1. Distributions statistiques à deux dimensions
Section I – Tableau statistique à double entrée :
C'est une représentation des séries à deux caractères X et Y, dans un tableau statistique à deux dimensions, il
s’appelle tableau à double entrées ou tableau de contingence ou tableau de corrélation.
Exemple : L'âge et la taille, Salaire et nombre des employeurs, etc.
I.1- Distribution marginale :
- On a p et q le nombre des modalités où X = (x1, x2, … , xi, … , xp) et Y = (y1, y2, … , yj, … , yq).
 La présentation de X et Y sous forme d'un tableau suivant :
Modalité de Y
Modalité de X
x1
x2
.
.
xi
.
.
xp
n.
j
y1
y2
n1 1
n2 1
n1 2
n2 2
.
. yi
.
.
.
. yq
ni .
n1 .
n2 .
.
.
ni .
.
.
np .
. n1 j
. n2 j
.
.
. n1 q
. n2 q
. ni j
.
. ni q
. np j
. n. j
.
.
. np q
. n. q
.
.
ni 1
ni 2
.
.
.
np 1
n. 1
np 2
n. 2
.
.
Effectif
marginaux
du
caractère X
n
Effectif marginaux du caractère Y
1) Effectifs partiels :
Les effectifs partiels apparaissent à l’intérieur du tableau.
nij : effectif de la population présentant à la fois la modalité i de X et modalité j de Y.
nij : l’indice de X(i) d’abord et de Y(j) ensuite.
- Modalités de Y apparaissent en ligne.
- Modalités de X apparaissent en colonne.
n.j = … ; il y a n.j individus qui ...
2) Fréquence partielles :
f ij 
nij
n
Interprétation :
- fij des individus ont entre BI (Borne inférieur) et BS (Borne supérieur) des X et touche un Y entre BI et BS.
- fij … % des individus qui ont un xi entre … et … et touchent un yj entre … et … .
3) Fréquence conditionnelle :
fi / j 
nij
n j
et
f j /i 
nij
ni
Interprétation :
- fi/j des individus qui touchent Y entre [classe[ sont entre [classe de X[.
fi/j = ... Soit fi/j %
Parmi les individus qui touchent un yj, il y a ...% qui sont à un xi de BI à BS ans.
4) fréquence marginales :
fi. = …. , C'est la fréquence marginale de la classe de xi [BI , BS[ qui correspond à i = ...
Donc fi.% Des individus sont à un xi de BI à moins de BS.
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2. Section II - Les caractéristiques des distributions à deux caractères :
I- Les caractéristiques de distribution marginale :
I.1- Caractère X :
 Moyenne marginale :
x
p
1
 ni. xi
n i1
- x est le xi moyen des individus.
- le moyen de xi des individus qui touchent un yj entre … et … est de … .
- le xi moyen des individus est de … .
 Variance marginale :
V ( x) 
1
p
i1 ni. xi ²  x²
n
 ( x)  V  x 
- V(x) c'est la variance qui mesure la dispersion de xi par rapport à la moyenne des individus.
- σ (x) !! C'est l'écart de xi par rapport à la moyenne des individus.
I.2- Caractère Y :
 Moyenne marginale :
y
1 q
 ni. yi
n i1
- y est le yi moyen des individus.
 Variance marginale :
V ( y) 
1
p
i1 ni. yi ²  y ²
n
 ( y)  V  y 
- V(y) c'est la variance qui mesure la dispersion de yi par rapport à la moyenne des individus.
- σ (y) !! C'est l'écart de yi par rapport à la moyenne des individus.
II- Les caractéristiques de distribution conditionnelle
II.1- de X selon Y:
 Moyenne conditionnelle :
xj 
1
n j

nij  xi ou x j   p f i / j  xi
i 1
i 1
p
- x j est le xi moyen des individus qui ont un yj entre ... et ... .
 Variance conditionnelle :
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3. V j ( x) 
1
n j

p
n  xi ²  x j ²
i 1 ij
 j ( x)  V j ( x)
- Vj(x) c'est la variance qui mesure la dispersion de xi par rapport à la moyenne des individus qui ont un yj entre
... et ... .
- σ j(x) !! C'est l'écart de xi par rapport à la moyenne des individus qui ont un yj entre ... et ... .
II.2- de Y selon X:
 Moyenne conditionnelle :
yi 
1 q
 j1 nij  y j ou yi  qj1 fi / j  y j
ni.
- y i est le yj moyen des individus qui ont un xi entre ... et ... .
 Variance conditionnelle :
Vi ( y ) 
1 q
 nij  y j ²  yi ²
ni. j 1
 i ( y)  Vi ( y)
- Vi(y) c'est la variance qui mesure la dispersion de yi par rapport à la moyenne des individus qui ont un xi entre
... et ... .
- σ i(y) !! C'est l'écart de yi par rapport à la moyenne des individus qui ont un xi entre ... et ... .
III- Relations entre les caractéristiques marginales et conditionnelles :
III.1- Moments simples :
m r,s 
1
i  j nij  x r i  y s j
n..
m1,0 = x
;
m0,1 = y
;
m2,0 = il s'agit du premier terme de la formule développé de V(x).
m0,2 = il s'agit du premier terme de la formule développé de V(y).
III.2- Moments centrées :


r
1
µr,s  i  j nij  xi  x  yi  y
n..

s
III.3- Covariance :
La covariance permet de savoir l'indépendance qui existe entre les deux variables.
- Si Cov > 0 : x et y suivent le même sens.
- Si Cov < 0 : x et y suivent le sens contraire.
- Si Cov = 0 : x et y sont indépendants.
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4. Section III : Étude des liaisons statistiques : régression, ajustement et corrélation :
I- Les courbes de régression :
Cy/x : courbe de régression de y en x => xi*yi.
Cx/y : courbe de régression de x en y => yi*xi.
II- Ajustement linéaire :
• Équation D : y = ax + b
cov( x, y )
V ( x)
a
b = y – ax
• Équation D' : x' = a'y + b'
a 
cov( x, y )
V ( y)
b’ = x – a’ y
III- Corrélation simple :
III.1- Coefficient de corrélation simple :
r
cov( x, y )
 ( x)   ( y )
•r>0
•r<0
•r=0
• -1 =< r =< 1
: x et y varient dans le même sens.
: x et y varient en sens contraire.
: il y a indépendance totale.
: Il y a une forte corrélation linéaire entre x et y.
III.1- Coefficient d'amélioration :
A  1  1  r²
• A > 50 % : Il y a une présomption de corrélation entre deux variables.
• A = 65 % : Il y a une présomption favorable.
• r2 > 0,75 : Il y a une forte corrélation entre deux variables.
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