Matemática Superior Para Ingenieros: Laplace

Pierre Simon Marquéz de Laplace
• Laplace(1749-1827), astrónomo y matemático francés, "el Newton de Francia”.
• Conocido por haber aplicado con éxito la teoría de la gravitación de Newton a los
movimientos planetarios en el Sistema Solar. En 1767 fue profesor de matemáticas en la
Escuela Militar de París y en 1785 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias
Francesa.
• Laplace realizó su trabajo más importante al desarrollar el análisis matemático del
sistema de astronomía gravitacional elaborado por el matemático, físico y astrónomo
británico Isaac Newton.
• Demostró que los movimientos planetarios son estables y que las perturbaciones
producidas por la influencia mutua de los planetas o por cuerpos externos, como los
cometas, solamente son temporales.
• En Mecánica celeste (5 volúmenes, 1799-1825) Laplace sistematizó toda la obra
matemática que se había realizado sobre la gravitación.
• Exposición del sistema del mundo (1796) contiene un resumen de la historia de la
astronomía.
• Trabajó sobre la teoría de la probabilidad en su Teoría analítica de las probabilidades
(1812)
• Ensayo filosófico sobre la probabilidad. (1814).

Transformada de Laplace
Proporciona una
alternativa mas
sistemática para la
investigación de
ecuaciones
diferenciales que el
método propuesto por
heaviside
l{f (t)}= F(s)
l{f (t)} =
-st
e f (t)dt
0
¥
ò

La propiedad de linealidad
Si f(t) y g(t) son funciones que tienen transformadas de Laplace si a y b son
constantes cualesquiera entonces
L af (t)+bg(t){ }= aL f (t){ }+bL g(t){ }
Ejemplo
L 3t + 2
3t
e{ }
= L 3t{ } + L 2
3t
e{ }
= 3L t{ } + 2L
3t
e{ }
=
3
2
s
+
3
s - 3

Primer teorema de traslación
L
at
e f (t){ }= F(s-a)
L
at
e f (t){ }= L
s®s-a
f(t){ }
L f (t){ }=
-st
e f (t)dt = F(s)
0
¥
ò
L
at
e f (t){ }= F(s - a)
L
at
e f (t){ }=
-st
e
at
e f (t)dt
0
¥
ò
=
(-s+a)t
e f (t)dt
0
¥
ò
=
-(s-a)t
e f (t)dt
0
¥
ò

Ejemplos
L
2t
e
3
t{ }
= L
s®s-a
3
t{ }
=
3!
s®s-a
4
s
=
3!
4
s-2( )
L
-3t
e sen2t{ }
=
2
s®(s+3)
2
s +
2
2
=
2
2
s+3( ) + 4

Derivada de la transformada
L
n
t f (t){ }=
n
(-1)
n
d F(s)
n
ds

Ejemplo
L
2
t
t
e{ }
L
t
e{ }= F(s) =
1
s -1
= L
2
t
t
e{ }=
2
(-1)
2
d F(S)
2
ds
=
2
(-1)
2
d 2
ds
1
s -1
æ
è
ç
ö
ø
÷
= (-1)
d
ds
1
2
(s-1)
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
2
3
(s-1)
Escogemos cual será nuestra f(t)
Así, por el teorema de derivada

Ejemplo
L
-t
te cost{ }= -1( )
d
ds
L
-t
e cost{ }
= (-1)
d
ds
s®(s+1)
s
2
s +1
æ
è
ç
ö
ø
÷
= -
d
ds
s+1
2
s+1( ) +1
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
= -
1-
2
(s+1)
2
2
(s+1) +1é
ë
ù
û

Transformada de una derivada
Hasta una unidad menos de la función menos que estoy derivado
L
n
t (t){ }=
n
s F(s)-
n-1
s f (0)-
n-2
s f '(0)-
n-3
s f ''(0)

k =
k
s
tn
= n!/ s(n+1)
eaat
=
1
s - a
coskt =
s
s2
+ k2
senkt =
k
s2
+ k2
senhkt =
k
s2
- k2
coshkt =
s
s2
- k2
Uso de Tabla para encontrar la transformada
de Laplace
L et
senh2t{ }=
senht =
et
- e-t
2
L{et
(
e2t
- e-2t
2
)} = L{
e3t
2
-
e-t
2
}
=
1
2
L{e3t
} -
1
2
L{e-t
}
=
1
2
(
1
s - 3
)-
1
2
(
1
s +1
)
=
1
2
1
s - 3
-
1
s +1
æ
èç
ö
ø÷
Ejemplo 1
L cos2
t{ }
cos2
x =
cos2x+1
2
= L{
cos2t
2
+
1
2
}=
1
2
L{cos2t}+ L{
1
2
}
1
2
(
s
s2
+22
)+
1
2
s
=
1
2
s
s2
+4
+
1
s
æ
èç
ö
ø÷
Ejemplo 2
L{(t +1)2
}
L{t2
+2t +1}
= L{t2
}+ L{2t}+ L{1}=
2
s3
+
2
s2
+
1
s
=
2+2s+ s2
s3
Ejemplo 3

Transformada Inversa de Laplace
L-1
(
1
(s - 3)2
) = e3t
× L-1 1
s2
æ
èç
ö
ø÷
= tn
=
n!
s(n+1)
® L-1 n!
s(n+1)
æ
èç
ö
ø÷ = tn
1
2!
L-1 2!
s2+1
= t2
= e3t
×
t2
2
Primer Teorema de
Traslación
Ejemplo 1
L eat
× f (t){ }= F(s - a)® L-1
F(s - a) = eat
L-1
F(s)
L-1 1
s2
+ s +1
ì
í
î
ü
ý
þ
=
s2
+ s +1= s2
+ s +1+
1
4
-
1
4
= L-1 1
(s + 1
2)2
+ 3
4
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
= e
-
1
2
t
L-1 1
s2
+ 3
4
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
L-1 k
s2
+ k2
æ
èç
ö
ø÷ = senkt
= e
-
1
2
t
×
1
3
2
L-1
3
2
s2
+ 3
4
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
= e
-1
2t 2
3
sen
3
2
t
Ejemplo 2

Transformada Inversa de Laplace
Fracciones Parciales
Ejemplo 1
L-1 1
s2
+ 3s
ì
í
î
ü
ý
þ
= L-1 1
s(s + 3)
ì
í
î
ü
ý
þ
A
s
+
B
s + 3
=
1
s(s + 3)
A(s + 3)+ Bs = 1
(A + B)s + 3A = 1
A + B = 0
3A = 1
A = 1
3
1
3
+ B = 0
B = -
1
3
1
s(s + 3)
=
1
3
s
-
1
3
s + 3
L-1
1
3
s
-
1
3
s + 3
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
= L-1
1
3
s
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
-
1
3
L-1 1
s + 3
ì
í
î
ü
ý
þ
= 1
3 - 1
3e-3t
El método de las fracciones parciales
consiste en descomponer un cociente
de polinomios en una suma de
fracciones de polinomios de menor
grado. El grado del polinomio del
denominador debe ser estrictamente
mayor que el del numerador.

L-1 s
(s2
+ 4)(s+2)
ì
í
î
ü
ý
þ
=
s
(s2
+ 4)(s+ 2)
=
As+ B
s2
+ 4
+
C
s+2
s = (As+ B)(s+ 2)+C(s2
+ 4)
s = As2
+2As+ Bs+ 2B+Cs2
+ 4C
s = (A+C)s2
+(2A+ B)s+(2B+ 4C)
A+C = 0
2A+ B =1
2B+ 4C = 0
-4A+2B = 0
2A + B = 1
B = 2A
2A + 2A =1
4A = 1
A = 1
4
B = 1
2
C = - 1
4
= L-1
1
4 s
s2
+ 4
+
1
2
s2
+ 4
-
1
4
s + 2
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
=
1
4
L-1 s
s2
+ 4
ì
í
î
ü
ý
þ
+
1
2
×
1
2
L-1 2
s2
+ 4
ì
í
î
ü
ý
þ
-
1
4
1
s + 2
ì
í
î
ü
ý
þ
=
1
4
cos2t +
1
4
sen2t -
1
4
e-2t
=
1
4
cos2t + sen2t - e-2t
( )
Ejemplo 2

Transformada de Laplace de una
Integral
L-1 1
s(s2
+1)
ì
í
î
ü
ý
þ
F(s) =
1
s2
+1
L-1 F(s)
s
æ
èç
ö
ø÷ = f (t )dt
0
t
ò = L-1
(F(s)dtt®t
= (L-1 1
s2
+10
t
ò )dtt®t = sent[ ]
0
t
ò
t®t
dt
= -cost0
t
= -cost - (-1)
= -cost +1
L-1 1
s(s -1)
ì
í
î
ü
ý
þ
F(s) =
1
s -1
= (L-1 1
s -1
)
0
t
ò dtt®t = et
éë ùû
0
t
ò
t®t
dt
= et
= et
- e0
= et
-1
L f t( )dt
0
t
ò
ì
í
î
ü
ý
þ
=
F(s)
s
L-1 F(s)
s
æ
èç
ö
ø÷ = f (t )dt
0
t
ò Ejemplo 2Ejemplo 1

Teorema de Convolución
L f * g{ } = L f (t){ }× L g(t)( ) = F(s)×G(s)
L-1
F(s)×G(s){ } = f * g
f * g = g * f
f (t) = et
g(t) = t
= et
(t -t )dt
0
t
ò
= (et
t -tet
0
t
ò )dt
= t et
0
t
ò dt - tet
dt
0
t
ò
= tet
- (et
t - et
)0
t
= tet
- te0
éë ùû - (et
t - et
+ e0
)
= tet
- t - et
t - et
-1
= et
- t -1
Ejemplo 1: convolucion de dos
funciones
f *g = f (t)g(t -t)dt
0
t
ò
L et
sen(t -t )dt
0
t
ò
ì
í
î
ü
ý
þ
f (t) = et
g(t) = sent
L et
*sent{ }= L et
{ }× L sent{ }
=
1
s -1
×
1
s2
+1
Ejemplo 2: Transformada de
una convolucion

Ejemplo 3: Inversa de productos de dos
funciones en s, usando la convolucion.
L-1 1
(s -1)(s + 4)
ì
í
î
ü
ý
þ
= L-1 1
s -1
×
1
s + 4
ì
í
î
ü
ý
þ
L-1
F(s)×G(s){ }= f (t)*g(t)
F(s) =
1
s -1
® f (t) = et
G(s) =
1
s + 4
® g(t) = e-4t
et
e-4(t-t )
dt = et
e-4t
e4t
0
t
ò0
t
ò dt
= e-4t
e5t
dt
0
t
ò = e-4t e5t
5
é
ë
ê
ù
û
ú
0
t
= e-4t e5t
5
-
1
5
é
ë
ê
ù
û
ú
=
et
5
-
e-4t
5
=
1
5
(et
- e-4t
)

Segundo teorema de
translación
• Segundo teorema de traslación para encontrar la
transformada de laplace de una función escalón unitario
multiplicada por f(t-a).
El teorema nos dice que la transforma de laplace del producto
de f(t-a) por la función escalón unitario en a es igual a e^-as
por la transformada de f(t)
Nótese que f(t) resulta de sustituir a t-a por t en f(t-a)
Adicionalmente se desprende de esta propiedad que la
transformada de la función escalón unitario en a es igual a e^-
as / s siendo f(t-a) = 1

Transformada de una función
periodica
• Teorema que permite encontrar la transformada de laplace de
una función periódica.
Las funciones con período T tales que f(t) = f(t+T) se pueden
transformar al espacio s a través de una fórmula que simplifica
su cálculo. Esta fórmula o propiedad se demuestra en este
video y se ilustra con ejemplo su forma de uso.

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