Breve descripción de las tres primeras funciones Hiperbólicas

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Electrotecnia y Computación Ingeniería en Computación TEMA: FUNCIONES HIPERBOLICAS Integrantes: David Antonio Cortez González Kiara Fabiola Masis Chavarría Fernando Alberto Tinoco c. Grupo: 1M2-CO Grupo del trabajo: K-F-D Fecha: 29 de Septiembre del 2010

2. Comprender las caracterìsticas y propiedades de las funciones hiperbòlicas, asi como realizar ejercicios de èstas. Dar a conocer la aplicaciòn de las funciones hiperbòlicas en el mundo real. OBJETIVOS

3. INTRODUCCION La primera persona que público un estudio inteligible sobre las funciones Hiperbólicas fue Johann HeinrichLambert(1728-1777), un matemático suizo-germano y colega de Euler.El nombre de función hiperbólica, surgió de comparar el área de una región semicircular, con el área de una región limitada por una hipérbola. En esta ocasiòn hablaremos sobre las funciones Seno Hiperbòlico, Coseno Hiperbólico y Tangente Hiperbólica, como se grafican y su aplicación en la vida real.

4. En las ecuaciones hiperbólicas , se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue:La función f: [R![R, definida por:· f(x) = senh x = , x " R, se denomina función seno hiperbólico.· f(x) = cosh x = , x " R, se denomina función coseno hiperbólico.· f(x) = tgh x = , x " R, se llama función tangente hiperbólico. FUNCION HIPERBOLICA

5. DEMOSTRACION Al construir una circunferencia trigonométrica (radio1), como en la figura 1, se pueden obtener las funciones circulares, siendo un caso especial las funciones trigonométricas. La ecuación de una circunferencia de radio 1 (y centro en el origen) es x2 + y2 = 1 y la ecuación de una hipérbola equilátera de radio 1 (y centro el origen) es x2 - y2 = 1. Como se puede observar, ambas son muy parecidas, por lo que se definieron las funciones hiperbólicas: Seno hiperbólico: Sh(x) = BC/OA Coseno hiperbólico: Ch(x) = OB/OA Tangente hiperbólica: Th(x) = BC/OB De la misma manera que en el caso de las funciones trigonométricas habituales, el área sombreada de la hipérbola que se corresponde con un ángulo 2 tomando OA como la unidad, es . Llamemos x al área del sector de ángulo 2 (que hemos visto es igual a ). Entonces el sh = sh x = BC, ch = ch x = OB, th = th x = AD

6. GRAFICANDO LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

7. SENOHIPERBOLICO

8. COSENOHIPERBOLICO

9. TANGENTEHIPERBOLICA

10. cosh²x - senh²x = 1 sech²x + tgh²x = 1 cotgh²x - cosch²x = 1 senh (x ± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y senh (2x) = 2 senh x cosh x cosh (2x) = cosh²h + senh²x senh a + senh b = 2 senh cosh a + cosh b = 2 cosh 2senh² = cosh x - 1 2cosh² = cosh x + 1 (senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh (nx) , (Fórmula de Moivre) PROPIEDADES

11. Máquina de Cadenas Colgantes,Catenaria y Parábola. APLICACIÓN

12. 1) Breve descripción del Modelo: Se trata de tablas verticales sobre las que se hacen pender cadenas de densidad de masa proporcional a la longitud de arco (cadena común) y otras de densidad de masa proporcional a la coordenada horizontal (cadena que se ensancha y adelgaza). Toda cadena común colgante entre puntos cualesquiera de la tabla, describe una curva catenaria. La cadena colgante de densidad de masa constante horizontal describe una parábola. 2)Conceptos Matemáticos en juego: Catenaria longitud de arco parábola densidad lineal de masa 3)Guía de Uso Específica del Modelo: Qué y Cómo hay que mover o realizar. Enlas parábolas sólo se observa. En las catenarias se prueban las coincidencias con las funciones trazadas. Qué hay que observar. Las funciones trazadas y sus coincidencias. Qué precauciones se deben tener. No tirar de las cadenas de las funciones parábolas. 4)Breves referencias teórico-técnicas: En el caso de la catenaria por longitud de arco de cadena hay la misma cantidad de masa, pues la cadena es uniforme. Cada tramo horizontal en la parábola tiene la misma masa. Por lo que la cadena debe ensancharse o angostarse, ya que hay más o menos longitud de arco (de cadena) por tramo horizontal.

13. CONCLUSIONES Podemos decir que las funciones hiperbòlicasseno,coseno y tangente tienen una aplicación matemàtica importante en la construccion, arquitectura e ingenierìasapliacadas al mundo real las cuales podemos notar en cada forma de la naturaleza y las construcciones hechas por la mano del hombre.