Este relatório fornece um resumo dos 111 projetos de matemática do 6o ao 9o ano submetidos para o Prêmio Victor Civita de 2011. Apresenta estatísticas sobre os professores participantes, temas abordados e critérios usados para seleção. Dois projetos se destacaram por abordar temas relevantes como estatística e educação financeira de forma a articular diversos conceitos matemáticos.

1. 1
Prêmio Victor Civita 2011
Educador Nota 10
Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo
Relatório final de Matemática – 6° ao 9° ano
Este relatório tem por objetivo apresentar o panorama geral dos 111
trabalhos de Matemática desenvolvidos com alunos do 6° ao 9° ano do
Ensino Fundamental que foram inscritos para o prêmio Victor Civita 2011.
Para tanto, apresenta-se inicialmente um levantamento quantitativo sobre o
perfil dos professores inscritos (regiões e estados em que atuam, idade,
formação acadêmica), idade dos professores, temas abordados (números,
álgebra, geometria, medidas, tratamento da informação) e categorias das
escolas (pública, privada ou filantrópica; rural ou urbana). Após essas
informações, são expostos os critérios utilizados para a seleção dos
trabalhos de Matemática que foram indicados para compor a lista dos
cinquenta melhores. A segunda parte deste relatório trata de uma análise
qualitativa, onde são destacadas características específicas dos trabalhos de
Matemática que compuseram a lista dos cinquenta melhores. Além disso,
são discutidos os dois trabalhos de Matemática, cujos professores ganharam
o prêmio Educador nota 10.
1. Quadro geral dos trabalhos analisados
Do total de trabalhos inscritos para o Ensino fundamental II, 62% foram
desenvolvidas por professoras. Relativamente ao ano de 2010, houve
aumento significativo da participação de professores do sexo masculino: de
29% para 39%.

2. 2
Sexo
39%
feminino
masculino
61%
No tocante à idade pode-se afirmar que houve um expressivo número de
candidatos que no momento da inscrição tinham 35 anos ou menos: 36%.
Outro número bastante significativo foi o dos professores com 50 anos ou
mais: 19%, aproximadamente. É bastante interessante verificar que muitos
professores, próximos da aposentadoria, parecem não ter uma atitude de
descrença e amargura em relação à docência, esperando apenas o tempo
passar, mostrando serem sim muito propositivos para implementar
mudanças e inovações. O gráfico a seguir apresenta esses índices,
atestando que o prêmio Educador nota 10 atrai professores de todas as
faixas de idade.
Idade dos participantes
19%
35 anos ou menos
mais de 35 anos e menos de
45% 50
50 anos ou mais
36%
Os dois gráficos a seguir mostram as distribuições dos trabalhos segundo a
categoria da escola em que atua o professor inscrito (pública, privada,
filantrópica) e a respectiva localização (urbana ou rural). Em relação aos
dados de 2010, os índices de 2011 indicam que não houve variação
significativa.

3. 3
Categoria da escola
13%
4%
Pública
Privada
Filantrópica
83%
Localização
10%
zona urbana
zona rural
90%
Em relação à formação acadêmica dos professores, os índices de 2011
também foram muito próximos aos de 2010. A grande maioria dos
professores que se inscreveram neste ano tem curso superior completo:
apenas 7 entre 111 professores (6%) declararam que ainda não haviam
completado a graduação em nível superior, ao passo que no anterior esse
índice era de 7%. Dos professores que têm curso superior completo, um
número bastante razoável concluiu cursos de pós-graduação:
especialização, aperfeiçoamento ou extensão. O gráfico a seguir mostra a
formação acadêmica dos participantes.

4. 4
Formação acadêmica dos professores
39%
Pós-Graduação
Superior completo, apenas
Superior incompleto
6%
55%
Cabe ressaltar que a maioria dos trabalhos inscritos é da região Sudeste,
com destaque para os estados de São Paulo (20 trabalhos) e de Minas
Gerais (17). A região Sul aparece em segundo lugar, com destaque para
Santa Catarina (10). A seguir, vem a região Nordeste cujo destaque é o
estado do Ceará (7). Depois, vem a Centro-Oeste, com destaque para Goiás
(5) e, finalmente, a região Norte, cujo destaque é o Pará (4).
Os índices percentuais de cada região constam no gráfico a seguir.
Distribuição por região
21%
19%
Sudeste
Sul
Nordeste
Centro_Oeste
13% Norte
39%
8%
Embora diversos projetos (18%) não tenha um foco claramente delineado,
na maioria dos projetos (82%) foi possível identificar os objetos
matemáticos que se queria ensinar. O gráfico a seguir mostra a distribuição
dos grandes blocos de conteúdo (Números; Álgebra; Geometria e Medidas;
Tratamento da Informação) que foram objetos de estudo.

5. 5
Temas
18%
30%
Geometria/Medidas
Números
9%
Álgebra
Tratamento da Informação
Jogos
11% Outros
22%
10%
Outro aspecto bastante positivo que se pode observar nesse gráfico é o
grande número de projetos envolvendo assuntos relativos à Geometria e
Medidas.
2. Critérios não-classificatórios e classificatórios
Em 2011, tal como ocorreu no ano passado, os professores elaboraram e
desenvolveram situações de aprendizagem tendo em vista a articulação de
conteúdos dos diferentes campos da Matemática (números, álgebra,
geometria, medidas e tratamento da informação) – um pressuposto que, a
princípio, pode ser considerado apropriado. Provavelmente, esses
professores buscaram a intradisciplinaridade (“interdisciplinaridade interna”)
da Matemática, fazendo conexões entre os diversos temas.
No entanto, os docentes devem ter em vista que, apesar da importância
dessa articulação, os projetos devem ter como foco a aprendizagem de
conceitos e/ou procedimentos relativos a um determinado bloco de
conteúdos e previstos no currículo do ano escolar em questão.
Reitera-se também que em diversos projetos inscritos em 2011 não havia
clareza a respeito de seus objetivos – não havia um tema específico. Outros
projetos indicavam apenas objetivos gerais e, ainda assim, bastante
amplos: “desenvolver o raciocínio”; “preparar para vida”; “formar o
cidadão”.
Os objetivos de um dado projeto devem ser, evidentemente, factíveis para
o tempo previsto e, evidentemente, não podem indicar uma tarefa muito

6. 6
ampla. É necessário que o professor considere que a principal finalidade de
um projeto – pelo menos para os que são submetidos à premiação da
Fundação Victor Civita – é a de fornecer condições efetivas para que haja
aprendizagem significativa de noções e/ou procedimentos matemáticos
previstos no currículo.
Assim, antes de mais nada, um projeto deve necessariamente oferecer ricos
contextos para que os alunos possam dar significado àquilo que está sendo
ensinado. Nessa perspectiva, os professores devem levar em conta a
potencialidade das situações propostas e dos materiais educativos: enfim
um bom projeto deve conter uma sequência didática adequada para um
grupo de alunos de um dado ano escolar – uma sequência para ensinar e
aprender determinado conteúdo ou procedimento matemático.
Assim, além da falta de clareza dos objetivos, de definição ou de não-
adequação dos conteúdos matemáticos (dispersão, excesso, assuntos não
previstos para a série) houve outros critérios que foram fundamentais para
a não classificação de projetos: falta de detalhamento das etapas da
sequência; não realização de sondagens para identificar os conhecimentos
prévios dos estudantes; ausência da proposta de problematização para
iniciar um assunto; ausência de sistematização das noções abordadas;
concepção espontaneísta do processo de aprendizagem; a não possibilidade
de troca entre os alunos; concepção redutora de avaliação; uso do tempo
na sala de aula de forma inadequada como a construção de materiais
didáticos (deveria ser feito no contra-turno) etc.
Neste ano, a falta de detalhamento das etapas foi um problema recorrente
em muitos trabalhos. Havia projetos com apenas a descrição das atividades,
sem a indicação de como foram desenvolvidas e do momento em que as
noções foram sistematizadas. Em outros, havia uma descrição da forma
como foram desenvolvidas, mas não havia indicações do que foi ensinado.
Ou seja, o professor apresentava os procedimentos metodológicos adotados
– como a identificação dos conhecimentos prévios dos alunos ou as
justificativas dos encaminhamentos feitos – mas não indicaram,
minimamente, as atividades desenvolvidas, o nível de aprofundamento etc.

7. 7
Além disso, não basta conceber e desenvolver um bom trabalho para ele ser
classificado; o professor deverá saber justificar e registrar seu projeto de
forma clara para que os selecionadores possam compreendê-lo. Ou seja, é
necessário saber comunicar!
A seguir, apresentam-se uma síntese dessas considerações e outros
critérios que foram utilizados para não-classificação de projetos de
matemática. Cabe ressaltar que esses critérios foram utilizados no ano
anterior:
ü Adesão a um projeto interdisciplinar sem uma necessária reflexão
sobre os contextos por ele proporcionados: esse projeto é adequado
para o tratamento didático dos conteúdos matemáticos que se quer
desenvolver?
ü Concepção redutora do processo de ensino e aprendizagem de
Matemática: enfatiza-se mais os procedimentos e se dá menor
atenção aos conceitos e às aplicações, por exemplo.
ü A descrição do projeto não permite identificar ou analisar os
conteúdos matemáticos (noções e procedimentos) desenvolvidos.
ü Sequências e situações meramente transcritas de livros didáticos, ou
de dissertações e teses.
ü A proposição de uma sequência de jogos sem a problematização
necessária ou sem a vinculação direta de conteúdos matemáticos.
ü Ausência de indicadores de avaliação dos alunos.
ü Apresentação de uma sequência de atividades desconexa e
inconsistente ainda que as atividades sejam isoladamente
interessantes – reunião, por exemplo, em um só projeto de
atividades e/ou de materiais que o professor julga interessantes sem
se ater à pertinência desses aos objetivos enunciados.
ü O projeto apresenta erros conceituais: em geometria, por exemplo,
encontraram-se erros conceituais em relação às definições de objetos
geométricos e às respectivas propriedades.

8. 8
Para a pré-seleção dos projetos que poderiam ser classificados para os
cinquenta melhores do prêmio VC 2011 também foram utilizadas as
seguintes questões:
ü O projeto apresenta certo grau de originalidade ou é uma mera e
simples reprodução de sequências didáticas já aplicadas?
ü São problematizadas questões desafiadoras para os alunos? O projeto
procura envolver todos os alunos ou apenas é destinado para os mais
preparados da sala?
ü O tema é socialmente relevante e/ou ou necessário para desenvolver
competências e habilidades cognitivas? Trata-se de conteúdo
curricular?
ü O projeto trata de um conteúdo difícil de ser ensinado, mas a
proposta intencional do professor cria a possibilidade de levantar
hipóteses e fazer conjecturas a respeito de um problema
significativo?
ü Contextualização dos conteúdos propostos no projeto relaciona os
conhecimentos matemáticos que os alunos já têm sobre o assunto e
se propõe a algo mais do que simplesmente identificá-los? As
atividades previstas levam em conta os conhecimentos prévios dos
alunos?
ü O projeto tem em vista o desenvolvimento de atitudes dos alunos
como a utilização dos conhecimentos matemáticos para a
compreensão da realidade? O projeto visa o desenvolvimento da
capacidade de investigação e da perseverança do aluno na busca de
solução para um problema?
ü O trabalho valoriza ou utiliza as tecnologias no processo de ensino e
aprendizagem de Matemática? As tecnologias indicadas no projeto
estão de fato a serviço desse processo?
ü Há sistematização dos resultados de forma consistente buscando
avaliar o alcance do projeto para aquela faixa etária?

9. 9
3. Projetos selecionados para a lista dos 50 finalistas
Apresenta-se a seguir os dois projetos de Matemática do Ensino
Fundamental II que foram pré-selecionados para a lista geral dos cinquenta
melhores projetos do prêmio Victor Civita 2011. Cabe ressaltar que os
professores desses projetos foram entrevistados por telefone e enviaram
produções dos alunos, fotos e vídeos das aulas.
Título do trabalho: Estatística e Educação Financeira
Professor/Gestor: David Gouveia Alves
Cidade: Brasília - DF
O projeto tem por objetivo a aplicação de um conjunto de situações-
problema para alunos de 8ª série com vistas a um trabalho sobre Educação
Financeira retomando e aplicando noções elementares de Estatística e de
proporcionalidade (regras de três, porcentagem e juros simples).
Os dois temas abordados são relevantes. Além disso, o aluno tem contato
com diferentes registros e textos matemáticos. Esses dois temas articulam
diversos conteúdos relativos ao bloco Números e Operações.
No entanto, o professor não explicita claramente os conteúdos que quer
ensinar. Em verdade, a finalidade de seu projeto é iniciar um trabalho sobre
a Educação Financeira. Para tanto, o aluno deveria utilizar noções e
procedimentos matemáticos. Ou seja, o contexto utilizado é para aplicar
(rever) as noções já trabalhadas, mas que os alunos ainda não dominam
com vistas ao desenvolvimento de conceitos da Educação Financeira. Ou
seja, os conteúdos matemáticos estabelecidos no projeto fornecem
instrumentos necessários para obter e organizar as informações, interpretá-
las, fazer cálculos e, desse modo, produzir argumentos para fundamentar
conclusões sobre elas. Apesar de essa perspectiva ser válida é esperado
também que os professores de Matemática proponham questões práticas
que forneçam os contextos que possibilitam explorar de modo significativo
novos conceitos e procedimentos matemáticos. Assim, os problemas devem
permear toda a atividade matemática para desenvolver um conceito: antes
(o contexto), durante e depois (aplicação do conceito).

10. 10
O projeto proporcionou contextos para retomar os conteúdos que ele julgou
necessários segundo o diagnóstico realizado pelo professor. No entanto, o
professor declara no início do projeto que seus alunos iriam aprender
estatística utilizando-se de gráficos financeiros – o que não ocorreu: seu
investimento foi na compreensão de termos usados na Matemática
financeira. Provavelmente ele deverá trabalhar a Estatística em momento
posterior.
O professor delineou bem as tarefas. Segundo os relatos, os alunos se
aplicaram para realizar as tarefas solicitadas.
O trabalho foi realizado em grupos e gerou debates a respeito do significado
e valor do dinheiro na vida das pessoas. Os alunos se envolveram quando
pesquisaram sobre as variações dos preços da Cesta Básica.
O professor informa que sua satisfação foi muito grande, pois transformou
suas aulas em um espaço de pesquisa.
O professor poderia, além de explicitar com clareza objetivos e conteúdos
(da serie em questão), incluir novos conteúdos como a construção de
gráficos: setores; barras e colunas. O professor poderia também procurar a
utilização de novas tecnologias como o uso de planilhas eletrônicas.
Este trabalho tem algum diferencial, pois cada grupo de alunos teve a
oportunidade de administrar a vida financeira de uma família hipotética. O
coordenador do grupo recebia as informações por e-mail da família para que
os alunos discutissem os gastos e as aplicações financeiras a serem feitos.

11. 11
Título do trabalho: A matemática da fotografia
Professor: Marcel Messias Gonçalves
Cidade: Nova Andradina – MS
O projeto tem por objetivo a aprendizagem da noção de semelhança de
triângulos por alunos do 9º ano (8ª série). Para tanto ele utiliza como
estratégia a máquina fotográfica. Os alunos construíram com sucata uma
máquina fotográfica e puderam comprovar conhecimentos sobre óptica e a
semelhança de triângulos.
O conceito de semelhança de figuras, sobretudo a de triângulos, é de
fundamental importância não apenas na perspectiva de aprender mais
Matemática, mas pela vasta utilização desse conhecimento no cotidiano e
em outras áreas do saber, a Física, por exemplo. A máquina fotográfica é
um conceito potencialmente rico para desenvolver essa importante noção.
Os conteúdos matemáticos envolvidos são pertinentes tendo em vista o
diagnóstico feito pelo professor.
Apesar de o professor não explicitar as expectativas de aprendizagem ao
iniciar o projeto, pode-se inferir pela sua narrativa que os alunos
aprenderam a:
Ø comparar dois triângulos, informando se são ou não semelhantes;
Ø aplicar a noção de semelhança para resolver problemas.
Cabe destacar que houve compatibilidade entre objetivos e conteúdos. No
entanto, o professor não retoma o problema inicial – o do diagnóstico.
O professor valorizou a interação entre os alunos como fator de
aprendizagem, pois o trabalho foi realizado em grupos e gerou debates a
respeito da construção da máquina fotográfica e dos conceitos envolvidos.
O professor declara que teve de pesquisar bastante para elaborar as
atividades. No decorrer da entrevista ela reconhece que poderia ter
aproveitado a oportunidade para desenvolver a noção de semelhança de
quadriláteros e não apenas a de triângulos.

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O projeto poderia ter incluído o trabalho com a noção de semelhança de
quadriláteros e não apenas a de triângulos. Poderiam ter sido propostas
atividades mais diversificadas. Faltou um trabalho com as homotetias para
ampliar a noção de semelhança.
Este trabalho tem algum diferencial, pois houve a aplicação da noção de
semelhança em uma situação controlada pelo aluno (altura da imagem do
objeto em sua câmara escura “máquina fotográfica”).
4. Projetos Vencedores; Educador nota 10
Os projetos apresentados a seguir foram escolhidos entre os professores de
Matemática do Ensino Fundamental II para compor o grupo dos dez
professores nota 10.
4.1 Espelhos e caleidoscópios: investigações matemáticas sobre
simetrias
Professor: Edson Thó Rodrigues
Cidade/UF: João Pessoa/PB
Série/Ano: 8ª/9º ano
1. Apresentação
O projeto tinha por objetivo o desenvolvimento de um conjunto de
atividades investigativas em duas turmas de 8ª série com vistas à
aprendizagem de noções relativas às simetrias: simetria axial e
simetria rotacional. Além disso, as atividades tiveram como objetivo a
identificação dos polígonos regulares que podem ser usados para
pavimentar o plano, utilizando a noção de simetria, por meio de dois
espelhos planos (os ângulos entre os espelhos variaram: 30º, 45º, 60º,
90º). Para tanto, foram disponibilizados espelhos planos, polígonos
confeccionados em cartolina guache, caleidoscópios etc. Após terem
realizado as investigações solicitadas, os alunos preencheram
“relatórios”, respondendo às questões propostas e, deste modo,
puderam sistematizar as conclusões do grupo.

13. 13
Trata-se de um projeto que procura dar significado a um conteúdo
curricular: simetrias. O professor utiliza como estratégia espelhos e
caleidoscópios para que o aluno construa essa noção. Os alunos fazem
investigações, discutem e o professor as sistematiza. O professor
procura dar significado àquilo que ensina.
Outro aspecto importante: os conteúdos a serem ensinados é que
definiram o projeto e não o contrário como acontece muitas vezes –
concebe-se um projeto e depois é que se pensa nos conteúdos a serem
ensinados.
Cabe destacar que o professor desenvolveu a maior parte das atividades
no âmbito de suas aulas.
O professor tinha como objetivo ensinar conteúdos relativos às
simetrias. O ponto de partida do projeto foi a aplicação de um pré-teste,
em duas turmas de 9° ano do Ensino Fundamental, para verificar os
conhecimentos prévios que os alunos tinham sobre reconhecimento de
figuras geométricas planas (a nomenclatura), seus elementos e
propriedades. As devidas intervenções pedagógicas foram feitas
posteriormente, ao longo do desenvolvimento das atividades. Depois foi
feito um pós-teste, que mostrou evolução de aprendizado.
O professor tinha como expectativa de aprendizagem o desenvolvimento
do pensamento geométrico, por meio da exploração de situações de
aprendizagem que levassem o aluno a resolver situações-problema que
envolvesse figuras geométricas planas, utilizando procedimentos
relativos à transformação de figuras no plano, identificando a figura
simétrica a uma outra dada por meio de reflexão em reta (simetria
axial). Os alunos aprenderam a identificar:
Ø eixos de simetria de figuras, incluindo diversos polígonos (regulares,
não regulares, convexos e não-convexos), círculos e circunferências;
Ø e/ou construir as figuras simétricas a uma outra dada por meio de
reflexões em retas;
Ø polígonos regulares que podem pavimentar o plano.

14. 14
2. Desenvolvimento passo-a-passo
O ponto de partida do projeto foi a aplicação de um pré-teste, em duas
turmas de 9° ano do Ensino Fundamental, baseado no modelo de Van Hiele
para verificar os conhecimentos prévios que os alunos tinham sobre a
identificação de figuras geométricas planas, seus elementos e propriedades.
Assim, o professor identifica os conhecimentos prévios dos alunos e suas
defasagens.
Eixos de simetria: a atividade: “o outro lado do espelho” foi,
efetivamente, o primeiro conjunto de investigações matemáticas a ser
desenvolvido (em grupos), e foi realizado em duas aulas. Para concluir a
atividade 1, os alunos deveriam elaborar os conceitos de “eixo de simetria”
e de “transformação de reflexão”. Foram propostas 4 “experiências”, todas
bem elaboradas.
Na experiência 1, os alunos receberam dez figuras geométricas planas
diferentes com formas de: 1 – pentágono; 2 – paralelogramo; 3 –
retângulo; 4 – quadrado; 5 – hexágono; 6 – losango; 7- triângulo
equilátero; 8 – triângulo escaleno; 9 – trapézio e 10 – círculo
(confeccionadas em cartolina guache) e um espelho plano. Em cada figura
foi desenhada uma linha tracejada. Os alunos deveriam colocar o espelho
plano (verticalmente) sobre a linha tracejada de cada figura geométrica
dada, com o objetivo de verificar se essa linha era ou não um eixo de
simetria. Em seguida deveriam responder as seguintes perguntas: “Em
quais figuras a linha tracejada é um eixo de simetria?” e “Em quais figuras a
linha tracejada não é um eixo de simetria?”
Na experiência 2, ainda com o auxílio de um espelho plano, os alunos
deveriam descobrir a quantidade de eixos de simetria das dez figuras dadas
na experiência 1. Em seguida, responder as seguintes questões: “Como são
chamadas as figuras que não têm nenhum eixo de simetria?” e “Qual o
nome da figura geométrica plana que têm infinitos eixos de simetria?”
Na experiência 3, os alunos utilizaram imagens de rostos de pessoas, de
animais, de objetos (recortes de revistas) e um espelho plano. Com relação
à imagem de rosto, esta deveria ser dobrada para fora na direção da linha
de simetria (que passa pelo nariz e pelo meio da boca), depois essa linha da

15. 15
dobra seria encostada em um espelho plano disposto de forma
perpendicular para as devidas observações das imagens formadas,
diferenciando imagens reais das virtuais, tendo como finalidade construir o
conceito de simetria de reflexão. Em seguida, os grupos de alunos deveriam
responder às seguintes questões: “A imagem do rosto formada pelo espelho
é igual ou diferente da imagem real?” e “Qual é o tipo de simetria obtida
nessas observações?”
Imagens em dois espelhos paralelos: A atividade denominada “espelhos
paralelos e o infinito” foi também desenvolvida (em grupos), em duas aulas,
com apenas duas experiências. Na experiência 1, os alunos usaram dois
espelhos planos, dispostos em paralelo e pequenos objetos colocados entre
eles. As imagens geradas deveriam ser observadas para responder as
seguintes perguntas: “Quantas são as imagens desse objeto?” e “Quais os
tipos de isometrias (simetrias) obtidas?” Na experiência 2, os alunos
analisaram a simetria presente em letras e palavras colocadas
paralelamente ou perpendicularmente entre dois espelhos planos em
paralelo e, em seguida, responderam as seguintes perguntas: “Por que
algumas letras são vistas sempre na mesma posição em todas as
imagens?”; “Por que algumas palavras são vistas sempre na mesma posição
em todas as imagens?” e “Por que certas palavras para serem bem
visualizadas (lidas) em todas as imagens são colocadas entre os espelhos
segundo uma determinada direção?”
Pavimentações do plano, rotações: “O livro de espelhos, polígonos e
eixos de simetria” foi a terceira atividade trabalhada, a qual era composta
de quatro blocos. Em todas foram utilizados os livros de espelhos e outros
materiais concretos como: canudos de refrigerante, regiões triangulares (de
cartolina ou papel cartão), bases substituíveis, tampas e outros objetos.
Com o livro de espelhos obtemos uma sequência de várias imagens que
formam uma nova figura (transformações geométricas). Dois tipos de
isometrias foram estudados: a simetria de reflexão (simetria axial) e a
simetria de rotação, que possui um ponto fixo.
No primeiro bloco de atividades sobre pavimentações foram utilizados
livros de espelhos e canudos de refrigerante. Esses canudos deveriam ser

16. 16
colocados perpendicularmente em relação à bissetriz de cada ângulo obtido
a partir de uma determinada abertura do livro de espelhos para obter
polígonos, com a finalidade de nomear, classificar e estudar seus elementos
e algumas propriedades; e verificar eixos de simetria. E teriam que
responder às seguintes questões exploratórias: “Quais são os polígonos que
você conseguiu formar?”; “É possível formar um triângulo? Se a resposta
for positiva, qual o ângulo de abertura do livro de espelhos?”; “Qual é o
polígono formado para o ângulo de 90º?”; “Qual é o polígono formado para
o ângulo de 60º?”; “Quantos lados tem o polígono formado para o ângulo
de 45º?”; “Quantos lados tem o polígono formado para o ângulo de 30º?”;
“É possível formar um losango? Justifique a sua resposta.” e “Com apenas
um canudo é possível formar um retângulo? Justifique a sua resposta.” No
segundo bloco de atividades os canudos foram substituídos por regiões
triangulares, que deveriam ser colocadas sob as folhas do livro de espelhos
(abertos de acordo com os ângulos solicitados) de modo que apenas um
vértice ficasse voltado para a parte interna do livro de espelhos e os outros
vértices fora da área de reflexão dos espelhos, cujos objetivos eram:
estabelecer diferenças entre polígonos convexos e não convexos; e analisar
as relações entre o número de lados de polígonos, número de pontas
(vértices) e a amplitude dos ângulos. As questões exploratórias nesse bloco
foram: “Quantas pontas tem a figura geométrica formada para o ângulo
60º?”; “Quantas pontas tem a figura geométrica formada para o ângulo
90º?”; “Qual é a relação que existe entre o ângulo formado pelos espelhos e
o número de pontas da figura geométrica formada?”; “Os polígonos
(contornos) nas figuras geométricas obtidas são convexos ou não convexos
(côncavos)?”
No terceiro bloco de atividades, cada grupo de alunos trabalhou as
aberturas dos livros de espelhos de acordo com as diversas bases
substituíveis (90º, 60º e 45º), com o objetivo de reforçar a análise da
relação que existe entre o número de lados de cada polígono resultante e a
amplitude do ângulo de abertura do livro de espelhos. Em seguida,
responderam às seguintes questões exploratórias: “Para cada base
substituível (de 90º, 60º e 45º): a) Quantos lados tem a região poligonal
formada; b) Qual o nome dado ao seu contorno (polígono)?” e “Sem utilizar

17. 17
a base substituível de 30°, diga quantos lados tem o contorno (polígono)
formado para o referido ângulo?”. Esta última foi considerada como um
desafio. No quarto bloco de atividades (último), os alunos colocaram um
objeto (uma tampa) sobre a bissetriz de cada ângulo das diversas bases
substituíveis e verificaram os polígonos formados com base na observação
do número de vértices (objeto e imagens refletidas nos espelhos), tendo
como finalidade analisar as relações entre o número de lados de polígonos e
a amplitude dos ângulos.
Pavimentações do plano: “A beleza das pavimentações nos
caleidoscópios” foi a quarta e última atividade realizada (em grupos),
composta de três blocos e desenvolvida a partir da utilização de livros de
espelhos; de regiões poligonais regulares confeccionadas com
emborrachado EVA; de caleidoscópios formados por um livro de espelhos e
mais um espelho; e, bases substituíveis (triângulos equiláteros). Os
objetivos específicos eram: descobrir polígonos regulares de um só tipo que
pavimentam o plano; e reconhecer figuras simétricas em padrões
geométricos planos.
Cabe considerar que o desenvolvimento do trabalho ocorreu de forma
compatível com os objetivos e conteúdos. O foco do trabalho foi o
desenvolvimento de conteúdos relativos ao tema isometrias no plano
(simetrias). Os conteúdos estão perfeitamente articulados aos objetivos
enunciados. No entanto, não deixa muito claro no projeto o processo de
devolução aos alunos sobre os resultados das atividades realizadas. No
projeto não foram apresentados comentários (apenas na entrevista)
sobre o teor das discussões que ocorreram no decorrer das aulas.
O professor valorizou a interação entre os alunos como fator de
aprendizagem, pois o trabalho foi realizado em grupos de 3 ou 4 alunos.
Este foi um dos pontos fortes do projeto: os alunos deveriam discutir os
resultados obtidos nas investigações, sintetizando no relatório as
conclusões do grupo.
No entanto, o trabalho poderia ter explorado ainda mais as rotações no
plano (simetria rotacional) e as translações. O uso da informática

18. 18
poderia favorecer ainda mais o processo de ensino e de aprendizagem
(há alguns applets e softwares que trabalham as simetrias).
Este trabalho tem como diferencial as estratégias utilizadas. Atividades
de investigação foram bem conduzidas pelo professor, antes da
apresentação dos conteúdos. Para tanto o professor disponibilizou os
materiais necessários. As situações-problema propostas se constituíram
no ponto de partida para a aprendizagem e não apenas o de chegada.

19. 19
4.2 Título do trabalho: Introdução ao Estudo de Medidas de
Superfície
Professora: Célia Maria Ribeiro Batista
Cidade: Joinvile (SC)
Série/Ano: 5ª/6º
Selecionador: Ruy César Pietropaolo
1. Apresentação
O projeto tem por objetivo a aplicação de um conjunto de atividades a
uma turma de 6º ano (5ª série) com vistas à aprendizagem da noção de
área como medida de superfície e a compreensão do significado do m²
como unidade padrão de área. O trabalho da professora apoiou-se em
procedimentos que favoreceram a compreensão das noções envolvidas,
como a obtenção de áreas pela composição e decomposição de figuras
por procedimentos de contagem (ladrilhamento), por estimativas e
aproximações. A professora também tinha como objetivo que o aluno
“visualizasse mentalmente” o tamanho de 1 m². Os alunos fizeram
investigações a respeito de quantas pessoas cabem em 1 m² e
estimaram quantas pessoas caberiam em uma quadra. O aluno verificou
que formas distintas podem ter a mesma área. Transformou, por
exemplo, um quadrado de 1 m² de área em um triângulo de 1 m². O
trabalho, como o próprio nome o diz, é o de apenas introdução ao tema.
A professora fala também sobre perímetro e de polígonos não convexos.
Esse projeto foi premiado porque trata-se de um trabalho desenvolvido
com enorme eficiência. Os alunos fazem experimentações, elaboram
conjecturas que são discutidas posteriormente com a professora. A
relevância justifica-se também, porque é comum encontrar alunos,
mesmo entre os que tenham estudado as medidas, que não
desenvolveram a noção do “tamanho” do metro quadrado; ao perguntar
a esses alunos quantas pessoas podem ficar em pé numa superfície de 1
m², é comum surgirem respostas absurdas como 60, 500, 1.200,
nenhuma etc. Esse fato dificulta a compreensão de diversos conceitos e

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o desenvolvimento de estimativas. Nesse sentido, experiências simples,
como a proposta pela professora – construção de um quadrado de 1m de
lado com papel (jornal) para verificar quantas vezes esse “quadrado”
cabe numa determinada superfície – poderá favorecer o
desenvolvimento da referida noção.
A professora procura dar significado àquilo que ensina. Outro aspecto
importante: os conteúdos a serem ensinados é que definiram o projeto e
não o contrário como acontece muitas vezes – concebe-se um projeto e
depois é que se pensa nos conteúdos a serem ensinados.
A professora desenvolveu a maior parte das atividades no âmbito de
suas aulas. Utilizou espaços alternativos como a quadra de esportes.
Esses espaços foram sim relevantes para o processo: os alunos
determinaram a área da quadra e estimaram quantas pessoas cabiam,
por meio da estimativa sobre quantas pessoas cabem em 1m².
O que a professora queria ensinar?
Ø A professora tinha como objetivo ensinar áreas e medidas –
conteúdos relativos ao tema Grandezas e Medidas. Ou seja, a
professora tinha como expectativa o desenvolvimento da
competência métrica e o desenvolvimento da noção de superfície, por
meio da exploração de situações de aprendizagem que levassem o
aluno a compreender o significado de 1 m² como a área de um
quadrado de 1 metro de lado.
2. Desenvolvimento do projeto passo-a-passo:
Para início de conversa
A professora inicia seu trabalho colocando para a turma as seguintes
questões:
Ø o que é superfície?
Ø o que é área?
Ø o que é o metro quadrado?

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O objetivo da professora era o de identificar os conhecimentos prévios de
seus alunos. Não souberam responder adequadamente às questões.
Construindo o m²: Construção do m² utilizando jornais e revistas.
Professora discute os significados de “superfície” e de “m²”. Cada aluno fez
em seu caderno o registro das conclusões.
Fazendo investigações: A professora organizou a sala colocando as
carteiras nas laterais, e no centro os alunos colocaram os quadrados. A
professora junta alguns quadrados formando retângulos com diferentes
dimensões e questiona a turma sobre quantos m² tinha a superfície
formada com os quadrados. Além disso, pergunta a respeito dos
procedimentos que poderiam usar para saber quantos m² tem uma
superfície retangular sem precisar contar um por um. Depois pede para os
alunos estimarem quantas daquelas superfícies de 1m² caberiam na sala de
aula. Como houve divergências, solicitou que discutissem e que
apresentassem uma forma de estimar quantos m² tem a sala. Os alunos
apresentaram diferentes procedimentos: colocando o m² no chão da sala e
imaginando quantos caberiam na sala; outros disseram que foram
colocando o quadrado nas paredes do comprimento e largura, imaginaram
quantos quadrados caberiam em uma parede e em outra (comprimento e
largura) e dessa forma alguns multiplicaram os quadrados de um lado com
os quadrados do outro lado; outros imaginaram o número de fileiras com a
quantidade de quadrados em cada fileira. A maioria chegou ao resultado
correto, apenas alguns não conseguiram o resultado esperado. Então a
professora realizou uma discussão para que todos compreendessem os
procedimentos utilizados.
Fazendo experimentações: Os alunos em grupo foram orientados a
fazer a decomposição do m² em três triângulos. Depois, a composição das
seguintes formas geométricas: triângulo retângulo isósceles, losango (o
próprio quadrado), retângulo, paralelogramo e o trapézio isósceles –
sempre utilizando as três peças da decomposição.
Questões: refletindo sobre o que aprenderam
Foram propostas as seguintes questões e tarefas para os alunos:

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Ø O que é metro quadrado?
Ø O que é superfície?
Ø O que é área?
Ø Como você pode representar a superfície de 1m²?
Ø Meça as dimensões do seu quarto e calcule sua área.
Ø Calcule o perímetro de seu quarto.
Cálculos – aplicando as noções aprendidas: Em grupos os alunos
forma solicitados a:
Ø Medir comprimentos para se obter as dimensões lineares da quadra de
vôlei;
Ø Obter a área da quadra de vôlei;
Ø Estimar o número de pessoas (alunos) que cabem na quadra;
Ø Indicar um procedimento para contar os tacos na sala de aula sem
contá-los de um em um.
Avaliação: Nesse momento a professora realizou uma avaliação escrita
com questões relacionadas ao diagnóstico do início. Ou seja, sua finalidade
foi verificar a eficácia do projeto, isto é, a aprendizagem dos alunos. As
questões se referiam aos conceitos de superfície, área e m², ao cálculo de
área e ao desenvolvimento da visão (noção) de espaço.
3. Os alunos aprenderam a:
Ø reconhecer a superfície como uma grandeza e área como uma
medida da superfície;
Ø diferenciar área de perímetro: perímetro indica a medida do contorno
de uma superfície ao passo que a área indica a medida do interior da
superfície (região plana);
Ø reconhecer que na decomposição de um quadrado em outros
polígonos, a área é invariante, ao passo que o perímetro não;

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Ø estimar o número de pessoas que cabem em uma dada superfície
conhecida sua área.
Apesar de simples, o trabalho tem um certo nível de originalidade quando a
professora propõe a decomposição do quadrado de 1 m de lado. Ou seja,
por meio dessa proposta os alunos passaram a considerar que 1 m² não é a
medida apenas do interior de um quadrado de 1 m de lado, pois
decompuseram esse quadrado em outras figuras de mesma área. Ela
trabalhou com a questão da reversibilidade do pensamento do aluno.