Este documento presenta un modelo matemático de un péndulo invertido montado en un carro. Se obtienen ecuaciones que describen el movimiento rotacional de la barra del péndulo, el movimiento horizontal y vertical de su centro de gravedad, y el movimiento horizontal del carro. Las ecuaciones (8) y (9) constituyen el modelo matemático del sistema y pueden usarse para analizar la variable de estado y función de transferencia.

1. Universidad
Polit´ecnica de
Victoria
Modelado
Matem´atico
Mec´anico Universidad Polit´ecnica de Victoria
Teor´ıa de control
Modelado Matem´atico Mec´anico
Jes´us Alberto Herrera Galv´an
Jes´us Alejandro Smiller Sanchez
Carlos Ru´ız Flores
Septiembre 2015

2. Universidad
Polit´ecnica de
Victoria
Modelado
Matem´atico
Mec´anico
Un p´endulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la Figura (a). Este es un
modelo del control de posici´on de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del
problema del control de posici´on es conservar el propulsor primario espacial en una posici´on vertical.) El
p´endulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier direcci´on, a menos
que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aqu´ı se considera s´olo un problema en dos
dimensiones, en el cual el p´endulo s´olo se mueve en el plano de la p´agina. Se aplica al carro la fuerza de
control u. Sup´ongase que el centro de gravedad de la barra del p´endulo est´a en su centro geom´etrico.
Obt´engase un modelo matem´atico para este sistema.

3. Universidad
Polit´ecnica de
Victoria
Modelado
Matem´atico
Mec´anico
Un p´endulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la Figura (a). Este es un
modelo del control de posici´on de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del
problema del control de posici´on es conservar el propulsor primario espacial en una posici´on vertical.) El
p´endulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier direcci´on, a menos
que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aqu´ı se considera s´olo un problema en dos
dimensiones, en el cual el p´endulo s´olo se mueve en el plano de la p´agina. Se aplica al carro la fuerza de
control u. Sup´ongase que el centro de gravedad de la barra del p´endulo est´a en su centro geom´etrico.
Obt´engase un modelo matem´atico para este sistema.

4. Universidad
Polit´ecnica de
Victoria
Modelado
Matem´atico
Mec´anico
Un p´endulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la Figura (a). Este es un
modelo del control de posici´on de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del
problema del control de posici´on es conservar el propulsor primario espacial en una posici´on vertical.) El
p´endulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier direcci´on, a menos
que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aqu´ı se considera s´olo un problema en dos
dimensiones, en el cual el p´endulo s´olo se mueve en el plano de la p´agina. Se aplica al carro la fuerza de
control u. Sup´ongase que el centro de gravedad de la barra del p´endulo est´a en su centro geom´etrico.
Obt´engase un modelo matem´atico para este sistema.
Sea θ el ´angulo de la barra respecto de la l´ınea vertical. Sean adem´as las coordenadas (x, y) del centro de
gravedad de la barra del p´endulo (xG , yG ). De este modo:
xG = x + sin(θ)
yG = l cos(θ)

5. Universidad
Polit´ecnica de
Victoria
Modelado
Matem´atico
Mec´anico
Para obtener las ecuaciones de movimiento para el sistema, consid´erese el diagrama de cuerpo libre que
aparece en la Figura (b). El movimiento rotacional de la barra del p´endulo alrededor de su centro de
gravedad se describe mediante la siguiente ecuaci´on ala cual llamaremos ecuaci´on (1) donde I es el
momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gravedad:
I ¨θ = Vl sin(θ) − Hl cos(θ) (1)
El movimiento horizontal del centro de gravedad de la barra del p´endulo se obtiene mediante:
m
d2
dt2
(x + l sin(θ)) = H (2)
El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del p´endulo es:
m
d2
dt2
(l cos(θ)) = V − mg (3)
El movimiento horizontal del carro se describe mediante:
M
d2
x
dt2
= u − H (4)

6. Universidad
Polit´ecnica de
Victoria
Modelado
Matem´atico
Mec´anico
Como se debe mantener el p´endulo invertido en posici´on vertical y se busca que no exista ning´un
movimiento angular en el mismo, podemos suponer que las funciones trigonom´etricas (mostradas al
principio) son iguales a cero, entonces:
sin(0) = 0 = θ
cos(0) = 1
Donde el Coseno de 0 es igual a 1 y el Seno de de 0 es igual 0 igual a θ.
Una vez obtenido este resultado se procede a sustituir en las ecuaciones (1), (2) y (3) quedando de la
siguiente forma:
I ¨θ = Vlθ − Hl (5)
*Como se dijo anteriormente, en la ecuaci´on (5) se sustituyen los valores de las funciones, as´ı se prosigue
con las dem´as*.
m d2x
dt2 + m d2
dt2 (lθ) = H
m(¨x + l ¨θ) = H (6)
*En la ecuaci´on (6) se obtiene factor com´un y se cambia la notaci´on de la derivada.*
m d2l
dt2 = V − mg
0 = V − mg
V = mg (7)
*En la ecuaci´on (7) se obtiene 0 = V − mg debido que la derivada de una constante es igual a 0.*

7. Universidad
Polit´ecnica de
Victoria
Modelado
Matem´atico
Mec´anico
Un vez obtenido las nuevas ecuaciones (5), (6), (7) se procede a sustituir t´erminos de la ecuaci´on (6) en
la ecuaci´on (4) que queda de la siguiente forma:
M d2x
dt2 = u − m(¨x + l ¨θ)
m(¨x + l ¨θ) + M d2x
dt2 = u
m(¨x + l ¨θ) + M¨x = u
M + m(¨x + l ¨θ) (8)
*Ya sustituida la ecuaci´on, se despeja y posteriormente se busca un factor com´un para simplificar
terminos.*
Ahora se sustituir´an t´erminos de las ecuaciones (6) y (7) en la ecuaci´on (5) y tendr´a la siguiente forma:
I ¨θ = Vlθ − Hl
I ¨θ = mglθ − ml(¨x + l ¨θ)
I ¨θ = mglθ − ml ¨x + ml2 ¨θ
ml ¨x + ml2 ¨θ + I ¨θ = mglθ
¨θ(I + ml
2
) + ml ¨x = mglθ (9)
*Se sustituyen t´erminos y posteriormente se despeja la ecuaci´on para despu´es ordenarla*
A partir de aqu´ı se puede decir que las ecuaciones (8) y (9) describen el movimiento del sistema del
p´endulo invertido en el carro. Constituyen un modelo matem´atico del sistema y con de ellas se puede
seguir su an´alisis en variables de estado y funci´on de transferencia.

8. Universidad
Polit´ecnica de
Victoria
Modelado
Matem´atico
Mec´anico
Problema extraido del libro:
INGENIER´IA DE CONTROL MODERNA
Katsuhiko Ogata
5ta. Edici´on
PEARSON EDUCACI´ON, S.A., Madrid, 2010
Ejemplo 3 pagina 68.