Movimento de partículas em uma dimensão

CINEMÁTICA

38

CAPÍTULO 3
CINEMÁTICA
3.1 MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO
O movimento dos corpos é estudado pela Cinemática. Esta área da Física estuda os corpos
considerando-os como pontos materiais. Qualquer corpo pode ser considerado como um ponto
material, desde que tenha suas dimensões desprezíveis em relação às dimensões do movimento
consideradas.

3.1.1 Deslocamento
A figura 3.1 mostra um carro na posição x1 no instante t1 e a posição do mesmo carro em x2
no instante t2. A modificação da posição do carro, o deslocamento, é dada pela diferença x2 – x1. A
letra grega ∆ (delta maiúsculo) indica a variação de uma grandeza. Então a variação de x se escreve
∆x :
∆x = x2 – x1

3.1

Unidade no SI: metro (m)

Figura 3.1: Um carro desloca-se sobre uma reta que tem um ponto como origem, O. Os outros pontos são identificados
pela distância x a O. Os pontos à direita de O têm coordenadas positivas e os pontos à esquerda, negativas. Quando o
carro passa do ponto x1 para o ponto x2, o seu deslocamento é ∆x = x2 – x1.

3.1.2 Velocidade Média
Se define como a razão entre o deslocamento ∆x e o intervalo de tempo ∆t = t2 – t1.

v méd =

∆x x 2 − x 1
=
t 2 − t1
∆t

3.2

Unidade no SI metro/segundo (m/s), mas é também bastante usado a unidade de quilômetro
por hora (km/h).
O deslocamento e a velocidade podem ser positivos ou negativos. Um valor positivo mostra
que o movimento ocorre no sentido do x positivo.
Na linguagem corrente, a velocidade média (velocidade escalar média) de um móvel é a
razão entre a distância total percorrida pelo móvel e o intervalo de tempo entre a partida e a
chegada.

Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC

CINEMÁTICA

velocidade escalar média =

distância total
tempo total

→

39

(sempre positiva)
3.3

Exemplos 3-1: Numa corrida de 100m, os primeiros 50m são cobertos com a velocidade média de
10m/s e os 50m restantes com a velocidade média de 8m/s. Qual a velocidade média do corredor
sobre os 100m ?
Solução:

∆t 1 =

∆x
∆t

∆x 1 50
=
= 5s
v1
10

∆t 2 =

v méd =

∆x 2 50
=
= 6,25 s
v2
8

∆t = ∆t 1 + ∆t 2 = 11,25 s
v méd =

∆x
= 8,89 m/s
∆t

Exemplo 3-2: Imagine que você corra 100m em 12s e depois retorne ao ponto de partida
caminhando 50m durante 30s. Calcule:

a) A velocidade escalar média (sentido trivial);
b) A velocidade média definida pelo deslocamento.

Figura 3.2

Solução:

∆x (total ) 150
=
= 3,57 m/s
∆t
42
∆x 50
=
=
= 1,19 m/s
∆t 42

a) v méd =
b) v méd

3.1.3 Velocidade Média (Interpretação Geométrica)
A velocidade média é o coeficiente angular (inclinação) da reta que passa pelos pontos
(t1,x1) e (t2,x2), como ilustrado na figura 3.3.


CINEMÁTICA

40

Figura 3.3: Gráfico de x contra t do movimento de uma partícula em uma dimensão. Cada ponto da curva corresponde à
posição x num instante t. Entre as posições P1 e P2 traçamos um segmento de reta. O deslocamento ∆x = x2 – x1 e o
intervalo de tempo ∆t = t2 – t1, entre os dois pontos, ficam bem identificados. O segmento de reta de P1 até P2 é a
hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são ∆x e ∆t. A razão ∆x/∆t é o coeficiente angular (inclinação) do
segmento de reta. Em termos geométricos, o coeficiente angular é a medida da inclinação da reta.

∆x
= inclinação = v méd
∆t

3.4

3.1.4 Velocidade Instantânea
É a velocidade da partícula num certo ponto. Se a partícula está num certo ponto, como pode
ter uma velocidade?
Para definir um movimento é preciso ter a posição de um corpo em dois ou mais instantes.
Se considerarmos intervalos de tempo cada vez mais curtos, entre um ponto e outro, do
movimento, a velocidade média em cada um desses intervalos se aproximam do coeficiente angular
da tangente à curva no ponto P0. A inclinação desta tangente é a velocidade instantânea em t0.
A velocidade instantânea é a derivada da posição quando ∆t tende a zero.
v=

dx
dt

3.5

O movimento que possui velocidade constante é chamado de Movimento Uniforme.
A inclinação de uma reta pode ser positiva, negativa ou nula. Por isso, a velocidade
instantânea (no movimento unidimensional) pode ser positiva (x cresce com o tempo), ou negativa
(x decresce com o tempo). O módulo (valor absoluto) da velocidade instantânea é a velocidade
escalar instantânea.


CINEMÁTICA

41

Figura 3.4: Gráfico de x contra t. Veja a seqüência de intervalos de tempo t1 t2, t3, ..., cada vez menores. A velocidade
média, em cada intervalo, é a inclinação do segmento de reta correspondente ao intervalo. Quando os intervalos de
tempo tendem a zero, esta inclinação tende para a inclinação da reta tangente à curva no ponto t1. A inclinação (o
coeficiente angular) corresponde à velocidade instantânea no instante t1.

Exemplo 3-3: A posição de uma pedra que cai de um rochedo pode ser descrita, aproximadamente,
por x = 5t2, em que x, em metros, é medida para baixo, a partir da posição inicial da pedra em t = 0,
e t está em segundos. Achar a velocidade em qualquer instante de tempo t.
Solução:
350
300

t3

posição (m)

250
200
150

t2
100

t1

50
0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

tempo (s)

Queremos calcular a velocidade da pedra num instante qualquer t. Para isso, devemos saber
como derivar a equação da posição em relação ao tempo.


CINEMÁTICA

42

( )

dx d
=
5t 2
dt dt
v( t ) = 5 ⋅ 2 t 2−1
v( t ) =

v( t ) = 10t
As derivadas, como se sabe, são calculadas facilmente mediante regras simples. Uma regra
especialmente útil é
Se x = C tn, então

dx
= C n t n −1
dt

3.6

3.1.5 Aceleração Média
A aceleração média é a taxa temporal de variação da velocidade.
a=

∆v
∆t

3.7

3.1.6 Aceleração Instantânea
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, quando ∆t tende a
zero.
a (t) =

dv
dt

3.8

O movimento que possui aceleração constante é chamado de Movimento Uniformemente
Acelerado (ou variado).
Exemplo 3-4: O carro esportivo BMW M3 pode acelerar, na terceira marcha, de 48,3 km/h até
80,5 km/h em apenas 3,7s.

a) Qual a aceleração média deste carro em m/s2?
b) Se o carro mantiver esta aceleração durante outro segundo, que velocidade atingirá?
Solução:

a)
48,3 km/h

b)
→

13,4 m/s

80,5 km/h → 22,4 m/s
22,4 - 13,4
am =
= 2,4 m/s
3,7

v = v 0 + a ⋅ t = 22,4 + 2,4 ⋅ 1 = 24,8 m/s


CINEMÁTICA

43

Exemplo 3-5: Para o gráfico abaixo responda as seguintes perguntas:

a) Em que instantes as acelerações dos corpos são positivas, negativas ou nulas?
b) Em que instantes as acelerações são constantes?
c) Em que instantes as velocidades instantâneas são nulas?

M ov im en t o A m ort ecid o
2

p osição (m )

1

0

-1

-2
0

2

4

6

8

10

t em p o (s)

Solução:

a) Positiva (a>0): de 0s a 3s; de 6s a 8s
Negativa (a<0): de 3s a 6s; de 8s a 9s
Nula(a=0): 3s; 6s; 8s.
b) A aceleração depende do tempo.
c) Velocidade nula (v = 0) : 3s; 6s; 8s.
Se o movimento for uniformemente acelerado, ou seja, a aceleração for constante, vale a
seguinte relação para a velocidade média:
v méd =

1
(v 0 + v )
2

3.9

A velocidade em função da posição pode ser obtida através da expressão:
2
v 2 = v 0 + 2 ⋅ a ⋅ ∆x

3.10

Graficamente podemos resumir os dois tipos de movimento estudados da seguinte maneira:


CINEMÁTICA

44
Movimento Uniforme:

x

v

a

x0
x = x0 + vt

t

v = v0

t

a=0

t

Movimento Uniformemente Acelerado:

x

v

a

t

t

1
x = x0 + vt + at2
2

t

v = v0 + a t

a(t) = a

Exemplo 3-6: Num tubo de raios catódicos, um elétron é acelerado do repouso, com uma
aceleração de 5,33 . 1012 m/s2, durante 0,15 µs (1 µs = 10-6s ). O elétron, então se desloca, com
velocidade constante, durante 0,2 µs. Finalmente chega ao repouso com uma aceleração de 2,67.1013 m/s2. Que distância o elétron percorre?
Solução:

∆x1

∆x2

v0 = 0

v1

t0 = 0

t1 = 0,15µs

∆x3

v2
t2 = 0,45µs


v3 = 0
t3

CINEMÁTICA

Primeiro intervalo de tempo:

∆t 1 = t 1 − t 0 = 0,15 ×10 −6 s
a 1 = 5,33 × 1012 m / s 2
v0 = 0 (o elétron parte do repouso)
Cálculo de v1:
v1 = v 0 + a 1 ⋅ ∆t 1

(

)(

v1 = 5,33 × 1012 m / s 2 ⋅ 0,15 × 10 −6 s

)

v1 = 8,00 × 10 5 m / s

Cálculo de ∆x1:
a
2
⋅ (∆t 1 )
2
12
2
5,33 × 10 m / s 2
∆x 1 =
⋅ 0,15 × 10 −6 s
2
∆x 1 = 6,00 × 10 − 2 m ou ∆x 1 = 6,00 cm
∆x 1 = v 0 ⋅ ∆t 1 +

(

)

Segundo intervalo de tempo:
∆t 2 = t 2 − t 1 = 0,2 × 10 −6 s
Se a velocidade é cons tan te ⇒ a 2 = 0
v1 = 8,00 × 10 5 m / s

Cálculo de ∆x2:
a2
2
⋅ (∆t 2 )
2
∆x 2 = 8,00 × 10 5 m / s ⋅ 0,2 × 10 −6 s

∆x 2 = v1 ⋅ t +

(

)(

−1

)

∆x 2 = 1,60 × 10 m ou ∆x 2 = 16cm

Terceiro intervalo de tempo:
v 2 = v1 = 8,00 × 10 5 m / s
v3 = 0

(elétron retorna ao repouso )

a 3 = −2,67 × 1013 m / s 2

Cálculo de ∆t3:


45

CINEMÁTICA

46
v 3 = v 2 + a 3 ⋅ ∆t 3
∆t 3 =

− v2
a3

⇒ ∆t 3 =

− 8,00 × 10 5 m / s
− 2,67 × 1013 m / s 2

∆t 3 = 0,03 × 10 −6 s

Cálculo de ∆x3:
∆x 3 = v 2 ⋅ ∆t 3 +

a3
2
⋅ (∆t 3 )
2

[(

)(

)] (− 2,67 × 10
2

∆x 3 = 8,00 × 10 2 m / s ⋅ 0,03 × 10 −6 s +

13

m / s2

) ⋅ (0,003 × 10 s)
−6

2

∆x 3m = 1,20 × 10 − 2 m ou ∆x 3 = 1,20cm
Distância total percorrida pelo elétron:
∆x total = ∆x 1 + ∆x 2 + ∆x 3
∆x total = 23,2 cm
Exemplo 3-7: A posição de uma partícula é dada por x = Ct3, onde C é uma constante com as
unidades de m/s3. Achar a velocidade e a aceleração em função do tempo.
Solução:

v=

dx
= 3Ct 2
dt

a=

d 2 x dv
=
= 6Ct
dt
dt 2

3.2 Movimento em Duas e Três Dimensões
3.2.1 Vetor Posição
O vetor posição de uma partícula é um vetor com a origem na origem do sistema de
coordenadas xy e a extremidade no ponto da posição xy da partícula. Então, se a posição for no
ponto (x,y), o vetor posição r é

r = x i + yj

3.11

A figura 3.5 mostra a trajetória da partícula. (Não confundir a trajetória com o gráfico de x
contra t que vimos anteriormente). No instante t1 a partícula está em P1, com o vetor posição r1 . Em
t2, a partícula chegou a P2 e o seu vetor posição é r2 . A variação de posição da partícula é o vetor
deslocamento ∆ r
∆ r = r2 − r1

3.12

Do movimento em uma dimensão sabemos que x = x0 + v0xt + (1/2)axt2 e que y = y0 + v0yt +
(1/2) ayt2. Logo, a equação 3.11 pode ser reescrita como


CINEMÁTICA

47

1
1




r (t) =  x 0 + v 0x t + a x t 2  i +  y 0 + v 0 y t + a y t 2  j
2
2




1
r (t) = x 0 i + y 0 j + v 0x i + v 0 y j t + a x i + a y j t 2
2

(

) (

)

(

)

onde,
r0 = x 0 i + y 0 j
v 0 = v 0x i + v 0y j

3.13

a = ax i + ay j
e finalmente,
1
r ( t ) = r0 + v 0 t + at 2
2

3.14

Figura 3.5: O vetor deslocamento ∆ r é a diferença entre os vetores posição, ∆ r = r2 − r1 . Ou então, ∆ r é o vetor que
somado a r1 leva ao vetor posição r2 .

3.2.2 Vetores Velocidade Média e Instantânea
A razão entre o vetor deslocamento e o intervalo de tempo ∆t = t2 – t1é o vetor velocidade
média

v media =

∆r
∆t

3.15

Esse vetor tem direção coincidente com a do deslocamento.
O módulo do vetor deslocamento é menor do que a distância percorrida sobre a trajetória, a
menos que a partícula se desloque em linha reta. Porém, se considerarmos intervalos cada vez
menores, o módulo do deslocamento se aproxima cada vez mais da distância percorrida sobre a
curva e a direção de ∆ r se aproxima da direção da reta tangente à curva no ponto inicial do
intervalo (figura 3.6).


CINEMÁTICA

48

Figura 3.6: À medida que os intervalos de tempo ficam menores, o vetor deslocamento se aproxima da tangente à curva.

O vetor velocidade instantânea é a derivada temporal do vetor posição.
dr d 
1

=  r0 + v 0 t + at 2 
dt dt 
2

v( t ) = v 0 + at

v( t ) =

3.16

Exemplo 3-8: Um barco a vela tem coordenadas (x1, y1) = (110 m, 218 m) no instante t1 = 60 s.
Dois minutos depois, no instante t2, as suas coordenadas são (x2, y2_ = (130 m, 205 m). (a) Achar a
velocidade média sobre este intervalo de dois minutos. Dar vmed em termos das componentes
cartesianas. (b) Determinar o módulo e a direção desta velocidade média. (c) Quando t ≥ 20 s, a
posição do barco, em função do tempo, é x(t) = 100m + [(1/6) m/s]t e y(t) = 200 m + (1080 m .s)t-1.
Determinar a velocidade instantânea num instante qualquer t além de 20 s.

Solução: As posições inicial e final do barco a vela aparecem na figura acima. (a) O vetor
velocidade média aponta da posição inicial para a final. (b) As componentes da velocidade
instantânea se calculam pela equação 3.14.

(a) As componentes x e y do vetor velocidade média
respectivas definições:

se calculam diretamente a partir das


CINEMÁTICA

v x ,med =

x 2 − x 1 130m − 110m
=
= 0,167 m / s
∆t
120s

v y ,med =

49

y 2 − y1 205m − 218m
=
= −0,108 m / s
∆t
120s

v med = (0,167 m / s ) i − (0,108m / s ) j

(b) 1. O módulo de vmed se calcula pelo teorema de Pitágoras
v med =

(v

) + (v
2

x , med

)

2

y , med

= 0,199 m / s

2. A direção é dada por
 − 0,108m / s 
θ = arctg
 = −33°
 0,167m / s 
Como o vetor velocidade encontra-se no quarto quadrante, temos
θ´=360°-33° = 327°
(c) Determina-se a velocidade instantânea pelo cálculo das derivadas de x e y em relação ao
tempo:
v=

dx
dy
i+
j
dt
dt

1

v( t ) =  m / s  i − (1080m ⋅ s ) t − 2 j
6


3.2.3 O Vetor Aceleração
O vetor aceleração média é a razão entre a variação do vetor velocidade instantânea ∆v e o
intervalo de tempo ∆t
a méd =

∆v
∆t

3.17

O vetor aceleração instantânea é o limite dessa razão quando ∆t tende a zero. Em outras
palavras, é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
∆v dv
=
∆t →0 ∆t
dt

a = lim

3.18

Para calcular a aceleração instantânea é conveniente exprimir v em função da derivada da
posição em relação ao tempo:
∆v dv d 2 x
a = lim
=
=
∆t →0 ∆t
dt dt 2

3.19

CINEMÁTICA

50

Exemplo
3-9:
A
posição
de
uma
bola
arremessada
é
dada
2
2
r ( t ) = 1,5m i + 12m / s i + 16m / s j t − 4,9m / s j t . Determinar a velocidade e a aceleração.

(

)

por

Solução: As componentes x e y da velocidade são determinadas por simples derivação

vx =

dx d
= [1,5m + (12m / s ) t ] = 12m / s
dt dt

[
(

(

) ]

(

)]

dy d
(16 m / s ) t − 4,9m / s 2 t 2
=
dt dt
v y = 16 m / s − 9,8m / s 2 t
vy =

)

Assim, na notação vetorial

[

v( t ) = (12m / s ) i + 16m / s − 9,8m / s 2 t j
Se derivarmos as equações acima outra vez, chegamos à aceleração
dv x
d
= (12m / s ) = 0
dt
dt
dv y
d
ay =
= 16m / s − 9,8m / s 2 t = −9,8m / s 2
dt
dt

ax =

[

(

)]

Assim, na notação vetorial
a ( t ) = −9,8m / s 2 j

3.3 Leis de Newton
3.3.1 Primeira Lei de Newton
“Um corpo em repouso permanece em repouso a menos que sobre ele atue uma força externa.
Um corpo em movimento desloca-se com velocidade constante a menos que sobre ele atue uma
força externa.”

3.3.2 Segunda Lei de Newton
“A aceleração de um corpo tem a direção da força externa resultante que atua sobre ele. É
proporcional ao módulo da força externa resultante e inversamente proporcional à massa do corpo.”
F
3.20
a = res ⇒ Fres = ma
m
A força externa resultante é a soma de todas as forças que atuam sobre o corpo ∑ F = Fres ,
logo

∑ F = Fres = ma

3.21

3.3.3 Terceira Lei de Newton
“As forças sempre atuam aos pares de forças iguais porém opostas. Se um corpo A exerce
uma força sobre outro B, este exerce sobre A uma força de mesmo módulo da primeira, porém com
sentido oposto.”


CINEMÁTICA

51

3.3.4 A Força da Gravidade: O Peso
Quando um corpo cai nas proximidades da Terra, ele é acelerado para baixo. Desprezandose a resistência do ar, todos os corpos tem a mesma aceleração de queda que é a aceleração da
gravidade g (nas proximidades da Terra). A força que provoca essa aceleração é a força peso FP .
Sendo m a massa do corpo, a segunda lei de Newton define a força peso como:
FP = mg

3.22

Unidades de força: 1 N = (1 kg) (1m/s2) = 1 kg . m/s2

3.3.5 Diagrama de Forças
O diagrama que mostra esquematicamente as forças que atuam sobre um sistema é um
diagrama de forças.
Exemplo 3-10: Um caminhão descarrega volumes por uma rampa de roletes (um plano inclinado
sem atrito). O ângulo da rampa é de θ em relação ao plano horizontal. Determinar a aceleração de
um volume de carga m, que escorrega pela rampa, e calcular a força normal da rampa sobre ele.

Solução: a) Diagrama de Forças

b) Soma das forças em x e y

∑ Fx
∑ Fy

= FP sen θ = ma ⇒

= − FP cos θ + N = 0 ⇒

a = g sen θ
N = mg cos θ


CINEMÁTICA

52

Exemplo 3-11: Um quadro, pesando 8 N, está suspenso por dois fios com as tensões T1 e T2 ,
como mostra a figura. Calcular o valor de cada tensão.

Solução: a) Diagrama de Forças

3
T1
2
1
T1y = T1 sen 30° = T1
2
T1x = T1 cos 30° =

1
T2 x = T2 cos 60° = T2
2
3
T2 y = T2 sen 60° =
T2
2

b) Soma das forças em x e y

∑F

x

∑F

y

= T1x − T2 x = 0 ⇒ T2 = 3 T1

= T1y + T2 y − mg = 0 ⇒

1
3
T1 +
T2 = 8N
2
2

Substituindo (I) em (II), temos que:
T1 = 4 N

(I)

T2 = 6,9 N


(II)

CINEMÁTICA

53

3.4 Atrito
3.4.1 Atrito Estático
Quando se aplica uma pequena força horizontal a uma grande caixa em forma de
paralelepípedo que está sobre um piso, a caixa pode não se mover em virtude da ação de uma força
de atrito estático, f s , exercida pelo piso, que equilibra a força aplicada

A força de atrito estático, que sempre se opõe à força aplicada, pode variar entre zero até um
certo valor máximo, fs,max. A força de atrito máximo independe da área de contato e é proporcional à
força normal exercida por uma das superfícies sobre a outra. Em geral,
f s max = µ s N

3.23

onde µs é o coeficiente de atrito estático, que depende da natureza das superfícies em contato.
Se a força horizontal exercida sobre a caixa for menor que fs,max, a força de atrito
equilibra esta força horizontal
f s max ≤ µ s N

3.24

Seja um corpo, inicialmente em repouso, apoiado em uma superfície não lisa sob a ação de
uma única força F, paralela à superfície, e do atrito entre as superfícies.
Aumentando o módulo da força F o módulo da força de atrito também aumenta até um certo
limite, conhecido como força de atrito estático, quando, então, o corpo inicia o movimento. Após o
corpo iniciar seu movimento, passa a existir uma nova força de atrito atuante, a força de atrito
dinâmico ou cinético, com intensidade menor. A razão entre a força de atrito e a reação normal da
superfície de apoio é uma constante denominada coeficiente de atrito (µ). Os coeficientes de atrito
estático e dinâmico dependem dos tipos de superfícies em contato.

3.4.2 Atrito Cinético
Se a caixa for empurrada com bastante força, ela escorrega sobre o piso. Ligações entre as
moléculas formam-se e rompem-se continuamente, e pequeninos fragmentos das superfícies são
arrancados, conforme mostra a figura 3.7.


CINEMÁTICA

54

Caixa

Superfície

Figura 3.7

Este complicado efeito decorre do atrito cinético, f c , que se opõe ao movimento. Para
manter a caixa deslizando com velocidade constante, é preciso exercer sobre ela uma força de
módulo igual ao da força de atrito cinético, mas de direção oposta. Por definição,
fc = µc N

3.25

onde µc é o coeficiente de atrito cinético, e depende da natureza das superfícies em contato.
Exemplo 3-12: Plano Horizontal

Vamos considerar que o bloco 1 está em repouso sobre o plano horizontal (figura 3.8), e
conseqüentemente, em equilíbrio com o bloco 2.
N

T

Fat

1

T
P1

2

P2
Figura 3.8: Forças que atuam num sistema formado por dois blocos conectados por um fio inextensível.

Atrito Estático: Para que não exista movimento, a resultante das forças que atua nos blocos deve
ser nula, e o atrito entre o bloco 1 e o plano deve ser máximo. Temos a seguinte distribuição de
forças:


CINEMÁTICA

55

Bloco 1
T − Fat = 0 ⇒ T = Fat

 N − P1 = 0 ⇒ N = P1

(1)

Bloco 2
T − P2 = 0 ⇒ T = P2

(2)

Igualando as equações 1 e 2, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito estático
Fat = µ s .N = P2
µ s ⋅ m 1g = m 2 g
/
/
µs =

m2
m1

Atrito Cinético: Aumentando-se a massa do bloco 2, o bloco 1 entrará em movimento.
Consideremos então, m2´ > m2, de forma que o bloco 1 entre em MRUV. Consideremos que o
movimento apresenta aceleração constante a.

A força resultante que atua no sistema pode ser escrita, para cada bloco, como:
Bloco 1
T − Fat = m1a ⇒ T = m1a + Fat

 N − P1 = 0 ⇒ N = m1g

(3)

Bloco 2
´
P2 − T = m´2 a

(4)

Igualando as equações 3 e 4, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito
cinético
m1a + µ c m1g = m´2 g − m´2 a
µc =

m´2 ( g − a ) − m1a
m1g


CINEMÁTICA

56
Exemplo 3-13: Plano Inclinado

Vamos considerar que o bloco 1 está em repouso sobre o plano inclinado (figura 3.9), e em
equilíbrio com o bloco 2.

T
T

N

2

1
Fat

′
P2

P1

θ

Figura 3.9: Forças atuantes num sistema de dois blocos unidos por um fio inextensível, num plano inclinado.

Atrito Estático: Quando o sistema estiver parado, mas com tendência de que o bloco 2 (com massa
m2) se mova para baixo, o bloco 1 tenderá a se mover no sentido ascendente, teremos as seguintes
equações de movimento:

Bloco 1
T − Fat − P1 sen θ = 0 ⇒ T = µ s N + m1g sen θ

 N − P1y = 0 ⇒ N = m1g cos θ

(1)

Bloco 2
T − P2 = 0 ⇒ T = m 2 g

(2)

Igualando as equações 1 e 2, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito estático
µ s .m1g cos θ + m1g sen θ = m 2 g
µs =

m 2 g − m1g sen θ
m1g cos θ

O mesmo vale se o bloco 2 estiver com tendência para se mover para cima.
Atrito Cinético: Se considerarmos que o plano está inclinado de um certo ângulo θ, devido a
atuação da força da gravidade, o corpo é acelerado com uma aceleração gsenθ na direção do plano,
onde g é a aceleração da gravidade e θ a inclinação do plano. Se não desprezarmos a ação da força
de atrito entre as superfícies de contato do corpo e o plano, e usando a segunda lei de Newton,
teremos as seguintes possibilidades que são apresentadas a seguir.


CINEMÁTICA

57

Considerando-se o movimento do bloco 1 no sentido ascendente (figura 3.9), ao longo do
plano inclinado, devemos levar em consideração que agora a massa do bloco 2 ( m´2 ) é maior do que
aquela necessária para manter o equilíbrio do sistema (m2). Podemos escrever:
Bloco 1
T − Fat − P1 sen θ = m1a ⇒ T = µ c N + m1g sen θ + m1a

 N − P1 cos θ = 0 ⇒ N = m1g cos θ

(3)

Bloco 2
´
P2 − T = m´2 a

⇒ T = m´2 g − m´2 a

(4)

cinético no movimento ascendente
µ c m1g cos θ + m1g sen θ + m1a = m´2 (g − a )
µc =

m´2 (g − a ) − m1g sen θ − m1a
m1g cos θ

Ao analisarmos a situação na qual o mesmo corpo movimenta-se no sentido descendente
(figura 3.9), ao longo do plano inclinado, devemos levar em consideração que agora a massa do
bloco 2 ( m " ) é menor do que aquela necessária para manter o equilíbrio do sistema (m2), e que a
2
aceleração do sistema é a´. Neste caso teremos as seguintes equações:
Bloco 1
 P1 sen θ − T − Fat = m1a´ ⇒ T = m1g sen θ − µ c N − m1a´

 N − P1 cos θ = 0 ⇒ N = m1g cos θ

(5)

Bloco 2
′
T − P2′ = m′′ a ′ ⇒ T = m′′ (a ′ + g )
2
2

(6)

cinético no movimento descendente
m1g sen θ − µ c m1g cos θ − m1a´= m′′ (a ′ + g )
2
µc =

m1g sen θ − m1a ′ − m′′ (a ′ + g )
2
m1g cos θ


CINEMÁTICA

58

Exemplo 3-14: Um bloco está em repouso sobre um plano inclinado, conforme mostra a figura
3.10. O ângulo de inclinação é lentamente aumentado até atingir um valor crítico, θc, no qual o
bloco principia a escorregar. Calcular o coeficiente de atrito estático µs.

Figura 3.10

a) Diagrama de Forças:

b) Soma das forças em x e em y:

∑F

x

∑F

y

= mg sen θc − f s = 0 ⇒ mg sen θc = µ s N (I)
= N − mg cos θ c

⇒

N = mg cos θ c (II)

Substituindo (II) em (I), temos
µs =

sen θc
= tgθc
cos θc


CINEMÁTICA

59

Exemplo 3-15: A massa m2 da figura 3.11 foi escolhida de tal modo que o bloco de massa m1 está
prestes a escorregar. (a) Se m1 = 7 kg e m2 = 5 kg, qual o coeficiente de atrito estático entre a
superfície da prateleira e o bloco? (b) Com um pequeno empurrão, os dois blocos movimentam-se
com aceleração a. Calcular a aceleração a se o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a
superfície for µc = 0,54.

Figura 3.11

a) Diagrama de Forças:

Soma das forças em x e em y para o sistema em equilíbrio estático:
Bloco 1

∑F
∑F

x

= T1 − f s = 0 ⇒ T1 = µ s N

y

= N − m1g = 0 ⇒

N = m1g

Logo, combinando as duas equações
T1 = µ s m1g
Bloco 2
∑ Fx = 0

∑F

y

= T2 − m 2 g = 0 ⇒ T2 = m 2 g

Logo,
T2 = m 2 g


CINEMÁTICA

60

Como a tensão nos dois blocos é a mesma, devemos ter: T1 = T2. Dessa forma, o
coeficiente de atrito estático será
m
5
µ s m1g = m 2 g ⇒ µ s = 2 = = 0,71
m1 7
µ s = 0,71
b) Sistema em movimento:
Bloco 1
∑ Fx = T1 − f c = m1a

∑F

y

⇒ T1 = µ s N + m1a

= N − m1 g = 0 ⇒

N = m1 g

Logo, combinado as duas equações
T1 = µ s m1g + m1a
Bloco 2
∑ Fx = 0

∑F

y

= T2 − m 2 g = − m 2 a

⇒ T2 = m 2 g − m 2 a

Logo,
T2 = m 2 g − m 2 a

Como a tensão nos dois blocos é a mesma, devemos ter: T1 = T2. Dessa forma, a aceleração
do sistema será
− m 2 a + m 2 g − µ c m 1g − m 1a = 0
a (m 2 − m1 ) = m 2 g − µ c m1g
a=g

(m 2 − µ c m1 )
(m1 + m 2 )

a = 0,996 m / s 2


CINEMÁTICA

61

3ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Um carro faz uma viagem de 200 km a uma velocidade média de 40 km/h. Um segundo carro,
partindo 1,0 hora mais tarde, chega ao ponto de destino no mesmo instante que o primeiro. Qual
é a velocidade média do segundo carro no intervalo de tempo em que esteve em movimento? R:
v = 50 km/h
2. Uma partícula se move sobre o eixo dos x de acordo com a equação x=2 + 3t - t2, onde x está em
metros e t em segundos. Em t=3,0 s, achar (a) a posição da partícula, (b) a velocidade da
partícula e (c) sua aceleração.
R: (a) 2,0 m ; (b)-3,0 m/s ; (c) –2,0 m/s2
3.

Um avião a jato aterrissa com velocidade de 100 m/s e pode desacelerar à taxa máxima de -5,0
m/s2 até ficar em repouso. (a) A partir do instante em que toca na pista, qual é o intervalo de
tempo mínimo necessário para que atinja o repouso? (b) Esse jato poderia aterrissar no
aeroporto de uma pequena ilha, com uma pista de 0,80 km? Justifique.
R: (a) 20 s ; (b) não

4.

O gráfico abaixo apresenta duas retas, às quais correspondem ao movimento de dois
automóveis. O que acontece no ponto em que estas duas retas se interceptam? Calcule a
velocidade dos dois automóveis.
R: vA = 8,3 m/s ; vB = 16,7 m/s
7

B

6

A
p osição (km )

5
4
3
2
1
0
0

1

2

3

4

5

6

t em p o (m in )

5.

Este gráfico representa o movimento de dois ciclistas. O ciclista A parte de Lages rumo a São
Joaquim às 10h. No mesmo instante, o ciclista B parte de São Joaquim para Lages. Calcule a
velocidade de cada um deles e o instante em que se encontram. R: vA = 13,3 km/h ; vB = 20,0
km/h ; encontro em t = 1,5 horas.
M ovim en t o U n iform e
50

A

40

x (km )

30

20

10

B
0
0

2

t (h )


4

CINEMÁTICA

62

6. Este gráfico mostra o espaço percorrido por um objeto em função do tempo. Calcule as
diferentes velocidades (em metros por minuto) que o objeto apresenta ao longo do seu
movimento. Calcule também sua velocidade média.
R: 0 < t < 1min: v1 = 200 m/min
1min < t < 2,5 min: v2 = 33,3 m/min
2,5 min < t < 3,3 min: v3 = 125 m/min
3,3 min < t < 4 min: v4 = 71,4 m/min
vmed = 100 m/min
400
350
300

x (m )

250
200
150
100
50
0
0

1

2

3

4

t (m in )

7. Um trem parte do repouso e se move com aceleração constante. Em um determinado instante,
ele viaja a 30 m/s, e 160 m adiante, trafega a 50 m/s. Calcule (a) a aceleração, (b) o tempo
necessário para percorrer os 160 m mencionados, (c) o tempo necessário para atingir a
velocidade de 30 m/s e (d) a distância percorrida desde o repouso até o instante em que sua
velocidade era de 30 m/s. R: (a) 5,0 m/s2 ; (b) 4,0 s ; (c) 6,0 s ; (d) 90 m
8. Um carro se movendo com aceleração constante percorre, em 6,0 s, a distância entre dois
pontos separados de 60,0 m. Quando passa pelo segundo ponto, sua velocidade é de 15,0 m/s.
(a) Qual é a velocidade no primeiro ponto? (b) Qual é a aceleração? (c) A que distância do
primeiro ponto o carro estava em repouso?
R: (a) 5,0 m/s ; (b) 1,7 m/s2 ; (c) 7,5 m
9. Uma partícula move-se com a velocidade v = 8t – 7, com v em m/s e t em segundos. (a)
Calcular a aceleração média sobre intervalos de um segundo, principiando em t = 3s e em t =
4s. (b) Traçar v contra t. (c) Qual a aceleração instantânea em qualquer instante?
R: a) a = 8 m/s2; c) a = 8 m/s2 em cada instante.
10. Um avião, para aterrissar num navio aeródromo, dispõe de 70m de pista. Se a velocidade
inicial for de 60 m/s. (a) Qual deve ser a aceleração na aterrissagem, admitindo-se seja
constante? (b) Quanto tempo leva o avião até parar?
R: a) –25,7 m/s2; b) 2,33 s
11. As coordenadas da posição de uma partícula, (x,y), são (2m, 3m) no instante t = 0s; (6m, 7m)
em t = 2s; e (13m, 14m) em t = 5s. (a) Calcular a velocidade média vméd entre t = 0s e t = 2s.
(b) Calcular a vméd entre t = 0s e t = 5s.
R: a) vm = 2,83 m/s; b) vm = 3,11 m/s
12. Uma partícula desloca-se no plano xy com aceleração constante. No instante inicial (t = 0s) a
partícula está em x = 4m, y = 3m e tem a velocidade v = (2m / s ) i − (9m / s ) j . A aceleração é

dada por a = (4m / s )i + (3m / s ) j . (a) Calcular o vetor velocidade no instante t = 2s. (b) Calcular
o vetor posição no instante t = 4s. (c) Dar o módulo e a direção do vetor posição.


CINEMÁTICA

63

i
j
R: a) v ( 2s) = (10m / s ) i − (3m / s ) j ; b) r ( 4s) = (44m ) ˆ − (9m )ˆ ; c) r ≅ 44,9 m e θ = −11,56°
13. Uma partícula tem o vetor posição r = 30t i + (40t − 5t 2 ) j , com r em metros e t em segundos.
Determinar, em função de t, os vetores velocidade instantânea e aceleração instantânea.
R: v ( t ) = 30 i + (40 − 10t ) j e a ( t ) = −10 j

(

)

2
14. A aceleração constante de uma partícula é dada por a = 6 i + 4 j m / s . No instante t = 0, a

velocidade é nula e o vetor posição é r0 = (10m )i . (a) Determinar os vetores velocidade e
posição em qualquer instante t. (b) Determinar a equação da trajetória da partícula no plano xy
e desenhar esta trajetória.
2
20
b) y = ⋅ x −
R: a) r ( t ) = (10m ) i + 3 i + 2 j ⋅ t 2 e v ( t ) = 6 i + 4 j ⋅ t
3
3

(

)

(

)

15. A posição r de uma partícula em movimento, num plano xy é dada por
r = (2 t 3 − 5t ) i + (6 − 7 t 4 ) j . Com r em metros e t em segundos. (a) Encontre v (t ) e a (t ) . (b)
Quando t = 2s, calcule r (t ) , v (t ) e a (t ) .
R: a) v (t ) = (6,00 t2 – 5,00) i –28,00 t3 j ; a (t ) = 12,00 t i –84,00 t2 j ; b) r (2s ) = 6,00 i –

106,00 j ; v (2s ) = 19,00 i – 224,00 j ; a (2s ) = 24,00 i – 336,00 j .

16. Um barco à vela desliza na superfície gelada de um lago, com aceleração constante produzida
pelo vento. Em um determinado instante, sua velocidade é de 6,30 i – 8,42 j , em metros por
segundo. Três segundos depois, devido à mudança do vento, o barco para de imediato. Qual a
sua aceleração média, durante este intervalo de 3 s? R: a (t ) = - (2,10 m/s2) i + (2,81 m/s2) j .

(

)

17. Em t = 0, uma partícula que se move no plano xy tem a velocidade v 0 = 3 i − 2 j m / s na

(

)

origem. Em t = 3s, sua velocidade é v = 9 i + 7 j m / s . Achar (a) a aceleração da partícula e
(b) sua coordenada em qualquer instante t.
R: a) (2 i + 3 j ) m/s2; b) (3t + t2) i + (-2t + 1,5t2) j .
18. Ao aumentar a altitude em relação ao nível do mar, o valor da aceleração da gravidade diminui
de 3 x 10-3 m/s2 para cada 1000m de elevação. Calcule qual é seu peso (em newtons) ao nível
do mar (g = 9,806 m/s2) e sobre uma montanha de 4810m. Considere uma massa de 70 kg.
R: Ao nível do mar:686,42 N Na montanha: 685,41 N
19. Em Marte, onde a aceleração da gravidade é de aproximadamente 4 m/s2, um objeto pesa
400N. Calcule seu peso na Terra. R: 980 N
20. A massa de um objeto é de 70 kg na Terra. Calcule o peso (em newtons) quando ele se
encontra numa astronave situada a uma distância do centro da Terra igual ao dobro do raio
terrestre. Nesse local, a aceleração da gravidade é de 2,45 m/s2. R: 171,5 N
21. Um homem empurra um trenó, carregado com massa m = 240 kg, por uma distância d = 2,3 m,
sobre a superfície sem atrito de um lago gelado. Ele exerce sobre o trenó uma força horizontal
constante, com módulo F = 130 N. Se o trenó parte do repouso, qual a sua velocidade final?
R: 1,58 m/s

CINEMÁTICA

64

22. Um caixote de massa m = 360 kg está parado sobre a carroceria de um caminhão que se move
com uma velocidade v0 = 120 km/h. O motorista freia e diminui a velocidade para v = 62 km/h
em 17 s. Qual a força (suposta constante) sobre o caixote, durante esse intervalo de tempo?
Suponha que o caixote não deslize sobre a carroceria do caminhão. R:-342 N
23. Se um corpo de 1 kg tem uma aceleração de 2,00 m/s2, fazendo um ângulo de 20° com o semieixo positivo x, então, a) quais são as componentes x e y da força resultante sobre o corpo e b)
qual a força resultante, em notação de vetores unitários? R: 1,88 N; 0,68 N; 1,9 i + 0,7 j
24. Se o corpo de 1 kg é acelerado por F1 = (3,0 N) i + (4,0 N) j e F2 = (-2,0 N) i + (-6,0 N) j , então,
a) qual a força resultante, em notação de vetores unitários, e b) qual o módulo e o sentido da
força resultante?
R: 1,0 i - 2,0 j ; 2,2 N; - 63°
25. Suponha que o corpo de 1 kg é acelerado a 4,00 m/s2, fazendo um ângulo de 160° com o semieixo positivo x, devido a duas forças, sendo uma delas F1 = (2,50 N) i + (4,60 N) j . Qual é a
outra força em a) notação de vetores unitários e b) módulo e sentido?
7,04 N; 207°

R: - 6,26 i - 3,23 j ;

26. Na caixa de 2,0 kg, da figura, são aplicadas duas forças, mas
somente uma é mostrada. A aceleração da caixa também é
mostrada na figura. Determine a segunda força a) em notação
de vetores unitários e b) em módulo e sentido.
R: - 32 i - 21 j ; 38,3 N; 213°

35. Um armário de quarto com massa de 45 kg, incluindo gavetas e roupas, está em repouso sobre
o assoalho.(a) Se o coeficiente de atrito estático entre o móvel e o chão for 0,45, qual a menor
força horizontal que uma pessoa deverá aplicar sobre o armário para colocá-lo em movimento?
(b) Se as gavetas e as roupas, que têm 17 kg de massa, forem removidas antes do armário ser
empurrado, qual a nova força mínima?
R: a) 198 N; b) 123 N
36. Um disco de hóquei de 110 g desliza cerca de 15 m sobre o gelo antes de parar. (a) Para uma
velocidade escalar inicial de 6,0 m/s, qual é o módulo da força de atrito sobre o disco durante o
deslizamento? (b) Qual o coeficiente de atrito entre o disco e o gelo?
R: a) 0,13 N; b) 0,12
37. Um vagão aberto de trem está carregado com caixas que têm um coeficiente de atrito estático
de 0,25 com o assoalho do vagão. Se o trem se move a 48 km/h, qual a menor distância em que
pode ser parado, com uma desaceleração constante, sem provocar o deslizamento das caixas?
R: 36,3 m


CINEMÁTICA
Polia sem massa
e sem atrito

38. Dois blocos são ligados através de uma polia, conforme
mostrado na figura. A massa do bloco A é de 10 kg e o
coeficiente de atrito cinético é 0,20. O bloco A desliza para
baixo sobre o plano com velocidade constante. Qual a massa
de B?
R: 3,27 kg

39. O bloco m1 na figura tem massa de 4,0 kg e m2 de 2,0
kg. O coeficiente de atrito entre m2 e o plano horizontal
é 0,50. No plano inclinado não há atrito. Determine: (a)
a tensão na corda e (b) a aceleração dos blocos.
R: a) 13 N; b) 1,6 m/s2

65

A
B
o

) 30

Polia sem massa
e sem atrito

m1

m2
µ = 0,50

o

) 30

40. Um aluno deseja determinar os coeficientes de atrito estático e cinético entre uma caixa e uma
prancha. Ele coloca a caixa sobre a prancha e lentamente vai levantando uma das extremidades.
Quando o ângulo de inclinação faz 30° com a horizontal, ela começa a deslizar, descendo a
prancha cerca de 2,5 m em 4,0 s. Quais os coeficientes de atrito que o aluno deseja determinar?
R: a) 0,58; b) 0,5

41. Um bloco de 2 kg está sobre um outro de 5 kg, como mostra a
figura ao lado. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de
5 kg e a superfície onde repousa é 0,2. Uma força horizontal F
é aplicada ao bloco de 5 kg. (a) Traçar o diagrama de forças de
cada bloco. (b) Qual a força necessária para empurrar os dois
blocos para a direita, com uma aceleração de 3 m/s2. (c) Achar
o coeficiente de atrito estático mínimo entre os dois blocos, a fim de que o bloco de 2 kg não
escorregue com a aceleração de 3 m/s2. R: b) 34,7 N ; c) 0,306

42. Os blocos A e B da figura ao lado pesam 44 N e 22
N, respectivamente. (a) Determine o peso mínimo do
bloco C para impedir que o bloco A deslize se µc
entre o bloco A e a mesa for de 0,20. (b) O bloco C é
removido subitamente de cima do bloco A. Qual será
a aceleração do bloco A se µc entre A e a mesa for de
0,15? R: a) 66 N; b) 2,3 m/s2


66

CINEMÁTICA

43. Os três blocos da figura abaixo estão ligados
por fios leves e flexíveis que passam por polias
sem atrito, e possuem massas m1 = 10 kg, m2 =
5 kg e m3 = 3 kg. A aceleração do sistema se
direciona para a esquerda em 2 m/s2 e as
superfícies têm atrito. Achar (a) as tensões nos
fios e (b) o coeficiente de atrito cinético entre
os blocos e as superfícies (Admitir o mesmo µ para os dois blocos que escorregam.) R: a) 78,0
N e 35,9 N; b) 0,655


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