1. GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Distância entre um Ponto e uma Recta

2. GENERALIDADES A distância de um ponto a uma recta é medida numa perpendicular à recta que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta perpendicular à recta dada. A r p d I

3. Podemos definir o método geral para a determinação da distância de um ponto a uma reta em três passos: 1- conduzir pelo ponto, um plano perpendicular à reta dada. 2- determinar o ponto de interseção da reta dada com o plano. 3- a distância do ponto à reta é a distância entre os dois pon- tos( estes dois pontos definem a reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta dada).

4. Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal, via Plano ortogonal à Recta Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f . f 2 f 1 Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P , o plano α. f α h α É obtido o ponto I , ponto de intersecção do plano α com a recta f . A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f . Para obter a V.G ., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [ PI ] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I , sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ. V.G. ≡ I r ≡ (h φ ) ≡ e 1 ≡ e 2 Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal. x I 1 I 2 P 1 P 2 P r

5. Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal, via Teorema das Três Perpendiculares Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f . f 2 f 1 Para o caso de rectas frontais ou horizontais, é possível este processo mais simples. Primeiro, é conduzido uma recta perpendicular à recta dada, passando por P . p 2 É obtido o ponto I , ponto de intersecção da recta p com a recta f . A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f . Para obter a V.G ., é utilizado o rebatimento do segmento de recta [ PI ] para o plano frontal φ, que contém o ponto I , sendo a charneira a recta frontal, perpendicular à recta f e passando pelo ponto I . V.G. ≡ I r ≡ (h φ ) ≡ e 1 ≡ e 2 p 1 Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal. x I 1 I 2 P 1 P 2 P r

6. Uma recta horizontal h faz um ângulo de 40º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. A recta h contém o ponto A (0; 3; 3). É dado um ponto P (-3; 2; 5). Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta h . h 2 h 1 p 1 p 2 ≡ (f υ ) ≡ e 2 ≡ e 1 ≡ I r V.G. Para o caso de rectas frontais ou horizontais, é possível este processo mais simples. Primeiro, é conduzido uma recta perpendicular à recta dada, passando por P . É obtido o ponto I , ponto de intersecção da recta p com a recta h . A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta h . Para obter a V.G ., é utilizado a rotação do segmento de recta [ PI ] para o plano horizontal υ, que contém o ponto I , sendo a charneira a recta horizontal, perpendicular à recta h e passando pelo ponto I . x y ≡ z A 1 A 2 P 1 P 2 I 1 I 2 P r

7. São dados uma recta vertical v e um ponto A (-1; 1; 4). A recta v tem 2 cm de abcissa e 4 cm de afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta v . Porque a recta vertical é paralela a um dos Planos de Projecção, é possível um processo mais simples. Primeiro, é conduzido uma recta perpendicular (horizontal) à recta vertical v , passando por P . p 2 p 1 ≡ I 1 V.G. x y ≡ z A 1 A 2 (v 1 ) v 2 I 2 É obtido o ponto I , ponto de intersecção da recta p com a recta v . A distância entre A e I é a distância do ponto A à recta v . Para obter a V.G ., basta A 1 I 1 , pois o segmento de recta [ AI ] é horizontal.

8. Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua, via Plano ortogonal à Recta Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r . r 2 r 1 Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P , utilizando uma recta frontal do plano que passa por P e é ortogonal à recta r . É obtido o ponto I , ponto de intersecção do plano α com a recta r . A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta r . É utilizado um plano auxiliar projectante θ, que contém a recta r . Para obter a V.G ., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [ PI ] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I , sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ. f 1 f 2 f α h α f θ ≡ h θ i 2 ≡ i 1 ≡ (h φ ) ≡ e 1 e 2 ≡ P r V.G. x P 1 P 2 H 1 H 2 F 1 F 2 H’ 1 H’ 2 I 1 I 2 I r

9. Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua, via Rebatimento do Plano Formado pelo Ponto e a Recta Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r . r 2 r 1 É rebatido o plano formado pelo ponto P e a recta r para o plano frontal φ que contém o ponto P . A é o ponto de intersecção do plano φ com a recta r . B é um qualquer ponto da recta r para auxiliar o processo de rebatimento da recta r , e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento. I r é obtido via uma perpendicular entre o ponto P r e a recta r r . Para obter as projecções do ponto I , é necessário inverter o rebatimento do ponto I . (h φ ) ≡ e 1 e 2 ≡ P r V.G. ≡ A r r r x P 1 P 2 A 1 A 2 I 1 I 2 I r B 1 B 2 B r B r1

10. São dados uma recta oblíqua m e um ponto P (3; 2; 2). A recta m é paralela ao β 1,3 e o seu traço frontal tem –4 cm de abcissa e 2 cm de cota. A projecção horizontal da recta da recta m faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x . Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta m . m 1 É rebatido o plano formado pelo ponto P e a recta m para o plano horizontal que contém o ponto P . F é também o ponto de intersecção do plano υ com a recta m . A é um qualquer ponto da recta m para auxiliar o processo de rebatimento da recta m , e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento. I r é obtido via uma perpendicular entre o ponto P r e a recta m r . Para obter as projecções do ponto I , é necessário inverter o rebatimento do ponto I , com perpendicular à charneira. m 2 (f υ ) ≡ e 2 e 1 ≡ F r ≡ P r m r V.G. x P 1 P 2 y ≡ z F 1 F 2 A 1 A 2 A r A r1 I r I 1 I 2

11. São dados uma recta oblíqua m e um ponto P (3; 2; 2). A recta m é paralela ao β 1,3 e o seu traço frontal tem –4 cm de abcissa e 2 cm de cota. A projecção horizontal da recta da recta m faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x . Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta m . m 1 É rebatido o plano formado pelo ponto P e a recta m para o plano frontal φ que contém o ponto P . A é o ponto de intersecção do plano φ com a recta m . B é um qualquer ponto da recta m para auxiliar o processo de rebatimento da recta m , e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento. I r é obtido via uma perpendicular entre o ponto P r e a recta m r . Para obter as projecções do ponto I , é necessário inverter o rebatimento do ponto I , com perpendicular à charneira. m 2 (h φ ) ≡ e 1 e 2 ≡ A r ≡ P r m r V.G. x P 1 P 2 y ≡ z F 1 F 2 B 1 B 2 B r B r1 I r I 1 I 2 A 1 A 2

12. São dados uma recta oblíqua s e um ponto M (-3; 2; 2). A recta s contém o ponto S (2; 2; 4) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x . A projecção horizontal da recta s faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x . Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e a recta s . s 1 s 2 É rebatido o plano formado pelo ponto M e a recta s para o plano horizontal υ que contém o ponto M . A é o ponto de intersecção do plano υ com a recta s . S é também ponto da recta s para auxiliar o processo de rebatimento da recta s , e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento. I r é obtido via uma perpendicular entre o ponto M r e a recta s r . Para obter as projecções do ponto I , é necessário inverter o rebatimento do ponto I , com perpendicular à charneira. (f υ ) e 1 ≡ e 2 ≡ A r ≡ M r s r V.G. x y ≡ z M 1 M 2 S 1 S 2 A 1 A 2 S r1 S r I r I 1 I 2

13. São dados uma recta oblíqua r e um ponto A (0; 4; 3). A recta r é do β 1,3 e é concorrente com o eixo x num ponto com abcissa nula. A projecção frontal da recta r faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x . Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta r . r 1 r 2 É rebatido o plano formado pelo ponto A e a recta r para o plano horizontal υ que contém o ponto A . B é o ponto de intersecção do plano υ com a recta r . C é o da recta r para auxiliar o processo de rebatimento da recta r , e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento. I r é obtido via uma perpendicular entre o ponto A r e a recta r r . Para obter as projecções do ponto I , é necessário inverter o rebatimento do ponto I , com perpendicular à charneira. (f υ ) ≡ A r ≡ B r e 1 ≡ e 2 r r V.G. x y ≡ z B 1 B 2 A 1 A 2 C 1 C 2 C r1 C r I r I 1 I 2

14. Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil, via Rebatimento Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de perfil p . A 1 A 2 p 1 ≡ p 2 N 1 M 2 N 2 M 1 Pelo ponto A é conduzido um plano perpendicular à recta p , um plano de rampa ρ, definido pela recta fronto-horizontal g , que passa pelo ponto A . O plano de perfil π é o plano que contém p . A recta i é a recta de intersecção dos planos ρ e π, é perpendicular a p e contém A’ . A ’ é o ponto de intersecção de π com a recta g , que contém A . O plano π é rebatido para o Plano Frontal de Projecção, com f π como charneira. g 2 e’ 2 ≡ A r V.G. g 1 ≡ f π ≡ h π ≡ i 1 ≡ i 2 ≡ e 2 ≡ f πr ≡ h πr (e 1 ) p r i r ≡ (h φ ) ≡ e’ 1 x I 1 I 2 I r1 A’ 2 A’ 1 M r N r A’ r I r A V.G. de AI é obtida rebatendo o plano projectante frontal de [AI] para o plano frontal φ que contém o ponto A.

15. São dados uma recta de perfil p e um ponto A (3; 3; 4). A recta p é definida pelos pontos M (-1; 4; 1) e N (1; 3) Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta p , recorrendo ao processo do rebatimento. p 1 ≡ p 2 Pelo ponto A é conduzido um plano perpendicular à recta p , um plano de rampa ρ, definido pela recta fronto-horizontal g , que passa pelo ponto A . O plano de perfil π é o plano que contém p . A recta i é a recta de intersecção dos planos ρ e π, é perpendicular a p e contém A’ . A ’ é o ponto de intersecção de π com a recta g , que contém A . O plano π é rebatido para o Plano Frontal de Projecção, com f π como charneira. ≡ f π ≡ h π ≡ i 1 ≡ i 2 g 2 g 1 ≡ e 2 ≡ f πr ≡ h πr i r p r ≡ (f υ ) ≡ e’ 2 e’ 1 ≡ A r V.G. x y ≡ z A 1 A 2 M 1 M 2 A V.G. de AI é obtida rebatendo o plano projectante horizontal de [ AI ] para o plano horizontal υ que contém o ponto A . N 1 N 2 A’ 2 A’ 1 (e 1 ) A’ r N r M r I r I 2 I 1 I r1

16. A N M p g υ π ρ i I x xz xy

17. M N p A π ρ g I υ i x xz xy