Mekanika 2
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Mekanika 2

on

  • 3,753 Views

mekanika 3profi Hajdar Sadiku

mekanika 3profi Hajdar Sadiku

Statistiken

Views

Gesamtviews
3,753
Views auf SlideShare
3,753
Views einbetten
0

Actions

Gefällt mir
5
Downloads
85
Kommentare
1

0 Einbettungen 0

No embeds

Zugänglichkeit

Kategorien

Details hochladen

Uploaded via as Adobe PDF

Benutzerrechte

© Alle Rechte vorbehalten

Report content

Als unangemessen gemeldet Als unangemessen melden
Als unangemessen melden

Wählen Sie Ihren Grund, warum Sie diese Präsentation als unangemessen melden.

Löschen
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Ihre Nachricht erscheint hier
    Processing...
Kommentar posten
Kommentar bearbeiten

Mekanika 2 Mekanika 2 Presentation Transcript

  • Mekanika II
  • KINEMATIKA E PIKES I• POZITA E PIKES LEVIZESE NE HAPESIR• SISTEMET KOORDINATIVE • Sistemi kendedrejt i Dekartit • Sistemi cilindrik-polar • Sistemi i koordinatave sferike • Sistemi i koordinatave naturore • SHPEJTESIA E PIKES • SHPEJTIMI I PIKES • RASTE SPESIALE TE LEVIZJES SE PIKES
  • • Mekanika merret me studjimin e ekuilibrit dhe levizjes se trupit.• Statika eshte pjes e mekanikes e cila merret me studjimin e ekuilibrit te trupit• Kinematika eshte pjes e mekanikes e cila studijon vetit e pergjithshme gjeometrike te levizjes se trupave.• Dinamika eshte pjes e mekanikes e cila studijon levizjen e trupave nen ndikimin e forces. View slide
  • Kuptimi i ekuilibrit dhe levizjes mekanike Te gjith trupat ne natyre levizin(rrotullohen): y Njerezit levizin ne reaport me token, Toka leviz ne raport me diellin, sistemi diellor leviz ne hapesir ... Ne natyr nuk egziston qetesi dhe levizje apsolute!Ne kete kurs do te konsiderojm se Toka eshte e pa levizeshmedhe te gjithe trupat te cilet jan fort te lidhur ne siperfaqen eTokes jan te pa levizshem. View slide
  • Kinematika eshte dege e mekanikes e cila merretme studjimin e vetive gjeometrike te levizjes se trupaveduke mos marr parasysh inercionin (masen) dhe forcatqe veprojn ne ta.
  • Trupi referentNdryshimi i pozites se trupit ne hapesir mund te percaktohetvetem ne raport me trupat tjere. Trup referent eshte trupi ne raport me te cilin percaketohet qetesia apo levizja e trupave tjer
  • LevizjaMe levizje ne mekanike nenkuptohetnderrimi i pozites se nje trupi, e cilarealizohet gjate kohes, ne raport metrupat tjer ne hapesir.
  • NJESIT DHE SHENJA•GJATESIA metri•KOHA, t sekonda ,•Casti fillestar : t0•Casti i caktuar : tn•Intervali kohor : ∆t = t2 - t1
  • KINEMATIKA E PIKES MENYRAT E DHENJES SE LEVIZJES•MENYRA PARAMETRIKE•MENYRA VEKTORIALE•MENYRA NATYRALE
  • MENYRA PARAMETRIKE E DHENJES SE LEVIZJESKOORDINATAT NE FUNKSION TE KOHES SISTEMI KARTEZIAN SISTEMI CILINDRIK SISTEMI SFERIK
  • SISTEMI KARTEZIAN SISTEMI CILINDRIK x = r cos j, y = r sin j, z = z.
  • SISTEMI SFERIK x = r cos y cos j, y = r cos y sin j, z = r sin y.
  • TRAJEKTORJAx=x(t), y=y(t), z=z(t) •SIPERFAQET PRERESE Q
  • KALIMI NGA MENYRA VEKTORIALENE ATE NATYRALE TE DHENJES SE LEVIZJES
  • SHPEJTESIA E PIKES NE FORMEN VEKTORIALE APLIKIMI I RREZEVEKTORIT NE KOHËMenyra vektoriale e levizjes SHPEJTESIA MESATARE Per
  • SHPEJTESIA E QASTITPer ndonje t j
  • SHPEJTIMI I PIKESNDRYSHIMI I SHPEJTESIS ES QASTIT SIPAS KOHES SHPEJTIMI MESATARPer
  • SHPEJTIMI I QASTIT Per qastin e caktuar t
  • SHPEJTESIA E PIKES NE KOORDINATA NATYRORE TRAJEKTORJA FORMA SKALARE E LEVIZJESSHPEJTESIA NEPER TRAJEKTORE SHPEJTIMI NEPER TRAJEKTORE Tangjencial
  • TRAJEKTORJA ESHTE LAKORE E LEMUARRRITJA E VEKTORIT TE TANGJENTES TREKENDESHAT E NGJAJSHEMVEKTORI I SHPEJTIMIT TE PERGJITHSHEM
  • RREZJA E LAKESES SE TRAJEKTORES Vektoret jan V kt t j kolinear
  • LIDHJA DIFERENCIALE DHE INTEGRALE 1. Eshte dhen vektori i shpejtesis Duhet te jet e jcaktuar pozita ne ndonje qast
  • POZITA E PIKES PER t2Per kufirin e siperm te ndryshueshem
  • 2. Eshte dhen vektori i shpejtimit p j
  • FORMAT E VEQANTA TE LEVIZJES SE PIKES LEVIZJA SIPAS DREJTIMIT •LIGJI I PERGJITHSHEM I LEVIZJES •LEVIZJA E NJETRAJTSHME LEVIZJA •LEVIZJA E NJETRAJTSHME E SHPEJTUAR •LEVIZJA HARMONIKE LEVIZJA HEDHJA E PJERRTE LEVIZJA HARKORE
  • LEVIZJA SIPAS DREJTIMITLIGJI I PERGJITHSHEM ILEVIZJES
  • LEVIZJA E NJETRAJTSHME•SHPEJTESIA E PIKES ESHTE KONSTANTE C1=0 0
  • LEVIZJA E NJETRAJTSHME E SHPEJTUAR •SHPEJTIMI I PIKES ESHTE KONSTANTEper
  • LEVIZJA HARMONIKE•Shpejtimi eshte proporcional me rrugen e kaluar
  • I fusim konstantet e reja D dhe α
  • Interpretimi gjeometrik i varesive I t ti i j t ik i diferenciale dhe integrale g •VaresitFunksioni S(t) diferenciale
  • Funksioni V(t)
  • Funksioni a(t)
  • •VARESIAINTEGRALE
  • Hudhja e pjerrte •Levizja ne fushen gravitacionale •Shpejtesia fillestare V0
  • •Trajektorja nga: •Lartesia maksimale nga: L i ki l
  • Rrotullimi i drejtimit rreth pikes se palevizshme •Kendi i drejtimit•Shpejtesia kendoreoMesatareoE qastit •Shpejtimi kendor
  • Levizja ikL i j e pikes nedrejtimin rrotullues j •Levizja rrethore
  • •Shpejtesia e pikes gjat l i j rrethore Sh jt i ik j t levizjes thVktori i shpejtesisePjestojm me dt
  • •Shpejtimi i pikes gjate Shpejtimilevizjes rrethore
  • DINAMIKA MIKA
  • DINAMIKA E PIKESDETYRAT DHE ZHVILLIMI HISTORIK I MEKANIKESLIGJET THEMELORE TE DINAMIKESEKUACIONET DIFERENCIALE TE LEVIZJES SE PIKES MATERIALE • Sistemi koordinativ i dekartit • Sistemi koordinativ Polaro-Cilindrik • Sistemi koordinativ natyror LEVIZJA DREJTEVIZORE E PIKES • Forca esahte konstante. Hedhja vertikale dhe renja e lire • Forca varet vetem nga koha • Forca varet nga distanca • Forca varet vetem nga shpejtesia LEVIZJA VIJPERKULUR E PIKES • Hgudhja e pjerret ne hapesiren pa ajr
  • DETYRAT DHE ZHVILLIMI HISTORIK I MEKANIKESDinamika eshte dege e mekanikes teorike ecila studijon ligjet e levizjes setrupave material nen ndikimin e forces.Ne dinamik merret parasysh materializmi i trupave sidhe forca e cila vepron ne trupat qe levizin.Hipotezat:Trupat e ngurt- nen ndikimin e forcave te jashtme nuk deformohenHapesira ne te cilen levizin trupat eshte hapesira gjeometrike karakteristikate te ciles nuk varen nga levizja e materjes ne te - hapesira apsolute.Koha ne mekaniken klasike (rrjedh) ne te gjith sistemet refernte dhe nuk varetnga ndikimi i faktoreve te jashtem.
  • Detyra e pare e dinamikes – nese eshte i njohur ligji i levizjes se pikes apotrupit duhet te caktohen forcat te cilat e shkaktojn at levizje.DDetyra e dyte e dinamikes -nese jane te njohura forcat qe e shkaktojnlevizjen e pikes apo trupit duhet te caktohet ligji i levizjes. Dinamika ndahet ne: n • dinamiken e pikes materiale ina • dinamiken e sistemit te pikave materiale in • dinamiken e trupit te ngurt ina
  • Ligjet themelore te dinamikes i kan vendosur: Galileo Galilei (1564-1642) • ka dhene kuptimin mbi shpejtesin dhe shpejtimin • i pari ka formuluar ligjin e inercionit • ligjin e renjes se lire te trupitSir Isaac Newton (1643-1727)• plotesisht ka formuar ligjet themelore te dinamikes
  • Nicolaus Copernicus (1473-1543)Jonhannes Kepler(1571-1630) Daniel Bernoulli (1700-1782)
  • Leonhard Euler Karl Friedrich Gauss(1707-1783) (1777-1855) Joseph Louis Lagrange (1736-1813)
  • LIGJET THEMELORE TE DINAMIKESLigji i pare - ligji i inercionitTrupi e ruan gjendjen e me parshme deri sa ne trupte mos veproj ndonje forc e jashtme per tia nderruar poziten.Ligji i dyte - ekuacioni themelor i dinamikes r r r r v - v0 r r F = mlim = ma F = ma t - t0 Ligji i trete - ligji i aksionit dhe reaksionit r r F12 = -F21
  • LIGJET THEMELORE TE DINAMIKESLigji i pare - ligji i inercionitTrupi e ruan gjendjen e me parshme deri sa ne trupte mos veproj ndonje forc e jashtme per tia nderruar poziten.
  • Ligji i dyte - ekuacioni themelor i dinamikes r r F = ma
  • Ligji i dyte - ekuacioni themelor i dinamikesPik materiale quhet trupi material dimensionet e te cilit nuk merren parasysh (gjate studjimit te levizjes se tije).Inercioni eshte karakteristika e materialit qe shpejt ose ngadal te nderroj shpejtesin e n levizjes se tij nga veprimi i forces.Madhesia e cila varet nga sasia e materijes se nje trupi dhe e cila percakton inercionin e tije quhet mase. forca e jashtme
  • Ligji i dyte - ekuacioni themelor i dinamikesMasa eshte madhesi skalare pozitive e cila eshte karakteristik e trupitMasa dhe pesha jane dy kuptime te ndryshme. aPesha eshte forca me te cilen toka e terhjek trupin, ndersa masa eshte karakteristikakonstante e trupit e cila egziston edhe ne gjendjen pa pesh te trupit (kur pesha eshte e barabart me zerro).
  • Ligji i dyte - ekuacioni themelor i dinamikesNe baze te ketije ligji mund te caktohet masa e trupit nese eshte i njohur nxitimi(shpejtimi) i tije gjate leviyjes translatore, dhe gjithashtu edhe forca e cila vepron ne trup. kEksperimentalisht eshte vertetuar qe trupat nen ndikimin e force peshojn para renjes ne tok,duke mos marr parasyshe pengesat, kan te njejtin nxitim g,dhe se ai nderron vetem ne varesi te gjeresise gjeografike dhe lartesise mbidetare, por gjatekesaj nderron edhe pesha G, keshtu qe eshte nje maredhenje konstante per trupat qe levizin.Per renjen e lire, ne baze te ligjit te dyte te njutnit do te jete: mg = G G Þ m= g renja e lire
  • Ligji i dyte - ekuacioni themelor i dinamikes r r F = maNxitimi i pikes materiale eshte:a) drejteperdrejte proporcional rezultantes te forcave te cilat veprojn ne pike.b) ne drejtim te njejte si rezultanta e forcave qe veprojn ne pike,c) proporcionalisht ne te kunderten e mases se pikes.
  • Ligji i trete - ligji i aksionit dhe reaksionit Dy pika(trupa) materiale veprojn njeri ne tjterin me forca te intenzitetit dhe drejtimit vte njejte por me kahje te kunderta. r r F12 = - F21
  • Ligji i pare verteton kushtet per egzistimin e forces, ligji i dyte tregon se si matet intenzitetii forces, ndersa ligji i trete verteton qe per egzistimin e forces nevojiten sepaku dy trupa. Forca eshte madhesi vektoriale , e percaktuar me intenzitetin, drejtimin dhe kahjen. Per dallim nga statika ku forcat jan me intenzitet konstant ne mekanik ne pergjithesi Forca eshte madhesi e ndryshueshme vektoriale dhe ajo mund te varet nga koha, pozita e trupit dhe shpejtesise se levizjes se trupit apo pikes. SI (Systeme Internationale dUnites) masa m – (kg) kilogram, gjatesia L – (m) metri, koha t – (s) sekond e 1N = 1kg m / s 2 forca F – ( N) Njutn
  • EKUACIONET DIFERENCIALE TE PIKES MATERIALE TE LIREPika eshte e lire ne qofte se nga veprimi i forcave mund te leviz ne menyr te zgjedhur ne hapesir ne pajtim me ligjin e dyte te njutnit. ekuacioni diferencial i levizjes te pikes materiale te lire ne formen vektoriale r 2r r n d r r r r m a = å Fi , m 2 = F ( r, v, t ). i =1 dt
  • EKUACIONET DIFERENCIALE TE PIKES MATERIALE TE LIRE Sistemi koordinativ i Dekartit r r n r d2 r r r r m a = å Fi , m 2 = F ( r, v, t ). i =1 dt m && = X ( x, y, z, x, y, z, t ) , x & & & m && = Y ( x, y,z, x, y,z, t ) , y & & & m && = Z ( x, y, z, x, y, z, t ) . z & & & ekuacinet diferenciale te levizjes se pikes ne sistemin koordinativ te DekartitNe qofte se levizja realizohet ne rrafsh ekuacionet diferenciale jane: m && = X ( x, y, x, y, t ) , x & & m && = Y ( x, y, x, y, t ) . y & & Ne levizjen drejtevizore ekuacionet diferenciale te levizjes jane: r m && = X ( x, x, t ) . x &
  • EKUACIONET DIFERENCIALE TE PIKES MATERIALE TE LIRE Sistemi polar i koordinataveKomponentet e nxitimit jane: ar = && - r j, r & ap = r j + 2 r j && && m ar = Fr m ap = Fp ( ) = åF n 2 m && - r j r & ir i =1 ekuacionet difernciale te levizjes se pikes n ne sistemin polar te koordinatave m ( r j + 2r j ) = å Fip && && i =1
  • EKUACIONET DIFERENCIALE TE PIKES MATERIALE TE LIRE Sistemi natyror i koordinatave m aT = FT Ne varesi te rrezes se lakeses s: m a N = FN s = s(t), m aB = FB v=s & dvT d s 2 d 2saT = = 2 = && s m 2 = FT , dt dt dt 2 vT s 2 2 & vT ekuacionet difernciale te levizjes se pikesaN = = m = FN , ne sistemin natyrore te koordinatave Rk Rk RkaB = 0 FB = 0
  • Aplikimi i ekuacioneve diferenciale te levizjes se pikes materiale ne zgjidhjen e detyres se pare dhe te dyte te dinamikes se pikes Detyra e pare e dinamikes – eshte i njohur ligji i levizjes se pikes materiale, r duhet te caktohet forca e cila vepron ne pike. r Levizja e pikes eshte dhene me sistemin e koordinatave te Dekartit: x = f1 ( t ) , y = f2 ( t ) , z = f3 ( t )Qe te caktojm forcen duhet te caktohet derivati i dyte i ekuacineve te levizjes dhe ta shumezojm me masen: && = && ( t ) , x f1 && = &&2 ( t ) , y f && = &&3 ( t ) , z f X = m && ( t ) , f1 Y = m &&2 ( t ) , f Z = m &&3 ( t ) . f Intenziteti i Forces: F = X 2 + Y 2 + Z2 X Y Z Drejtimi i forces: cos a = , cos b = , cos g = . F F F
  • Detyra e dyte e dinamikes – jane te njohura forcat qe veprojn ne trup, duhet caktohen ekuacionet e levizjes se trupit apo pikes. r r r r F = F ( t, r, v ) d2x m 2 = X ( t, x, y,z, x, y, z ) , & & & dt d2y m 2 = Y ( t, x, y, z, x, y,z ) , & & & dt d 2z m 2 = Z ( t, x, y,z, x, y,z ) . & & & dtPas integrimit te sistemit te ekuacioneve diferenciale fitohen zgkidhjet ne formen e pergjithshme x = x ( t,C1,C2 ,C3 ,C 4 ,C5 ,C6 ) y = y ( t,C1,C2 ,C3 ,C4 ,C5 ,C6 ) z = z ( t,C1,C2 ,C3 ,C4 ,C5 ,C6 ) ku C1,C2,C3,C4,C5,C6 jan konstantet e integrimit, te cilat caktohen nga kushtet fillestare te levizjes
  • LEVIZJA DREJTEVIZORE E PIKES Levizja drejtevizore nen ndikimin e forcave me intenzitet konstant m && = X = F x F = const Þ a = const Y = 0, Z = 0 F dx & F && = , x && = , Þ dx = && dt = dt = a dt. x & x m dt m ò dx = ò adt, & x = at + C1. & konstanta C1 caktohet nga kushti fillestar per shpejtesine: t = 0, x = v0 . &v 0 = a × 0 + C1 Þ C1 = v 0 Þ x = a t + v0 & F Ligji i ndryshimit te shpejtesise se pikes x = t + v0 & m
  • Percaktimi i ligjit te levizjes se pikes materiale: e dx = at + v0 , dt dx = ( at + v0 ) dt, ò dx = ò ( at + v0 ) dt, x = ò a t dt + ò v0dt + C2 t2 x = a + v0 t + C2 . 2 Kushti fillestar: t=0 x = x0 x 0 = a × 0 + v0 × 0 + C2 Þ C2 = x 0 , t2 F t2 Ligji i levizjes: x = a + v0 t + x 0 , ili x= + v0 t + x 0 . 2 m 2Ky ekuacion paraqet ligjin e levizjes se njetrajteshme te shpejtuarNga veprimi i forces konstante shkaktohet levizja njetrajtesisht e ndryshuare.
  • Renja e lire ne hapesiren pa ajr Pika e mases m bjen nga pozita M0 pa shpejtesi fillestare , ne fushen e gravitetit te tokes, nga lartesia h e cila eshte e vogel krahasuar me rrezen e tokes, prandaj mund te konsiderohet se forca eshte konstante.Nese nuk merret parasysh rezistenca e ajrit, ateher forca e peshes G eshte forca e vetme qe vepron ne pik. Kushtet fillestare t = 0, y = 0, y = v0 = 0 & Ekuacionet diferenciale te levizjes: r ma = G my = mg, && = g && y Ligji i levizjes:Ligji i ndryshimit te shpejtesise: y = gt + C1 , & gt 2 y= + C1t + C2 2 t = 0, y = v0 = 0 Þ C1 = 0 & t = 0, y = 0, Þ C2 = 0 y = gt & gt 2 y= 2
  • Koha e renjes (T) se pikes nga lartesia (h): Le te jete t=T, y=h, ateher kemi: gT 2 2h h= Þ T= 2 g Shpejtesia me te cilen pika bie pa shpejtesi fillestare ne toke: 2h y = 2gh & t=T y = gT = g & = 2gh gNese pika ne poziten M 0 ka pas shpejtesi fillestare v0 vertikalisht teposhte, atehere eshte: y = g t + v0 & gt 2 y= + v0t 2
  • Hedhja vertikale ne hapesiren pa ajr Ne qofte se pikes ne poziten fillestare i jepet shpejtesi vertikale telarte ateher ajo levizje q quhet hedhje vertikale. Nuk merret parasysh ndikimi i ajrit. Kushtet fillestare jane: t=0 y = v0 , & y = 0, Ekuacioni diferencial ka formen: r r m a = G, m && = - m g, y && = -g yy = -g t + C1&t = 0, y = v0 Þ v0 = -g × 0 + C1 Þ C1 = v0 &y = -g t + v 0 ,& gt 2 y=- + v0 t + C2 2 g t = 0, y = 0 Þ 0 = - × 0 + v 0 × 0 + C2 Þ C2 = v 0 2 gt 2 Levizja eshte njetrajtesishte e ngadalesuar y=- + v0 t dhe nuk varet nga masa e pikes. 2
  • LEVIZJA VIJE-LAKUAR E PIKES Hedhja e pjerrte ne hapesiren pa ajr(vakum)Hedhja e pjerrte quhet levizja e cila ndodh kur pika materiale hedhet nen nje kendne raport me horizontalen me shpejtesi fillestare v0Ne piken materiale gjate kohes vepron vetem forca e rendimit te tokes.
  • Ekuacioni diferencial i levizjes ne formen vektoriale: r r ma = G Ekuacioni diferencial i levizjes ne formen skalare: mx = 0, && my = - mg. && Me integrimin e shprehjes fitohet: e: Kushtet fillestare: x = C1, & t = 0, x = v0 cos a, & y = v0 sin a, & y = -gt + C 2 & x = 0, y=0 Konstantet e integrimit: v 0 cos a = C1 , v 0 sin a = -g × 0 + C 2 Þ C 2 = v 0 sin aProjeksionet e shpejtesise: x = v0 cos a & y = -gt + v0 sin a &
  • Me integrimin e shprehjeve x = v0 cos a & y = -gt + v0 sin a & fitohen ligjet e levizjes: Kushtet fillestare: x = v0 t cos a + C3 , t=0 x = 0, y=0 gt 2 y=- + v0 t sin a + C4 0 = v 0 cos a × 0 + C3 Þ C3 = 0 2 0 = 0 + v 0 sin a × 0 + C4 Þ C 4 = 0 Ligjet e levizjes se pikes: x = v0 t cos a, Me eliminimin e kohes t x gt 2 t= y=- + v0 t sin a. v0 cos a 2 fitohet ekuacioni i lakores: g x2 y = x tga - 2 2v 0 cos a Pika levize neper lakore parabolike.
  • Caktimi i kohes t1 nga fillimi ilevizjes deri te pozita me e larte M1 ne lakore.Ne poziten M1 shpejtesia eshtehorizontale y = 0 & v0 sin a 0 = -gt1 + v0 sin a Þ t1 = g Lartesia ma e madhe deri teke e cila arrin pika: gt 2 Me zavendesimin e kohes t1 ne ekuacionet e levizjes x = v0 t cos a, y=- + v0 t sin a 2 fitohen koordinatat e pikes M1: v0 sin a v0 sin 2 a 2 x1 = v0 t1 cos a = v0 cos a = , g 2g 2 gt1 v0 sin a g v0 sin 2 a v0 sin 2 a 2 2 y 1 = H = v0 t1 sin a - = v0 sin a - 2 = . 2 g 2 g 2g
  • Koha e fluturimit T mes pikave O dhe B. Nga kushti yB=0: gT 2 2v sin a 0=- + v0Tsin a Þ T = 0, T= 0 2 g Domeni D Me zavendesimin e kohes T ne ekuacionin: x = v0 t cos a 2 2 2v0 sin a v0 sin 2a v0 sin 2a D = v0T cos a = v0 cos a = . D= g g gKendet pran te cileve jane Hmax dhe Dmax: 2 v0 ( H max = , per a = 90° sin 2 90° = 1 , 2g ) 2 2 v0 sin 2a v0 D= , Dmax = , sin 2a = 1 per2a = 90° Þ a = 45°. g g
  • Hedhja horizontale Ne qofte se trupi gjendet mbi horizont i hedhur me shpejtesi horizontale dhe pastaj levizja qe zhvillohet quhet hedhje horizontale. Nuk merret parasysh ndikimi i ajrit. Ekuacionet diferenciale te levizjes: mx = 0, && my = - mg, && && = 0, x && = -g. y Pas integrimit fitojm: x = C1, & y = -gt + C2 , & gt 2 x = C1 t + C3 , y=- + C2 t + C4 . 2 Kushtet fillestare: Projeksionet e shpejtesise:t = 0, x = v0 , y = 0, ü & & ý C1 = v 0 , C 2 = 0, C3 = 0, C4 = H. x = v0 , & x = 0, y = H þ y = -gt. &
  • Ligjet e levizjes: Ekuacionet e lakores se levizjes: x = v0 t, x g x2 gt 2 t= , y=- 2 + H. y=- + H. v0 2 v0 2 gt 2Koha e fluturimit T nga kushti y=0 ne ekuacionin: y=- +H 2 gT 2 2H 0=- +H Þ T= . 2 g Domeni D:Me zavendesimin e kohes T ne ekuacionin x = v0 t 2H D = v0 T = v 0 g
  • LIGJET E PERGJITHSHME TE DINAMIKES SE PIKES MATERIALELIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES• Sasia e levizjes• Impulsi i forces• ligji mbi ndryshimin e sasisae se levizjes ne formen diferenciale• ligji mbi ndryshimin e sasisae se levizjes ne formen integrale• ligji mbi ruajtjen e sasisae se levizjes se pikes materialeLIGJI MBI NDRYSHIMIN E MOMENTIT TE SASISE SE LEVIZJES SE PIKES• Momenti i sasise se levizjes• Ligji mbi ruajtjen e momentit te sasise se levizjesLIGJI MBI NDRYSHIMIN E ENERGJISE KINETIKE• Puna e forces. Forcat konzervative• Analitički izraz za rad• Energjia kinetike e pikes materiale. Ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike• Ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike
  • LIGJET E PERGJITHSHME TE DINAMIKES SE PIKES MATERIALE Ne ligje e pergjitheshme te dinamikes hyjne: • ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes, • ligji mbi ndryshimin momentit te sasise se levizjes, • ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike te pikes materiale.Ligjet themelore te dinamikes se pikes veshtrohen si teoremat themelore te nxjerranga ligjet themelore te HukutGjate hulumtimit te levizjes se pikes, duke shfrytezuar ligjet themelore te dinamikes, i shmangemi procesit te integrimit te ekuacioneve te levizjes e me kete mjafte elehtesojm zgjidhjen e problemit.
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES Sasia e levizjes Sasia e levizjes se pikes materiale eshte madhesi vektoriale e cila prezenton prodhimin e mases dhe te shpejtesise se pikess. r r r r r r v = x i + y j + zk & & & K = mv r r r r K = Kx i + Ky j + Kz kKy eshte vektor kolinear me vektorin e shpejtesise,ne drejtimin e njejte. Projeksionet e vektorit te s sasise se levizjes jane: Kx = mvx = mx, & Ky = mvy = my, & Kz = mvz = mz. & Dimensinet e sasise se levizjes jan: [K] = [MLT −1]= [FT ] [M] – dimensini i forces, Njesia per sasin e levizjes eshteNjutnsekund (Ns). [L] – dimensini i gjatesise, [T] – dimensini i kohes,
  • Impulsi forcesImpulsi elementar i forces eshte madhesia vektoriale e barabarte me prodhimine vektorit te forces dhe intervalit elementar kohor. r r dI = Fdt Impulsi elementar eshte vektor kolinear me vektorin e forces.r r r rF = X i + Y j + Zk Projeksionet e vektorit te impulsit elementar te forces jane: dI x = X dt, dI y = Y dt, dIz = Zdt.
  • Impulsi i forces ne intervale te caktuara kohore prej t0 deri t: mpu r t r tr I = ò dI = ò Fdt t0 t0 Dimensioni i impulsit te forces: Projeksioni ne boshtet koordinative: [ I ] = [ FT ] t I x = ò Xdt, Nese F=const: t0 t r tr rt r I y = ò Ydt, I = ò Fdt = F ò dt = Ft t 0 = 0. t0 t0 t0 t Iz = ò Zdt. t0Impulsi i forces nuk eshte i lidhur me levizjen, pere qvendosjen e pikes sulmuese, por per intervalin kohor.
  • Ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes ne formen diferenciale rNese ne piken me mase m vepron forca F ateher sipas ligjit te dyte te njutnit kemi: r dv r m =F dt Nese m=const, mund te shkruajm: r r d ( mv ) r dK r =F gjegjesishte: =F dt dt Nese ne pike vepron sistemi i forcave, ateher kemi: r dK r = å Fi Ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes ne formen difernciale dt H Heresi i sasise se levizjes se pikes materiale me kohen eshte i barabarte me shumen vektoriale(rezultanten) e forcave te cilat veprojn ne piken materiale.
  • Ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes ne formen integrale Ligji jep lidhjen ne mes te sasise se levizjes ne fund dhe ne fillim te intervalit te caktuar dhe forcave ne ate interval te veprimit. r dK r r r r = å F Þ dK = å Fi dt = å dI dt Me integrim fitohet: t r tr r r r r tr ò dK = å ò Fi dt Þ K - K 0 = å Ii Ii = ò Fi dt 0 0 0 Ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes ne formen integrale HNdryshimi i sasise se levizjes se pikes materiale ne ndonje interval kohoreshte e barabarte me shumen vektoriale te impulseve te te githa forcave, te cilatveprojne ne pike, te llogaritura ne intervalin e njejte kohore.
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E MOMENTIT TE SASISE SE LEVIZJES Momenti i sasise se levizjesKy eshte moment i vektorit te sasise se levizjes, analog me definicionin e momentit te forces, egziston momenti i sasise se levizjes per piken dhe momenti i sasise se levizjes per aksin. Momenti i sasise se levizjes per piken A eshte: om r r r i j k r r r r r L A = r ´ K = r ´ mv = x y z mx my mz & & & L Ax = m ( yz - zy ) = L x & & L Ay = m ( zx - xz ) = L y & & L Az = m ( xy - yx ) = L z & & Momenti i sasise se levizjes per piken me mase m per piken A, eshte vektor normal ne rrafshin ne te cilin shtrihet shpejtesia dhe vektori i pozites se pikes, ndersa komponentet llogariten me zhvillimin e determinantes sipas rendit te pare.
  • Per rastin e levizjes se pikes ne rrafshin xOy: LA = mvh = Lz , Lx = Ly = 0Ligji i ndryshimit te momentit te sasise se levizjes:Duke u nisur nga ligji i dyte i njutnit: r r dv r dv r m =F m = å Fi dt dt rShumezojm ekuacionin vektorialisht me vektorin e pozites r r r r ( Fi ) r dv r r r ´ m = å r ´ Fi = å M A dt r Realizimi sipas LA r r =0 r r r dLA d r r dr r r d r r dv dL A r ( Fi ) = ( r ´ mv ) = ´ mv + r ´ ( mv ) = r ´ m , = å MA dt dt dt dt dt r r dt dLA r dv = r´m dt dt
  • r r dL A r ( Fi ) = å MA dtLigji mbi ndryshimin e momentit te sasise se levizjes per piken:realizimi i momentit te sasise se levizjes per ndonje pike A eshte i barabarte me shumen emomenteve te te gjitha forcave te cilat veprojn ne pike, te llogaritura per piken e njejte A. r r r i j k r& = x y z = yZ - zY r + zX - xZ r + xY - yX k r LA ( )i ( )j ( ) mx my mz && && && r& =L r+L r+L k LA & Ax i & Ay j & Az r r r dL Ax ( Fi ) ( F ) dL = å M Ax = å M x i = x Ligji mbi ndryshimin e momentit te sasise se dt dt levizjes per aksin. r r dL Ay =å ( M Ay Fi ) =å ( My Fi ) = dL y dt dt r r dL Az ( Fi ) = M( Fi ) = dLz = å M Az å z dt dt
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E ENERGJISE KINETIKE Puna e forces r Nese pika sulmuese e Forces F leviz pergjate rruges s, puna e forces ne qendosjen elementare ds eshte: r r dA = F × ds Puna elementare e forces eshte i barabarte me prodhimin rintenzitetit te forces F , qvendosjes elementare rds dhe kosinusit te kendit mes drejtimit teforces dhe drejtimit te qvendosjes. dA = FT ds = Fcos a ds. Puna ne qvendosjen elementare eshte: • pozitive pere α < 90º • negative pere eg i α > 90º • baras zerro pere α = 90º
  • Puna ne qvendosjen definitive te pikes sulmuese te forces mes pozitave M1 dhe M2 (shkurt te shenuara 1 dhe 2 ) eshte: 2 r r 2 A1,2 = ò ( F × ds ) = ò FT ds 1 1 Nese gjate levizjes FT=const, atehere kemi: 2 s2 A1,2 = ò FT ds = FT ò ds = FT ( s 2 - s1 ) = FT s 1 s1Nese pika sulmuese e forces ben kevizje drejtevizore, forca eshte konstante dhe kadrejtimin e rruges, ateher puna eshte e barabarte: A = Fs
  • Shprehja analitike per punenNese projeksionet e forces dhe qvendosjeselementare jane: r r r r ds = dx i + dy j + dz k r r r r F = X i + Y j + ZkNe baze te definicionit per punen , rrjedhe: r r dA = F × ds = X dx + Y dy + ZdzPuna ne qvendosjen perfundimtare mes pozitave te pikeveprimit te forces 1 dhe 2prezentohet me mbledhjen e integraleve: 2 2 2 2 A1,2 = ò X dx + Y dy + Zdz = ò X dx + ò Y dy + ò Zdz. [ Nm ] 1 1 1 1
  • Teorema: Puna e rezultantes te sistemit te forcave te cilat veprojne ne piken materiale eshte i barabarte me shumen algjebrike te punes se komponenteve r r dA ( FR ) = FR × ds Pasi qe: r r r r r FR = F1 + F2 + F3 + ...... + Fn r r r r r r r r r r r r r ( ) r dA(FR ) = F1 + F2 + F3 + ...... + Fn × ds = F1 × ds + F2 × ds + F3 × ds + ........ + Fn × ds, r dA(FR ) = dA1 + dA 2 + dA 3 + ....... + dA n r dA(FR ) = å dA iNe formen integrale ky ekuacion ka formen: r (F ) () i A R = 1,2 å A1,2
  • Forcat konzervativeLe te jete U funksion skalar i koordinatave te pikveprimit te forces F: U(x, y, z) r r r r F = X i + Y j + ZkForca F mund te zhvillohet ne formen e gradientit te funksionit skalar U : r F = grad U Ne sistemin koordinativ te Dekartit ekuacioni ka formen: r ¶U r ¶U r ¶U r F= i+ j+ k = gradU ¶x ¶y ¶z Projeksionet ne drejtim te akseve koordinative: ¶U ¶U ¶U X= , Y= , Z= . ¶x ¶y ¶z Per forcen e cila mund te zhvillohet me ekuacionet e dhena themi se jane forca konzervative. Funksioni skalar U quhet funksioni i forces.
  • Shpesh ne vend te funksionit te forces U shfrytezohet energjia potenciale Ep(x,y,z): Ep = –U Puna e forces konzervative Teorema: Puna e forces konzervative nuk varet nga forma e rrugetimit te pikeveprimit te forces. Puna elementare e foforces konzervative dA = Xdx + Ydy + Zdz ¶U ¶U ¶U dA = dx + dy + dz = dU = -dE p ¶x ¶y ¶z ¶U ¶U ¶U Puna e forces prej 1 deri 2 X= , Y= , Z= . ¶x ¶y ¶z 2 Ep = –U A1,2 = ò dU = U 2 - U1 = E p1 - E p 2 1
  • 2 A1,2 = ò dU = U 2 - U1 = E p1 - E p 2 1Puna varet vetem nga funksioni i forces(gjegjesisht energjia potenciale) une poziten perfundimtare dhe fillestare dhe nuk varet nga forma e rrugetimit permes te cilitpikveprimi i forces ka kaluar nga njera pozit ne tjetren. Me kete vertetohet teorema.
  • Energjia kinetike e pikes materialeEnergjia kinetike e pikes materiale apo forca e gjalle E k prezentojne gjysmen e prodhimit te mases dhe katrorit te shpejtesise. 1 2 E k = mv 2Ne sistemin e koordinatave te dekartit: 1 2 & ( E k = m x 2 + y2 + z2 . & & ) r r v = v × v ose v 2 = x 2 + y 2 + z 2 2 & & & 1 r r Ek = m v × v 2 Njesia: gjul [ J=Nm ].
  • Ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike apo ligji i forces se gjalleVerejme levizjen e pikes me mase m ne te cilin vepron sistemi i forcave: r r ma = å Fi Me shumezimin e ekuacionit skalarishte me shpejtesine fitojme: r r r r d ( mv ) r ds r r r v × ma = F × v Þ v × = F× dt dt r r r r v × d ( mv ) = F × ds r r Pasi qe m=const s v × v = v2 æ mv 2 ö r r ligji i forces se gjalle dç ÷ = F × ds dE k = dA ne formen diferenciale è 2 ø dA 1 2 E k = mv 2
  • Ndryshimi i energjise kinetike varet nga puna e forces e cila vepron ne pike. dE k = å dA i Rritja e energjise kinetike ne qvendosjen elementare te pikes materiale eshte i barabarte me shumen algjebrike te punes te te gjitha forcave te cilat veprojn ne pike ne ate qvendosje.
  • dE k = å dA iMe integrimin e ekuacionit te fundit ne mes dy pozitave te ndryshme 1 dhe 2 fitojme: 2 2n 2 2 2 æ1 2ö ò d ç 2 mv ÷ = ò å dAi = ò F1ds + ò F2ds + ...... + ò Fn ds 1 è ø 1 i =1 1 1 1 æ1 ö æ1 ö d ç mv2 ÷ - d ç mv 2 ÷ = A1 + A 2 + .... + A n è2 ø2 è2 ø1 n å E k 2 - E k1 = A i,1,2 qe paraqet ligjin mbi ndryshimin e energjise kinetike i =1 Ndryshimi i energjise kinetike te pikes materiale ne mes dy pozitave eshte i barabarte me shumen e puneve te te gjitha forcave te cilat veprojn ne pike, ne ate qvendosje.
  • Levizja e detyruar e pikes materiale Lidhjet mekanike Trupat qe kufizojn levizjen e lire te pikes materiale ne hapesire quhen lidhje mekanike shiquar gjeometrikishte, munde te jene ne forme vijore apo siperfaqesore.Levizja ne vijen e dhene Þ Pika ka nje shkalle lirie.Levizja ne siperfaqen e dhene Þ Pika ka dy shkalle lirie.
  • Ne varesi te kahjes se reaksionit lidhjet ndahen ne:• lidhjet ideale(lidhjet pa ferkim),• lidhjet me ferkim.Teke lidhja e vrazhde(me ferkim) paraqitet forca e ferkimit e cila eshte: r r r T = mN = Fm Fμ - forca e ferkimit μ - koeficienti i ferkimit N - forca normale Levizja e pikes neper lakore te vrazhde
  • Ekuacionet diferenciale te levizjes se pikes neper lakore te vrazhde Per piken materiale ekuacioni i njutnit do te jete: r r r r ma = F + FW + Fm dv m = FT - Fm dt v2 m = FN + N N , R 0 = FB + N B Ekuacionet diferenciale te levizjes se pikes neper lakore te vrazhde
  • Principi i Dalamberit per piken materiale Ekuacioni diferencial i levizjes se pikes nga veprimi i forcave aktive: r r r m a = F + FW apo r r r F + FW - ma = 0 r in r Forca inerciale(forca e dalamberit) kolineare F = -m a me shpejtimin(nxitimin) e pikes. r r r in Ne vend te ekuacioneve diferenciale te levizjes fitohet F + FW + F = 0 ekuacioni statik i cila paraqet principin e DalamberitNe qofte se ne qfaredo qasti gjate levizjes se pikes, forcave te cilatveprojne ne pike u shtohet forca e inercise, fitohet sistemi i forcave ne ekuiliber.
  • Komponentet dhe projeksionet e forces se inercise Komponenta tangjenciale dhe normale r in dv r d 2s r FT = - m T = - m 2 T, a = aT + aN / ( - m ) dt dt r r r -ma = -maT - maN , r in v2 r r in r FN = - m N, FT = -maT , R r in r in r FB = 0. FN = -maN , r in FB = 0, Komponentet e forces se inercise ne r in r in r in F = FT + FN . sistemin koodinativ te dekartit dv d 2s v2 inaT = = , aN = , Fx = mx, && dt dt 2 R in Fy = my, && in Fz = mz. &&
  • Shembull: Levizja e pikes ne rreth
  • LEKUNDJET E PIKES MATERIALE • Lekundjet e lira harmonike • Lekundjet e amortizuara • Lekundjet e detyruara
  • LEKUNDJET (VETIAKE) E LIRA HARMONIKEshtangesia k k k r r Fk = -kx i Ekuacioni diferencial i lekundjeve te lira eshte: mx = -kx && /m k k k && + x x = 0, w2 = , w= , frekuenca rrethore m m m
  • && + w2 x = 0 x Ekuacioni diferencial i lekundjeve te liraZgjidhja e pergjithshme e ketij ekuacioni eshte: d x = C1 cos wt + C2 sin wt / dt x = -C1w sin wt + C2w cos wt & t = 0, x = x 0, x = v0 = x 0 kushtet fillestare & & x0 & x 0 = C1, x 0 = C2 w Þ C2 = & w x0 & x = x 0 cos wt + sin wt Ligji i lekundjeve per keto kushte fillestare w
  • x0 & x = x 0 cos wt + sin wt w x 0 = C1 = R sin αMe futjen e konstanteve te reja R , a: C12 + C22 = R 2 x0 & = C2 = R cosα w 2 2 x0 C1 x 0 w R = x0 + 2 tgα = = w C2 x0 & Ligji i lekundjeve mund te transformohet ne formen: x = R sin α cos wt + R cosαsin wt = R sin ( wt + α )
  • x = R sin ( wt + α ) lekundja eshte periodikeIntervali kohor (T), gjate se cilit pika kryen nje lekundje(oscilim) te plote quhet: perioda e lekundjeve sin éw ( t + T ) + α ù = sin ( wt + α ) ë û 2p 2p m w T = 2p Þ T = = = 2p cos éw ( t + T ) + α ù = cos ( wt + α ) w k k ë û m Per kohen T pika pershkruan nje lekundje te plote
  • x = R sin ( wt + α ) Konstanta a quhet faza fillestare k w= Frekuenca rrethore m R - amplitudafrekuenca e lekundjeve f - numri i lekundjeve te plota ne njesi te kohes 1 w 2p 2 p m f = = T= = = 2p T 2p w k k m
  • LEKUNDJET E SHUARA Ne qofte se ne pike gjate lekundjes perveq forces elastike(forca e shtangesise)vepron edhe forca e rezistences, ateher lekundjet jane te shuara apo te amortizuara
  • r r Forca e shuarjes Fk = -kx i Forca elastike r r FW = -c x i & ekuacioni diferencial ne formen vektoriale r r r r rb - koeficienti i shuarjes ma = Fk + FW + G + N m && = - Fk - FW x ekuacioni diferencial ne formen skalare
  • m && = - Fk - FW x Fk = kx FW = cx & mx + cx + kx = 0 / : m && & c c c k && + x + x = 0 x & = 2d i = w2 m m m m && + 2 d x + w2 x = 0 x & Ekuacioni diferencial i lekundjeve te shuara Qe te fitojm zgjidhjen e pergjithshme te ekuacionit diferencial, duhet te shkruajm formen karakteristike te tije: r 2l + 2 dl + w = 0 2 Rrenjet e ekuacionit jane: l1 2 = -d ± d2 - w2Zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit diferencial: x = C1el1t + C2el2 t ku C1 , C2 jane konstantet e integrimit.
  • 2 l + 2 dl + w = 0 2 l1 2 = -d ± d2 - w2 x = C1el1t + C2el2 t• d<w - shuarje e dobet• d>w - shuarje e madhe(rasti i rezistences se madhe)• d=w - rast kufitar i lekundjeve aperiodike.
  • d <w 2 2Rrenjet e ekuacionit karakteristik l1 2 = -d ± d - w jane rrenje komplekse Me zavendesimin: p2 =w2 -d2 l1 2 = -d ± pi i = -1 x = C1el1t + C2el2 t x = e-dt ( C1 cos pt + C2 sin pt ) C1 , C2 jane konstantet e integritetit te cilat fitohen nga kushtet fillestare Zgjidhje me e pershtateshme fitohet me futjen e konstanteve te reja: C1 =R sin α, C 2 =R cos α x = e-dt ( R sin αcos pt + R cos αsin pt ) x = Re-dt sin ( pt + α )
  • Caktimi i konstanteve te integrimitx = Re -dt sin ( pt + α )x = -R d e-dt sin ( pt + α ) + R e -dt pcos ( pt + α )&Kushtet fillestare t = 0, x = x 0 , x = v 0 &x 0 = R sin α / 2 ü ï 2 æ v + x 0d ö 2 ý+ Þ R = x0 + ç 0 ÷ 2v0 = - Rd sin α + Rpcosα / ïþ è p ø x0 p x0 p tgα = , α = arc tg v0 + x 0 d v0 + x 0 d
  • x = Re-dt sin ( pt + α )Lekundja e pikes eshte e karakterit oscilues, sepse sinusi eshte funksion periodik, Keto lekundje quhen lekundje te shuara. Per t ® ¥, e -dt ® 0 i x®0 Perioda e oscilimit te lekundjeve te shuara eshte: 2p Tp = p
  • LEKUNDJET APERIODIKE d>w Nese, d>w l1 2 = -d ± d2 - w2 Fusim zavendesimin: q 2 = d 2 - w2 l1 2 = -d ± q Zgjidja e ekuacionit diferencial: x = C1ec1t + C2el 2 t = C1e( -d+ q ) t + C 2 e( -d- q ) t ( = e -dt C1eqt + C2e - qt ) eqt = chqt + shqt, e- qt = shqt - shqt x = e -dt éC1 ( ch qt + sh qt ) + C2 ( ch qt - sh qt ) ù ë û x = e -dt ( A ch qt + Bsh qt )Ku A, B jane konstante te reja te integrimit te cilat caktohen nga kushtet fillestare te lekundjeve
  • x = C1ec1t + C2el 2 t = C1e( -d+ q ) t + C 2 e( -d- q ) t ( = e -dt C1eqt + C2e - qt )x = e-dt ( A ch qt + Bsh qt ) Lekundjet nuk jan oscilatore- ato quhen aperiodike.
  • RASTI KUFITAR d=w Ne kete rast rrenjet e ekuacionit karakteristik jane: l1 2 = -d ± d2 - w2 l1 = l 2 = -d prandaj zgjidhja e ekuacionit diferencial eshte: x = e-dt ( C1 + C2 t ) lekundjet jane aperiodiket ® ¥, t e -dt ® 0Diagrami ka formen sikur tek lekundjet aperiodike.
  • LEKUNDJET E DETYRUARANe qoftse se ne piken materiale perpos forces elastike vepron edhendonje force e jashtme ne funksion te kohes ateher keto lekundje quhen lekundje te detyruara. Me se shpeshti merret qe forca detyruese merret ne forme te f funksionit harmonik ne varesi te kohes: FΩ = F0 sin ( Ωt ) ose FΩ = F0 cos ( Ωt ) F0 amplituda e forces W frekuenca e forces se detyruar. re
  • LEKUNDJET E DETYRUARA PA FORCE REZISTUESE r r FK = -kx i Forca elastike r rk FΩ = F0 sin ( Ωt ) i Forca detyruese r r r r r ma = Fk + FW + G + N mx = -kx + F0 sin Ωt. / : m && k Fk = w2 , 0 = h konstante m m ku: w - Frekuenca rrethore e lekundjeve te lira, - h - ka dimensionin e shpejtimit dhe varet - nga forca maksimale detyruese F0. -
  • 2 Ekuacioni diferencial johomogjen i rendit te dyte && + w x = h sin Ωt x me koeficient konstant. Zgjidhja e ketije ekuacioni eshte: x = xh + xp ku jane: - xh zgjidhja e ekuacionit homogjen, - xp Integrali partikulare. && + w2 x = 0 x x h = C1 cos wt + C2 sin wt ü ý zgjidhja e ekuacionit homogjen, x h = R sin ( wt + α ) þ Si ne rastin e lekundjeve te lira harmonike , ku C1 , C2,gjegjesishte R , a, konstantet e integrimit.
  • Integrali partikular paraqitet ne formen: x p = A sin Ωt ku A konstante e pa njohure. x p = AΩ cos Ωt & && + w2 x = h sin Ωt x && p = - AΩ 2 sin Ωt x -AΩ 2 sin Ωt + w2Asin Ωt = h sin Ωt, ( 2 2 ) A w - Ω sin Ωt = h sin Ωt Þ A= 2 h w - Ω2 amplituda A nuk varet nga kushtet fillestareZgjidhja e pergjithshme e ekuacionit diferencial te lekundjeve te detyruara pa shuarje eshte: h x = R sin ( wt + α ) + 2 2 sin Ωt w -Ω
  • Lekundjet jane periodike dhe paraqesin shumen e dy funksioneve harmonike hx = R sin ( wt + α ) + 2 2 sin Ωt w -Ω lekundjet e lira apo vetiake me amplitude R dhe frkuence rrethore wLekundjet e detyruara me amplitude A, Te cilat nuk varen nga kushtet fillestare dhe frekuenca We cila eshte e barabarte me frekuencen e forces detyruese.
  • AMPLITUDA E LEKUNDJEVE TE DETYRUARA Varesia e amplitudes se lekundjeve te detyruara A ne raport me frekuencen e lekundjeve vetiake dhe te detyruara: h w2 A= 2 2 /× 2 w -Ω w h w2 h 1 A= 2 = 2 2 æΩö w æΩö 1- ç ÷ 1- ç ÷ èwø èwø F0 1 F 1 A= m = 0 k æ Ωö 2 k æ Ωö 2 m 1- ç ÷ 1- ç ÷ è wø èwø Ω ® 1, ( Ω ® w) amplituda e lekundjeve te detyruara tenton ne pakufi (A ®µ). w
  • F0 1 A= 2 k æΩö 1- ç ÷ èw ø Lajmerimi i paraqitjes se amplitudave shum te medhaja te lekundjeve te detyruara si pasoj e vlerave te peraferta te W , w quhet rezonance.A®µ Pavaresishte nga madhesia e forces detyruese F0, qe do te thote ne zonen e rezonances,W»w, mund te fitohen amplituda te medhaja te lekundjeve te detyruara nga veprimi i forces se vogel.
  • LEKUNDJET E DETYRUARA ME SHUARJE Ekuacioni diferencial i ketyre lekundjeve eshte: r r r r ma = Fk + FW + FΩk Fk = kx, FW = bx, & FW = F0 sin Ωt. mx = -kx - cx + F0 sin ( Ωt ) / : m && & && + 2dx + w2 x = h sin Ωt x &k k c F0 = w2 , = 2d, =h m m m
  • && + 2dx + w2 x = h sin Ωt x & Zgjidja e ketije ekuacioni eshte: x = xh + xp ku: - xh zgjidhja e ekuacionit homogjen, - xp integrali partikular.Zgjidhja homogjene e ekuacionit eshte e njejte sikur tek lekundjet e shuara: x h = Re-dt sin ( pt + α ) d<wZgjidhja partikulare paraqitet ne formen: x p = Bsin Ωt + D cos Ωt, ili x p = Csin ( Ωt - β ) ku B , D, dhe C , b konstante qe caktohen me zavendesimin . x p , x p , && p & x 2d Ω h tgβ = 2 2 , C= w -Ω (w 2 -Ω ) 2 2 + 4d 2Ω 2
  • Zgjidja e ekuacionit diferencial eshte: x = Re-dt sin ( pt + α ) + Csin ( Ωt - β ) lekundja rezultuese eshte shuma e lekundjeve me shuarje xh dhe atyre detyruese xp. Lekundjet me shuarje te cilat humbin me kohen,ndersa mbeten lekundjet e detyruara me amplitud C dhe frekuence W.
  • DINAMIKA E SISTEMIT MATERIAL INAM SISTEMI MATERIAL ESHTE BASHKESIA E PIKAVE MATERIALE LEVIZJA DHE POZITA E TE CILAVE JANE TE LIDHURA NE MES VETI
  • Sistemi material i lire -sistemi i pikave materiale te cilat nuk jane te lidhura mes veti.Sistemi material i lidhure -sistemi i pikave materiale levizja e te cilave eshte i kufizuare me lidhje.Sistemi diskret -sistemi i pikave materiale te cilat jane me numer te caktuar dhe distanca te caktuara ne mes veti. Trupi material – masat ne ndonje pjese te hapesires jane te renditura ne menyre te pa nderprere.Trupi i ngurte -Nga veprimi forcave nuk e nderron formen dhe dimensionin.
  • Forcat qe veprojne ne pike apo ne trup ndahen ne forca te jashtme dhe te brendeshme. rj F Forcat e jashtme -te cilat veprojne ne trup apo pike nga jashte. rm F Forcat e brendeshme- jane forca me te cilat pikat apo trupat e sistemit te caktuar veprojne njeri ne tjtrin.
  • Karakteristikat e forcave te brendeshme te cilat veprojne ne sistem Vektori kryesore i forcave te brendeshme eshte i barabarte me zerro rm n r m FR = å Fi = 0 i =1Duke u bazuare ne ligjin e trete te Newton-it kemi: ru ru ru ru nr Fik = -Fki , Fik + Fki = 0 å Fi = 0 i =1
  • Momenti kryesore i forcave te brendeshme ne raporte me piken O te caktuar per pol te pa levizshem eshte i barabarte me zerro. r r r Fm n r F n n r r m M 0R = å M 0i = å ri ´ Fi = 0 i =1 i =1 r r r Fm r F m r r m r r m r r r rm r r rm M 0 + M0 = ri ´ Fik + rk ´ Fki = ri ´ Fik - rk ´ Fik = ( ri - rk ) ´ Fik ik kirmFik forca qe vepron ne piken Mi nga ana e pikes MkrmFki forca qe vepron ne piken Mk nga ana e pikes Mi r uuuuuur r r r uuuuuur uuuuuur ri + M i M k = rr ® ri - rk = - M i M k = M k M i r Fm r F m uuuuuur r m r r M 0ik + M 0ki = M k M i ´ Fik = 0,
  • MASA E SISTEMIT MATERIAL AMasa e sistemit material eshte e barabarte me shumen algjebrikete masave te te gjitha pikave apo trupave te cilet e formojne sistemin. n M = m = å mi i =1
  • QENDRA E RENDESES SE MASES SE SISTEMIT MATERIAL n r å mi ri r r i =1 rC = = å mi ri m m
  • EKUACIONET DFERENCIALE TE LEVIZJES SE SISTEMIT MATERIAL Ekuacioni diferencial i levizjes se pikes i: r r j rm mi ai = Fi + Fi r m rj Fi Fi -Rezultantat e forcave te jashtme dhe te brendeshme ne piken i.mi &&i = Xij + Xm x i Ekuacionet diferenciale te levizjes te sistemit materialmi &&i = Yij + Yim y ku i=1,2,3,.....n.mi &&i = Zji + Zm z i
  • LIGJET E PERGJITHSHME TE SISTEMIT MATERIAL Ligji mbi levizjen e qendres se mases se sistemit material r r j rm m ai = Fi + Fi n r n r n r å mi ai = å Fi + å Fiu . s i =1 i =1 i =1 r n r n r å mi ri d 2 r r && = å m && = å m a . m rC rC = / 2 i ri i i m dt i =1 i =1 r r rm =0 r rj && = å Fj +mi rC i å Fi m aC = å Fi r rj Ligji mbi levizjen e qendres maC = FR se mases se sistemit material
  • r rs maC = FRQendra e mases (qendra e inercionit) e sistemit aterial levize si pika materialeme mase te barabarte me shumen e masave te te gjitha pikave te sistemitne te cilen vepron vektori kryesor i te gjitha forcave te jashtme te sistemit. n m &&C = X jR x = å Xji i =1 n m &&C = YR = å Yij y j Ekuacionet diferenciale te i =1 levizjes se qendres se mases n mi &&C = ZjR = å Zji z i =1 Forcat e brendeshme nuk ndikojne ne levizjen e qendres se mases se sistemit material.
  • LIGJI MBI RUAJTJEN E SASISE SE LEVIZJES SE QENDRES SE MASES TE SISTEMIT MATERIALNe qofte se vektori i i te gjitha forcave te jashtme te cilat veprojn ne sistemin materialgjate gjthe kohes se levizjes eshte i barabarte me zerro, ateher qendra e sistemitben levizje drejtevizore. r j rj r rj r (å Fi = FR = 0) m aC = å FR = 0 Þ aC = 0Ne qofte se ne sistem veprojn forcat e jashtme vektori kryesor i i te cilave eshte i rj rjndryshem nga zerro (FR = å Fi ¹ 0)por shuma e projeksioneve te tyre ne aks eshte e barabarte me zerro (psh X), atehereprojeksioni i shpejtesise se qendres se mases ne aks eshte konstante: m &&C = X jR = 0 Þ && C = 0, x x x C = vCx = const &
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES SE QENDRES SE MASES TE SISTEMIT MATERIAL SASIA E LEVIZJES SE SISTEMIT MATERIAL r n r n r K = å K i = å mi v i i =1 i =1 r r r dri r n dri d n r vi = K = å mi = å mi ri dt i =1 dt dt i =1 r n r m rC = å mi ri i =1 rku: r d n r d r drm – masa e tere sistemit K = å mi ri = ( mrC ) = m Cr dt i =1 dt dtrC –vektori i qendres se mases r r K = mvC
  • r r K = mvC n üK x = å mi vix = m vCx = mx C , ï & i =1 ï n ï Projeksionet e vektorit te sasise se levizjesK y = å mi viy = m vCy = m yC , ý & ne sistemin koordinativ te dekartit i =1 ï n ïK z = å mi viz = m vCz = m z C ï & i =1 þ
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL NE FORMEN DIFERENCIALEr r dK = mv C / dt r rdK d r dv C r ü r = ( mv C ) = m = maC ï dK r j n rdt dt dt ý Þ = FR = å Fij r rj ï dt i =1maC = FR þ dK x ü = XjR ï dt ï dK y j ï = YR ý dt ï dK y j ï = ZR ï dt þ
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL NE FORMEN INTEGRALE r t dK r j n r t r t rs = FR = å Fij / × dt /ò ò dK = ò FR dt dt i =1 t0 t0 t0 r r t r n t r r j n rj K - K 0 = ò FR dt = å ò Fi dt = I = å Ii j j t0 i =1 t 0 i =1
  • LIGJI MBI RUAJTJEN E SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIALNe qofte se ne sistem vepron sistem i atille i forcave te jashtme ashtu qe vektori kryesori tyre gjate gjithe kohes se levizjes eshte i barabarte me zerro, ateher vektori i sasise selevizjes eshte konstant. r dK r j r r = FR = 0 Þ K = const Þ vc = const. dt r r t r n t r r j n rj K - K 0 = ò FR dt = å ò Fi dt = I = å Ii j j t0 i =1 t 0 i =1 rj rj Nese FR = 0 atehere edhe I = 0 impulsi i forces te vektorit kryesor eshte zerro, prandaj kemi: mpu r r K = K 0 = const
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E MOMENTIT TE SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIALMOMENTI I SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL r n r n r r n r r L0 = å Li0 = å ri ´ K i = å ri ´ mi vi i =1 i =1 i =1
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E MOMENTIT TE SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL r r r dLi0 r ( Fij ) r ( Fim ) = M0 + M0 dt rr FjM 0i –momenti i forcave te jashtme te cilat veprojn ne piken Mi ne raport me piken O rr FuM0i – momenti i forcave te brendeshme te cilat veprojn ne piken Mi ne raport me piken O r r r =0 r r n dLi0 n r ( Fij ) n ( ), r Fim n dLi0 d r d r dL0 å dt = å M0 + å M0 å dt = dt å Li0 = dt L0 = dt , i =1 i =1 i =1 i =1 r r dL0 ( ) n r Fj = å M0 i Ligji mbi ndryshimin e momentit te sasise se dt i =1 levizjes ne raport me polin e pa levizshem
  • dL0x n Fij r r Fij ü = å M 0x = å M x , ï dt i =1 ïdL0y n Fij r rj ï Ligji mbi ndryshimin e momentit te sasise se ï = å M 0y = å M Fi , y ý levizjes ne raport me polin e pa levizshem dt i =1 ï r rj ïdL0z n Fij = å M 0z = å M Fi . ï z dt i =1 ï þ
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E ENERGJISE KINETIKE TE SISTEMIT MATERIALENERGJIA KINETIKE E SISTEMIT MATERIAL n 1 nE k = å E ki = å mi vi2 i =1 2 i =1 mi dhe vi – masa dhe shpejtesia e pikes i Eki – energjia kinetike e pikes iLigji mbi ndryshimin e energjise kinetike pere qfaredo pike te sistemit material, psh per piken 1 dE k1 = dA1 + dAj2 + ... + dA1 + dA 2m+ ......, j m 14 244 1442443 4 3 puna elementare e forcave te jashtme te cilat veprojn ne piken 1 puna elementare e forcave te brendeshme te cilat veprojn ne piken 1
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E ENERGJISE KINETIKE TE SISTEMIT MATERIAL NE FORMEN DIFERENCIALE dE k1 + dE k2 + ....... + dE kn = dA1 + dA S + ... + dA1 + dA 2 + ..... S 2 u u dE k = dAj + dAm Ek – ukupna kinetička energija materijalnog sistema, - dAj = å dAji – puna elementare e forcave te jashtme dA m = å dA im – puna elementare e forcave te jashtmeligji mbi ndryshimin e energjise kinetike te sistemit ne formen diferenciale
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E ENERGJISE KINETIKETE SISTEMIT MATERIAL NE FORMEN INTEGRALE dE k = dAj + dAm / ò j m E k1 - E k0 = A 0,1 + A 0,1
  • LIGJI MBI NDRYSHIMIN E ENERGJISE KINETIKE TE SISTEMIT MATERIAL TE PA NDRYSHUESHEM j dE k = dA j E k1 - E k0 = A 0,1Nese trupi eshte i lidhur, lirohet nga lidhja dhe ndikimi i lidhjeve zavendesohet me reaksionet e tyre.Trupi i atill konsiderohet i lire, e ne te veprojne sistemi i forcave te jashtme-forcave aktive te reaksioneve te lidhjeve.
  • MOMENTET MATERIALE TE INERCIS Qendra e inercisë së masës Momentet e inercis o a) Definicioni i momentit te inercisë e b) Lidhjet ne mes te momenteve të inercis c) Momentet e inercisë në raport me akset paralele
  • Qendra e inercisë së masësRenditja e masave te sistemit karakterizohet me poziten e pikave te sistemite cila quhet qendra e masës e qe caktohet me shprehjen: r 1 r rC = å mi ri m 1 x C = å mi x i m 1 yC = å m i yi m 1 zC = å mi zi m
  • r 1 r grC = å mi i r / g=9.81m/s2 m g G = mg Gi = migr 1 rrC = mg å mi ri g qendra e mases se sistemit dhe qendra e sistemit gjeometrikisht perputhenr 1 rrC = å G i ri G 1 x C = å mi G i G 1 y C = å miG i G 1 z C = å mi G i . G
  • DendësiaDendësia – është masa në njesi të vëllimit Paramendojmë që në një pikë të hapësirës të vëllimit DV gjëndet masa Dm Dm rsr = dëndësia mesatare rrethë pikës M DV Dm dm r = lim rsr = lim = DV ®0 DV ®0 DV dV r= const - trupi është homogjen, r¹ const - trupi nuk është homogjen,
  • Trupi homogjen m1 r1 = , n n V1 m = å mi V = å Vi i =1 i =1 m2 r2 = , V2 M mn rn = . Vn Nese trupi është homogjen r1 = r2 =... =rn =constm = å mi = r1V1 + r2 V2 + .... + rn Vn = r ( V 1 + V2 + ... + Vn ), n mm = rå Vi = rV, Þ r= i =1 V
  • Momenti i inercisëMadhësia e cila e karakterizon gjeometrinë dhe shperndarjen e masës, quhet:momenti i inercisë
  • a) Definicioni i momentit te inercisë e Momentet e inercisë të sistemit material në raport me rrafshin (momentet planare të inercisë) n ü I yOz = å mi x i2 , ï i =1 ï 2 ï n I zOx = å mi yi , ý momentet planare të inercisë i =1 ï n ï I xOy = å mi zi . ï 2 i =1 þ I yOz = ò r x 2dV Tekë renditja kontinuale e masave: V r= dm , dm = r dV, m = ò rdV I zOx = ò r y 2dV dV V VMasa elementare dm e zënë vellimin dV , koordinatat e të cilit janë: I xOy = ò r z 2dVx, y, z, ndërsa distanca nga fillimi koordinativ është r . V
  • Momentet e inercisë të sistemit material në raport me aksin (momentet aksiale të inercisë) ü ( ) n Ix = å mi yi2 + zi2 ,ï i =1 ï 2 ï ( ) n I y = å mi x i + z i , ý 2 i =1 ï ï ( ) n I z = å m i x i + yi . ï 2 2 i =1 þ momentet aksiale të inercisë ü ( 2 2 I x = ò r y + z dV, ï ) V ï ïnë rastin e shpërndarjes konti nuale të masës kemi: ( )ï I y = ò r x 2 + z 2 dV, ý V ï ï ( Iz = ò r x + y dV. ï 2 2 )ï V þ
  • Momentet e inercisë të sistemit material në raport me pikën (momentet polare të inercisë) ( IO = å mi x i2 + yi2 + zi2 ) momentet polare të inercisë në rastin e shpërndarjes konti nuale të masës kemi: ( IO = ò r x 2 + y 2 + z 2 dV ) V
  • b) Lidhjet në mes të momenteve të inercisë ( ) IO = å mi x i2 + yi2 + z i2 =å mi x i 2 + å mi yi 2 + å mi zi 2 IO = I yOz + IzOx + I xOy Momenti polar i inercisë është i barabartë me shumën e momenteve të inercisë në raport me tri rrafshet normale mes veti
  • ( ) n n n I x = å mi yi2 + zi2 Ix = å mi yi2 + å mi zi2 i =1 i =1 i =1 I x = I zOx + I xOy , I y = I yOz + I xOy , I z = I zOx + I yOz .Momenti aksial i inercisë në raport me aksin është i barabartë me shumëne momenteve polare të inercisë ne raport me rrafhin te cilat kur priten japinmomentin e aksit
  • Me mbledhjen e momenteve aksiale të inercisë për të tre akset ortogonalfitohet lidhja në mes momenteve aksiale dhe atyre polare të inercisë. ( ) ( ) (I x + I y + I z = å mi yi2 + zi2 + å mi x i2 + zi2 + å mi x i2 + yi2 ) ( )I x + I y + I z = 2å mi x i2 + yi2 + zi2 = 2IO I x + I y + Iz = 2IO
  • c) Momentet e inercisë në raport me akset paraleleTeorema e Hajgers-Steinerit I z = ICz + md 2
  • = ( xi - a ) + ( yi - b ) , 2 2Iz = å mi hi2 . hi2 I z = å mi é( xi - a ) + ( yi - b ) ù 2 2 ë û ( ) ( ) = å mi xi2 + yi2 + å mi a 2 + b 2 - 2a å mi xi - 2b å mi yi , Kako je: xi2 + yi2 = hi 2 , a 2 + b2 = d 2 I z ¢ = å mi hi¢2 + å mi d 2 - 2a å mi xi - 2bå mi yi , gde je: I Cz = å mi hi¢2 , å mi d 2 = d 2 å mi = d 2 m, 1 1 xC = m å mi xi , yC = m å mi yi . xC = 0, yC = 0, å mi xi = 0, å mi yi = 0, I z = I Cz + md 2 .
  • Momentet centrifugale të inercisë. Akset kryesore të inercisëI xy = å mi x i yiI yz = å mi yi zi Momentet centrifugale të inercisë I xy = ò r xydV,I zx = å mi z i x i V I yz = ò r yzdV, V I zx = ò r zxdV. VMomentet centrifugale të inercisë mund të jenë pozitive, negative dhe zerro.
  • MOMENTET E INERCISE SE PLLAKAVE TE HOLLA y γ dm dendesia e mases y r t x dV = t ⋅ dF C x z m = ∫ dm = ∫ γ ⋅ dV = ∫ γ ⋅ t ⋅ dF V V V m = γ ⋅ t ⋅ ∫ dF F I xx = γ t ∫ y 2 dF , I yy = γ t ∫ x 2 dF , I z z = I x x + I yy F F
  • Momentet e inercise per pllaken drejtekendeshe y dm z x C b z a m = ρ ab z ρ ....dendesia e mases dm = z ρ a dy b 2 ab 3 b2 I xx = 2 ρ z ∫ y 2 ady = 2 ρ z =m 0 24 12 a 2 3 2 ba aI yy = 2 ρ z ∫ x bdy = 2 ρ z 2 =m 24 12
  • Momentet e inercise per pllaken rrethore y dm z C x dm = ρ z r dϕ dr z R x A z π R 2 RI xx = 2 ∫ ∫ ( r sin ϕ ) dm ... = m 2 0 0 4 2 3 R I zz = I zz + mR = mR 2 = I A 2I zz = m 2 2
  • PRINCIPI I DALLAMBERIT PER SISTEMIN MATERIAL TE LIDHUR
  • Gjate levizjes te sistemit material te lidhur si edhe tek levizja e pikes materiale te lidhureshte e mundur qe ekuacionet diferenciale te levizjes te formulohen permes principit te Dalamberit.Ne ate rast duhet te lirohemi nga lidhjet dhe ne vend te tyre te merren reaksionet e lidhjeve,sistemit material duhet ti shtohet forca e inercise qe i pergjigjet. rezultanta e te gjitha forcave aktive forca perkatese e inercise rezultanta e te gjitha reaksioneve te lidhjeve Principi i Dalamberit per piken: r a r r in Fi + R i + Fi = 0 Principi i Dalamberit per sistemin material: nra n r n r å Fi + å R i + å Fiin = 0 i =1 i =1 i =1
  • nra n r n r å Fi + å R i + å Fiin = 0 i =1 i =1 i =1 ra– Vektori kryesor i forcave aktive qe veprojn ne sistem ( FR ); r in – Vektori kryesor i forcave te inercise ( FR ). r – Vektori kryesor i reaksioneve te lidhjeve ( R R );
  • nra n r n r r å Fi + å R i + å Fiin = 0 / ri ´ i =1 i =1 i =1 n r ra n r r n r r å ri ´ Fi + å ri ´ R i + å ri ´ Fiin = 0 i =1 i =1 i =1 ( ) ( )r ra r r r r inM O FR + M O ( R R ) + M O FR = 0Momenti kryesor i forcave aktive ne raport me polin OMomenti kryesor i reaksioneve te lidhjeve ne raport me polin O Momenti kryesor i forcave te inercise ne raport me polin O
  • ra r r in FR + R R + FR = 0 ( ) ( ) r ra r r r r in M O FR + M O ( R R ) + M O FR = 0Ketu futen vetem forcat e jashtme dhe reaksionet e lidhjeve pasi qe vektori kryesor i forcvave tebrendeshme eshte i barabarte me zerro. å Xia + å R ix + å Xiin = 0, ü ï å Yi + å R iy + å Yi = 0, a in ï ï å Zi + å R iz + å Zi = 0, a in ï ï å MOx ( Fi ) + å MOx ( R i ) + å M Ox ( Fi ) = 0, ý ra r r in ï ï å MOy ( ) ( ) ra r r in Fi + å M Oy ( ) R i + å M Oy Fi = 0, ï ï ( ) ( ) ra r r in å MOz Fi + å M Oz ( ) R i + å M Oz Fi = 0. ï þ Principi i Dalamberit ne formen skalare
  • Principi i Dalamberit ne formen skalare ne rastin kur merret parasysh momenti ndaj aksit å Xia + å R ix + å Xin = 0, i ü ï å Yi + å R iy + å Yi = 0, a in ï ï å Zi + å R iz + å Zi = 0, a in ï ï å M x ( Fi ) + å M x ( R i ) + å M x ( Fi ) = 0, ý ra r r in ï ï ( ) ( ) ra r r in å M y Fi + å M y ( ) Ri + å My Fi = 0, ï ï ( ) ( ) ra r r in å M z Fi + å M z ( ) R i + å Mz Fi = 0. ï þ Qe te mund te perdoret principi i Dalamberit eshte e nevojshme qe te llogariten vektori kryesor dhe momenti kryesor i forcave te inercise per forma te ndryshme te levizjes se trupit te ngurt.
  • PERCAKTIMI I VEKTORIT KRYESOR DHE MOMENTIT KRYESOR TE FORCAVE TE INERCISE SE TRUPIT TE NGURT VEKTORI KRYESOR I FORCAVE TE INERCISE Ne dinamik per qender zakonisht merret qendra e rendeses se trupit. r in n r in n r FR = å Fi = -å mi ai i =1 i =1r 1 n r r in rrC = å mi ri FR = - maC m i =1n r r d2 n r rå mi ri = mrC / 2 Þ å miai = maC ku:i =1 dt i =1 m – masa e trupit te ngurt - r aC – nxitimi i qendres se trupit
  • MOMENTI KRYESOR I FORCAVE TE INERCISE ( ) ( ) r r in n r r in n r r n r r r in M C FR = å M C Fi = å ri ´ Fi = -å ri ´ mi ai = MC in i =1 i =1 i =1 r ri – Pozita e te gjitha pikave te trupit te ngurt ne raport me qendren e rendeses Levizja translatore e trupit te ngurt Vektori kryesor i forcave te inercise r in r FR = - maC Momenti kryesor i forcave te inercise r in n r r n r r r r M C = -å ri ´ mi ai = -å mi ri ´ ai = -mrC ´ aC = 0 i =1 i =1Vektori i pozites se qendres se trupit ne raport me qendren C eshte i barabart me zerrorrC = 0
  • Levizja rrotulluese e trupit te ngurt rreth aksit te pa levizshem Vektori kryesor i foercave te inercise eshte: r in r FR = -maC = 0 Ndersa momenti kryesor i foercave te inercise eshte: r in r M C = - ICz e
  • PRINCIPI I PUNEVE VIRTUALE TE SISTEMIT MATERIAL
  • PRINCIPI I PUNEVE VIRTUALE TE SISTEMIT MATERIALÇvendosje virtuale quhet madhesia e idealizuar pambarimisht e vogelte cilat mund ti kryejn ne çastin e dhene, duke mos i shkaterruar lidhjet. r r r r ( d Ai = Fi × d ri = F id si cos Fi , d ri ) r d ri = d si . nr r n r r ( ) å Ri × d ri = å Ri d si cos Fi , d ri = 0, i =1 i =1
  • Principi i Lagnranzhit per punet virtualePer ekuilibrin e forcave ne qdo pike te sistemit materialshuma e puneve te forcave aktive, te cilat veprojne ne sistemqofshin ato forca te jashtme apo te brendeshme, eshte ebarabarte me zerro. nra r d A = å Fi × d ri = 0. i =1
  • 0, 2 1, 2 2, 3 II III 1, 3 I 0, 3 0, 1 8 Poli O2 eshte ne pakufi 8 0, 2 2, 3 II 1, 3 8 1, 2 b 1, 2 0, 2 II 2, 3 III III I I 8 c 0, 3 1, 3 0, 3 0, 10, 1 2
  • 0, 2 ω2 1, 2 ωrel 2, 3 ω3 1, 3ω1 0, 30, 1 c ω1 = ω rel c+b b ω 2 = ω1 ω3 cω1 I c · ω rel b ω 2 II III ω2 = ωrel c+b b c d e f
  • :Shembull: Te caktohet Momenti ne prerjen t - t H=10(kN) C t 3,0 t B 3,0 A 4,0 4,0 2,0 2,0
  • 2 4 x 2 = 2,0H=10(kN) 1,2 y 6 y x II II 4 4−x 1,5 2,3 = I 3 y I 1,5 M III 3 3 III 4 y = 2, x= 3 3,0 1 1 6ϕ1 = 2ϕ 2 , 3ϕ1 = ϕ 2 3,5ϕ 2 = 1,5ϕ3 10 ,5ϕ1 = 1,5ϕ 3 ϕ3 = 7ϕ1 δA =0 H ⋅ 6 δϕ1 + Mδϕ 2 + Mδϕ 3 = 0 H ⋅ 6 δϕ1 + 3 Mδϕ1 + 7 Mδϕ1 = 0 −6H M= = −6.0 kNm 10
  • Shembull: Te caktohet Forca aksiale ne prerjen t - t P = 10 N t M = 12 N t2m 2m 1m 1m 1m
  • ϕI = 3 −6 ϕ II = ϕ III = =8 −2 3dW = −10 ⋅ N t −t − 6 ⋅ P + ϕ III ⋅ M = 0 − 10 ⋅ N t −t − 60 − 24 = 0 N N N t −t = −3.6 P MEHANIKA 2 PREDAVANJE 7, 2008./09.