Geometria descritiva: posições de planos e pertinência de retas e pontos

Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Prof. Marcelo Gitirana

Sumário
 Traços do plano
 Posições do plano
 Pertinência de reta e
plano
 Pertinência de ponto e
plano
 Retas de máx. declive e
máxima inclinação
 Elementos geométricos
que definem um plano
 Retas de planos não
definidos por seus
traços
 Paralelismo de retas e
planos

Traços do plano
(’)
()
()
(T)
TT’
1+
2 -
O traço de um plano é a
interseção deste plano
com um outro.
Entretanto, emprega-se
geralmente a expressão “traços
do plano” para exprimir a
interseção deste plano com os
planos de projeção.
Em geral, um plano possui dois
traços, podendo entretanto
possuir apenas um, quando for
paralelo a () ou a (’).
Apenas representamos os
traços vistos no 1. diedro.

Posição do plano
 Plano qualquer
 Plano horizontal (de
nível)
 Plano frontal
 Plano vertical
 Plano de topo
 Plano de perfil
 Plano paralela à linha de
terra
 Plano passando pela
linha de terra
 Resumo

(’)
()
Plano qualquer
()
T
TT’
É oblíquo a
() e a (’).
Possui os dois
traços oblíquos
à LT.

Plano qualquer
’
’

Não importa
como fiquem!

Plano horizontal
(de nível)
(’)
()
()
’
É paralelo
a ().
Possui um só
traço (vertical)
paralelo à LT.

Plano frontal
(’)
()

()
É paralelo
a (’).
Possui um só traço
(horizontal)
paralelo à LT.

Plano vertical
(’)
()
()
’
’

É perpendicular a ()
e oblíquo a (’).
Possui o traço
vertical
perpendicular
à LT e o traço
horizontal
oblíquo à
mesma.

Plano de topo
(’)
()

()

É perpendicular a (’)
e oblíquo a ().
Possui o traço
horizontal
perpendicular
à LT e o traço
vertical
oblíquo à
mesma.

Plano de perfil
(’)
()

’
()
’

É perpendicular
a () e a (’).
Possui os traço
vertical e
horizontal
perpendicular à LT.

Plano paralelo à LT
(’)
()
’
()

Como o próprio
nome diz, é paralelo
à LT (e oblíquo aos
planos de projeção).
Possui ambos os traços,
vertical e horizontal,
paralelos à LT.

Plano passando pela LT
(’)
()
’()
Os traços vertical e
horizontal coincidem
com a LT.
O mesmo
ocorre na
épura.

Posição do plano
Resumo
2 traços
distintos
Qualquer Oblíquo à () e a (’). Traços oblíquos à LT
De perfil Perpendicular à () e a (’). Traços perpendiculares à LT
Paralelo à
LT
Traços paralelos a () e a (’)
Vertical Perp. a () e oblíquo a (’). Traço vert. perp. à LT e horiz. oblíquo à LT.
De topo Perp. a (’) e oblíquo a (). Traço vert. oblíquo à LT e horiz. perp. à LT.
1 traço
apenas
Horizontal Paralelo à (). Só possui traço vertical paralelo à LT.
Frontal Paralelo à (’). Só possui traço horizontal paralelo à LT.
2 traços em
coincidência
Que passa
pela LT
Traços coincidentes c/ a LT.

Pertinência de reta e plano
Reta qualquer (que pertence)
(’)
()
()
T
TT’
(H)
(V)
H
r'
r
H’
V’
V
Regra Geral: uma reta pertence a
um plano quando possui os seus
traços sobre os traços
correspondentes do plano.
Com exceção do plano
que passa pela LT.

Reta qualquer (que ñ pertence)
(’)
()
T
TT’
(H)
(V)
H
H’
V’
V
()
r'
r
Não pertence.
Passa por baixo
do plano.

Casos particulares
Plano
qualquer
Reta
qualquer
Reta
horizontal
Reta
frontal
Reta de
perfil
Plano
horizontal
Reta
horizontal
Reta
fronto-
horizontal
Reta de
topo
Plano
frontal
Reta
frontal
Reta
fronto-
horizontal
Reta
vertical
Plano // à
LT
Reta
qualquer
Reta
fronto-
horizontal
Reta de
perfil
Plano
vertical
Reta
qualquer
Reta
horizontal
Reta
vertical
Plano de
topo
Reta
qualquer
Reta
frontal
Reta de
topo
Plano de
perfil
Reta de
topo
Reta
vertical
Reta de
perfil
Plano que
passa p/
LT
Reta
qualquer
Reta
fronto-
horizontal
Reta de
perfil

Exercícios
Parte 1
Exercícios 53, 54, 55 e 57.

Plano qualquer
Reta qualquer
(’)
()
()
T
TT’
(H)
(V)
H
r'
r
H’
V’
V

Plano qualquer
Reta horizontal
(’)
()
()
T
TT’
(V)V’
r'
r
V
(V)V’

Plano qualquer
Reta frontal
(’)
()
()
T
TT’
(H)H
(r)
r'
r
H’
H

Plano qualquer
Reta de perfil
(’)
()
()
T
TT’
(H)H
(V)V’
(r)
r'
r
(r1)

Plano horizontal
Reta horizontal
(’)
()()
’
(V)V’
r
r'
V
(V)V’

Plano horizontal
Reta fronto-horizontal
(’)
()
()
’
r
r'

Plano horizontal
Reta de topo
(’)
()
()
’r'(V)V’
(V)V’ (r)
r
V

(’)
()
()
Plano frontal
Reta frontal

r'
H’
H r
(H)H
(r)

(’)
()
()
Plano frontal

r
r'

(’)
()
()
Plano frontal
Reta vertical

(H)H
(r)
r(H)H
r’
H’

Reta qualquer
(’)
()
’
()

(H)
(V)
(r)
H (H)
r'
r
H’
V
V’(V)

(’)
()
’
()

r
r' O'
O
V’(V)
H (H)

Reta de perfil
(’)
()
’
()

(H)H
(V)V’
(r)
r'
r
(r1)

Plano vertical
Reta qualquer
(’)
()
()
’
’

H (H)
A
H’
V
V’(V)
(H)
(V)
(A)
(B)
B
A’
B’
V

Plano vertical
Reta horizontal
(’)
()
()
’
’

(V)V’
(A)
(B)
V
V
(V)V’
A
B
A’ B’

Plano vertical
Reta vertical
(’)
()
()
’
’

(H)H
(r)
r(H)H
r’
H’

Plano vertical
Projeção de um figura
(’)
()
()
’
(A)
(C)
(B)
B
A
C
Toda figura contida em um
plano vertical, se projetará no
plano() sobre o traço
horizontal .

Plano de topo
Reta qualquer
(’)
()

()
(H)
(V)
(r)
H (H)
H’
V
V’(V)
r
r’

Plano de topo
Reta frontal
(’)
()

()
(H)H
(r)
r'
H’
H r

Plano de topo
Reta de topo
(’)
()

()

(V)V’ (r)
r'(V)V’
r
V

Plano de topo
Projeção de um figura
(’)
()

()
(A)
(C)
(B)
B’
A’
C’
Toda figura contida em um
plano de topo, se projetará no
plano(’) sobre o traço
vertical ’.

Plano de perfil
Retas de topo vertical e de perfil
(’)
()

’
()
’

(A)
(B)
A’
B’
A’
B’
ABH
(D)(C)
C’B’V’
DC D
C
C’B’V’
(F)
(E)E’
F’
FE
E’
F’
F
E

Reta qualquer
(’)
()
’()
(H)(V)
(r) r
r’

(’)
()
’
()
r
r'

Reta de perfil
(’)
()
’
()
(H)(V)
(r) (H)(V)
r’
r

Pertinência ponto e plano
Raciocínio
Para verificar se um ponto pertence a
um plano, usamos uma reta como
artifício!
Planos são
determinados
apenas pelos
seus traços.
Retas são
determinados
por suas
projeções e
pelos seus
traços.
Pontos são
determinados
apenas por
suas projeções.

(’)
()
A’
A
Usando uma reta horizontal
()
T
TT’(A)
A'
A
Regra Geral: um ponto pertence
a um plano quando pertence a
uma reta do plano.
(V)V’
Reta horizontal
passando por (A).
r'V’
V
V
r
(A)  ()

(’)
()
A
A’ (A)
Usando uma reta horizontal
Regra Geral: um ponto pertence
a um plano quando pertence a
uma reta do plano.
()
T
TT’
A'
A
r'V’
r’
V
r(A)  ()

(’)
()
r
A
A’
r
H’
Usando uma reta frontal
()
T
TT’(A)
A'
A
(r)
(H)H
Reta frontal
passando por (A).
r
H
r'
(A)  ()
H’

Usando uma reta frontal
Planos
Projetantes
Plano horizontal
Plano frontal
Plano vertical
Plano de topo
Plano de perfil
Não projetantes
Plano qualquer
Plano // à LT
Plano que passa p/ LT
A épura indica diretamente
se um ponto dado pertence
ou não plano.
P/ planos 
a (), a proj.
horiz. do
ponto  ao
traço horiz.
do plano.
Recorremos ao
processo anterior.
P/ planos  a
(’), a proj.
vertical do
ponto  ao
traço vertical
do plano.

(’)
()()
’

A'
A
(A)
(H)
(V)
H’
V’(V)
H (H)
V

(’)
()
’
()
(A)
A'
A
Neste caso, necessitamos de um outro
elemento do plano (ponto ou reta, por
exemplo), para podermos afirmar que o
ponto (A) pertence realmente ao plano ().

Retas principais
de um plano
()
A
(B)
(A)
(F)
(E)
(D)
(C)
A reta de máximo declive de um
plano em relação a outro plano é a
reta que, pertencendo ao primeiro
plano, forma com o segundo, o
maior ângulo possível.

Retas principais
Reta de máximo declive
(’)
()
()
TT’
T
(H)
(V)
(r)
r
H
V
H’
V’
r'

Retas principais
Reta de máxima inclinação
(’)
()
()
TT’
T
(V)
(H)
(r)
r'
V’
H’
H
V
r

Retas principais
Reta principais (pl. paralelo à LT)
(’)
()()
’

r’
V’
r
H
VH’
(r)
H
V’
A reta de máximo
declive (e de máxima
inclinação) será uma
reta de perfil.

(’)
()
’
()
Retas principais
Reta princ. (pl. passando pela LT)
(H)(V)
(r) (H)(V)
r’
r

Retas principais
de planos projetantes
Plano
horizontal
Máximo
declive:
não há
Máxima
inclinação:
reta de
topo
Plano
frontal
Máximo
declive:
reta
vertical
Máxima
inclinação:
não há
Plano
vertical
Máximo
declive:
reta
vertical
Máxima
inclinação:
reta
horizontal
Plano de
topo
Máximo
declive:
reta
frontal
Máxima
inclinação:
reta de
topo
Plano de
perfil
Máximo
declive:
reta
vertical
Máxima
inclinação:
reta de
topo

Exercícios
Parte 2
Exercícios 62, 63, 64,
66, 67, 68, 70, 72.

Elementos geométricos
que definem um plano
Elementos
geométricos
2 retas concorrentes
1 reta e um ponto
(exterior)
3 pontos não
colineares
2 retas paralelas

EGs que definem um plano
Retas concorrentes
Para definir os traços do
plano (), basta encontrar
e ligar os verticais e os
traços horizontais das
retas (r) e (s).
Os traços horizontal () e
vertical (’) do plano ()
concorrerão no ponto (T),
sobre a LT
V1’
V1
H1
H1’
V’
V
r'
s'
r
s
H’
H
TT’
Quando são dados 3
pontos, ligam-se as
projeções horizontal e
vertical dos pontos
formando duas retas
concorrentes e, a partir
daí, o processo é similar.
Algo similar se faz
com uma reta e um
ponto (não
colinear) dados.

H’
H
Retas concorrentes
r
r’
s'
s
V
V’
H1’
H1
V1’
V1
TT’
Só se considera o
segmento de (’)
acima da LT e Só se
considera o
segmento de ()
abaixo da LT.
Só se considera o que se
vê a partir do 1. diedro.

Retas paralelas Com duas retas
paralelas, o processo
também é idêntico.
r
V’
VH’
H
r'
s
V1’
V1
H1’
H1
s'
TT’

Retas de planos não
definidos por seus traços
r'
s'
r
s
1' 2'
1
2
Reta horizontal
(proj. vert. // à LT).
r'
s'
r
s
Reta frontal (proj.
horiz. // à LT).
1 2
1'
2'

Retas principais
Relação c/ horizontais e frontais
(’)
()
()
T
(H)
(V)
(r)
(’)
()
()
T
(V)
(H)
(r)
(V1)
(V2)
(H1)
(H2)
Retas de máx. declive são perp. às
retas horizontais de ().
Tb suas
proj. horiz.
Retas de máx. inclinação são
perp. às retas frontais de ().
Tb suas
proj. vert..

Rts de plns ñ def. p/ traços
Reta horiz. p/ reta máx declive
r'
r
Proj. horiz. perp. à
proj. horiz. de (r).
1'
s'
s
1
Proj. vertical
paralela à LT.
Reta
horizontal.
Reta de
máximo
declive.

Rts de plns ñ def. p/ traços
Traços de plano p/ reta máx decl.
r'
r
Reta de
máximo
declive.
V
V'
V1
V1'
Nas extremidades
da reta de
máximo declive,
traçamos retas
horizontais e
perpendiculares à
reta (logo
pertencentes ao
plano).
Os traços verticais das
retas horizontais traçadas
determinarão o traço
vertical do plano.
TT’
O traço horizontal
do plano é paralelo
às projeções
horizontais das
retas horizontais e
parte do ponto (T).

Retas de planos não
definidos por seus traços
TT’
A'
A
Achar os traços do
plano (), a partir
do seu traço () e
das projeções de um
ponto (A).
V
HProjeção horiz. de
uma reta qualquer de
() e que vai de um
traço ao outro do (),
passando por (A).
H’
V’
Achar os traços do
plano (), a partir
do seu traço () e
das projeções de
uma reta (A)(B).
TT’
B’
B
A’A
V
V’

Paralelismo de retas
e planos
1. Grupo
Reta paralela a plano
Plano paralelo a reta
2. Grupo Plano paralelo a plano

Paralelismo retas e planos
()
(B)
(A)
(D)
(C)
(r)
(s)
Regra Geral: uma reta é
paralela a um plano quando é
paralela a uma reta do plano.
Este problema é
indeterminado, visto que há
em () uma infinidade de
retas paralelas a (A)(B).

TT’
A
A'
Quando se tem os traços de () e um
ponto (A), traçam-se as projeções de
uma reta qualquer me () e, em seguida
projeções paralelas passando por (A).
V
H
H’
V’
r'
r
1 2
1'
2'
r'
s'
r
s
M'
M
Quando não se tem os
traços de (), procede-
se de forma similar.
t'
t

Reta paralela ao I e ao P
A’
A
Reta paralela
ao I
C’
BB’
C
r’
r
A’
A
Reta paralela
ao P
C C’
BB’
r’
r

Plano paralelo a reta Regra Geral: para que um plano seja
paralelo a uma reta, basta que ele
possua uma reta paralela a essa reta.
r
r'
A
A'
s
V’
VH’
H
s'
Traçar pelo ponto (A) um
plano paralelo à reta (r).
TT’
Observe que este
problema é admite
infinitas soluções.

Plano paralelo a reta
r
r'
s
s'
plano paralelo às reta (r)
e (s), reversas entre si.
V’
VH’
H
A
A'
V1
V1’
H1
H1’

(’)
()
Plano paralelo a plano
TT’
()
T1
()
T
T1T1’
Regra Geral: dois planos
são paralelos quando um
deles contiver duas retas
concorrentes paralelas
ao outro.
Os traços de
mesmo nome
dos planos serão
paralelos.
Porém esta não
condição não é
suficiente.
Para os casos de planos que passam pela
LT e também dos paralelos à LT!

plano () paralelo ao
plano (), dado.
TT’
A
A'V’ r’
V
r
TT’

(’)
()
()
’

()

’
Dois planos paralelos à
LT (não paralelos) se
interceptam numa reta
fronto-horizontal.
’

2
1
2’
1’
11 21
(I)I’
I
A’ B’
A B
Para encontrar suas
projeções na épura
usamos um plano de
perfil ().
I1

Plano paralelo a plano (// à LT)
’

A
A'
V’
H’V
H
V1’
H1’V1
H1

’
Traçar pelo
ponto (A) um
plano ()
paralelo ao
plano (),
paralelo à LT.

Planos paralelos ao bissetores
i
p
i
p
O afastamento
é igual à cota
O afastamento
é igual à cota
(em módulo)

Plano paralelo ao I
’
i


’

Plano paralelo ao P
’
p



Exercícios
Parte 3
Exercícios 76, 77, 78,
80, 82, 83, 85, 86, 90,
92, 94, 95 e 96.

Geometria descritiva: posições de planos e pertinência de retas e pontos

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