Interseção de planos e perpendicularismo

Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Prof. Marcelo Gitirana

Sumário
 Interseção de planos
 Interseção de retas e
planos
 Ponto comum a três
planos
 Perpendicularismo de
retas e planos
()
()
(B)
(A)
(I)
(C)
(D)

Interseção de planos
Definições
(’)
()
()
(T)
()
(T1)
(H)
(V)
Dois planos (quando não paralelos) se
interceptam ao longo de uma reta.
Esta reta pode ser determinada
conhecendo-se dois pontos comuns aos
dois planos: (V) e (H), por exemplo.
Dividimos o estudo das interseções
de planos em três grupos.
1. grupo:
ambos os
planos
dados por
seus traços
2. grupo:
apenas um
plano dado
pelos traços.
3. grupo: os
planos não
são dados
pelos
traços.

2 plns quaisquer q. se intec. 1.d
(’)
()
()
(T)
TT’
()
(T1)
T1T1’
(H)
(V)
V’
V
H
H’
Solução geral
para o 1. grupo.

2 plns quaisq. q. ñ se intec. 1.d
(’)
()
TT’


T1T1’
()
(T1)
()
(T)
’
V’
V
H’
H
Porém, nem sempre os traços dos
planos se interceptam nas mesmas
regiões onde se situam.

2 planos quaisquer com  // 
(’)
()
TT’
’
()
(T)
()
(T1)
’
T1T1’
’
(r)
(V)
r’
V
V’
r
Se acontecer que os planos tenham
traços de mesmo nome paralelos,
também a solução é imediata.

Int. planos verticais e de topo
’

TT’
’

T1T1’

’
TT’

’
T1T1’
O mesmo vale
para 2 planos
de topo.
Qd. os 2 planos
forem verticais, a
interseção tb será
uma reta vertical.
r’
rH
H’
r
r'V’
V

Int. planos de topo e horizontal
(’)
()

()

()
’
r
r'V’
V(r)
(V)
Qd. um dos planos possuir um só
traço, a interseção (um ponto ou
uma reta) cairá sobre o mesmo).

(’)
()
()
Int. planos qualquer e frontal

()
T
TT’
(r)
(H)
r'
r
H
H’
Qd. um dos planos for qualquer e o outro frontal, a
interseção será uma reta frontal com (H) na
concorrência dos traços horizontais e a proj. vertical
da reta será paralela ao traço vertical do pl. qualquer.

(’)
()
()
Int. planos horizontal e frontal

A interseção de 2 planos
deverá ser uma reta que pode
estar contida nos dois planos.
()
’
(r)
r'
r
Plano horizontal
R. horizontal
R. fronto-horizontal
R. de topo
Plano frontal
R. frontal
R. fronto-horizontal
R. vertical

(’)
()
Int. planos qualquer e // à LT
()
TT’
’

()
T
(r)
(H)
(V)
r'
V’
H’
H
r
V
Pl. qualquer
R. Qualquer
R. Horizontal
R. Frontal
R. Reta de perfil
Pl. // à LT
R. Qualquer
R. Fronto-horizontal
R. Reta de perfil

(’)
()
Int. planos qualquer e // à LT
()
TT’
’

()
T
(r)
(H)
(V)
r'
V’
V
r
H
H’
Pl. qualquer
R. Qualquer
R. Horizontal
R. Frontal
R. Reta de perfil
Pl. // à LT
R. Qualquer
R. Fronto-horizontal
R. Reta de perfil

Exercícios
Exercícios: 99, 101, 104,
105, 107, 116 e 120.

Interseção retas e planos
Introdução
()
()
(B)
(A)
(I)
(C)
(D)
Solução geométrica: para se determinar a
interseção de uma reta (A)(B) com um
plano (), faz-se passar pela reta um plano
(). Esse plano intercepta o plano segundo a
reta (C)(D) e as (A)(B) e (C)(D) se
interceptam em (I) que é chamado então
“traço da reta (A)(B) sobre o plano ().

(’)
()
Solução geométrica
()
()

’

r’
I
I’
(r)
(I)
(H)
(V)
V
V’
H
H’

Exercícios
Exercícios: 124, 125,
129 e 135.

Ponto comum a 3 planos
Regra geral
(’)
()
()
()

’
()
3 planos, qd se
interceptam, têm
geralmente um ponto
em comum.
Desde que nenhum deles
passe pela interseção dos
2 outros, nem seja // à
mesma.
Formas de determinar:
1) Procuram-se as
interseções de 1 dos
3 planos com os
outros 2 e o ponto
comum a estas
duas interseções é
o ponto procurado.
2) Determina-se a
interseção de 2
planos quaisquer
dados e procura-
se o traço desta
interseção com o
3. plano.

Ponto comum a 3 planos
Exercícios
Exercícios: 137 e 138.

Perpendicularismo de
retas e planos
Casos
1. grupo
Reta  a plano
Plano  a reta
2. grupo Plano  a plano
3. Grupo Reta  a reta

’ismo de retas e planos
Reta  a plano
()
(s)
(s1)
(r)
(s3)
(s2)
(r1)
Uma reta é  a um plano
quando é  (ou ortogonal) a 2
retas concorrentes dos plano.

Reta  a plano
()
()
A
(M)
(A)
(B)
(N)
Observe que quando uma
reta é  a um plano, a sua
projeção e o traço do plano
sobre o mesmo plano de
projeção são  ‘s entre si. E a projeção de
(A)(B) tb será  às
projeções das retas
horizontais de ().

Reta  a plano (qualquer)
(’)
()
()
(r)
(I)
r'
r
I’
I
Assim, qd uma
reta(r) é  a um
plano (), suas
projeções são ’s aos
traços de mesmo
nome do plano.Condição necessária, mas não suficiente!

Reta  a plano // a LT
(’)
()()
’

r'
r
(r)
(I)
Neste caso, a ’idade
aos traços não garante a
’idade ao plano.
O mesmo pode ocorrer com
plano que passam pela LT.

Retas ’s aos planos I e P
DD’
CC’
B’
A’
B
A
D’
C’
B’
A’
A
B
D
C
(A)(B)  (I).
(A)(B)  (P).

Reta  a plano // a LT
r
r'
s’
s
I’
I
t'
t
Reta (t)  a plano
formado por uma reta
horizontal (r) e um
frontal (s)
concorrentes.

Plano  a reta
(’)
()
()
(r)
(I)
r'
r
I’
I
O inverso do
caso anterior.
Qd os traços de um
plano forem ’s às
projeções de mesmo
nome de uma reta, o
plano é à reta.
Excetuando os
casos já
discutidos.

Plano  a reta
Traçar por (A) um plano ()
perpendicular à reta (s).
s
s'
r
V TT’
V’r’ A'
A

Plano  a plano
Dois planos são
perpendiculares entre si,
quando um deles
contém uma reta
perpendicular ao outro.
()
()
(B)
(A)
(I)Assim, se a reta (A)(B) é
perpendicular ao plano (),
então o plano () é
perpendicular a ().

Plano  a plano
(T)
Traçar por (A) um plano ()
perpendicular a um plano
() dado.
r'
V
V’
H'
H
A'
A

’
Este é um problema que admite
infinitas soluções, visto que o
ponto (T1) pode se situar em
qualquer ponto da LT.

Planos ’s aos planos I e P
()  (I).
()  (P).
’

’
T1T1’
()  (P).
TT’
()  (I).

Reta  a reta
(B)
(C)
()
(A)
Em geral, para se traçar por um ponto
uma reta perpendicular a outra, consiste
em conduzir, pelo ponto, um plano
perpendicular à reta e determinar o
ponto de interseção da reta com esse
plano. Unindo o ponto assim, ao ponto
dado, teremos a reta pedida.

Reta  a reta
A’
A
V
V’
’
TT’

(T1)
C’
B’
B
C
V1’
V1
H’
H
M’
M

Exercícios
Exercícios: 140, 142,
145, 148, 151.

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