1. LA PARABOLA
E LA SUA EQUAZIONE
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Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

2. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
0. CHE COS’È LA PARABOLA
La parabola come
sezione conica
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3. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
1. CHE COS’È LA PARABOLA
DEFINIZIONE
Parabola
Scegliamo sul piano un punto F
e una retta d.
Possiamo tracciare sul piano i
punti equidistanti da F e da d.
Il luogo geometrico di questi
punti è detto parabola.
Il punto F e la retta d sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della
parabola.
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4. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
2. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA
Fissiamo il fuoco nel punto F(0; f)
e la direttrice nella retta d di
equazione y = – f .
Un punto generico P(x; y) è
equidistante da F e da d se
cioè:
.
Da cui
,
,
Eq. della parabola con vertice nell’origine e asse verticale:
Coordinate del fuoco:
Equazione della direttrice:
.
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.
y = ax2 .
.

5. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
ESEMPIO
Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione:
x
y
0
y = 3x2 .
0
Inoltre:
–1
3
1
3
–2
12
2
12
,
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fuoco
,
eq. della direttrice
.
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6. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
4. IL SEGNO DI a E LA CONCAVITÀ DELLA PARABOLA
a>0
y = ax2 è positiva o nulla,
la distanza focale è f > 0 ,
F ha ordinata positiva.
a<0
y = ax2 è negativa o nulla,
la distanza focale è f < 0 ,
F ha ordinata negativa.
Concavità rivolta verso l’alto.
Concavità rivolta verso il basso.
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7. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
5. IL VALORE DI a E L’APERTURA DELLA PARABOLA
a=
a=
a=2
Per a > 0 , all’aumentare di a diminuisce l’apertura della parabola.
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8. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE
PARALLELO ALL’ASSE y
La trasformazione
trasla i punti del piano.
Sotto questa trasformazione, la
parabola di equazione y = ax2
diventa:
y – yV = a(x – xV)2 .
In particolare, le coordinate del
vertice diventano:
V(xV; yV).
Possiamo riscrivere l’equazione della parabola come
Ascissa del vertice:
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;
y = ax2 + bx + c .
ordinata del vertice:
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.

9. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE
PARALLELO ALL’ASSE y
Equazione generica della parabola con asse parallelo all’asse y
La parabola con vertice V(xv; yv) ha
equazione
y – yv = a(x – xv)2 ,
cioè
y – yv = ax2 – 2axxv + axv2
o
Per le coordinate di V(xv; yv) vale:
y = ax2 – 2axv x + (axv2 + yv) .
,
Ponendo
otteniamo
b = – 2axv ,
c = axv2 + yv ,
cioè
.
y = ax2 + bx + c .
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RITORNA

10. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
7. L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c
TEOREMA
A ogni parabola con asse parallelo all’asse y
corrisponde un’equazione del tipo y = ax2 + bx + c ,
con a ≠ 0, e viceversa.
REGOLA
L’asse di simmetria ha equazione:
,
il vertice è il punto:
,
il fuoco è il punto:
,
la direttrice ha equazione:
.
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11. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
7. ALCUNI CASI PARTICOLARI
b=0
L’equazione diventa:
y = ax2 + c .
c=0
L’equazione diventa:
y = ax2 + bx .
b = 0, c = 0
L’equazione diventa:
y = ax2 .
La parabola ha vertice
V(0; c) e il suo asse di
simmetria è l’asse y.
La parabola passa per
l’origine O.
La parabola ha il vertice
nell’origine O.
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12. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
7(b). ALCUNI CASI PARTICOLARI
∆=0
Il vertice della parabola
giace sull’asse delle
ascisse V(-b/2a; 0)
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13. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
8. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2
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14. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
9. ESERCIZI: DALL’EQUAZIONE y = ax2 AL GRAFICO
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15. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
10. ESERCIZI: L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON
ASSE PARALLELO ALL’ASSE y
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16. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
11. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c
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17. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
12(a). Parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse
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18. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
12(b). Parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse
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