nhöõng maãu thöïc nghieäm raèng öôùc löôïng vôùi tính chaát côõ maãu nhoû
toát nhaát thì döïa vaøo caùi maø nhöõng nhaø thoáng keâ thöôøng ví ñeán nhö Jackknife (con dao
xeáp) (Effron, 1982). Trong nhöõng soá haïng ñôn giaûn, moät öôùc löôïng Jackknife tröôùc heát
seõ öôùc löôïng moät moâ hình n laàn, moãi laàn boû ñi moät quan saùt. Vieäc naøy seõ phaùt sinh ra
moät chuoãi caùc giaù trò öôùc löôïng maø tính chaát thay ñoåi ñöôïc cuûa noù seõ ñöôïc taän duïng
trong vieäc xaây döïng öôùc löôïng Jackknife nhö moät giaù trò trung bình cuûa caùc phöông sai
vaø ñoàng phöông sai rieâng bieät.

VÍ DUÏ 8.6
Ñoái vôùi ví duï tieàn löông maø chuùng ta ñang söû duïng, caû hai giaù trò öôùc löôïng OLS vaø
HCCM cuûa caùc sai soá chuaån ñeàu coù ñöôïc töø vieäc söû duïng chöông trình GRETL vaø
SHAZAM (xem Phaàn Thöïc Haønh Maùy Tính 8.5). Keát quaû naèm ôû phaàn keá tieáp vôùi nhöõng
sai soá chuaån OLS trong ngoaëc ñôn; nhöõng sai soá chuaån HCCM töø chöông trình GRETL
naèm trong ngoaëc vuoâng, vaø nhöõng sai soá chuaån HCCM töø chöông trình SHAZAM naèm
trong ngoaëc moùc. Nhöõng giaù trò öôùc löôïng HCCM cuûa phöông sai cuûa öôùc löôïng laø nhaát
quaùn, trong khi nhöõng giaù trò öôùc löôïng OLS thì laïi khoâng, nhöng nhöõng giaù trò öôùc löôïng
cuûa caùc heä soá hoài qui vaø R bình phöông seõ khoâng thay ñoåi ( R 2 = 0,532).



ln (SALARY) = 3,809 + 0,044 YEARS – 6,27e-04 YEARS2
(0,041) (0,0048) (1,209-04)
[0,027] [0,0046] [1,256e-04]
{0,026} {0,0043} {1,171e-04}
Lyù do coù söï khaùc bieät raát ít trong caùc giaù trò öôùc löôïng ñoái vôùi nhöõng sai soá chuaån giöõa
chöông trình GRETL vaø SHAZAM laø chöông trình ñaàu söû duïng hieäu chænh Jackknife ñaõ
ñöôïc thaûo luaän tröôùc ñaây, trong khi ñoù chöông trình sau thì khoâng söû duïng. Chuùng ta löu
yù raèng taát caû caùc heä soá ñeàu ôû möùc yù nghóa thaáp hôn 0,001.

Bình phöông toáí thieåu toång quaùt (hoaëc troïng soá)

Xeùt moâ hình trong Phöông trình (8.3) .vaø chia caùc soá haïng cho σt, ñoä leäch chuaån cuûa ut.
Chuùng ta coù moâ hình hieäu chænh

Yt 1 Xt2 Xt3 ut
= β1 + β2 + β3 +
σt σt σt σt σt

hoaëc

* * *
Yt* = β1Xt1+ β2Xt2 + β3Xt3 + ut* (8.5)

Vôùi daáu sao kyù hieäu caùc bieán töông öùng chia cho σt. Chuùng ta coù

 ut  Var(ut)
Var(ut*) = Var   = =1
σt  σt2
Vì vaäy, Phöông trình (8.5) thoûa maõn taát caû caùc ñieàu kieän ñoøi hoûi ñoái vôùi caùc öôùc
löôïng OLS ñeå coù ñöôïc caùc tính chaát mong muoán. Do ñoù, caùc öôùc löôïng coù ñöôïc baèng
* * *
caùch hoài qui Yt* theo Xt1, Xt2 vaø Xt3 (khoâng coù soá haïng khoâng ñoåi) seõ coù tính BLUE.
Thuû tuïc vöøa ñöôïc moâ taû laø moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa moät phöông phaùp toång quaùt hôn
goïi laø bình phöông toái thieåu toång quaùt (GLS). Maëc duø thuû tuïc GLS coù veû ñôn giaûn,
nhöng vaán ñeà veà thöïc haønh laø σt khoâng bieát ñöôïc, vaø do ñoù chuùng ta khoâng theå öôùc
löôïng Phöông trình (8.5) maø khoâng coù theâm caùc giaû thieát khaùc.
Thuû tuïc GLS ñöôïc aùp duïng cho tröôøng hôïp phöông sai thay ñoåi thì cuõng gioáng nhö
thuû tuïc bình phöông toái thieåu coù troïng soá (WLS). Ñaët wt = 1/σt vaø löu yù laø (8.5) coù theå
ñöôïc vieát laïi nhö sau:

wt Yt = β1 wt + β2( wtXt2) + β3( wtXt3) + (wt ut) (8.6)



So saùnh (8.5) vaø (8.6), chuùng ta thaáy ngay laø cöïc tieåu toång bình phöông cuûa ut töông
ñöông vôùi cöïc tieåu toång bình phöông coù troïng soá cuûa dö soá:

∑(wt ut)2 = ∑(wt Yt − β1 wt − β2 wtXt2 − β3 wtXt3)2 (8.7)

Vì vaäy, moãi quan saùt cuûa töøng bieán (goàm caû soá haïng khoâng ñoåi) ñöôïc cho troïng soá wt,
nghòch ñaûo vôùi ñoä leäch chuaån cuûa ut. Ñieàu naøy coù nghóa laø caùc quan saùt maø trong ñoù σt
lôùn ñöôïc cho troïng soá thaáp trong thuû tuïc WLS. Deã daøng chöùng minh ñöôïc laø (xem Baøi
taäp 8.1) caùc öôùc löôïng thu ñöôïc hoaøn toaøn gioáng vôùi caùc öôùc löôïng coù ñöôïc baèng caùch aùp
duïng OLS cho Phöông trình (8.5). Coù theå thaáy laø caùc öôùc löôïng bình phöông toái thieåu
troïng soá cuõng thích hôïp cöïc ñaïi nhö trong tröôøng hôïp sai soá chuaån (xem Baøi taäp 8.2)
Caàn löu yù raèng, do caùc soá haïng sai soá cuûa Phöông trình bieán ñoåi (8.5) laø “ngaãu
nhieân” theo ñònh lyù Gauss-Markov, caùc öôùc löôïng WLS hieäu quaû hôn caùc öôùc löôïng
OLS. Thöïc teá, caùc öôùc löôïng naøy laø BLUE, mieãn laø caùc troïng soá baèng moät tyû soá bieát
tröôùc nhö trong tröôøng hôïp ôû phaàn tieáp theo.

Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi vôùi tyû soá bieát tröôùc
Tröôùc tieân xem xeùt moät tröôøng hôïp ñôn giaûn trong ñoù caáu truùc cuûa phöông sai cuûa sai soá
thay ñoåi coù daïng cuï theå bieát tröôùc. Trong moâ hình ôû Phöông trình (8.3), giaû söû tính
phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi sao cho ñoä leäch chuaån cuûa sai soá σt tyû leä vôùi Zt bieát tröôùc.
Cuï theå hôn, giaû söû Phöông trình (8.5) nhö sau:

Var(ut) = σt2 = σ2Zt2 hoaëc töông ñöông σt = σZt (8.8)

vôùi caùc giaù trò cuûa Zt bieát tröôùc vôùi moïi t. Noùi caùch khaùc, ñoä leäch chuaån cuûa phaàn dö tyû
leä vôùi moät soá bieán Zt bieát tröôùc, haèng soá cuûa tyû leä naøy laø σ (chöa bieát). Trong ví duï tröôùc
ñaây veà chi tieâu cho tieâu duøng, Zt seõ laø thu nhaäp hoä gia ñình, vaø trong ví duï veà toäi phaïm,
Zt seõ laø daân soá cuûa thaønh phoá. Ngoaïi tröø söï thay ñoåi naøy ra, ut ñöôïc xem laø thoûa maõn taát
caû caùc giaû thieát khaùc ñeå aùp duïng OLS. Chia moãi soá haïng cuûa Phöông trình (8.3) cho Zt,
Yt 1 Xt 2 Xt 3 ut
= β1 + β2 + β3 +
Zt Zt Zt Zt Zt
hoaëc
Yt* = β1X*t1 + β2X*t2 + β3X*t3 + ut* (8.9)

vôùi daáu sao kyù hieäu caùc bieán töông öùng ñöôïc chia cho Zt. Chuùng ta coù
 ut  Var (ut)
Var(ut*) = Var  = = σ2
Zt Zt2

Vì vaäy, Phöông trình (8.9) thoûa maõn taát caû caùc ñieàu kieän yeâu caàu ñoái vôùi caùc öôùc
löôïng OLS ñeå coù caùc tính chaát mong muoán. Do ñoù, caùc öôùc löôïng coù ñöôïc baèng caùch hoài
qui Yt* theo X*t1, X*t2 vaø X*t3 seõ laø BLUE (khi σt2 = σ2Zt2). Ñaây cuõng gioáng nhö WLS



vôùi wt = 1/Zt. Löu yù laø Phöông trình (8.9) khoâng coù moät soá haïng khoâng ñoåi tröø khi Xt2
hoaëc Xt3 hoaøn toaøn gioáng Zt. Vì caùc öôùc löôïng GLS laø BLUE, caùc öôùc löôïng OLS cuûa
(8.3) seõ khoâng hieäu quaû.

VÍ DUï 8.7
DATA8-2 chöùa döõ lieäu cheùo veà toång chi tieâu cho di chuyeån (EXPTRAV) vaø thu nhaäp caù
nhaân töông öùng (INCOME) cuûa 50 tieåu bang ôû Myõ vaø Quaän Columbia. Caû hai ñöôïc tính
baèng tyû ñoâla. Haõy xeùt ñöôøng töông quan Engel sau

EXPTRAVt = α + β INCOMEt + ut

Chuùng ta coù theå kyø voïng laø caùc phöông sai cuûa sai soá coù tính thay ñoåi vaø taêng theo daân
soá. Noùi caùch khaùc, caùc tieåu bang coù daân soá cao coù veû seõ coù bieán ñoåi nhieàu hôn trong chi
tieâu cho di chuyeån so vôùi caùc tieåu bang nhoû. Do ñoù, moät ñaëc tröng hôïp lyù laø σt = σPOPt
hoaëc töông ñöông, Var(ut) = σt2 = σ2 POPt2. Giaû thieát cho raèng ñoä leäch chuaån tyû leä vôùi
daân soá seõ töông ñöông vôùi giaû thieát phöông sai tyû leä vôùi bình phöông cuûa daân soá. Nhö
böôùc ñaàu tieân, chuùng ta söû duïng kieåm ñònh Glesjer ñoái vôùi tính chaát phöông sai cuûa sai
soá thay ñoåi vaø keát quaû laø coù yù nghóa (xem Baûng 8.2 coù töø Baøi taäp thöïc haønh maùy tính
Phaàn 8.6). Chia moãi soá haïng trong moâ hình cho POPt, chuùng ta coù

EXPTRAVt  1  INCOMEt ut
= α  + β  + (8.10)
POPt  POPt  POPt  POPt

Deã daøng chöùng minh ñöôïc soá haïng sai soá trong Phöông trình (8.10) coù phöông sai khoâng
ñoåi vì giaû thieát laø σt = σ POPt. Do ñoù, chuùng ta coù theå aùp duïng OLS cho Phöông trình
(8.10). Löu yù laø bieán phuï thuoäc môùi ñôn giaûn laø chi tieâu cho di chuyeån treân ñaàu ngöôøi.
Töông töï nhö vaäy, caùc bieán ñoäc laäp môùi laø thu nhaäp treân ñaàu ngöôøi vaø nghòch ñaûo cuûa
daân soá, khoâng coù soá haïng khoâng ñoåi. Vì vaäy, chuùng ta thaáy laø thieát laäp moät moâ hình vôùi
caùc soá haïng bình quaân ñaàu ngöôøi seõ theå hieän ñöôïc baát kyø tính chaát phöông sai cuûa sai soá
thay ñoåi naøo xuaát hieän do kích thöôùc cuûa daân soá. Neáu daân soá coù vai troø trong moâ hình,
moät caùch tieán haønh toát laø theå hieän moâ hình döôùi daïng caùc soá haïng bình quaân ñaàu ngöôøi.
Moâ hình ñöôïc öôùc löôïng nhö sau, vôùi caùc trò thoáng keâ trong ngoaëc ñôn vaø R2 hieäu chænh
cuûa moâ hình bieán ñoåi (xem Baûng 8.2 vaø Baøi taäp thöïc haønh maùy tính Phaàn 8.6):

EXPTRAV  1  INCOME
  = 0,737   + 0,059 
 POP  POP  POP 
(2,2) (4,8)
−
R2 = 0,174 F = 42,2



Caàn nhaän thaáy laø trong khi OLS ñöôïc aùp duïng cho moâ hình bieán ñoåi, dieãn dòch cuûa caùc
heä soá laø cuûa phöông trình nguyeân thuûy. Vì vaäy, heä soá ñöôïc öôùc löôïng cuûa 1/POP laø heä
soá cuûa soá haïng tung ñoä goác, vaø heä soá ñöôïc öôùc löôïng cuûa INCOME/POP laø heä soá cuûa xu
höôùng bieân teá cuûa thu nhaäp theo tieâu duøng cho di chuyeån.
−
Maëc duø R2 coù veû thaáp, noù lieân quan ñeán moâ hình bieán ñoåi chöù khoâng phaûi cuûa ñaëc tröng
goác ôû caùc möùc yù nghóa. Tuy nhieân, trò thoáng keâ F coù yù nghóa ôû möùc 1 phaàn traêm. Caû caùc
trò thoáng keâ t cuõng coù yù nghóa ôû möùc thaáp hôn 4 phaàn traêm. Nhö trong Baûng (8.2), moät
kieåm ñònh Glesjer ñaõ ñöôïc aùp duïng cho moâ hình bieán ñoåi vaø khoâng coù tính chaát phöông
sai cuûa sai soá thay ñoåi coù yù nghóa.

Bình Phöông Toái Thieåu Toång Quaùt Khaû Thi (FGLS)

Thuû tuïc bình phöông toái thieåu toång quaùt ñaõ ñöôïc thaûo luaän tröôùc ñaây goàm vieäc chia moãi
bieán (goàm caû soá haïng khoâng ñoåi) cho σt (ñoä leäch chuaån cuûa soá haïng sai soá) vaø sau ñoù aùp
duïng thuû tuïc bình phöông toái thieåu thoâng thöôøng cho moâ hình bieán ñoåi nhaän ñöôïc. Vì
caáu truùc cuûa phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi moät caùch toång quaùt laø khoâng bieát (nghóa laø,
σt khoâng bieát tröôùc), moät nhaø nghieân cöùu tröôùc tieân phaûi coù caùc öôùc löôïng cuûa σt baèng
moät soá caùch vaø sau ñoù söû duïng thuû tuïc bình phöông toái thieåu coù troïng soá. Harvey (1976)
vaø Greene (2000) goïi thuû tuïc naøy laø bình phöông toái thieåu toång quaùt khaû thi (FGLS).
Tuy nhieân, thuû tuïc thöïc söï ñeå öôùc löôïng σt bieán ñoåi nhieàu trong thöïc teá. Ñeå bieát theâm
chi tieát veà caùc vaán ñeà naøy vaø caùc phöông phaùp lieân quan, haõy tham khaûo Harvey (1976),
Judge et al. (1985), Kmenta (1986), vaø Greene (2000).

Baûng 8.2 Keát Quaû Rieâng Phaàn Cuûa Ví Duï 8.7 Söû Duïng DATA8-2

[Ñaàu tieân hoài qui exptrav theo moät haèng soá vaø thu nhaäp sau ñoù chaïy hoài qui phuï ñoái vôùi
kieåm ñònh Glesjer]
^
Dependent variable: |ut|
VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t>|T|)

0) const 0.7312 0.4100 1.783 0.080757 *
3) pop 0.1774 0.0543 3.264 0.002004 ***

Unadjusted R – squared 0.179 Adjusted R-squared 0.162
Chi-squaared (1): area to the right of (LM =) 9.110000 = 0.002542

[Giaù trò p thaáp cho thaáy vì xaùc suaát baùc boû moät giaû thuyeát ñuùng laø thaáp, chuùng ta coù theå
an toaøn baùc boû giaû thuyeát khoâng veà phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi vaø keát luaän laø phöông
sai cuûa sai soá thay ñoåi coù yù nghóa. Böôùc tieáp theo laø chia moâ hình cho pop vaø öôùc löôïng
baèng OLS. Tröôùc tieân phaûi taïo ra caùc bieán sau.]



pcex = exptrav/pop
pcincm = income/pop
invpop = 1/pop

Dependent variable: pcexp
8) invpop 0.7368 0.3323 2.218 0.031250 **
7) pcincm 0.0586 0.0123 4.775 0.000017 ***

R-squared is the square of the correlation between the observed and fitted values of
dependent variable.
Error Sum of Sq (ESS) 78.6612 Std Err of Resid. (sgmahat) 1.2670
Unadjusted R-squared 0.191 Adjusted R-squared 0.174

[Kieåm ñònh moâ hình bieán ñoåi ñoái vôùi tính chaát phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi baèng caùch
hoài qui giaù trò tuyeät ñoái cuûa phaàn dö töø hoài qui treân theo moät haèng soá vaø bieán daân soá]
0) const 0.8367 0.2018 4.147 0.000133 ***
3) pop −0.0426 0.0267 −1.593 0.117531

Unadjusted R-squared 0.049 Adjusted R-squared 0.030
Chi-squared(1): area to the right of (LM = ) 2.511978 = 0.112984
[Giaù trò p cao cho thaáy chuùng ta khoâng theå baùc boû tính chaát phöông sai cuûa sai soá khoâng
ñoåi ôû möùc yù nghóa 10 phaàn traêm vaø do ñoù OLS laø chaáp nhaän ñöôïc.]

Trong phaïm vi caùc kieåm ñònh LM ñaõ ñöôïc thaûo luaän trong chöông naøy, phöông phaùp töï
nhieân ñeå öôùc löôïng ñoä leäch chuaån cuûa sai soá hoaëc phöông sai laø khai thaùc thoâng tin trong
^
hoài qui phuï. Ñaët αi ñaïi dieän cho caùc öôùc löôïng cuûa caùc thoâng soá cuûa phöông trình phuï.
Neáu chuùng ta thay theá vaøo phöông trình naøy, chuùng ta coù caùc phöông sai döï baùo töông
öùng hoaëc ñoä leäch chuaån döïa vaøo ñoù ta coù theå thieát laäp ñöôïc caùc troïng soá thích hôïp. Caùc
böôùc thuû tuïc cuûa FGLS nhö sau:
Böôùc 1 Hoài qui Y theo moät soá haïng khoâng ñoåi, X2, X3, …, vaø Xk vaø coù ñöôïc caùc öôùc
löôïng OLS cuûa caùc β.
^ ^ ^ ^ ^
Böôùc 2 Tính caùc phaàn dö theo ut = Yt − β1 − β2Xt2 − β3Xt3 − … − βkXtk.
^
Böôùc 3 Hoài qui ut2 theo moät soá haïng khoâng ñoåi, Zt2, Zt3, …, vaø Ztp vaø coù ñöôïc caùc öôùc
löôïng OLS cuûa caùc α. Ñaây laø hoài qui phuï töông öùng cuûa Phöông trình (8.2a)
ñoái vôùi kieåm ñònh Breusch-Pagan vaø ñoái vôùi kieåm ñònh White trong ñoù caùc Z
laø giaù trò X nguyeân thuûy, bình phöông cuûa chuùng vaø tích cheùo. Keá tieáp, thay
^
caùc öôùc löôïng naøy vaøo Phöông trình (8.2a) vaø coù ñöôïc σt2. Caùc troïng soá laø
caùc giaù trò nghòch ñaûo cuûa caên baäc hai cuûa caùc phöông sai ñöôïc öôùc löôïng;
^
nghóa laø, wt = 1/ σt2.
Toàn taïi moät vaán ñeà laø khoâng coù gì baûo ñaûm laø caùc phöông sai döï baùo seõ
döông vôùi moïi t. Neáu baát kyø phöông sai döï baùo naøo coù giaù trò baèng khoâng thì



heä soá töông öùng seõ khoâng xaùc ñònh. Neáu baát kyø phöông sai döï baùo naøo coù giaù
trò aâm, chuùng ta khoâng theå laáy caên baäc hai. Neáu tröôøng hôïp naøy xaûy ra ñoái
^
vôùi moät soá quan saùt thì chuùng ta coù theå söû duïng ut2 goác vaø laáy caên baäc hai
döông cuûa chuùng.
^
Böôùc 3b Hoài qui | ut| theo moät soá haïng khoâng ñoåi, Zt2, Zt3, … vaø Ztp vaø coù ñöôïc caùc öôùc
löôïng OLS cuûa caùc α. Ñaây laø hoài qui phuï töông öùng vôùi Phöông trình (8.2b)
ñoái vôùi kieåm ñònh Glesjer. Keá ñeán, thay caùc öôùc löôïng naøy vaøo Phöông trình
^
(8.2b) vaø coù ñöôïc σt. Caùc troïng soá laø giaù trò nghòch ñaûo cuûa chuùng. ÔÛ ñaây,
moät laàn nöõa chuùng ta gaëp vaán ñeà ñoä leäch chuaån khoâng döông. Neáu tröôøng
^
hôïp naøy xaûy ra, chuùng ta coù theå söû duïng |ut| töông öùng vaø giaù trò nghòch ñaûo
^
cuûa noù, ñaët wt = 1/|ut|.
^
Böôùc 3c Hoài qui ln (ut2) theo moät soá haïng khoâng ñoåi, Zt2, Zt3, …, vaø Ztp vaø coù ñöôïc caùc
öôùc löôïng OLS cuûa caùc α. Ñaây laø hoài qui phuï töông öùng vôùi Phöông trình
(8.2c) ñoái vôùi kieåm ñònh Harvey-Godfrey. Keá tieáp, thay nhöõng öôùc löôïng
naøy vaøo Phöông trình (8.2c) vaø coù ln (σt2). Laáy ñoái log (nghóa laø haøm soá muõ)
ñeå coù caùc phöông sai döï baùo. Caùc troïng soá laø nghòch ñaûo cuûa caên baäc hai cuûa
caùc phöông sai ñöôïc öôùc löôïng. Löu yù laø, vì haøm soá muõ chæ taïo ra nhöõng giaù
trò döông, khoâng coù vaán ñeà phöông sai aâm hoaëc baèng khoâng trong tröôøng hôïp
naøy. Vì lyù do naøy, kieåm ñònh Harvey-Godfrey vaø caùc keát quaû öôùc löôïng
phöông sai lieân quan laø moät thuû tuïc haáp daãn.
Böôùc 4 Öôùc löôïng moâ hình goác baèng thuû tuïc bình phöông toái thieåu coù troïng soá (WLS)
^ ^
söû duïng caùc troïng soá wt = 1/σt, vôùi σt laø ñoä leäch chuaån öôùc löôïng trong Böôùc
3. Cuï theå hôn, nhaân moãi bieán trong moâ hình goàm caû haèng soá, vôùi wt vaø hoài
qui (wtYt) theo wt, (wtX t2), …, (wtXtk), khoâng coù moät soá haïng khoâng ñoåi.

Caùc öôùc löôïng FGLS coù ñöôïc baèng caùch naøy thì nhaát quaùn nhö laø caùc öôùc löôïng
OLS. Tuy nhieân, khoâng nhö OLS, caùc phöông sai vaø caùc ñoàng phöông sai öôùc löôïng cuûa
caùc öôùc löôïng ôû ñaây khoâng nhaát quaùn. Cuõng vaäy, caùc öôùc löôïng moät caùch tieäm caän coù
veû hieäu quaû hôn caùc öôùc löôïng OLS. Tuy nhieân, löu yù laø baèng caùch tính caùc troïng soá töø
maãu, caùc keát quaû öôùc löôïng WLS seõ khoâng thieân leäch.
Neân löu yù laø do thuû tuïc WLS bieán ñoåi bieán phuï thuoäc baèng caùch suû duïng bieán troïng
soá, caùc phöông phaùp thoâng thöôøng ñeå tính R2 khoâng coù hieäu löïc. Moät phöông phaùp coù
veû tröïc giaùc laø tính R2 nhö laø bình phöông cuûa heä soá töông quan giöõa caùc giaù trò quan saùt
vaø giaù trò thích hôïp cuûa bieán phuï thuoäc goác. Chaéc chaén laø baïn phaûi bieát chöông trình
maùy tính cuûa baïn tính R2 nhö theá naøo.
ÔÛ ñaây cuõng caàn löu yù ñeán vieäc söû duïng caùc leänh vieát saün cho öôùc löôïng WLS vì
caùc chöông trình khaùc nhau trong caùch thöïc hieän. Ví duï, trong EVIEWS vaø GRETL,
^
bieán troïng soá laø wt = 1/σt, WLS ñöôïc thöïc hieän baèng caùch hoài qui (wtYt) theo wt vaø
^
(wtXti) vôùi i = 2, …, k. Ngöôïc laïi, SHAZAM yeâu caàu troïng soá cuï theå baèng 1/σt2. Tröôùc
khi öôùc löôïng, laáy caên baäc hai döông vaø nhaân vôùi bieán phuï thuoäc vaø bieán ñoäc laäp nhö ñaõ



neâu ôû ñaây. Vì vaäy, vieäc quan troïng laø baïn phaûi hieåu roõ chöông trình cuûa baïn tính nhö
theá naøo.

VÍ DUÏ 8.8
Ñoái vôùi döõ lieäu veà löông cuûa giaùo sö, chuùng ta ñaõ thaáy laø moâ hình baäc hai-log theå hieän
tính phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi (xem Ví duï8.3 vaø 8.5). Chuùng ta ñaõ söû duïng caùc
coâng thöùc phöông sai ñöôïc ñeà xuaát bôûi Glesjer, Breusch-Pagan, White, vaø Harvey-
Godfrey ñeå coù ñöôïc boán öôùc löôïng khaùc nhau cuûa moâ hình. Caùc keát quaû ñöôïc toùm taét
trong Baûng 8.3

Baûng 8.3 Caùc Öôùc Löôïng FGLS Cuûa Moâ Hình Log-Löông Söû Duïng Hoài Qui
Phuï Töø Caùc Kieåm Ñònh LM

Bieán Glesjer Breusch- White Harvey-
Pagan Godfrey
CONSTANT 3,842 3,869 3,848 3,828
(0,019) (0,011) (0,013) (0,020)
YEARS 0,037 0,031 0,0369 0,038
(0,003) (0,003) (0,003) (0,003)
YRS2 −4,068e-04 −2,392e-04 −4,514e-04 -4,433e-04
(7,949e-05) (6,217e-05) (9,481e-05) (8,27e-05)
Adj Rsq 0,524 0,507 0,528 0,526
SGMASQ 0,043652 0,045382 0,043375* 0,043531
AIC 0,044242 0,045995 0,043961* 0,044119
FPE 0,044242 0,045995 0,043961* 0,044119
HQ 0,045071 0,046857 0,044785* 0,044946
SCHWARZ 0,046324 0,048159 0,046030* 0,046195
SHIBATA 0,044226 0,045978 0,043945* 0,044103
GCV 0,044250 0,046003 0,043969* 0,044127
RICE 0,044259 0,046012 0,043977* 0,044136

Caùc giaù trò trong ngoaëc laø caùc sai soá chuaån töông öùng. Caùc daáu sao kyù hieäu moâ hình vôùi tieâu chuaån choïn
moâ hình thaáp nhaát. Caùc giaù trò cuûa AIC vaø FPE gioáng nhau chæ laø tình côø. Caùc giaù trò naøy khaùc nhau ngoaøi
saùu soá thaäp phaân.

Baûng 8.4 Caùc böôùc thöïc hieän treân maùy tính ñoái vôùi Ví duï 8.8 veà Öôùc löôïng baèng
FGLS Söû duïng DATA8-1

2 ^
1. Hoài qui ln(SALARY) theo moät haèng soá, YEARS vaø YEAR , vaø cheùp caùc soá dö (u
t).
^ ^ 2 ^ 2
2. Phaùt absuhat = | ut|, usq = ut , vaø lnusq = ln (ut ).



2
3. Hoài qui absuhat theo moät haèng soá, YEARS vaø YEARS , vaø cheùp caùc giaù trò
“thích hôïp” thaønh absuhat1. Ñaây laø σt öôùc löôïng cuûa ñaëc tröïng Glesjer. May
maén thay, taát caû caùc giaù trò naøy ñeàu döông.
4. Tính wt1 = 1/absuhat1 vaø duøng noù nhö laø troïng soá ñeå coù caùc öôùc löôïng bình
phöông toái thieåu coù troïng soá FGLS.
5. Ñoái vôùi caùc ñaëc tröng Breusch-Pagan, hoài qui usq theo moät haèng soá, YEARS, vaø
YEARS2, vaø cheùp caùc giaù trò “thích hôïp” thaønh usqhat1. Ñaây laø caùc giaù phöông
sai cuûa sai soá öôùc löôïng. Tuy nhieân, ba quan saùt coù giaù trò aâm, laø khoâng theå chaáp
nhaän. Thay theá caùc giaù trò aâm naøy baèng caùc giaù trò usq goác, vaø goïi nhöõng giaù trò
thay theá naøy laø “usqhat2”. Moät caùch deã daøng ñeå thöïc hieän vieäc naøy laø tröôùc tieân
söû duïng chöông trình hoài qui cuûa baïn phaùt ra moät bieán giaû, goïi laø d1, bieán naøy coù
giaù trò baèng 1 cho moïi giaù trò döông cuûa usqhat1 vaø ngoaøi ra seõ baèng 0. Keá tieáp
phaùt usqhat2 = (d1*usqhat1) + ((1 − d1)*usq).
6. Tính wt2 = 1/sqrt(usqhat2), vaø söû duïng laøm troïng soá ñeå coù ñöôïc caùc öôùc löôïng
bình phöông toái thieåu coù troïng soá FGLS (sqrt laø haøm caên soá baäc hai).
7. Ñoái vôùi ñaëc tröng cuûa kieåm ñònh White, hoài qui usq theo moät haèng soá, YEARS,
YEARS2, YEARS3 vaø YEARS4, vaø cheùp caùc giaù trò “thích hôïp” thaønh usqhat3.
Ñaây laø caùc phöông sai cuûa sai soá öôùc löôïng. Tuy nhieân, ôû ñaây cuõng coù ba quan
saùt coù giaù trò aâm caàn phaûi thay theá baèng caùc giaù trò usq goác (xem Böôùc 5). Goïi
chuoãi caùc giaù trò thay theá laø “usqhat4”
8. Tính wt3 = 1/sqrt(usqhat4), vaø söû duïng laøm troïng soá ñeå coù caùc öôùc löôïng bình
phöông toái thieåu coù troïng soá FGLS.
9. Ñoái vôùi ñaëc tröng Harvey-Godfrey, hoài qui lnusq theo moät haèng soá, YEARS vaø
YEARS2, cheùp caùc giaù trò “thích hôïp” thaønh lnsq1, vaø laáy ñoái log (nghóa laø laáy
haøm muõ) ñeå coù ñöôïc usqhat5, caùc phöông sai cuûa sai soá öôùc löôïng. Vì haøm muõ
chæ taïo ra caùc giaù trò döông, khoâng coù vaán ñeà phöông sai aâm ôû ñaây.
10. Tính wt4 = 1/sqrt(usqhat5), vaø söû duïng laøm troïng soá ñeå coù ñöôïc caùc öôùc löôïng
bình phöông toái thieåu coù troïng soá FGLS.

Baûng 8.4 moâ taû caùc böôùc thöïc hieän vieäc naøy, vaø caàn phaûi nghieân cöùu kyõ caùc böôùc
naøy tröôùc khi tieán haønh.
Chuùng ta thaáy töø baûng 8.3 laø caùc öôùc löôïng maïnh moät caùch ñaùng ngaïc nhieân theo
toaøn boä caùc phöông phaùp ñöôïc söû duïng ôû ñaây. Taát caû caùc heä soá ñeàu coù yù nghóa thoáng keâ
ôû möùc thaáp hôn 0,0001. Chæ coù söï leäch duy nhaát laø cuûa caùc öôùc löôïng Breusch-Pagan
ñoái vôùi YEARS vaø YEARS2. Vì R2 hieäu chænh vaø caùc trò thoáng keâ löïa choïn moâ hình
^
khoâng coù yù nghóa ñoái vôùi moâ hình bieán ñoåi coù ñöôïc baèng caùch chia ln(SALARY) cho σt,
caùc öôùc löôïng naøy ñöôïc tính baèng caùch söû duïng toång bình phöông sai soá cuûa moâ hình baäc
hai-log khoâng bieán ñoåi. Chuùng ta thaáy töø Baûng 8.3 laø phöông phaùp White coù caùc trò
thoáng keâ choïn moâ hình thaáp nhaát. Vì vaäy, theo caùc tieâu chuaån naøy, ñaây laø haøm toát nhaát.
Keát quaû naøy taùi khaúng ñònh vì chuùng ta ñaõ ñeà cöû kieåm ñònh White treân taát caû caùc kieåm



ñònh khaùc vì tính toång quaùt vaø khoâng phuï thuoäc vaøo giaû thieát phaân phoái chuaån cuûa kieåm
ñònh naøy. Söû duïng caùc öôùc löôïng naøy, chuùng ta coù moâ hình öôùc löôïng sau vaø taùc ñoäng
bieân teá töông öùng cuûa kinh nghieäm ñeán löông (xem laïi phaàn thaûo luaän veà moâ hình baäc
hai trong Phaàn 6.4 vaø phaàn phaân tích moâ hình tuyeán tính-logarit trong Phaàn 6.8):

ln(SALARY) = 3,848 + 0,0369YEARS − 0,0004514YEARS2 (8.11)

1 ∆SALARY
= 0,0369 − 0,0009028 YEARS (8.12)
SALARY ∆YEARS

Ñaët phöông trình naøy baèng khoâng vaø giaûi YEARS, ta coù soá naêm maø taïi ñoù
SALARY seõ ñaït giaù trò cöïc ñaïi (chuùng ta bieát laø ñaây laø giaù trò cöïc ñaïi khoâng phaûi giaù
trò cöïc tieåu laø do heä soá aâm cuûa soá haïng baäc hai). Keát quaû baèng 40,1 lôùn hôn haàu heát
caùc khoaûng maãu. Vì theá, yù nghóa laø löông luoân taêng trong voøng 40 naêm qua nhöng
do heä soá aâm cuûa YEARS2, neân coù nhöõng lôïi nhuaän bieân teá bò giaûm. Trong Phöông
trình (8.12), ñaët YEARS baèng caùc giaù trò 1, 5, 10, 15, 20 vaø 25, chuùng ta coù caùc con
soá 0,036; 0,032; 0,028; 0,023; 0,019; 0,014. Haõy nhôù laïi töø Phaàn 6.8, 100 nhaân vôùi
caùc giaù trò naøy cho ta phaàn traêm taêng gaàn ñuùng cuûa tieàn löông ñoái vôùi moãi naêm kinh
nghieäm nhieàu hôn. Vì vaäy, löông bieân teá taêng haøng naêm thay ñoåi töø moät giaù trò cao
laø 3,6 phaàn traêm ñoái vôùi moät Tieán só môùi xuoáng 1,4 phaàn traêm ñoái vôùi nhöõng ngöôøi
coù 25 naêm kinh nghieäm.

Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi cuûa bieán phuï thuoäc

Thænh thoaûng, ñoä leäch chuaån cuûa ut (σt) ñöôïc ñaëc tröng nhö laø moät tyû leä theo giaù trò
^
kyø voïng cuûa bieán phuï thuoäc. Baøi baûn hôn, giaû söû σt = σE(Yt). Vì Yt laø moät öôùc
löôïng khoâng thieân leäch vaø nhaát quaùn cuûa E(Yt), moät thuû tuïc ñöôïc ñeà nghò ôû ñaây laø söû
^ ^ ^ ^
duïng troïng soá wt = 1/ Yt, nghóa laø nghòch ñaûo cuûa β1 + β2Xt2 + … + βkXtk. Tuy nhieân
^
thuû tuïc naøy khoâng ñöôïc khuyeân söû duïng vì ôû ñaây cuõng khoâng coù gì baûo ñaûm laø Yt
^
buoäc phaûi döông vôùi moïi giaù trò t vaø khoâng coù moät thuû tuïc khaùc ñeå thay theá Yt baèng
khoâng hay aâm. Vì E(Yt) laø moät haøm cuûa caùc X, ñaây laø moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa
haøm Glesjer ñöôïc neâu trong Phöông trình (8.2b), vôùi caùc X ñöôïc thay theá cho caùc Z
ñöôïc söû duïng trong Phöông trình ñoù. Vì vaäy, chuùng ta khuyeán caùo laø neân boû qua ñaëc
tröng naøy trong kieåm ñònh Glesjer vaø caùc phöông phaùp khaùc ñeå tính caùc troïng soá.
Tuy nhieân, toát hôn haõy aùp duïng caùc phöông phaùp vaø xem coù xuaát hieän caùc keát quaû
maïnh hay khoâng.

8.4 ÖÙng Duïng: Moät Moâ Hình Cuûa Chi Tieâu Cho Chaêm Soùc Söùc Khoûe ÔÛû Myõ



Trong phaàn naøy, chuùng ta taäp trung taát caû caùc ñeà taøi ñaõ thaûo luaän trong chöông naøy
vaø aùp duïng caùc kyõ thuaät vaøo moät moâ hình cuûa chi tieâu cho chaêm soùc söùc khoûe ôû Myõ.
Taäp tin DATA8-3 chöùa döõ lieäu cheùo veà thu nhaäp caù nhaân goäp vaø chi tieâu cho chaêm
soùc söùc khoûe cuûa 50 tieåu bang ôû Myõ vaø Quaän Columbia (xem nguoàn töø Phuï luïc D).
Caû hai ñeàu ñöôïc tính baèng tyû ñoâla. Cuõng ñaõ coù saün döõ lieäu veà daân soá Myõ (ñôn vò
haøng trieäu) vaø phaàn traêm ngöôøi 65 tuoåi trôû leân. Chuùng ta ñaõ thaáy trong Ví duï 8.7 laø
bieán daân soá thöôøng daãn ñeán tính phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi vaø do ñoù theå hieän caùc
bieán döôùi daïng treân ñaàu ngöôøi baèng caùch chia cho daân soá, laø moät caùch höõu duïng ñeå
giaûm taùc ñoäng naøy. Do ñoù, moâ hình ñöôïc thieát laäp ôû ñaây nhö sau:

EXPHLTH INCOME
= β1 + β2 + β3 SENIORS + u
POP POP
Chuùng ta ñaõ söû duïng caùc kieåm ñònh Glesjer, Breusch-Pagan, White vaø Harvey-
Godfrey vaø ñaõ nhaän thaáy giaû thuyeát khoâng veà tính chaát phöông sai cuûa sai soá khoâng
ñoåi bò baùc boû ôû möùc yù nghóa thaáp hôn 0,001 baèng ba kieåm ñònh ñaàu tieân. Tuy nhieân,
giaù trò p-value cuûa kieåm ñònh LM trò thoáng keâ cuûa kieåm ñònh Harvey-Godfrey ñoái
vôùi tính chaát phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi boäi coù giaù trò laø 0,14, cao hôn nhieàu so
vôùi caùc möùc chaáp nhaän thoâng thöôøng. Do ñoù, chuùng ta khoâng theå baùc boû giaû thuyeát
khoâng veà tính chaát phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi, ngay caû ôû möùc yù nghóa 10 phaàn
traêm. Tuy nhieân, nhö chuùng ta löu yù ôû Baûng 8.5, keát quaû rieâng phaàn coù keøm chuù
giaûi, hoài qui phuï ñoái vôùi tröôøng hôïp naøy cho thaáy laø thu nhaäp ñaàu ngöôøi vaø bình
phöông cuûa noù hoaøn toaøn coù yù nghóa. Do ñoù, kieåm ñònh thöù hai ñöôïc thöïc hieän chæ
vôùi nhöõng bieán naøy, vaø giaù trò p laø 0,056. Vì giaù trò naøy laø chaáp nhaän ñöôïc, chuùng ta
aùp duïng thuû tuïc FGLS/WLS söû duïng taát caû boán phöông phaùp treân.
Baûng 8.6 toùm taét caùc öôùc löôïng vaø caùc trò thoáng keâ lieân quan. Chuùng ta löu yù laø
caùc öôùc löôïng Breusch-Pagan vaø White raát gaàn nhau nhöng coøn caùc öôùc löôïng khaùc
laïi khaùc nhau. Xeùt veà caùc tieâu chuaån choïn moâ hình, caùc öôùc löôïng Breusch-Pagan laø
toát nhaát. Caû hai heä soá cuûa thu nhaäp vaø cuûa thaâm nieân coù daáu kyø voïng laø daáu döông
vaø coù yù nghóa cao ôû möùc thaáp hôn 0,0001. Giöõ phaàn traêm thaâm nieân khoâng ñoåi, vôùi
möùc taêng $100 trong thu nhaäp, trung bình moät khoaûng chi tieâu cho söùc khoûe ñöôïc kyø
voïng laø $15. Ñoái vôùi moät möùc thu nhaäp cho tröôùc ôû tieåu bang, moät phaàn traêm taêng
veà soá naêm thaâm nieân kyø voïng laø seõ laøm taêng chi tieâu trung bình cho chaêm soùc söùc
khoûe laø $116.9 (vì noù ñöôïc tính baèng ngaøn ñoâla). Soá ño thích hôïp cho thaáy laø moâ
hình chæ giaûi thích khoaûng 42 phaàn traêm cuûa chi tieâu bình quaân ñaàu ngöôøi cho chaêm
soùc söùc khoûe. Coù leõ, vieäc theâm caùc bieán phi tuyeán vaøo seõ laøm gia taêng naêng löïc giaûi
thích. Phaàn naøy xem nhö baøi taäp cho ñoäc giaû.

Baûng 8.5 Keát Quaû Rieâng Phaàn Ñoái Vôùi ÖÙng Duïng Trong Phaàn 8.4 Söû Duïng
DATA8-3

(Ñeå tieát kieäm choã, caùc keát quaû ñöôïc toùm goïn tröø phi noù höõu duïng)


Rama Ch8

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (7)

Ähnlich wie Rama Ch8

Ähnlich wie Rama Ch8 (20)

Mehr von Vince Vo

Mehr von Vince Vo (17)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

Rama Ch8