1. Relazioni e funzioni
Il candidato tratti le Relazioni e Funzioni mettendo in
evidenza le peculiarità
Concorso Personale Docente 2012-2013
Candidato: Giovanni Bramanti
Classi di concorso A047-A049

2. Prerequisiti
Insiemi Proporzioni Numeri
Elementi di
geometria
piana
Obiettivi
immediati
Acquisire il concetto generale di relazione, e loro
tipi: riflessiva, simmetria, transitiva,
antisimmetrica
Applicazioni (semplici ed avanzate) del concetto
di relazione agli insiemi numerici (es.
elementare: divisibilità, definizione di Z, Q come
classi di equivalenza), concetto intuitivo di
insieme soluzione, ed esempi dalla geometria.
Prima definizione rigorosa di funzione, motivata
per via intuitiva, concetto di rappresentazione
cartesiana degli insiemi relazione e funzione, per
la soluzione di semplici problemi tratti dal
quotidiano (fisica, programmazione lineare)
Elementi di
logica

3. Motivazioni
Storiche
• Ottocento nozione informale di funzione, teoria ingenua degli insiemi.
• Primo novecento: crisi dei fondamenti, antinomie di Russell, teoria
assiomatica degli insiemi.
• Fra le due guerre: crisi della logica, teoremi di Goedel.
• Dopo Goedel: interpretazione insiemistica del concetto di verità in logica,
teoria dei modelli, fondazione insiemistica dell’aritmetica e dell’analisi.
Obiettivi di lungo
termine: un occhio
alle eccellenze, un
occhio agli obiettivi
minimi.
…studio delle
funzioni ed Analisi
infinitesimale
Coniche e curve
algebricheEquazioni e disequazioni
Grafi, posets, ma
ssimo e minimo R
come campo
ordinato…
Programmare un
database, classi laterali di
un gruppo…

4. Relazioni: dall’intuizione
alla formalizzazione
Esempio elementare: in una scuola abbiamo due classi, alcuni degli allievi del corso A
sono germani maggiori(fratello o sorella di età più grande) di alcuni degli allievi del
corso B.
Alcuni degli allievi del corso B sono amici fra loro
In un insieme numerico due numeri possono essere uno divisibile per l’altro
Una banconota da 20 euro può essere cambiata usando monete da 2 euro e monete da
5 euro in quanti modi diversi?
Una retta divide un piano in due semipiani: diciamo per ogni coppia di punti del piano
consideriamo la relazione : «stanno da parti opposte rispetto alla retta».
Paolo e Laura giocano a battaglia navale: le navi di Laura formano un sottoinsieme del
prodotto cartesiano fra l’insieme delle lettere riportate in ascissa e l’insieme delle
ordinate.

5. Astrazione: cosa hanno in comune tutti gli esempi precedenti? In ogni
caso abbiamo un’affermazione, riguardo ad una coppia ordinata di
elementi presi da due insiemi, che può essere vera o falsa. In tutti i
casi troviamo una descrizione di un sottoinsieme del prodotto
cartesiano di due insiemi.
Alla luce di queste definizioni rivediamo gli esempi di
prima, individuando gli insiemi A, B ed il sotto-insieme

6. Insiemi
caratteristici

8. Operazioni con le relazioni
Insiemistiche
Poiché le relazioni
sono insiemi
ammettono tutte le
operazioni ammesse
per gli insiemi:
coniugazione (due
relazioni sussistono
simultaneamente), uni
one, differenza
simmetrica, negazione.
•

9. Relazione inversa, relazioni iniettive,
suriettive, univoche (funzioni), biunivoche
•

10. Rappresentazioni delle relazioni
• Cartesiana è la rappresentazione a sinistra
• Grafo bipartito è la rappresentazione a destra
• Estensiva: si elencano tutte le coppie nella relazione, e
gli insiemi in relazione, è la rappresentazione in basso.
• Proposizionale: si fornisce una caratterizzazione logica
(la proposizionale è la più comune rappresentazione in
matematica)
Nota: la relazione identica è detta anche diagonale (perché?)
A={Paola, Nicola,Carlo, Maria}, B={canarino,cane,gatto,pesce,
criceto.}: R={(Paola, canarino), (Carlo,canarino),(Carlo,gatto),(Carlo,criceto),
(Maria,cane),(Maria,gatto)}

11. Proprietà delle relazioni
•

12. Esempi ed esercizi
• In populandia due persone si dicono fratelli se hanno un
genitore in comune, dire se questa relazione di fratellanza è
transitiva.
• Ripetere la discussione nel caso in cui, come avviene in Italia,
si dicono fratelli solo coloro che condividono entrambi i
genitori.
• Si consideri la relazione di congruenza fra i triangoli del piano
euclideo, dire quale delle quattro proprietà risulta verificata.
• Si consideri la relazione di inclusione nell’insieme delle parti di
A: è transitiva? E’ simmetrica? E’ riflessiva? E’
antisimmetrica?
• Dire se esiste e, se sì, come è fatta una relazione simmetrica
ed antisimmetrica.

13. Relazioni speciali
•

14. Classi di equivalenza
•

15. Funzioni come relazioni
•

16. Dall’astrazione al concreto e
ritorno. Le funzioni in natura.
Naturalmente la definizione di funzione appena fornita, sebbene
perfettamente rigorosa e coerente, presenta dei notevoli limiti
didattici:
• In primo luogo non rende giustizia della storia affascinante del
concetto di funzione che ben prima della nascita della teoria
degli insiemi nacque dagli sforzi, intorno al problema di
quantificare il moto, gli sforzi di matematici come Galileo
Galilei, Barrow, Huyghens, Newton e Leibniz avevano come
prerequisito comune (diversamente dalle giovani generazioni
di allievi) quasi esclusivamente la geometria, il concetto di
numero decimale e l’algebra.
• In secondo luogo deve essere completata da una lunga serie di
esempi specialmente nel caso di studenti del primo biennio
del Liceo, a cui secondo le indicazioni nazionali questo tipo di
argomenti deve essere rivolto per la prima volta.

17. Esempi di funzioni
• Gli esempi di funzioni che anche i ragazzi del liceo incontrano tutti i
giorni sono molteplici: sono riconducibili al concetto di funzione i
diagrammi che rappresentano il variare delle quotazioni dei titoli di
borsa, sono funzioni quelle che rappresentano il variare della
temperature nelle ore di una giornata, sono funzioni quelle che
rappresentano il costo di una telefonata al variare del numero di
minuti della durata, è una funzione quella che rappresenta la
velocità istantanea misurata dal tachimetro di un’automobile. Se
moltissimi esempi partono dalla variabile indipendente tempo, altri
esempi, possono essere presi dalla fisica per descrivere altre
situazioni: è riconducibile al concetto di funzione quella che collega
la temperatura alla dilatazione volumetrica misurabile di un fluido
(esempio mercurio, oppure: gas legge di stato dei gas).
• Questi ultimi esempi, tratti dalla fisica, che fa parte integrante delle
stesse indicazioni nazionali per il biennio del liceo
scientifico, possono essere oggetto di svariate attività laboratoriali.

18. Dalle proporzioni alle funzioni
razionali.
•

19. Attività di laboratorio
• Molti esempi di attività laboratoriali possono essere prese dalla
piattaforma didattica M@t.abel elaborata in accordo con le
indicazioni emerse dalle valutazioni OCSE-PISA sono state pensate
per aiutare gli allievi a «sporcarsi le mani» con la matematica,
imparando al tempo stesso a fare un uso intelligente e meno passivo
delle tecnologie informatiche.
• Introduzione al concetto di funzione.doc
• Uso di Excel: ispirandomi a questo progetto di unità didattica ho
pensato ad una personalizzazione, immaginando una visita al
laboratorio di fisica e la realizzazione di una serie di misure di
dilatazione termica di un liquido finalizzate alla realizzazione ed alla
taratura di un termometro ad alcool. Taratura.xlsx Come si può
vedere l’esperimento, a tubo aperto, è reso difficoltoso dalla facilità
di evaporazione dell’alcool che rende inaffidabili le stime di errore
basate sulla esclusiva valutazione dell’errore di lettura. Occorre in
questo caso effettuare una stima indiretta degli errori sistematici
dello strumento.

20. Astrazioni successive del
concetto di funzione
• Funzioni a valori altre funzioni.
A livello laboratoriale si può fare molto sul concetto di
trasformazioni funzionali. Un esempio è dato dal concetto di
evolvente di una curva che può essere tracciato in modo pratico.
In termini di obiettivi di lungo termine il punto di approdo sono
le trasformazioni funzionali come il luogo dei centri di curvatura
ed altri che richiedono un pieno sviluppo dell’analisi.
Numeri complessi. Il linguaggio delle relazioni permette di
parlare bene di enti come ad esempio i numeri complessi
(inizialmente interi gaussiani e razionali) che possono essere visti
come coppie dotate di un’operazione interna. Si tratta
comunque di approfondimenti vari ed eventuali da calibrare sul
livello degli studenti più ricettivi ma tenendo sempre di vista gli
studenti con più difficoltà.