Identificação de Sistemas Dinâmicos Não-Lineares com RBFs
1. Propriedades das RBFs
Aplicadas à Identificação de Introdução
Sistemas Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
Gladstone Barbosa Alves Pesquisas Futuras
Agradecimentos
Orientador: Luis A. Aguirre
Página 1 de 100
Co-Orientador: Marcelo V. Corrêa
Tela
Belo Horizonte, 05 de Fevereiro de 2004 Sair
2. Introdução
Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
Pesquisas Futuras
Agradecimentos
INTRODUÇÃO
Página 2 de 100
Tela
Sair
3. Introdução
Introdução
• Identificação de Sistemas: estuda maneiras Ident. Caixa-Preta
de modelar e analisar sistemas físicos a par- Ident. Multiobjetivo
Metodologia
tir de observações Resultados
Conclusão
• Sistema: entidade que manipula um ou mais Pesquisas Futuras
sinais para realizar uma função, produzindo Agradecimentos
assim, novos sinais
• Modelo matemático: conjunto de hipóteses
Página 3 de 100
sobre a estrutura ou o comportamento de
um sistema. É uma abstração de um sis- Tela
tema através de equações (contínuas ou disc-
retas). Sair
4. Evolução histórica
• Conhecimento das leis físicas atuantes Introdução
Ident. Caixa-Preta
• Maior uso de dados coletados: redução do Ident. Multiobjetivo
Metodologia
significado físico Resultados
Conclusão
• Representações matemáticas: séries funcionais Pesquisas Futuras
e blocos de subsistemas Agradecimentos
• NARX e aplicações: polinomial, redes neu-
rais, funções de base radiais (RBFs)
Página 4 de 100
• Limitações no conjunto de dados: uso de
informação auxiliar Tela
• Abordagem: investigação de propriedades Sair
da representação.
5. Objetivo
Introdução
Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Aplicar informação auxiliar no processo de Resultados
identificação de sistemas dinâmicos Conclusão
Pesquisas Futuras
não-lineares por meio de RBFs. Agradecimentos
Página 5 de 100
Tela
Sair
6. Justificativa Epistemológica
• Epistemologia: teoria do conhecimento Introdução
Ident. Caixa-Preta
• Conhecimento: crença verdadeira justificada Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Observações nem sempre corroboram ex- Resultados
Conclusão
pectativas a priori Pesquisas Futuras
Agradecimentos
• Fisher: “Deixem os dados falarem por si mes-
mos”
• Em muitos casos características importantes Página 6 de 100
do sistema não estão presentes nos dados
Tela
Sair
7. Estrutura da Apresentação
• Identificação Caixa-Preta Introdução
Ident. Caixa-Preta
• Identificação Multiobjetivo - Estado da Arte Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Metodologia Resultados
Conclusão
• Resultados Pesquisas Futuras
Agradecimentos
• Conclusão
• Pesquisas Futuras
Página 7 de 100
• Agradecimentos
Tela
Sair
8. Estrutura da Apresentação
• Identificação Caixa-Preta Introdução
Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
– Etapas de Identificação de Sistemas Metodologia
– Representações matemáticas Resultados
Conclusão
– Propriedades dos modelos NARMAX Pesquisas Futuras
Agradecimentos
• Identificação Multiobjetivo - Estado da Arte
• Metodologia
Página 7 de 100
• Resultados
Tela
• Conclusão
• Pesquisas Futuras Sair
• Agradecimentos
9. Estrutura da Apresentação
• Identificação Caixa-Preta Introdução
Ident. Caixa-Preta
• Identificação Multiobjetivo - Estado da Arte Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
– Revisão bibliográfica Conclusão
– Classificação dos tipos de identificação Pesquisas Futuras
Agradecimentos
– Comparação dos tipos de identificação
• Metodologia
Página 7 de 100
• Resultados
Tela
• Conclusão
• Pesquisas Futuras Sair
• Agradecimentos
10. Estrutura da Apresentação
• Identificação Caixa-Preta Introdução
Ident. Caixa-Preta
• Identificação Multiobjetivo - Estado da Arte Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Metodologia Resultados
Conclusão
Formulação do problema
– Pesquisas Futuras
Agradecimentos
Identificação mono e multiobjetivo
–
Formulação computacional
–
Incorporação de informação auxiliar
– Página 7 de 100
Problema de decisão
–
Tela
• Resultados
Sair
• Conclusão
• Pesquisas Futuras
11. Estrutura da Apresentação
• Identificação Caixa-Preta Introdução
Ident. Caixa-Preta
• Identificação Multiobjetivo - Estado da Arte Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Metodologia Resultados
Conclusão
• Resultados Pesquisas Futuras
Agradecimentos
– Uso da informação dos pontos fixos
– Uso da informação da curva estática
Página 7 de 100
– Identificação multiobjetivo de um TCSC
Tela
• Conclusão
• Pesquisas Futuras Sair
• Agradecimentos
12. Estrutura da Apresentação
• Identificação Caixa-Preta Introdução
Ident. Caixa-Preta
• Identificação Multiobjetivo - Estado da Arte Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Metodologia Resultados
Conclusão
• Resultados Pesquisas Futuras
Agradecimentos
• Conclusão
– Discussões finais
Página 7 de 100
– Resumo das contribuições
Tela
– Conclusões
• Pesquisas Futuras Sair
• Agradecimentos
13. Estrutura da Apresentação
• Identificação Caixa-Preta Introdução
Ident. Caixa-Preta
• Identificação Multiobjetivo - Estado da Arte Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Metodologia Resultados
Conclusão
• Resultados Pesquisas Futuras
Agradecimentos
• Conclusão
• Pesquisas Futuras
Página 7 de 100
• Agradecimentos
Tela
Sair
14. Estrutura da Apresentação
• Identificação Caixa-Preta Introdução
Ident. Caixa-Preta
• Identificação Multiobjetivo - Estado da Arte Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Metodologia Resultados
Conclusão
• Resultados Pesquisas Futuras
Agradecimentos
• Conclusão
• Pesquisas Futuras
Página 7 de 100
• Agradecimentos
Tela
Sair
15. Introdução
Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
Pesquisas Futuras
IDENTIFICAÇÃO
Agradecimentos
CAIXA-PRETA Página 8 de 100
Tela
Sair
16. Identificação Caixa-Preta
Introdução
Etapas Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
1. Testes dinâmicos e coleta de dados Metodologia
Resultados
2. Escolha da representação matemática Conclusão
Pesquisas Futuras
3. Determinação da estrutura do modelo Agradecimentos
4. Estimação de parâmetros
5. Validação do modelo Página 9 de 100
Tela
Sair
17. SISTEMA
Introdução
Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
Pesquisas Futuras
Agradecimentos
Página 10 de 100
Tela
Sair
18. COLETA DE DADOS E
TESTES DINÂMICOS
Introdução
Ident. Caixa-Preta
SISTEMA Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
Pesquisas Futuras
Agradecimentos
Página 10 de 100
Tela
Sair
19. COLETA DE DADOS E
TESTES DINÂMICOS
Introdução
− Execução do teste
Ident. Caixa-Preta
− Sinais de excitação
SISTEMA − Tempo de amostragem Ident. Multiobjetivo
− Detecção de não−linearidades Metodologia
Resultados
Conclusão
Pesquisas Futuras
Agradecimentos
Página 10 de 100
Tela
Sair
20. COLETA DE DADOS E REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
TESTES DINÂMICOS
Introdução
Ident. Caixa-Preta
− Redes Neurais
SISTEMA
− Volterra Ident. Multiobjetivo
− Hammerstein e Wiener Metodologia
− Wavelets
Resultados
− NARMAX
Conclusão
Pesquisas Futuras
Agradecimentos
Página 10 de 100
Tela
Sair
21. COLETA DE DADOS E REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
TESTES DINÂMICOS
Introdução
Ident. Caixa-Preta
SISTEMA
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
Pesquisas Futuras
Agradecimentos
Página 10 de 100
Tela
Sair
22. COLETA DE DADOS E REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
TESTES DINÂMICOS
Introdução
Ident. Caixa-Preta
SISTEMA
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
DETERMINAÇÃO
Pesquisas Futuras
DE ESTRUTURA
Agradecimentos
− Apresenta dificuldades
− ERR
− Akaike
OU
Página 10 de 100
Tela
Sair
23. COLETA DE DADOS E REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
TESTES DINÂMICOS
Introdução
Ident. Caixa-Preta
SISTEMA
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
DETERMINAÇÃO
Pesquisas Futuras
DE ESTRUTURA
Agradecimentos
OU
Página 10 de 100
Tela
Sair
24. COLETA DE DADOS E REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
TESTES DINÂMICOS
Introdução
Ident. Caixa-Preta
SISTEMA
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
DETERMINAÇÃO ESTIMAÇÃO
Pesquisas Futuras
DE ESTRUTURA DE PARÂMETROS
Agradecimentos
− Backpropagation
K2
− MQ
K1 K4
OU
K3
Página 10 de 100
Tela
Sair
25. COLETA DE DADOS E REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
TESTES DINÂMICOS
Introdução
Ident. Caixa-Preta
SISTEMA
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
DETERMINAÇÃO ESTIMAÇÃO
Pesquisas Futuras
DE ESTRUTURA DE PARÂMETROS
Agradecimentos
K2
K1 K4
OU
K3
Página 10 de 100
Tela
Sair
26. COLETA DE DADOS E REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
TESTES DINÂMICOS
Introdução
Ident. Caixa-Preta
SISTEMA
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
DETERMINAÇÃO ESTIMAÇÃO VALIDAÇÃO Pesquisas Futuras
DE ESTRUTURA DE PARÂMETROS
Agradecimentos
SISTEMA − Simulação livre
K2
K1 K4
− Estática
OU
− Dinâmica
K3 MODELO
Página 10 de 100
Tela
Sair
27. COLETA DE DADOS E REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
TESTES DINÂMICOS
Introdução
Ident. Caixa-Preta
SISTEMA
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
DETERMINAÇÃO ESTIMAÇÃO VALIDAÇÃO SIM Pesquisas Futuras
DE ESTRUTURA DE PARÂMETROS
Agradecimentos
SISTEMA
K2
K1 K4
FIM
OU
K3 MODELO
Página 10 de 100
Tela
Sair
32. Pontos Fixos
• Definição Introdução
Ident. Caixa-Preta
y(k) = y(k + i), ∀i ∈ Z+ (5) Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
• Sistemas autônomos Conclusão
Pesquisas Futuras
2
Σ y y + · · · + Σ y2 y + (Σ y − 1) y + Σ0 = 0 (6) Agradecimentos
• Sistemas não-autônomos
Σu u Página 13 de 100
¯
y= (7)
1 − Σy
Tela
• Curva estática: escreve a relação entre a
Sair
¯
saída em estado estacionário y e a respec-
tiva entrada
33. Estimação de Parâmetros
• Regressão linear Introdução
Ident. Caixa-Preta
ˆ
T Ident. Multiobjetivo
y(k) = ψ (k − 1)θ + ξ(k) (8) Metodologia
Resultados
• Equação matricial Conclusão
Pesquisas Futuras
ˆ Agradecimentos
y = Ψθ + ξ (9)
• Função custo - erro de predição
Página 14 de 100
ˆ ˆ ˆ
JMQ (θ) = (y − Ψθ)T (y − Ψθ) (10)
Tela
• Minimização do erro quadrático (MQ)
Sair
ˆ
θ MQ = [ΨT Ψ]−1ΨT y (11)
34. Introdução
Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
IDENTIFICAÇÃO Conclusão
Pesquisas Futuras
Agradecimentos
MULTIOBJETIVO
Página 15 de 100
ESTADO DA ARTE Tela
Sair
35. Identificação Multiobjetivo -
Estado da Arte Introdução
Ident. Caixa-Preta
Conceitos Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Informação a priori Resultados
Conclusão
• Informação auxiliar Pesquisas Futuras
Agradecimentos
• Identificação caixa-branca
• Identificação caixa-preta
Página 16 de 100
• Identificação caixa-cinza
Tela
• Identificação multiobjetivo
Sair
36. Conhecimento do Sistema
Introdução
Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
Pesquisas Futuras
Caixa−Preta Caixa−Cinza Caixa−Branca Agradecimentos
Página 17 de 100
Tela
MULTIOBJETIVO
Sair
37. Informação Auxiliar sobre
a Estrutura do Sistema
Introdução
Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
1
Entrada Saída
Metodologia
Resultados
Conclusão
Caixa−Preta Pesquisas Futuras
Agradecimentos
EQUIVALENTE
Entrada Saída Página 18 de 100
Tela
Caixa−Cinza
Sair
38. Comparação entre os tipos
• Caixa-branca Introdução
Ident. Caixa-Preta
– Significação física (+) Ident. Multiobjetivo
Metodologia
– Maior complexidade (-) Resultados
Conclusão
– Equações contínuas × uso discreto (-) Pesquisas Futuras
Agradecimentos
• Caixa-preta
– Aplicação em controle (+)
– Determinação da estrutura (-) Página 19 de 100
• Caixa-cinza Tela
– Facilita determinação de estrutura (+) Sair
– Regularização (+)
– Incorporação de informação auxiliar (-)
39. Introdução
Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
Pesquisas Futuras
Agradecimentos
METODOLOGIA
Página 20 de 100
Tela
Sair
40. Metodologia
Introdução
Formulação mono-objetivo Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
• Não coloca em perspectiva a determinação Metodologia
de um conjunto de soluções dentro do qual Resultados
Conclusão
se verifica o compromisso entre os objetivos Pesquisas Futuras
Agradecimentos
Formulação Multiobjetivo
ˆ
J1(θ)
ˆ
J(θ) = . . Página 21 de 100
(12)
.
ˆ
Jn (θ) Tela
ˆ ˆ
• Cada uma das funções J1(θ) . . . Jn (θ) repre- Sair
senta o critério dos MQ e (n − 1) tipos de in-
formações auxiliar incorporadas no sistema
41. Pareto-ótimo
Introdução
a
10 Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
8
Resultados
Objetivo 2
Conclusão
6 Pesquisas Futuras
Agradecimentos
4
2 Página 22 de 100
c
d b
Tela
0
0 2 4 6 8 10 Sair
Objetivo 1
42. Formulação computacional
• Para determinar o Pareto-ótimo, caracteriza- Introdução
Ident. Caixa-Preta
se esse conjunto em termos de soluções de Ident. Multiobjetivo
vários problemas mono-objetivo Metodologia
Resultados
• Problema de ponderação Pw Conclusão
Pesquisas Futuras
n
∗
ˆ ˆ
θ = arg min ˆ ∑ wi Ji (θ) Agradecimentos
(13)
θ∈D i=1
• Teorema
ˆ ˆ ˆ Página 23 de 100
Ji (θ) = (vi − Giθ)T (vi − Giθ) (14)
– Solução Tela
−1 Sair
n n
∗
ˆ
∑ wi GiT Gi ∑ wi GiT vi (15)
θ =
i=1 i=1
43. Informação auxiliar
• Erro de Predição Introdução
Ident. Caixa-Preta
ˆ ˆ ˆ Ident. Multiobjetivo
JMQ (θ) = (y − Ψθ)T (y − Ψθ) (16) Metodologia
Resultados
• Ponto fixo Conclusão
Pesquisas Futuras
ˆ ˆT ˆ
ˆT ˆ
JPF (θ) = (Σ − Σ) (Σ − Σ) = (Σ − Sθ) (Σ − Sθ) Agradecimentos
(17)
• Solução
Página 24 de 100
ˆ T T T T
θ = [w1Ψ Ψ + w2 S S]−1[w1Ψ y + w2 S Σ] Tela
(18)
Sair
44. Informação auxiliar
• Erro de Predição Introdução
Ident. Caixa-Preta
ˆ ˆ ˆ Ident. Multiobjetivo
JMQ (θ) = (y − Ψθ)T (y − Ψθ) (19) Metodologia
Resultados
• Curva estática Conclusão
Pesquisas Futuras
ˆ ˆ ˆ
¯ˆ¯ˆ
JCE (θ) = ( y − y)T ( y − y) = ( y − QSθ)T ( y − QSθ)
¯ ¯ ¯ ¯ Agradecimentos
(20)
• Solução
Página 25 de 100
ˆ T T T T
θ = [w1Ψ Ψ + w2(QS) (QS)]−1[w1Ψ y + w2(QS) y]
¯ Tela
(21)
Sair
45. Problema de decisão
• Interação com o usuário Introdução
Ident. Caixa-Preta
• Mecanismos de decisão Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
– Apresentação de preferências a posteriori Conclusão
– Apresentação de preferências progressivas Pesquisas Futuras
Agradecimentos
– Apresentação de preferências a priori
• Decisores automáticos
Página 26 de 100
– Equilíbrio entre polarização e variância
Tela
– Norma mínima dos objetivos normaliza-
dos Sair
46. Introdução
Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
Metodologia
Resultados
Conclusão
Pesquisas Futuras
Agradecimentos
RESULTADOS
Página 27 de 100
Tela
Sair
47. Resultados
Introdução
Uso da informação dos pontos fixos Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
• Sistemas caóticos Metodologia
Resultados
– Inerente sensibilidade a condições iniciais Conclusão
Pesquisas Futuras
– Estudado em várias áreas da ciência Agradecimentos
• Circuito de Chua
• Mapa senoidal Página 28 de 100
Tela
Sair
49. Caso 1 - sem ruído
• Geração de dados a partir de um modelo Introdução
Ident. Caixa-Preta
conhecido Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Preciso conhecimento dos pontos fixos Resultados
Conclusão
• Validação Pesquisas Futuras
Agradecimentos
– Espaço de estados
– Mapa de primeiro retorno
– Expoentes de Lyapunov Página 30 de 100
Tela
Sair
53. Caso 2 - com ruído
• Geração de dados a partir de um modelo Introdução
Ident. Caixa-Preta
conhecido Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Preciso conhecimento dos pontos fixos Resultados
Conclusão
• Adicionou-se ruído Pesquisas Futuras
Agradecimentos
• Validação
– Espaço de estados
– Mapa de primeiro retorno Página 34 de 100
– Expoentes de Lyapunov Tela
• Variação dos parâmetros do modelo Sair
64. Comentários do uso dos pontos fixos
• Na presença de ruído, o uso da informação Introdução
Ident. Caixa-Preta
auxiliar permite obter melhores modelos Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Escolha dos modelos através de preferên- Resultados
cia a priori e a posteriori Conclusão
Pesquisas Futuras
• Estimação dos pontos fixos é um procedi- Agradecimentos
mento robusto
• Peso w pode ser considerado como parâmetro
Página 45 de 100
de bifurcação
Tela
Sair
65. Uso da informação da curva estática
• Sistemas reais Introdução
Ident. Caixa-Preta
– Aquecedor elétrico Ident. Multiobjetivo
Metodologia
∗ Dados excursionam uma ampla faixa Resultados
Conclusão
de operação Pesquisas Futuras
– Conversor buck Agradecimentos
∗ Dados excursionam faixa limitada de
operação
Página 46 de 100
Tela
Sair
66. Aquecedor elétrico
Introdução
Ident. Caixa-Preta
Ident. Multiobjetivo
FONTE 12V
VENTILADOR
Metodologia
Resultados
Conclusão
FERRO SOLDA/ Pesquisas Futuras
AMPLIFICADOR
TERMOPAR Agradecimentos
PLACA DE
VARIVOLT
AQUISICAO
Página 47 de 100
RETIFICADOR/
TRAFO
DIVISOR TENSAO
Tela
Sair
67. (a)
1
0.8
0.6 Introdução
u
0.4 Ident. Caixa-Preta
0.2 Ident. Multiobjetivo
0
Metodologia
0 20 40 60 80 100 120 140
t (min)
Resultados
(b)
0.5
Conclusão
0.4
Pesquisas Futuras
0.3
Agradecimentos
y
0.2
0.1
0
0 20 40 60 80 100 120 140
t (min)
0.5
Página 48 de 100
0.4
Tela
0.3
y
Sair
0.2
0.1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
u
75. (a) − RMSE = 0,9507 (b) − RMSE = 0,212
30 30
Introdução
20 20
Ident. Caixa-Preta
y
y
10 10 Ident. Multiobjetivo
Metodologia
0 0
1 2 3 4 1 2 3 4 Resultados
(c) − RMSE = 0,1052 (d) − RMSE = 0,07403
30 30 Conclusão
Pesquisas Futuras
20 20
Agradecimentos
10 10
y
y
0 0
−10 −10
1 2 3 4 1 2 3 4
(e) − RMSE = 0,02958 (f) − RMSE = 0,001034
Página 56 de 100
30 30
20 20
Tela
10 10
y
y
0 0
Sair
−10 −10
1 2 3 4 1 2 3 4
u u
76. 16
15.5 RMSE = 0,658
15 Introdução
Ident. Caixa-Preta
14.5
Ident. Multiobjetivo
14
Metodologia
13.5
y
Resultados
13
Conclusão
12.5
Pesquisas Futuras
12
Agradecimentos
11.5
11
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
t (min)
25
Página 57 de 100
RMSE = 0,0881
20
Tela
15
Sair
y
10
5
0
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
u
77. Identificação Multiobjetivo de um TCSC
• Cinco etapas da identificação Introdução
Ident. Caixa-Preta
• TCSC - capacitor série controlado a tiristor Ident. Multiobjetivo
Metodologia
• Particularidade: curva estática ressonante Resultados
Conclusão
Pesquisas Futuras
MOV
I linha Agradecimentos
C
L Página 58 de 100
Tela
Sair
Sistema de Controle
78. Introdução
Ident. Caixa-Preta
T1 T2 Ident. Multiobjetivo
C C Z
L Metodologia
L
Resultados
Conclusão
Pesquisas Futuras
Xtcsc (pu)
Agradecimentos
3,0
INDUTIVO
2,0
1,0
Página 59 de 100
XL α max−ind
0,0
α min−cap XC
−1,0 Tela
−2,0
CAPACITIVO
Sair
−3,0
100 120 140 160 180
Ângulo de Disparo