1. 1
PONTO E SEGMENTO DE RECTA
Neste capítulo aborda-se essencialmente o Ponto, elemento geométrico
mais simples. Resultado da união de dois pontos, aborda-se também o
Segmento de Recta. Com esses elementos são explicados alguns aspec-
tos cruciais que ajudarão a compreender as Rectas e os Planos, assim
como outras figuras geométricas tratadas nos diferentes capítulos.
Sumário:
2. Os planos de projecção
3. Os planos bissectores
4. As projecções do ponto
5. As duas coordenadas do ponto
6. O alfabeto do ponto
7. Pontos simétricos
8. A projecção lateral do ponto
9. As três coordenadas do ponto
10. Os segmentos de recta no espaço
11. As projecções dos segmentos de recta
12. A projecção lateral dos segmento de recta
13. Exercícios
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2. Os planos de projecção
A Geometria Descritiva é um sistema diédrico, ou seja, um sistema que utiliza dois planos de projec-
ção. Um deles é vertical e designa-se por Plano Frontal de Projecção (PFP), ou φo (fi zero); o outro é
horizontal e designa-se por Plano Horizontal de Projecção (PHP), ou νo (niu zero). Esses planos cru-
zam-se numa recta que se designa por eixo x.
O eixo x divide os planos de projecção em semiplanos: no Plano Frontal de Projecção existe o Semi-
Plano Frontal Superior (SPFS) e o Semi-Plano Frontal Inferior (SPFI); no Plano Horizontal de Projec-
ção existe o Semi-Plano Horizontal Anterior (SPHA) e o Semi-Plano Horizontal Posterior (SPHP).
Os planos de projecção dividem o espaço em quatro porções, designadas por diedros: I.º, II.º, III.º e
IV.º.
PFP φo
φo SPFS
II.º Diedro
SPFS
II.º Diedro I.º Diedro
I.º Diedro
SPHP SPHP x SPHA νo
PHP νo
x
SPHA
III.º Diedro III.º Diedro IV.º Diedro
SPFI SPFI
IV.º Diedro
Os planos de projecção em perspectiva Os planos de projecção vistos de lado
Esta perspectiva mostra os planos de projecção, os Representados de lado os planos de projecção
semiplanos, o eixo x e os diedros. É este o sistema ficam reduzidos a duas rectas, e o eixo x reduzido
básico utilizado em Geometria Descritiva. Normal- a um ponto. Normalmente representa-se nesta
mente representa-se nesta posição, supondo o posição, com o I.º diedro em cima, à direita, supon-
observador situado no I.º diedro, à esquerda. do que o observador se encontra do lado esquerdo.
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3. Os planos bissectores
Além dos planos de projecção, existem também os planos bissectores. Os planos bissectores divi-
dem os diedros em espaços iguais, chamados octantes. Ou seja, devido à presença dos planos bis-
sectores, cada diedro fica dividido em dois octantes. O β1/3 é o plano que divide a meio os diedros I
e III; o β2/4 divide os diedros II e IV. Estes planos não são utilizados como planos de projecção.
φo
β2/4 β1/3
Os planos bissectores e os
planos de projecção em perspectiva
Os planos bissectores dividem os diedros em
νo espaços iguais, chamados octantes. Como se
x pode verificar, planos de projecção e planos
bissectores cruzam-se no eixo x.
Chama-se β1/3 ao bissector dos diedros ímpa-
res e β2/4 ao bissector dos diedros pares.
φo
II.º Diedro I.º Diedro
β2/4 β1/3
3º Oct. 2º Oct.
Os diedros e os octantes
vistos de lado 1º Oct.
4º Oct.
Nesta imagem mostra-se como se distri- νo
buem os diedros e os octantes ao longo do
espaço. Cada diedro contém dois octantes.
5º Oct. 8º Oct.
A contagem, de uns e de outros, faz-se do
Semi-Plano Horizontal Anterior para cima.
6º Oct. 7º Oct.
III.º Diedro IV.º Diedro
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4. As projecções do ponto
Na Geometria Descritiva trabalha-se habitualmente com projecções ortogonais, o que significa que
as figuras geométricas são projectadas, na perpendicular, do espaço para os planos de projecção.
O objectivo deste sistema consiste em passar das três dimensões do espaço para as duas dimen-
sões de uma superfície plana.
φo
φo ≡ νo
B B2
B2 A2 C1
C1
A2 B1
A D1
D1
B1 νo
D2
D2
C D
C2
x x C2
A1
A1
Projecções de pontos em perspectiva As projecções após o rebatimento
Os pontos são projectados do espaço para os pla- Rodando em torno do eixo x, os planos de projec-
nos de projecção através de rectas que são per- ção ficam coincidentes. Nesse movimento, desig-
pendiculares aos planos, designadas por projectan- nado por rebatimento, os diedros I e III abrem, os
tes. Aqui, essas rectas estão representadas ape- diedros II e IV fecham. Aqui rebateu o PHP sobre o
nas no ponto A, para não sobrecarregar o traçado. PFP, mas sendo o inverso o resultado final será
aquele que se mostra na imagem seguinte.
A2
B2
C1
B1
x
D1
A1 C2
D2
As projecções dos pontos na representação final
Depois de projectados os pontos e de efectuado o rebatimento, as representações finais dos pontos ficam
como mostra esta imagem. Note-se que os pontos A, B, C e D se situam nos diedros I, II, III e IV, respectiva-
mente.
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5. As duas coordenadas do ponto
Para representar pontos (e as outras figuras geométricas) consideram-se três coordenadas: abcissa,
afastamento e cota. Aqui explica-se em que consistem o afastamento e a cota. A abcissa é explica-
da em “As três coordenadas de um ponto”.
Por vezes, para representar pontos (e outras figuras) nem sempre se utilizam as três coordenadas,
bastando trabalhar apenas com afastamentos e cotas, como sucede aqui.
As medidas das coordenadas são dadas em centímetros.
afastamentos negativos afastamentos positivos
Coordenadas dos
pontos representados:
R(1,5;2)
R
S(0;1)
T
T(-1,5;1,5)
S U(-3;0)
cotas positivas
νo U V(-2;-1)
Z X(0;-2)
cotas negativas
V Y(1;-1,5)
Y Z(2,5;0)
X
O primeiro valor corresponde
ao afastamento, o segundo à
cota, separados por ponto e
φo vírgula.
U1
R2
V1
T2≡T1
S2 cotas +
afast. -
X1 Z2
x S1 U2
afast. +
Y1
cotas -
V2
Y2
R1 X2
Z1
Projecções dos pontos dados
Os pontos dados pelas suas coordenadas estão representados nos planos de projecção vistos de lado, na pri-
meira imagem; nesta estão representados pelas suas projecções. Cotas positivas e afastamentos negativos
originam projecções para cima do eixo x; afastamentos positivos e cotas negativas originam projecções para
baixo do eixo x.
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6. O alfabeto do ponto
O alfabeto do ponto é o conjunto de todas as posições genéricas que os pontos podem ter em rela-
ção aos planos de projecção.
D2 H1
C2 E2 G1 I1
B2 F2≡F1 J1
A2 E1 G2 K1
L1 P2
x D1 H2 Q2≡Q1
M1 O2
C1 I2
B1 J2 N2≡N1
A1 K2 M2 O1
L2 P1
Posições genéricas dos pontos representadas nas projecções
Os pontos A, B e C têm a projecção frontal para cima do eixo x e a horizontal para baixo, esses pontos situam-
se no I.º diedro; os pontos E, F e G têm ambas as projecções para cima do eixo x, situam-se no II.º diedro; os
pontos I, J e K têm a projecção frontal para baixo do eixo x e a horizontal para cima, situam-se no III.º diedro; os
pontos M, N e O têm ambas as projecções para baixo do eixo x, situam-se no IV.º diedro. Os pontos D, H, L e P
têm uma projecção no eixo x, situam-se nos planos de projecção; os pontos B, F, J e N têm projecções com
medidas iguais (em valores absolutos), situam-se nos planos bissectores; o ponto Q situa-se no eixo x.
φo
D
Posições genéricas
β2/4 β1/3
E C dos pontos vistas de lado
Os pontos representados na ima-
gem ao lado são os mesmos que se
F B apresentam em projecções na ima-
gem de cima. Aqui pode-se obser-
A var com mais clareza os diedros,
G
octantes e planos onde se situam.
νo As coordenadas destes pontos são:
H Q P
A(3;1) B(2;2) C(1;3)
D(0;4) E(-1;3) F(-2;2)
I O
G(-3;1) H(-4,0) I(-3;-1)
J N
J(-2;-2) K(-1;-3) L(0;-4)
M(1;-3) N(2;-2) O(3;-1)
K M
P(4;0) Q(0;0)
L
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7. Pontos simétricos
A determinação de pontos simétricos é importante para exercitar a marcação de pontos e para
melhor trabalhar com as coordenadas e conhecer o sistema de planos utilizado nesta disciplina.
Toma-se um ponto como referência e determinam-se os seus simétricos em relação aos planos de
projecção, aos planos bissectores e ao eixo x.
φo
S Determinação de pontos simétricos
β2/4 Os pontos de referência utilizados nesta
β1/3 imagem são os seguintes:
C A
A(1;3) P(-4;2)
Os simétricos de A são:
P R
B(1;-3) - simétrico em relação ao PHP
C(-1;3) - simétrico em relação ao PFP
D D(3;1) - simétrico em relação ao β1/3
E(-3;-1) - simétrico em relação ao β2/4
νo F(-1;-3) - simétrico em relação ao eixo x
Os simétricos de P são:
Q(-4;-2) - simétrico em relação ao PHP
E R(4;2) - simétrico em relação ao PFP
S(-2;4) - simétrico em relação ao β1/3
Q T(2;-4) - simétrico em relação ao β2/4
U
U(4;-2) - simétrico em relação ao eixo x
As coordenadas dos pontos simétricos
B
F mantêm os valores absolutos dos do pon-
to de referência.
T
P1 Q1 S2
A2 C2 E1
P2 R2 S1
C1 D2 F1
x
A1 B1 E2
T1 U2
Q2
B2 D1 F2
R1 T2 U1
Projecções dos pontos representados na imagem anterior
Aqui estão representados os pontos de referência, A e P, e os seus simétricos em relação aos planos de pro-
jecção, aos planos bissectores e ao eixo x, de acordo com a vista de lado, que se observa na imagem anterior.
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8. A projecção lateral do ponto
Além das projecções frontal e horizontal, por vezes há necessidade de recorrer a uma terceira pro-
jecção que se designa por projecção lateral, muito útil nalguns capítulos.
A projecção lateral obtém-se no plano lateral de projecção (PLP), ou πo (pi zero), que corresponde
ao plano da abcissa nula, perpendicular aos outros dois planos de projecção. Esse plano, ao cruzar-
se com os outros, dá origem aos eixos y e z. O eixo y resulta do cruzamento com o PHP, o eixo z do
cruzamento com o PFP.
z
As três projecções de um ponto
P3
P2 em perspectiva
P O ponto P é projectado no PHP em P1,
no PFP em P2 e no PLP em P3. Depois
de feitas as projecções, os planos reba-
PHP νo tem conforme mostram as setas. O pri-
meiro rebatimento a considerar é o do
PHP, só depois de faz o rebatimento do
x PLP. Do primeiro rebatimento resulta a
P1 y coincidência dos eixos y e z.
PFP φo
PLP πo
y≡z
P2 P3
A projecção lateral de um ponto
R1
A projecção lateral obtém-se com linhas
R3 de chamada paralelas ao eixo x e com
R2 uma rotação feita com o compasso colo-
cado no ponto de cruzamento dos eixos.
A rotação do compasso faz-se sempre
x no sentido inverso ao dos ponteiros do
relógio. O ponto P corresponde ao que
S2 S3 está representado em perspectiva; o
ponto R encontra-se no segundo diedro
e o S no quarto, não estando represen-
P1 tados na imagem anterior.
S1
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9. As três coordenadas do ponto
Parte das vezes é necessário utilizar também, além do afastamento e da cota, a abcissa. O plano de
referência para a abcissa é o plano lateral de projecção, ou πo. À esquerda desse plano as abcissas
têm valores positivos, à direita têm valores negativos. Nas projecções é a recta y≡z que serve de
referência para a marcação das abcissas.
Quando são dadas as três coordenadas de um ponto isso não significa que se tem de representar
as três projecções. O valor da abcissa serve para situar o ponto ao longo do eixo x, à esquerda ou à
direita de y≡z.
y≡z
B2
J1 D1
E2 C2 I1≡I2
F2
A2 B1 G1
cotas +
afast. -
x E1 G2
afast. +
cotas -
J2 H2
F1 C1
A1 H1 D2
abcissas + abcissas -
Coordenadas dos pontos representados:
A(5;3;1) B(2;-1;4) C(-2,5;2;2) D(-1;-3;-3) E(4;0;2)
F(0;2;1,5) G(-4;-1;0) H(3;3;-1) I(-5;-2;2) J(6;-3;-1)
O primeiro valor corresponde à abcissa, o segundo ao afastamento,
o terceiro à cota.
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10. Os segmentos de recta no espaço
A união de dois pontos dá origem a um segmento de recta. Aqui mostra-se as duas e as três projec-
ções de um segmento de recta no espaço, em perspectiva. Nas páginas seguintes mostram-se seg-
mentos de recta em várias posições, quer em duas quer em três projecções.
φo
As duas projecções
do segmento de recta
B2 Para obter as projecções do segmento
A2 de recta basta unir as projecções dos
A B seus extremos. Obviamente, o segmento
pode ter diferentes posições em relação
aos planos de projecção, o que leva a
νo que as suas projecções apresentem
B1 aspectos diferentes.
Aqui exemplifica-se com um segmento
x de recta oblíquo.
A1
z P3
P3
As três projecções P2
do segmento de recta P
Para obter a projecção lateral de um
segmento de recta basta unir as projec-
Q2 Q3
ções laterais dos seus extremos. Con- νo
soante a posição do segmento de recta,
assim será o aspecto da sua projecção
lateral. Q
Exemplifica-se aqui Mcom um segmento x P1
y
de recta de perfil.
Q1
φo πo
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11. As projecções dos segmentos de recta
Os segmentos de recta podem ter sete posições genéricas. Essas posições equivalem às da recta,
a estudar no capítulo Alfabeto da Recta.
C2 D2 F2
A2 B2
E2
x
C1
A1 B1
E1 F1
D1
Segmentos de recta paralelos aos planos de projecção
O segmento de recta [AB] é paralelo a ambos os planos de projecção; essa posição designa-se por fronto-
horizontal. O segmento [CD] é paralelo ao PHP e oblíquo ao PFP; designa-se por horizontal. O segmento [EF] é
paralelo ao PFP e oblíquo ao PHP; a sua posição é frontal.
G2
I2≡J2 Segmentos de recta perpendiculares
aos planos de projecção
Estes segmentos de recta também são parale-
H2 los a um plano de projecção, mas aquilo que
aqui se salienta é a sua relação de perpendi-
cularidade com os planos de projecção. O
primeiro segmento é perpendicular ao PHP e
x designa-se por vertical; o segundo é perpendi-
cular ao PFP, sendo de topo.
I1 De notar a coincidência que acontece numa
das projecções dos extremos dos segmentos.
G2≡H2
L2 M2
J1
K2
Segmentos de recta oblíquos
N2
aos planos de projecção
Estes segmentos de recta são ambos oblí-
quos ao plano de projecção. O [KL] é tam- x
bém oblíquo ao eixo x; designa-se por
oblíquo. O [MN] é também perpendicular L1 M1
ao eixo x; a sua posição é de perfil.
K1 N1
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12. A projecção lateral dos segmentos de recta
Aqui mostram-se as projecções laterais de alguns segmentos de recta, além das projecções princi-
pais. Para as obter basta unir as projecções laterais dos extremos desses segmentos.
y≡z y≡z
L2 L3
C2 D2 C3 D3
K2 K3
x x
L1 C1
K1 D1
Segmentos de recta oblíquos ao plano lateral de projecção
Aqui mostra-se como se obtém a projecção lateral de um segmento de recta oblíquo e de outro horizontal. O
processo é o mesmo para qualquer segmento de recta.
y≡z y≡z
G3 M2 M3
G2
H2 H3
N2 N3
x x
N1
G1≡H1
M1
Segmentos de recta paralelos ao plano lateral de projecção
Normalmente é com segmentos de recta paralelos ao plano lateral de projecção que há interesse em saber da
sua projecção lateral, nomeadamente em exercícios do capítulo Distâncias. Aqui mostra-se um segmento de
recta vertical e outro de perfil.
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13. Ponto e segmento de recta – Exercícios
Pontos em dupla projecção 10. Representar, em dupla projecção, os seguintes
segmentos de recta:
1. Representar, em dupla projecção, os pontos:
[IJ], vertical com 3cm de tamanho,
A(3;1) F(-3;3) J(2;-2) sendo I(4;3;2) o ponto de menor cota.
B(2;4) G(4;-1) K(-1;2)
C(0;3) H(0;-3) L(-4;0) [KL], de topo com 4cm de tamanho,
D(2;0) I(-2;-3) M(0;0) tendo L(-3;0;3) menor afastamento.
E, do β1/3, com -1cm de abcissa
11. Representar, em dupla projecção, os seguintes
2. Representar, em dupla projecção, os pontos: segmentos de recta:
N(3;1;2) S(-5;2;0) W(-3;0;0) [MN], fronto-horizontal com 3cm de tamanho,
O(1;3;1) T(2;2;-2) X(3;3;4) sendo N(2;1;2) o ponto mais à direita.
P(5;-2;4) U(-6;4;-1) Y(-4;1;2)
Q(-2;0;3) V(6;0;-3) Z(0;-2;3) [OP], de perfil cujos extremos são O(-3;1;4)
R, do β2/4, com -4cm de abcissa e -5 de cota e P(5;1).
Pontos em tripla projecção 12. Representar, em dupla projecção, os seguintes
segmentos de recta:
3. Representar, em tripla projecção, os pontos:
[QR], horizontal com 4cm de tamanho,
A(3;2;4) C(2;-4;3) E(1;1;0) fazendo 30ºae, estando R(2;0;2) à
B(5;3;-1) D(6;0;5) F(4;0;0) direita de Q.
4. Representar, em tripla projecção, os pontos: [ST], frontal, estando S(-1;-3;2) à esquerda
de T, que tem -5cm de abcissa e 1cm de
G(4;2;-2) I(-3;1;-3) K(0;5;0) afastamento.
H(2;-3;3) J(-5;-1;4)
13. Representar, em dupla projecção, os seguintes
Pontos simétricos segmentos de recta:
5. Determinar os pontos simétricos dos seguintes [UV], conhecendo V(2;4;2), e sabendo que U
pontos, em relação aos planos de projecção: tem 1cm de afastamento e 6cm de cota
e se situa no PHP.
A(4;2) B(3;-1) C(-2;2)
[WX], conhecendo W(-2;-1;4) e X(4;2) e
6. Determinar os pontos simétricos dos seguintes sabendo que a projecção frontal do
pontos, em relação aos planos bissectores: segmento faz 30ºad.
D(3;1) E(-3;4) F(-2;-2) Segmentos de recta em tripla projecção
7. Determinar os pontos simétricos dos seguintes 14. Representar, em tripla projecção, o segmento
pontos, em relação aos planos de projecção, aos de recta de perfil com 3cm de afastamento, cujos
planos bissectores e ao eixo x: extremos são A(2;5) e B(4;1).
F(2;-4) H(-1;-3) 15. Representar, em tripla projecção, o segmento
de recta cujos extremos são C(3;4;1) e D(0;2;5).
Segmentos de recta em dupla projecção
16. Representar, em tripla projecção, o segmento
8. Representar, em dupla projecção, os segmentos de recta de perfil cujos extremos são E(4;3;5) e
de recta [AB] e [CD] cujos extremos são: F(-2;1).
A(8;2;2) C(2;1;2) 17. Representar, em tripla projecção, o segmento
B(4;4;0) D(-3;4;-2) de recta cujos extremos são G(3;3;5) e H(-2;3;2).
9. Representar, em dupla projecção, os segmentos 18. Representar, em tripla projecção, o segmento
de recta [EF] e [GH] cujos extremos são: de recta cujos extremos são I(-4;2;1) e J(-4;5;4)
E(6;0;0) G(0;1-1) 19. Representar, em tripla projecção, o segmento
F(2;-2;5) H(-4;0;3) de recta cujos extremos são K(-3;3;1) e L(-3;3;5).
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 13